Volume de um Segmento Esférico

Veremos neste artigo como deduzir uma fórmula para calcular o volume de um segmento esférico. Para esta demonstração, utilizaremos o Cálculo Integral encontrando a fórmula:

$$V = \frac{\pi \ h}{6} \Big[ 3\left(R_1^2+R_2^2\right) + h^2 \Big]$$

Definição:

Segmento esférico é região limitada por dois planos paralelos que seccionam uma esfera, gerando um sólido com duas bases circulares de raios $R_1$ e $R_2$.

Esses planos, ao interceptarem o eixo da esfera, geram os ponto $x_1$ e $x_2$, cuja distância $h$ entre esses pontos é dada por:

$$h=x_2-x_1 \tag{1}$$

Se $x_1 = -R$ e $x_2=R$, então $h=2R$ e o segmento esférico é a própria esfera:

$$V=\frac{4}{3} \pi R^3 \tag{2}$$

Demonstração:

Tomamos inicialmente a equação da circunferência:

$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$$

Se a circunferência estiver centrada na origem, assume a seguinte forma:

$$x^2+y^2=R^2$$

Isolando $y$, obtemos:

$$y=\sqrt{R^2-x^2}$$

Quando rotacionarmos a circunferência em torno do eixo dos $x$, obtemos uma esfera de centro na origem e raio $R$:

$$f(x)=\sqrt{R^2-x^2} \tag{3}$$

Suponha que o segmento esférico de altura $h$ seja formado por infinitos cilindros de alturas infinitesimais $dx$ e raios $y$, sendo que $y$ é variável para cada ponto de $h$:

O volume de um cilindro é dado pelo produto da área da base pela altura. Assim:

$$V_{cil} = Ab \cdot h\\ \ \\ V_{cil} = \pi \ y^2 \ dx \tag{4}$$

A som desses infinito cilindros de alturas infinitesimais forma o segmento esférico nos limites $x_1$ e $x_2$. Assim, seu volume será dado pela integral definida:

$$V = \int_{x_1}^{x_2} \pi \ y^2 \ dx \tag{5}$$

Substituindo $(3)$ em $(5)$, obtemos:

$$V = \pi \int_{x_1}^{x_2} \left( R^2 - x^2 \right)\ dx \tag{6}$$

Integrando em relação a $x$, obtemos:

$$V = \pi \left[ R^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{x_1}^{x_2}$$

Aplicando os limites:

$$V = \pi \left[ \left( R^2x_2 - \frac{x_2^3}{3} \right) - \left( R^2x_1 - \frac{x_1^3}{3} \right) \right]\\ \ \\ V = \pi \left[ \frac{3R^2x_2 - x_2^3}{3} - \left( \frac{3R^2x_1 - x_1^3}{3} \right) \right]\\ \ \\ V = \frac{\pi}{3} \Big( 3R^2x_2 - x_2^3 - 3R^2x_1 + x_1^3 \Big)$$

Obtendo:

$$V = \frac{\pi}{3} \Big(3R^2(x_2-x_1) - (x_2^3-x_1^3) \Big) \tag{7}$$

Fatorando  a diferença de cubos que aparece em $(7)$, obtemos:

$$(x_2^3 - x_1^3) = (x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2) \tag{8}$$

Substituindo $(8)$ em $(7)$:

$$V = \frac{\pi}{3} \Big( 3R^2(x_2-x_1) - (x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2 + x_1^2)\Big) \tag{9}$$

No entanto, de $(1)$ temos que $h=x_2-x_1$. Substituindo em $(9)$, obtemos:

$$V = \frac{\pi}{3} \Big( 3R^2h - h(x_2^2 + x_1x_2 +x_1^2) \Big) \tag{10}$$

Observando a figura 1, podemos destacar os seguintes pontos:

Pelo teorema pitagórico, temos que:

$$R^2 = x_1^2 + R_1^2 \Longrightarrow x_1^2 = R^2 - R_1^2 \tag{11}$$

e

$$R^2 = x_2^2 + R_2^2 \Longrightarrow x_2^2 = R^2-R_2^2 \tag{12}$$

E, também, pelo produto notável:

$$(x_1-x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 \tag{13}$$

Podemos reescrever a equação $(1)$ como:

$$-h = (x_1-x_2) \tag{14}$$

Substituindo em $(13)$:

$$(-h)^2 = x_1^2 -2x_1x_2 + x_2^2\\ \ \\ h^2 = x_1^2 -2x_1x_2 + x_2^2 \tag{15}$$

Agora, podemos substituir as relações $(11)$ e $(12)$ em $(15)$:

$$h^2 = R^2-R_1^2 + R^2 - R_2^2 - 2x_1x_2\\ \ \\ x_1x_2 = R^2 - \left( \frac{R_1^2 + R_2^2+h^2}{2} \right) \tag{16}$$

Vamos agora substituir as relações $(16)$, $(12)$ e $(11)$ em $(10)$:

$$V = \frac{\pi\ h}{3} \Big[ 3R^2-(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2) \Big]\\ \ \\ V = \frac{\pi\ h}{3} \left[ 3R^2 - \left( R^2-R_1^2+R^2-R_2^2+R^2- \left( \frac{R_1^2+R_2^2+h^2}{2} \right) \right) \right]\\ \ \\ V = \frac{\pi\ h}{3} \left[ 3R^2 - \left( 3R^2-R_1^2-R_2^2-\left( \frac{R_1^2+R_2^2+h^2}{2} \right) \right) \right]\\ \ \\ V = \frac{\pi\ h}{3} \left[ 3R^2 - \left( \frac{6R^2-2R_1^2-2R_2^2-R_1^2-R_2^2-h^2}{2} \right) \right]\\ \ \\ V = \frac{\pi\ h}{3} \left[ \frac{6R^2-6R^2+2R_1^2+2R_2^2+R_1^2+R_2^2+h^2}{2} \right]\\ \ \\ V = \frac{\pi\ h}{6} \Big[ 3R_1^2 + 3R_2^2 + h^2 \Big]$$

Chegando finalmente a:

$$V = \frac{\pi \ h}{6} \Big[ 3\left(R_1^2+R_2^2\right) + h^2 \Big] \tag{17}$$

Que é a fórmula para o volume de um segmento esférico.

Exemplo:

Seja uma esfera de raio $R=4$ e dois planos seccionando-a nos pontos $x_1=1$ e $x_2=3$. Calcular o volume do segmento esférico gerado pelas intersecções desses planos com a esfera.

Primeiramente temos que calcular os valores dos raios $R_1$ e $R_2$. Para isso, utilizamos o teorema pitagórico:

Para o cálculo de $R_1$:

$$R^2 = R_1^2 + x_1^2\\ \ \\ 16 = R_1^2 + 1\\ \ \\ R_1 = \sqrt{15}$$

Para o cálculo de $R_2$:

$$R^2 = R_2^2 + x_2^2\\ \ \\ 16 = R_2^2 + 9\\ \ \\ R_2 = \sqrt{7}$$

E para a altura $h$, fazemos $x_2-x_1$:

$$h = x_2-x_1 = 3-1 = 2$$

Agora que já temos os dados necessários, aplicamos na fórmula dada em $(17)$:

$$V = \frac{\pi \ h}{6} \Big[ 3\left(R_1^2+R_2^2\right) + h^2 \Big]\\ \ \\ V = \frac{2\ \pi}{6} \Big[ 3\left( \Big(\sqrt{15}\Big)^2 + \Big(\sqrt{7}\Big)^2\right) + 4\Big]\\ \ \\ V = \frac{\pi}{3} \Big[ 3(15+7) + 4 \Big]\\ \ \\ V = \frac{\pi}{3} (3\cdot 22 + 4)\\ \ \\ V = \frac{\pi}{3} (66+4) \\ \ \\ V = \frac{70\ \pi}{3}\\ \ \\ V \approx 73,3 \ u.v.$$

Assim, o volume do segmento esférico desejado vale aproximadamente $73,3$ unidades de volume.

Links par este artigo:

• https://bit.ly/volume-segmento-esferico
  
• https://www.obaricentrodamente.com/2010/09/volume-de-um-segmento-esferico.html
  

Veja mais:

• Cálculo do volume de uma esfera
  
• Volume de um anel esférico
  
• Cálculo do volume de uma calota esférica
  
• O princípio de Cavalieri