Demonstração da Identidade de Euler

A Matemática, às vezes, pode parecer difícil, complicada, até mesmo fora da realidade. Mas também pode ser instigante e bela. Para nós que gostamos da Matemática, nem pensamos nisso, pois já faz parte de nossas vidas.

Uma Identidade Matemática é uma igualdade que permanece verdadeira para quaisquer que sejam os valores das variáveis que nela apareçam, diferentemente de uma Igualdade Matemática que pode ser verdadeira somente sob condições particulares.

A Identidade de Euler reúne, talvez, os cinco números mais importantes da Matemática $0$, $1$, $i$, $e$, $\pi$ em uma simples igualdade: $\displaystyle e^{i\ \pi}+1=0$.

Imagem: Wallpaper matemático 14: Euler

Para verificar esta igualdade, vamos fazer a demonstração da Identidade de Euler. Para isso, vamos considerar o exponencial ex em sua forma de série infinita:

$$\begin{equation} e^x = 1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{x^n}{n!} \right) \end{equation}$$

Usamos aqui um artifício que será muito útil para a dedução da identidade. Fazemos:

$$\begin{equation} x = i\ z \end{equation}$$

Substituindo $(2)$ em $(1)$:

$$\begin{equation} e^{i\ z} = 1+\frac{i\ z}{1}+\frac{(i\ z)^2}{2!}+\frac{(i\ z)^3}{3!}+\frac{(i\ z)^4}{4!}+\cdots \end{equation}$$

Do estudo sobre números complexos, sabemos que:

$$\begin{equation} \begin{cases} i&=&i\\ i^2&=&-1\\ i^3&=&-i\\ i^4&=&1 \end{cases} \end{equation}$$

Substituindo $(4)$ em $(3)$, encontramos:

$$\begin{equation*} e^{i\ z} = 1 + i\ z - \frac{z^2}{2!}-\frac{i\ z^3}{3!}+ \frac{z^4}{4!}+\frac{i\ z^5}{5!}-\frac{z^6}{6!}-\frac{i\ z^7}{7!}+\frac{z^8}{8!}+\cdots \end{equation*}$$
$$\begin{equation} e^{i\ z}=\left( 1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\frac{z^8}{8!}-\cdots \right) + i \left( z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\cdots \right) \end{equation}$$

Da relação $(5)$, podemos ver que as séries infinitas entre parênteses nos leva às conhecidas séries infinitas trigonométricas:

$$\begin{equation} \cos(z) = \left( 1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\frac{z^8}{8!}-\cdots \right) \end{equation}$$
$$\begin{equation} \text{sen}(z) = \left( z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\cdots \right) \end{equation}$$

Substituindo $(6)$ e $(7)$ na relação $(5)$, obtemos:

$$\begin{equation} e^{i\ z} = \cos(z) + i\ \text{sen}(z) \end{equation}$$
Se fizermos $z = \pi$, obteremos:
$$\begin{equation} e^{i\ \pi}=\cos(\pi) + i\ \text{sen}(\pi) \end{equation}$$

No entanto, a trigonometria nos garante que $\cos(\pi)=-1$ e $\text{sen}(\pi)=0$. Substituindo na relação $(9)$, chegamos a:

$$\begin{equation*} e^{i\ \pi}=-1+i\cdot 0 \end{equation*}$$
Ou seja:
$$\begin{equation*} e^{i\ \pi}+1=0 \end{equation*}$$

Link do artigo:

• https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/demonstracao-da-identidade-de-euler.html
• http://bit.ly/Ident-Euler-eipi10 

Veja mais:

• Números complexos
• A mediana de Euler
• A identidade de Euler para poliedros convexos