3 de set de 2010

Paradoxo no Cálculo: Integral definida

Existem alguns paradoxos na matemática e este, especificamente, é do cálculo integral. Seja a integral definida dada abaixo, por procedimento padronizado, calculamos:

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Mas, vejam que a função y = 1 / x2 não é nunca negativa, vejam o gráfico:

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Então, como a integral definida de uma função é a área sob a curva, como pode ser correta a avaliação acima se a integração resultou em – 2?

Referências:

[1] Introdução à História da Matemática – Howard Eves


Veja mais:

Integrais impróprias Link 1, Link 2
Integrais que dependem de um Parâmetro no blog Fatos Matemáticos
As Transformadas de Laplace e as Integrais Impróprias no blog Fatos Matemáticos Parte 1, Parte 2, Parte 3 e Parte 4

9 comentários:

  1. Olá Kleber,

    O que acontece aí é que a função neste intervalo é ilimitada (integral imprópria), mas o cálculo foi feito à maneira de funções limitadas.

    Tem que fazer a integral de -1 até -epsilon, somar com a integral no intervalo de epsilon até 1, tomar o limite com epsilon tendendo a zero.

    Se fizer a conta para nesses intervalos, digamos o segundo, o resultado dá -1+1/(epsilon), que diverge quando epsilon tende a zero. Portanto esta integral não existe, ou simplesmente não está definida.

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  2. Olá Renato,

    Exatamente! Não fiz nenhuma menção a isto no post para gerar esta discução. Mas a idéia do post é expor o paradoxo do cálculo e a solução foi dada por você!

    Neste link ilustra esta questão:

    http://ecalculo.if.usp.br/integrais/int_impropria/exemplos/exemplo3.htm

    OBrigado e um forte abraço!

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  3. Ok!

    Esse tipo de exemplo é bom para explicar porque precisamos definir a integral de outra forma quando a função é ilimitada.

    Valeu

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  4. Olá Kleber, estive ausente alguns dias e não vi este post. Mas o Renato explicou muito bem o paradoxo. Obrigado pela citação dos links. Abraços!

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  5. É por isso que digo que o êxito da demonstração matemática está no detalhe e, quanto maior for essa prova, mais cuidado devemos ter. Deve ter sido esses tipos de enganchos que Andrew Willes se perdeu na sua primeira versão de 200 páginas da demonstraçaõ do Último Teorema de Fermat...

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  6. nao minha opiniao.. isso nao é um paradoxo e sim um erro de dominio.. nao?..

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  7. Sim Paulo, é um erro de domínio que levou a uma resultado paradoxal. Neste caso, não é suficiente saber interar sem que o comportamento da curva seja analisado previamente.

    Abraços.

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