23 de jun de 2010

Transformação de Áreas

Um polígono é dito regular se tiver todos os seus lados e ângulos congruentes. Para estas figuras planas há fórmulas para o cálculo de suas áreas. Mas quando nos deparamos com um polígono irregular, ou seja, uma figura que não há congruência entre seus lados e ângulos, essas fórmulas falham.

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[Figuras 1 e 2]

Vemos na figura 1 um pentágono regular, com seus cinco ângulos internos medindo 108° e, conseqüentemente, seus lados são iguais. Na figura 2, temos um pentágono irregular. Vemos que não há congruência dos ângulos internos e seus lados possuem medidas diferentes entre si.

Neste caso, como podemos calcular sua área?

Podemos utilizar um artifício, transformando uma figura complexa em outra mais simples em que seja fácil o cálculo de sua área, tais como o retângulo ou o triângulo.

Vamos somente relembrar que a área de um triângulo é dada pelo semi-produto de sua base por sua altura:

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Então, com base nesta informação, os triângulos ABC, ABD e ABE da figura 3 têm a mesma área já que a base AB e a altura h são comuns para todos.

image [Figura 3]

Podemos usar esta propriedade para decompor uma figura irregular numa outra figura mais simples.

Seja um quadrilátero genérico dado na figura 4. Vamos transformá-lo de modo a facilitar o cálculo de sua área.

image [Figura 4]

Tracemos uma reta r por AC e uma reta s paralela a r em D, formando um triângulo ACD. Deslocando o ponto D através da reta s de modo que fique colinear à AB em D’, obtemos um novo triângulo ACD’ACD.

image [Figura 5]

Desta forma, transformamos o quadrilátero ABCD em um triângulo BCD’ com áreas iguais. E para o cálculo de sua área, usamos a fórmula dada em (1).

Esse procedimento pode ser aplicado a qualquer polígono:

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[Figura 6]

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[Figura 7]

  image[Figura 8]

 image[Figura 9]

image[Figura 10]

Vemos que o hexágono ABCDEF dado na figura 6 foi transformado em um triângulo C’D’F’ dado na figura 10 possuindo a mesma área.


Veja mais:

Solução Geométrica para o Problema das Idades
Número de Regiões de um Plano Determinado por um Número de Retas
Um Diamante em Números

6 comentários:

  1. Realmente um método muito interessante. Não o tinha conhecido ainda.

    Me considere um leitor assíduo Kleber, rsrsrs.

    Um abraço!

    http://www.mfmatematica.blogspot.com

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  2. me ajudou muitooo!!

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  3. Fico feliz em saber, amigo. Volte sempre!

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  4. Vlw por colocar essa pequena aula ajudou muito!!!

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  5. Que bom Lair, fico feliz em saber que ajudou! Um abraço!

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  6. Muito interessante esse método ,parabéns.

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