21 de jan de 2010

Quadriláteros Notáveis

A Geometria que hoje estudamos teve sua origem aproximadamente a 300 a.C., por Euclides em sua obra Os Elementos, dividido em treze livros.

Na definição 19 do Livro I, Euclides define uma “figura quadrilátera” como sendo aquela contida por quatro linhas retas; e na definição 22 do mesmo livro, ele define alguns quadriláteros notáveis como:

  • Quadrado: É uma figura quadrilátera de quatro lados iguais com ângulos retos;
  • Oblongo: É uma figura quadrilátera com ângulos retos, mas não tem quatro lados iguais;
  • Rombo: É uma figura quadrilátera com quatro lados iguais, mas que não tem ângulos retos;
  • Rombóide: É uma figura quadrilátera que tem lados e ângulos opostos iguais entre si, mas não tem lados iguais nem ângulos retos.

Quadriláteros segundo euclides

[Figura 1: Quadriláteros segundo Euclides]

Vemos que o oblongo de Euclides é o que chamamos hoje de retângulo; o rombo, chamamos de losango e o rombóide de paralelogramo.

Utilizando um diagrama de Venn, podemos representar os quadriláteros definidos por Euclides como:

Venn_euclides_480

[Figura 2: Diagrama de Venn envolvendo os quadriláteros, segundo Euclides]

Já Legendre (1793), que preconizava uma Geometria mais rigorosa, definiu os quadriláteros notáveis como:

  • Quadrado: Tem seus lados iguais e seu ângulos retos;
  • Retângulo: Tem seus ângulos retos, sem ter os lados iguais;
  • Losango: Tem os lados iguais sem que os ângulos sejam retos;
  • Paralelogramo: Tem os lados opostos paralelos.

Vemos que o oblongo, o rombo e o rombóide de Euclides passaram a se denominar retângulo, losango e paralelogramo. Mas vejam que o conceito de paralelogramo foi ampliado, permitindo que os quadrados, retângulos e losangos também sejam casos particulares de paralelogramos.

Mais tarde, em 1898, Hadamard definiu os quadriláteros notáveis como:

  • Quadrado: É um quadrilátero que tem todos os lados iguais e todos os ângulos retos;
  • Retângulo: É um quadrilátero que tem todos os ângulos iguais e, conseqüentemente, retos;
  • Losango: É um quadrilátero que tem todos os lados iguais;
  • Paralelogramo: É um quadrilátero que tem os quatro lados paralelos dois a dois.

Segundo essas definições, todo quadrado pode ser considerado um caso particular de retângulo e losango.

Podemos representar por diagrama de Venn, os quadriláteros definidos por Hadamard:

Venn_hadamard_4802

[Figura 3: Diagrama de Venn envolvendo os quadriláteros, segundo Hadamard]

Essas definições dadas por Hadamard, são as mesmas encontradas hoje em livros didáticos.


Veja mais:

Organograma dos Quadriláteros Notáveis
O Problema dos Quadrados Mágicos
Classificação dos Sistemas Lineares

3 comentários:

  1. Muito interessante a evolução histórica das definições dos quadriáteros notáveis, as vezes quando vemos as idéias prontas, não refletimos sobre sua evolução.

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  2. É verdade. A História da Matemática é muito rica nos detalhes de sua evolução. É uma pena que tão pouco material chega até nós.

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  3. Interessante este post.Procurei por um bom tempo algo assim, pois precisava fazer uma representação dos quadriláteros usando diagramas de Venn. Pena que encontrei seu blog somente agora! Vi outros artigos e são muito bons. Abraço!

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