28 de ago de 2010

Construção de um Pentágono Regular com Régua e Compasso (Parte II)

Já vimos no post anterior uma construção de um pentágono regular utilizando régua e compasso. Aqui vou mostrar outro método para construir um pentágono:

Comece descrevendo uma circunferência com o compasso com centro em O:

clip_image002

Trace, agora, dois seguimentos de retas perpendiculares entre si, interceptando-se no centro O da circunferência. Nas intersecções com a circunferência, marque os pontos E, F e G:

clip_image004

Trace a mediatriz H do segmento OF:

clip_image006

Com centro em H, descreva uma circunferência de raio HE e marque a intersecção com o segmento OG como I:

clip_image008

Chegamos a um ponto importante da construção: veja que o seguimento EI é o comprimento do lado do pentágono:

clip_image010

Abra o compasso e posicione a ponta seca em D. Descreva uma nova circunferência com raio EI e marque a intersecção com a primeira circunferência como A:

clip_image012

Analogamente, faça novas circunferências de raio EI marcando os pontos de intersecção como B, C e D:

clip_image014

clip_image016

clip_image018

Unindo os pontos D e E, formamos o pentágono ABCDE:

clip_image020

Em breve farei nova postagem sobre outra forma de construir um pentágono regular.


Veja mais:

Construção de um Pentágono Regular com Régua e Compasso (Parte I)

Demosntração da área do pentágono

Transformação de áreas


11 comentários:

  1. otimo valeu mesmo

    ResponderExcluir
  2. demonstrar que o laço de uma fita é um pentagono regular. onde encontro isto?

    ResponderExcluir
  3. Olá amigo,
    Não sei sobre a demonstração, mas veja o nó como é dad. Seja este nó circunscrito a uma circunferência. Veja que as "arestas" deste nó, são 5, dividindo a circunferência em 5 partes iguais. O pentágono é o único polígono que divide a circunferência em 5 partes iguais. Tudo isso por dedução. Veja este site:
    http://www.cut-the-knot.org/index.shtml

    Até +

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  4. Olá Kleber.

    Fazendo um estudo dos polígonos, me deparei com
    um problema existente.
    Desenhando um pentágono usando a "Escala poligonal de Delaistre"
    percebi que ao fazer a última circunferência a intersecção do ponto "D"
    Deveria ficar sobre o ponto "D", mas, não foi isso que aconteceu.
    Veja que o ponto "x" de intersecção ficou fora da circunferência.

    Veja a imagem no link:
    http://1.bp.blogspot.com/-SO9nI6qhZNI/Tl4p-IkMqPI/AAAAAAAAAsY/KFlvHweFApA/s1600/Pentagono%2B-%2BPonto%2Bx.png


    A minha pergunta é:

    O porque acontece isso?
    Não consigo entender.


    Veja que se eu não fazer a última circunferência, e só
    ligar os pontos, o polígono foi gerado, mas se analisar, vemos
    que as medidas dos seus lados ficam com diferenças.

    Veja a imagem no link:
    http://1.bp.blogspot.com/-ksiw8ZU0_bg/Tl4qAP5UjTI/AAAAAAAAAso/TpnlgWp2P44/s1600/Pentagono%2B1.png

    E observando o último detalhe, vemos que os ângulos também passam
    por essa diferença...

    Veja a imagem no link:
    http://3.bp.blogspot.com/-VHSNb_hCG_8/Tl4p-c7BdJI/AAAAAAAAAsg/KE3_m7x5b94/s1600/Pentagono%2B-%2BAngulos.png


    Porque acontece isso com os polígonos?

    Abraço.

    ResponderExcluir
  5. Olá Wagner,
    Interessante sua pergunta. Eu já havia enfrentado isso ao fazer um heptágono pela escala de Delaistre e depois percebi em outros polígonos. Procurei uma explicação mas não encontrei. Julgo então que essa escala de Delaistre é apenas uma aproximação para construção de polígonos. Aí caímos na questão da precisão: para questões matemáticas, o erro é evidente; para questões práticas, talvez seja suficiente dependendo da precisão.
    Vou pesquisar novamente para tentar localizar uma fonte confiável que explique tal situação, encontrando, respondo aqui. Peço também que se você encontrar, me avise por favor.

    Um abraço.

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  6. Olá Kleber.

    Estou fazendo um trabalho em cima dessa questão, mas até agora nada, não consigo compreender, mas se eu achar algo te aviso sim...

    Me ajuda a compreender isso, o porque.

    Abraços.

    ResponderExcluir
  7. Ola, fiz a construção do pentágono regular e meu professor perguntou o porque tal construção resulta no pentágono regular, disse que era porque o segmento EI é exatamente a medida do lado do pentágono regular, ele me disse que pensasse mais. Qual seria a resposta mais adequada?

    ResponderExcluir
  8. Olá, analisando sua demonstração percebi que no passo 6 houve um engano quando você diz : " Abra o compasso e posicione a ponta seca em D ", acho que a ponta seca deve ficar no ponto E, já que o ponto D ainda não foi gerado.
    Muito boa demonstração.

    Abraços

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. É verdade. Obrigado por relatar o erro. Vou corrigir em breve.

      Abraços.

      Excluir

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