Demonstração de número irracional

Um marco na História da Matemática foi a descoberta da existência dos números irracionais. Um número irracional é todo número que não pode ser escrito em forma de fração do tipo $\displaystyle \frac{p}{q}$, sendo $p \text{ e }q \ \in \ \mathbb{Z}$, $p$ e $q$ primos entre si e $q \neq 0$.

Para esta prova, vamos considerar o quadrado de lado 1 abaixo:

Pelo Teorema de Pitágoras, sua diagonal será $\sqrt{2}$:

$$d^2 = 1^2 + 1^2\\ \ \\ d^2 = 2\\ \ \\ d=\sqrt{2}$$

Demonstração pelo absurdo

Vamos supor que $\sqrt{2}$ possa ser expressa como um quociente entre dois inteiros:

$$\sqrt{2} = \frac{p}{q}\\ \ \\ q\ \sqrt{2} = p$$

Elevamos ambos os membros ai quadrado:

$$\left( q\ \sqrt{2}\ \right)^2 = p^2\\ \ \\ 2q^2 = p^2$$

Podemos concluir que $p$ é par, pois $p^2=2q^2$ e qualquer número multiplicado por $2$ será par. Logo, se $2q^2$ é par, então $p^2$ será par. Assim, se $p$ é par, podemos escrevê-lo como $p=2k$:

$$2q^2 = (2k)^2\\ \ \\ 2q^2=4k^2\\ \ \\ q^2=2k^2$$

Concluímos que $q$ é par, pois $q^2=2k^2$ e qualquer número multiplicado por 2 será par. Logo, se $2k^2$ é par, então $q^2$ será par.

Chegamos a uma contradição onde $p$ e $q$ são pares, não satisfazendo a condição de existência inicial $\displaystyle \frac{p}{q}$, sendo $p \text{ e }q \ \in \ \mathbb{Z}$, $p$ e $q$ primos entre si e $q \neq 0$

Concluímos então que $\sqrt{2}$ é irracional.

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