19 de jul de 2009

Fórmulas de Prostaférese

As Fórmulas de Prostaférese também são conhecidas como Fórmulas de Transformação em Produto.

Existem situações em que podemos obter o valor numérico de uma determinada expressão aplicando cálculos diretos. Outras vezes precisamos transforma-la, ou fatora-la para sua resolução.

Veremos agora algumas transformações de soma e diferença de funções trigonométricas em produto. Com isso, teremos recursos necessários para adaptar algumas fórmulas trigonométricas ao cálculo de logaritmos e realizar fatorações, que são úteis na resolução de equações trigonométricas.

Consideremos as Identidades Trigonométricas abaixo:

I – Seno da Soma de Arcos:

sen(a+b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a)

II – Seno da Diferença de Arcos:

sen(a-b) = sen(a) cos(b) – sen(b) cos(a)

III – Cosseno da Soma de Arcos:

cos(a+b) = cos(a) cos(b) – sen(a) sen(b)

IV – Cosseno da Diferença de Arcos:

cos(a-b) = cos(a) cos(b) + sen(a) sen(b)

Se combinarmos adequadamente essas identidades trigonométricas, obteremos as chamadas Fórmulas de Werner. Então, se fizermos: I + II, I – II, III + IV e III – IV

Obteremos:

I + II

sen(a+b) + sen(a-b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a) + sena(a) cos(b) – sen(b) cos(a)

sen(a+b) + sen(a-b) = 2 sen(a) cos(b)

I – II

sen(a+b) - sen(a-b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a) - sena(a) cos(b) – sen(b) cos(a)

sen(a+b) - sen(a-b) = 2 sen(b) cos(a)

III + IV

cos(a+b) + cos(a-b) = cos(a) cos(b) – sen(a) sen(b) + cos(a) cos(b) + sen(a) sen(b)

cos(a+b) + cos(a-b) = 2 cos(a) cos(b)

III – IV

cos(a+b) - cos(a-b) = cos(a) cos(b) – sen(a) sen(b) - cos(a) cos(b) + sen(a) sen(b)

cos(a+b) - cos(a-b) = -2 sen(a) sen(b)

 

Se fizermos uma mudança de variável nestas fórmulas de Werner, onde:

  • (a+b) = p
  • (a-b) = q

obtermos o sistema abaixo:

clip_image002

Resolução do sistema:

Somando membro a membro, obtemos:

clip_image002[4]

clip_image004

Substituindo o valor de a na primeira equação, temos:

clip_image002[6]

clip_image004[4]

clip_image006

clip_image008

Se substituirmos os valores de a e b nas Fórmulas de Werner, temos:

  • clip_image002[10]
  • clip_image004[9]

 

  • clip_image002[12]
  • clip_image004[11]

     

  • clip_image002[14]
  • clip_image004[13]

     

  • clip_image002[16]
  • clip_image004[15]

 

Que são as Fórmulas de Transformação em Produto, de soma e diferença de senos e cossenos, também conhecidas como Fórmulas de Prostaférese.

Das fórmulas de prostaférese, podemos deduzir as fórmulas em relação às tangentes:

  • clip_image002[18]

              clip_image004[17]

              clip_image006[4]

 

  • clip_image002[20]

             clip_image004[19]

             clip_image006[6]

 

Veja mais demonstrações aqui!

2 comentários:

  1. nooooos, eu relembrei meu cursinho turma especial ITA uahuahuahuaha
    Muito bom o post, estão de parabéns!!

    ResponderExcluir
  2. Olá, senhor Kebler! Gostaria de saber mais detalhado a utilização das manipulações matemáticas no ciclo trigonométrico, tais como: a adição,subtração, dobro e metade do arco e da transformação da soma ou subtração em produto. Tem como o senhor fazer uma breve explicação sobre quando,como e por que devo utilizá-las?

    ResponderExcluir

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▪ É possível escrever fórmulas em $\LaTeX$ nos comentários deste blog graças a um script da Mathjax. Para fórmulas inline ou alinhadas à esquerda, escreva a fórmula entre os símbolos de $\$$; Para fórmulas centralizadas, utilize o símbolo duplo $\$\$$.

Por exemplo, a^2 + b^2 = c^2 entre os símbolos de $\$\$$, gera:
$$a^2+b^2=c^2$$
▪ Para visualizar as fórmulas em $\LaTeX$ antes de publicá-las, acessem este link.

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