EDO: Queda dos Corpos com Resistência do Ar

Geralmente tratamos problemas de Física desprezando a resistência do ar para facilitar nossos cálculos. No entanto, essa resistência existe e, aqui, vamos ver uma equação diferencial para a queda de corpos considerando a resistência do ar.

Consideremos um corpo de massa $m$ em queda livre vertical, onde atuam somente a força da gravidade $g$ e a resistência do ar proporcional à velocidade do corpo. Precisamos admitir que tanto a gravidade como a massa deste corpo permaneçam constantes durante a queda.

Já vimos em outro artigo deste blog que, para corpos em queda livre, devemos adotar um sentido (para baixo ou para cima) como positivo. Convenientemente, vamos adotar o sentido para baixo como sendo sentido positivo.

Segundo a Segunda Lei de Newton: A força resultante que atua sobre um corpo é igual à taxa de variação da quantidade de movimento (momentum) do corpo, ou, para uma massa constante.

$$F= m \frac{dv}{dt} \tag{1}$$

onde $F$ é a força resultante que atua sobre o corpo e $v$ é a velocidade do corpo, consideradas no instante $t$.

Em um corpo em queda livre, há duas forças atuando sobre ele: a primeira é a força da gravidade $g$, dada pelo peso $p$ do corpo, que é igual a $mg$:

$$p = mg \tag{2}$$

A segunda força é devida à resistência do ar, dada por:

$$-kv \tag{3}$$

onde $k \geqslant 0$ é uma constante de proporcionalidade. O sinal negativo se dá pelo fato desta força estar atuando no sentido contrário à queda do corpo, se opondo à velocidade, atuando no sentido para cima.

A força resultante será:

$$F = mg - kv \tag{4}$$

Se substituirmos $(4)$ em $(1)$, obteremos:

$$mg - kv = m \frac{dv}{dt}\\ \ \\ mg = m \frac{dv}{dt} + kv$$

Isolando a força da gravidade:

$$g = \frac{dv}{dt} + v \frac{k}{m} \tag{5}$$

Agora, $(5)$ é a equação de movimento do corpo. Para resolver esta equação, usamos a técnica de fator integrante dado por:

$$\mu = e^{kt/m} \tag{6}$$

Multiplicando $(6)$ por $(5)$, obtemos:

$$e^{kt/m} \frac{dv}{dt} + \frac{k}{m}e^{kt/m}v = ge^{kt/m} \tag{7}$$

Observe que o lado esquerdo de $(7)$ é derivada da função:

$$w(t) = e^{kt/m}v \tag{8}$$

Pois:

$$\frac{dw}{dt} = \frac{k}{m} e^{kt/m}v + e^{kt/m} \frac{dv}{dt} \tag{9}$$

Assim, comparando $(7)$ com $(9)$, segue que:

$$\frac{dw}{dt} = g \Rightarrow w(t) = \int dw = \int ge^{kt/m} dt = \frac{mg}{k}e^{kt/m} + C$$

ou seja:

$$e^{kt/m} v = \frac{mg}{k} e^{kt/m}+C\\ \ \\ v(t) = \frac{mg}{k} + Ce^{-kt/m}$$

Usando o fato que $v(0)=v_0$, segue que:

$$v(t) = \frac{mg}{k} + \left(v_0 - \frac{mg}{k}\right) e^{-kt/m}$$

que é a velocidade em cada instante.

Vejam que, se $k=0$, temos que a resistência do ar é desprezível e a equação $(5)$ se reduz a:

$$g = \frac{dv}{dt} \tag{10}$$

Se $k > 0$, a velocidade limite $v_1$ é obtida fazendo $\cfrac{dv}{dt} = 0$, pois na há um equilíbrio da força da gravidade com a força devida ao atrito do ar. Assim:

$$v_1 = \frac{mg}{k} \tag{11}$$

Uma observação importante é que as equações $(5)$ e $(11)$ são válidas somente se as condições dadas forem satisfeitas. Se a resistência do ar não for proporcional à velocidade e sim ao quadrado da velocidade.

Exemplo:

Deixa-se cair um corpo de massa de $5\ kg$ de uma altura de $100\ m$, com velocidade inicial zero. Supondo que não haja resistência do ar, determine:

1. A expressão da velocidade do corpo no instante $t$;
2. A expressão da posição do corpo no instante $t$;
3. O tempo necessário para o corpo atingir o solo.

Primeiramente adotamos o sistema de coordenada como na figura abaixo, sendo positivo o sentido para baixo.

Como nao há resistência do ar, usamos a equação $(10)$:

$$g = \frac{dv}{dt}$$

Essa é uma equação linear separável. Assim:

$$dv = g\ dt\\ \ \\ \int dv = \int g\ dt\\ \ \\ v = gt + C$$

1. Como $v(0) = 0$, segue que $v(t) = gt$.

2. Para determinar a expressão da posição $x$ no instante $t$, fazemos:

$$\frac{dx}{dt} = gt\\ \ \\ dx = gt\ dt\\ \ \\ \int dx = g\int t\ dt\\ \ \\ x(t) = \frac{gt^2}{2}+C$$

Sendo $x(0)=0$, segue que:

$$x(t) = \frac{gt^2}{2}$$

3. Para $x(t)=100$, fazemos:

$$100 = \frac{gt^2}{2}$$

Se adotarmos a aproximação $g=9,8\ m/s^2$, teremos:

$$100 = \frac{9,8t^2}{2}\\ \ \\ t = \sqrt{20,4}\\ \ \\ t \approx 4,5\ s$$

Veja mais:

• Galileu e a queda dos corpos
  
• Equação do movimento, queda livre e lançamento vertical
  
• EDO: A naftalina e o tempo de sublimação