19 de jul de 2010

Demonstração da Identidade de Euler

A Matemática, às vezes, pode parecer difícil, complicada, até mesmo fora da realidade. Mas também pode ser instigante e bela. Para nós que gostamos da Matemática, nem pensamos nisso, pois já faz parte de nossas vidas.

Uma Identidade Matemática é uma igualdade que permanece verdadeira para quaisquer que sejam os valores das variáveis que nela apareçam, diferentemente de uma Igualdade Matemática que pode ser verdadeira somente sob condições particulares.

A Identidade de Euler reúne talvez os cinco números mais importantes da Matemática (0, 1, i, e, π) em uma simples igualdade:

clip_image002

Para verificar esta igualdade, vamos fazer a demonstração da Identidade de Euler. Para isso, vamos considerar o exponencial ex em sua forma de série infinita:

clip_image004

Usamos aqui um artifício que será muito útil para a dedução da identidade. Fazemos:

clip_image006

E substituímos em (1):

clip_image002[6]

Do estudo dos Números Complexos, sabemos que:

Substituímos (4) em (3), encontrando:

clip_image012

Da relação (5), podemos ver que as séries infinitas entre parênteses nos conduz às conhecidas séries infinitas trigonométricas, vejam:

clip_image016

e

Substituímos (6) e (7) na relação (5), obtendo:

clip_image020

Agora, se fizermos z = π, teremos:

clip_image022

No entanto, a trigonometria nos garante que:

clip_image024

e

clip_image026

Substituindo estes valores na relação (9), chegaremos a:

clip_image028

clip_image002[1]


Veja mais:

Números Complexos;
1ª Fórmula de De Moivre;
2ª Fórmula de De Moivre
Logaritmo de Número Negativo no blog Elementos de Teixeira
Grandes Matemáticos (Leonhard Euler) no blog Fatos Matemáticos
Leonhard Euler no blog Clave de Pi

12 comentários:

  1. foi verificado pela expansão de taylor,mas não foi demonstrado,será que euler realmente usou a volta do teorema para prová-lo?

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    1. Talves ele tenha usado outro caminho, a fórmula de Moivre, mas nada indica que tem sido assim!

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  2. Olá amigo. Bem, não sei realmente com Euler fez a prova. Nos materiais que consultei não vi nada além do que coloquei aqui no blog, em formatos diferentes, mas não além. Se você tiver alguma referência e puder me passar, ficarei agradecido; se encontrar alguma coisa faço a correçao do post.

    Agradeço sua visita e seu interesse em questionar.

    Um abraço!

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    Respostas
    1. Kleber!! eu entendi passo a passo a tua dedução , aprendi como deduzir!! Obrigado!!

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  3. Boa tarde!

    tenho uma dúvida.
    Nas equações (5.) e (7.) não teria que ser z em vez de x o primeiro termo da série que corresponde ao seno? Porque o i já está em evidência.
    Att


    Giovana Higinio

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    1. Ele ja substituiu x por zi e pondo o i em evidencia.

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  4. Olá Giovana,
    Obrigado pela leitura atenta e por relatar o erro. Jó os corrigi.
    Abraços.

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  5. Tem um detalhe, estes cosseno e seno da identidade de Euler são HIPERBÓLICOS, e não circulares.

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    1. Não. Essa é uma identidade ligada a números complexos. Note o $$i$$, a unidade imaginária no expoente do $$e$$. Essa a qual você se refere não tem o $$i$$, que é a hiperbólica.

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  6. Uma outra identidade (se pode ser chamada assim) extremamente interessante é $$i^i$$. Esse valor não é um número imaginário puro, nem um complexo. É um número real! Prova-se com $$cos x + i sen x$$. Rende uma boa discussão.

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    1. Pela Wolfram:

      http://www.wolframalpha.com/input/?i=i^i

      Realmente acho que vale um post! :)

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  7. Bela demonstração da fórmula de Euler! Bela identidade! Esse é um ótimo vislumbre da beleza da matemática.

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