26 de ago de 2009

Demonstração de Número Irracional

Um marco na História da Matemática foi a descoberta da existência dos número irracionais. Um número irracional é todo número que não pode ser escrito em forma de fração do tipo:

clip_image002[4]

Para esta prova, vamos considerar o quadrado de lado 1 abaixo:

Raíz de dois 150

Pelo Teorema de Pitágoras, sua diagonal será  √2.

Demonstração pelo absurdo:

clip_image002[4]

clip_image002[6]

clip_image004

clip_image002

Daqui, concluímos que p é par, pois se p2 = 2q2, qualquer número multiplicado por 2 será par e logo, se 2q2 é par p2 será par. Então, se p é par, p = 2k.

clip_image002[14]

clip_image002[18]

clip_image004[10]

Daqui, concluímos que q é par, pois se q2 = 2 k2, qualquer número multiplicado por 2 será par e logo, se 2 k2 é par, q2 será par.

Caímos numa contradição onde p e q são pares, não satisfazendo a condição de existência inicial:

clip_image002

Concluímos então que √2 é irracional.


Veja mais:

Fração Geratriz de Dízima Periódica
Breve Cronologia de PI
Demonstração do Limite Fundamental Exponencial


9 comentários:

  1. (q*(2^1/2))^2 não seria igual a (q^2)*2?

    ResponderExcluir
  2. Olá Viictor. Sua afirmação está correta. Mas veja só: na verdade, na terceira linha da demonstração onde aparece (q*(2^1/2))^2 = p^2, lembre-se que estamos fazendo uma demonstração e queremos provar que este valor é igual a p^2. Seguindo o raciocínio da demosntração, vemos que cai numa contradição, o que nos mostra a irracionalidade de sqrt(2). Espero ter esclarecido sua dúvida.
    Um abraço.

    ResponderExcluir
  3. Estranho... Para mim essa demonstração não provou a irracionalidade do número, e sim que a "condição de existencia inicial" seja falha.
    Entretanto, se essa condicão inicial for falha, isso significaria que um número como sqrt(2) poderia ser escrito como 2k/2q (números pares)
    E dessa forma sqrt(2) seria igual k/q (constantes quaisquer).
    Qual seria a falha nesse raciocinio?

    ResponderExcluir
  4. Olá Victor, td blz?
    Bem, vamos por partes:

    1) A condição de existência da irracionalidade de um número é verdadeira para todo irracional x se este não puder ser ecrito sob forma de fração do tipo p/q, onde p e q pertence aos inteiros, p e q primos entre si e q diferente de zero (consultando qualquer livro que trate do assunto verá que todos apontam a mesma condição);

    2)O que é falha é a imposição no início da demonstraçõa pelo absurdo (e ainda bem!), pois sqrt(2) não pode ser escrita como p/q;

    3)A demonstração pelo absurdo nos levou a um ponto em que p e q são pares, contradizendo a condição de existência (1);

    4) Quando você diz: "...se esssa condição inicial for falha, isso significa que sqrt(2) pode ser escrito como 2k/2q...". Sua afirmação está errada, já que (3) nos leva a uma contradição;

    5) A falha que você questiona é que sqrt(2) NÃO pode ser escrito como 2k/2q, esclarecido em (3).

    Bem, espero ter esclarecido, ou talvez nãotenha conseguido me expressar aqui.

    Um abraço e obrigado por seu questionamento.

    Até +

    ResponderExcluir
  5. seu erro está em:

    "p² = 2*q²

    então p é par"

    você nao pode afirmar isso, só pode afirmar que p² é par, nao que p o é.

    ResponderExcluir
  6. Veja que estamos fazendo uma demonstração pelo absurdo.Quando chegamos à igualdade p² = 2q²,só podemos concluir que, se 2q² é par (pois qualquer número multiplicado por 2 é par), logo p² também é par (visto que qualquer número ímpar elevado ao quadrado é um número ímpar e então p é par) Lembre-se: é uma demonstração pelo absurdo e queremos cair numa contradição.

    ResponderExcluir
  7. Daniel - Física13/08/2010 18:36

    Essa confusão, talvez, tenha sido causada pela falta de destaque da condição inicial (de que p e q devem ser primos entre si).

    ResponderExcluir
  8. Pode ser Daniel, apesar de estar como condição para p e q (no segundo parágrafo). Mas essas discussão é boa!

    Mas veja: um número irracional não pode ser representado sobforma de uma fração. Após o desenvolvimento acima, caímos numa contradição onde p e q são pares, isso nos mostra que a condição dada para tentar provar pelo absurdo de que sqrt(2)= p/q é falsa, logo sqrt(2) é irracional.

    ResponderExcluir
  9. Nossa esse texto veio pra mim em uma ótima hora. Muito bem escrito, esclarecido. Parabéns, sério.
    Eu estou tendo aulas de G.A. e o meu prof não está facilitando nada minha vida, e estava procurando uma definição melhor para eu entender sobre os NÚMEROS IRRACIONAIS, com essa explicação simples porém clara e mais um material da internet, consegui compreender.

    Obrigado, professor. Um abraço

    ResponderExcluir

Por favor, leiam antes de comentar:

▪ Escreva um comentário apenas referente ao tema;

▪ Para demais, utilize o formulário de contato;

▪ Comentários ofensivos ou spans não serão publicados;

▪ Desde o dia 23/07/2013, todos os comentários passaram a ser moderados. Para maiores detalhes, veja a nota de moderação aqui;

▪ É possível escrever fórmulas em $\LaTeX$ nos comentários deste blog graças a um script da Mathjax. Para fórmulas inline ou alinhadas à esquerda, escreva a fórmula entre os símbolos de $\$$; Para fórmulas centralizadas, utilize o símbolo duplo $\$\$$.

Por exemplo, a^2 + b^2 = c^2 entre os símbolos de $\$\$$, gera:
$$a^2+b^2=c^2$$
▪ Para visualizar as fórmulas em $\LaTeX$ antes de publicá-las, acessem este link.

Seu comentário é o meu Salário!

Redes Sociais

Arquivo do Blog

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...