26/12/2009

Demonstração dos pontos de Máximo e Mínimo de uma Função Quadrática

Este estudo foi baseado no livro Fundamentos de Matemática Elementar V1 – Gelson Iezzi. Fiz algumas modificações no conteúdo para melhor esclarecimento.

Definições:

Valor de Máximo: Dizemos que o número YMIm (f) é o valor de máximo da função y = f(x) se, e somente se, YM y, ∀ yIM (f). O número YMD(f) tal que YM = f(XM) é chamado de ponto de máximo da função.

Valor de Mínimo: Dizemos que o número YmIm (f) é o valor de mínimo da função y = f(x) se, e somente se, YM y, ∀ yIm (f). O número YmD(f) tal que Ym = f(Xm) é chamado de ponto de mínimo da função.

Mínimo      

         Máximo

[Figura 1: Gráficos]

Teoremas:

Teorema 1: Se a<0, a função quadrática y = ax2+bx+c admite o valor máximo YM = -Δ/4a para XM = -b/2a.

Teorema 2: Se a>0, a função quadrática y = ax2+bx+c admite o valor mínimo Ym = -Δ/4a para Xm = -b/2a.

Demonstração:

Para esta demonstração vamos primeiramente transformar a função quadrática y=ax2+bx+c em sua forma canônica.

Sedo f(x)=ax2+bx+c, podemos reescrevê-la na forma:

clip_image002

Então, colocamos a em evidência:

clip_image002[4]

Se somarmos e subtrairmos um mesmo valor arbitrário de uma função, a mesma não sofrerá alteração em seu valor final. Utilizaremos, então, um valor conveniente igual a b2/4a2:

clip_image002[6]

clip_image004

clip_image006

Vamos representar b2 - 4ac por Δ, que é o discriminante do trinômio do 2º grau:

clip_image002[8]

Temos então:

clip_image004[4]

Se analisarmos a equação ( I ) mais minuciosamente, podemos concluir que, se a<0, o valor de y será tanto maior quanto menor for o valor da diferença:

clip_image002[10]

E dessa diferença ( II ), podemos observar que:

  • - Δ/4a2 é constante, pois não depende da variável x, somente dos coeficientes a, b e c;
  • clip_image002[12], já que para quaisquer valores assumidos por x, a e b, (x+b/2a)2 nunca será negativo, pois está elevado ao quadrado.

Podemos reescrever a diferença ( II ) como:

clip_image002[14]

clip_image004[6]

Vamos atribuir valores para x de modo a averiguar para quais valores assumidos por x leva a diferença ( II ) ao menor valor possível:

clip_image002[16]

(– M + M)2k =

0 – k =

– k

 clip_image004[8]

(1 – M + M)2k =

1 – k

clip_image002[18]

(2 – M + M)2k =

4 – k

clip_image004[10]

(– 3 – M + M)2k =

9 – k

Vejam que para qualquer valor diferente de – M assumido por x, a diferença ( II ) aumenta. Portanto essa diferença assume o menor valor possível quando (x+b/2a)2=0, ou seja, quando x = – b/2a. Então:

clip_image002[20]

clip_image004[12]

clip_image002[5]

Então, os valores do vértice da parábola serão:

clip_image002[22]

e

clip_image002[3]

Que são os valores para máximos e mínimos de uma equação de segundo grau.


Veja mais:

A Arte de Armar Equações
O Método de Desfazer
Números Complexos
Forma Canônica da Equação do 2º Grau no Blog Clave de Pi

41 comentários:

  1. Excelente!!!!! Obrigado.

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  2. mt bom! me ajudou no trabalho de matemática, obrigado!

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    1. tbm me ajudou mto...

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  3. Que bom que lhe foi útil este material! Agradeço seu comentário!

    Um abraço!

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  4. Muito bom! Adoro matemática!! Muito obrigado!

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  5. Demonstrações são sa coisas mais dificeis de se achar!! Muito obrigado mesmo!!

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  6. Eu que agradeço sua visita e comentário. Um abraço.

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  7. ESTE E O VALOR MAXIMO OU MINIMO ESTA DEMONSTRACAO SERVE PARA MAXIMO E MINIMO?

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  8. Débora, os valores para máximo ou mínimo dependerão da concavidade da parábola. Então, é só utilizar os coeficientes nas fórmulas apresentadas no fim do artigo para determinar o valor de x e de y.

    Um abraço.

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  9. oi meu professor de funçoes pediu para demonstrar maximo e minimo,nao sei como demonstrar voce pode me ajudar , esta demonstracao toda que voce fez seria a demonstracao do maximo e a demonstracao do minimo seria analoga mais como que eu faço me ajuda ?

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  10. Débora, a demonstração acima é para as fórmulas de máximos ou mínimos. Ou seja, se a parábola tiver a concavidade voltada para cima, ela terá ponto de mínimo; se a parábola tiver a concavidade para baixo, ela terá o ponto de máximo.

    Assim, vamos supor a parábola: $x^2-1$. Temos os coeficientes: $a=1;b=0;c=-1$. Lembra do discriminante Delta? Este será: $\Delta=b^2-4ac=0+4=4$.

    Temos então que as fórmulas para:
    $x=-\frac{b}{2a}$
    $x=-\frac{0}{2}$
    $x=0$

    e

    $y=-\frac{\Delta}{4a}$
    $y=-\frac{4}{4}$
    $y=-1$

    Assim, o ponto de mínimo é dadp pela coordenada:

    $P(x,y)=(0,-1)$

    Isso é fácil de ver, já que o eixo da parábola é o próprio eixo y e o vértice da parábola é o próprio -1.

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    1. entao apartir desta formula eu consigo provar tanto faz menimo como o maximo e so subistituir os valores na formula se y for negativo ela se minima e isto ?

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    2. entao apartir desta formula eu consigo provar tanto faz menimo como o maximo e so subistituir os valores na formula se y for negativo ela se minima e isto ?

      Excluir
  11. Debora, com estas fórmulas você não prva nada; você encontrar as coordenadas (x, y) para os pontos de máximo ou mínimo. Veja que se você não sabe qual a concavidade da parábola, inserindo os coeficientes nas fórmulas, automaticamente ela dará o ponto. Não necessariamente y deva ser negativo para que se tenha um ponto de mínimo. Se você encontrar um valor $\Delta < 0$ significa que a parábola não toca o eixo dos x e não tem raízes reais, mas pode ter a concavidade para cima e ter um ponto de mínimo com valor de y positivo. Para observar o comportamento da função, atribua pelo menos 3 valores para x, como por exemplo -1, 0 e 1 e esboce um gráfico. Dará para ter uma ideia do ponto de inflexão.

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  12. OBRIGADO ACHO QUE AGORA ENTENDI..

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    Respostas
    1. dada a função f(x)=m(x-1)+x-3,onde o parametro meR.
      a)-estude, segundo os valores do parametro m,a variacao(crescente,derescente ou constante)da funcão f.
      b)-considerando o parametro m=4,determine referrente a função obtida o coeficiente angular,o ponto de interseção com o eixo-y,araiz,o dominio,a imagem e o seu grafico.

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  13. Débora,veja que para $m=-1$, os valores de x se anulam e teremos uma função constante $y=-2$. Para valores de $m<-1$, teremos uma função decrescente; para valores de $m>-1$, a função é crescente.

    SE quiser ver graficamente o comportamento da função, sugiro que entre no link abaixo e para variar a função, coloque números como $-1$, $-2$, $0$, $1$, $2$, antes do parênteses $(x-1)$:

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+-2%28x-1%29%2Bx-3

    Para $m=4$, teremos a equação $f(x)=5x-7$.
    O ponto de intersecção com o eixo dos $y$ é o termo independente, que é o $-7$;
    O gráfico, você pode ver no link abaixo:
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+5x-7

    Para obter a raiz é só igualar a zero e resolver a equação:
    $5x-7=0$
    $5x=7$
    $x=\dfrac{7}{5}$
    $x=1,4$
    Lembrando que a raiz é onde a curva corta o eixo dos $x$.

    O coeficiente angular é a inclinação da reta e é representada pela letra $m$, que equivale a calcular a tangente:
    $m=\dfrac{y_b-y_a}{x_b-x_a}$
    $m=\dfrac{-7}{\dfrac{7}{5}}$
    $m=-7\cdot \dfrac{5}{7}$
    $m=-5$

    O domínio desta função é todo os Reais, $D=R$
    A imagem desta função é todo os Reais, $Im=R$

    Abraços.

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  14. SE X+a/x²>x-a/x²+1,para todo x diferente de 0,qual é a condição que a satisfaz?

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  15. considerando as funcoes f(x)=3x+3,g(x)=4-6x e h(x)=4x-1/2 definidas em r,responda;
    a)-para quais valores de x, tem-se h(x)< e igual f(x)< g (x).
    b)- para quais valores de x, tem-se [f(x)]a4 g(x) [h(x)]³> e igual 0.
    c)-para quais valores de x,tem-se f(x)/h(x)>-2g(x).

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  16. dada a função y=(2x²-9x-5)(x²-2x+2).determine:
    a)- os pontos de interseção do grafico da função com eixo das abscissas:
    b)-o conjunto dos valores de x para os quais y>e igual 0.

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  17. considere f:[0,4]-R cujo a lei de associação é f(x)=-x²+5x-1.determine:
    a)- os zeros, se existir, da função f e seu ponto de intersecção com o eixo y.
    b)-o ponto de vertice da parabola.
    c)- o dominio e imagem da função f.
    d)- o valor minimo e maximo assumido pela função f.
    e)- o eixo de simetria da função f.
    f)- construa o grafico da função f.

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  18. Débora, olha só: acho legal você tirar suas dúvidas aqui, mas não acho certo eu ficar resolvendo todas suas questões, pois assim, você vai se prejudicar. Sugiro que faça pesquisas de problemas análogos para que você possa entender e desenvolver melhor. Ok?

    Bons estudos!

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  19. Excelente Trabalho essa demonstração.Quero perguntar se você não tem algum material de Análise Real para sugerir.Ano passado você enviou um material de álgebra abstrata que foi fundamental na minha aprovação.Muito bom mesmo.Agora preciso desta ajuda novamente com Análise Real.Desde já agradeço.
    José Marcelino

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  20. Olá José Marcelino,

    Dê uma pesquisada neste link:

    http://www.matematicaufrb.com/search/label/An%C3%A1lise

    Tem alguns livros de Análise para download.

    Um abraço.

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  21. jessica malaquias03/10/12 14:18

    nossa vlw msm,me ajudou mta que eu estava de recuperação tirei notão,valw de verdade car
    jessica malaquuias

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  22. nao intendi nada

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  23. Alguem pode me ajudar? A lei seguinte representa o número de quilômetros de congestionamento, em função de hora em dia ( a partir das 12 horas), registrado em uma cidade. f(x) = - t² + 12t + 20 f(x) é número de quilômetros: t é a hora dada pela seguinte convenção: t = 0 corresponde às 12 horas t = 1 corresponde às 13 horas: te assim por diante, até t = 8(20 horas). a) Quantos quilômetros de congestionamento foram registrados às 14 horas? b) Em que horário o número de quilômetros de congestionamento é máximo? Qual é esse valor?

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  24. a)
    $f(x)=-t^2+12t+20$
    Para $t=2$ temos $14h$
    Logo:
    $f(2)=-2^2+12(2)+20$
    $f(2)=-4+24+20=40$
    Resposta: 40 km de congestionamento

    b)
    Dada a função $f(x)=-t^2+12t+20$, calculamos sua derivada: $f'(x)=-2t+12$. Para calcularmos o valor de máximo, igualamos a derivada igual a zero e isolamos o $t$, encontrando um valor de $t=6$, que equivale às 18h. Sendo assim, o horário de pico é às 18h. O tamanho do congestionamento é dado por:
    $f(6)=-6^2+12(6)+20$
    $f(6)=-36+72+20=56$
    Resposta: 56 km de congestionamento

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  25. Muito bom.me ajudou bastante no trabalho ..
    obg bjssss

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  26. Você sabe demonstrar que o ângulo de reflexão é igual ao de incidência não estou achando na internet nenhuma demonstração.

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  27. esse site e perfeito

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  28. eu aprendi muita coisa aki e minhas duvidas sumiram graças a este site.....

    thanks!!!!!'''

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    1. Obrigado pela visita e comentário. Volte sempre!

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  29. Bom dia amigo!!!

    Gostaria de saber, se pode me indicar algum site ou material ou livros que fale sobre função quadrática a rigor matemático.

    Desde já agradeço

    email: rodrigues.wedson@gmail.com

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  30. A um pequeno erro no inicio do texto, onde foi dito que Ym é maior ou igual a todo Y do D(f) , no caso seria Xm o maior elemento do domínio tal que Ym = f(Xm).

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  31. cara voce é um monstro de inteligencia
    parabens !!

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  32. Cara,obrigado,o Iezzi só tinha me confundido...Você tem algum post que explique o que o a,b e c fazem?

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  33. Good information. Lucky me I recently found
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    Respostas
    1. Thanks for your visit and comment! A big hug!

      Excluir
  34. Kleber,vc pode me ajudar na resolução deste problema?
    " Determine o valor de M na função real f(x)= 3x² - 2x+m para que o valor mínimo seja 5/3 ."
    Obrigada!

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  35. Olá Camila.

    Primeiro vamos lembrar que o ponto de mínimo é dado por:

    $\displaystyle y_m = - \frac{b^2-4ac}{4a}$

    Pela função, temos que $a=3$, $b=-2$, $c=m$ e $y_m=5/3$.

    Então aplicamos estes valores na fórmula de mínimo:

    $\displaystyle \frac{5}{3}=-\frac{4-12m}{12}$

    Simplificando, obtemos $m=2$

    Espero que tenha entendido.

    Um abraço.

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