Fórmulas de Prostaférese

As Fórmulas de Prostaférese também são conhecidas como Fórmulas de Transformação em Produto.

Existem situações em que podemos obter o valor numérico de uma determinada expressão aplicando cálculos diretos. Outras vezes precisamos transformá-la ou fatorá-la para sua resolução.

Veremos algumas transformações de soma e diferença de funções trigonométricas em produto. Com isso, teremos recursos necessários para adaptar algumas fórmulas trigonométricas ao cálculo de logaritmos e realizar fatorações, que são úteis na resolução de equações trigonométricas.

Consideremos as Identidades Trigonométricas abaixo:

(1) Seno da Soma de Arcos:

$$\text{sen}(a+b) = \text{sen}(a)\ \cos(b)+\text{sen}(b)\ \cos(a)$$

(2) Seno da Diferença de Arcos:

$$\text{sen}(a-b) = \text{sen}(a)\ \cos(b)-\text{sen}(b)\ \cos(a)$$

(3) Cosseno da Soma de Arcos:

$$\cos(a+b) = \cos(a) \cos(b)-\text{sen}(a) \text{sen}(b)$$

(4) Cosseno da Diferença de Arcos:

$$\cos(a-b) = \cos(a) \cos(b)+\text{sen}(a) \text{sen}(b)$$

Se combinarmos adequadamente essas identidades trigonométricas, obteremos as chamadas Fórmulas de Werner. Fazemos as somas: $(1)+(2)$, $(1)-(2)$, $(3)+(4)$ e $(3)-(4)$, para obter:

$(1)+(2)$

$$\text{sen}(a+b)+\text{sen}(a-b) =\\ \ \\ = \text{sen}(a) \cos(b) + \text{sen}(b) \cos(a) + \text{sen}(a) \cos(b)-\text{sen}(b) \cos(a)\\ \ \\ = \text{sen}(a+b) + \text{sen}(a-b) = 2 \text{sen}(a) \cos(b)$$

$(1)-(2)$

$$\text{sen}(a+b)-\text{sen}(a-b) = \\ \ \\ = \text{sen}(a) \cos(b) + \text{sen}(b) \cos(a)-\text{sen}(a) \cos(b)\text{sen}(b) \cos(a)\\ \ \\ = \text{sen}(a+b)-\text{sen}(a-b) = 2 \text{sen}(b) \cos(a)$$

$(3)+(4)$

$$\cos(a+b) + \cos(a-b) =\\ \ \\ = \cos(a) \cos(b)-\text{sen}(a) \text{sen}(b) + \cos(a) \cos(b) + \text{sen}(a) \text{sen}(b)\\ \ \\ = \cos(a+b) + \cos(a-b) = 2 \cos(a) \cos(b)$$

$(3)-(4)$

$$\cos(a+b)-\cos(a-b) =\\ \ \\ = \cos(a) \cos(b)-\text{sen}(a) \text{sen}(b)-\cos(a) \cos(b) + \text{sen}(a) \text{sen}(b)\\ \ \\ = \cos(a+b)-\cos(a-b) = -2 \text{sen}(a) \text{sen}(b)$$

 

Se fizermos uma mudança de variável nestas fórmulas de Werner, onde:

• $(a+b) = p$
• $(a-b) = q$

obteremos o sistema:

$$\begin{cases} a+b=p\\ a-b=q \end{cases}$$

Para resolver o sistema, somamos membro a membro:

$$2a = P + q\\ \ \\ a = \frac{p+q}{2}$$

Substituindo o valor de $a$ na primeira equação, obtemos:

$$\frac{p+q}{2} + b = p\\ \ \\ b = p-\frac{p+q}{2}\\ \ \\ b = \frac{2p-p-q}{2}\\ \ \\ b = \frac{p-q}{2}$$

Se substituirmos os valores de $a$ e $b$ nas Formulas de Werner, temos:

Soma dos senos

$$\text{sen}(a+b)+\text{sen}(a-b) = 2\text{sen}(a)\cos(b)\\ \ \\ \text{sen}(p)+\text{sen}(q) = 2\text{sen}\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$$

Subtração dos senos

$$\text{sen}(a+b)-\text{sen}(a-b) = 2\cos(a)\text{sen}(b)\\ \ \\ \text{sen}(p)-\text{sen}(q) = 2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\text{sen}\left(\frac{p-q}{2}\right)$$

Soma dos cossenos

$$\cos(a+b) + \cos(a-b) = 2\cos(a)\cos(b)\\ \ \\ \cos(p)+\cos(q) = 2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right)$$

Subtração dos cossenos

$$\cos(a+b)-\cos(a-b) = -2\text{sen}(a)\text{sen}(b)\\ \ \\ \cos(p)-\cos(q) = -2\text{sen}\left(\frac{p+q}{2}\right) \text{sen}\left(\frac{p-q}{2}\right)$$

Estas são as Fórmulas de Transformação em Produto, de soma e diferença de senos e cossenos, também conhecidas como Fórmulas de Prostaférese.

Das Fórmulas de Prostaférese, podemos deduzir as fórmulas em relação às tangentes:

Soma das tangentes

$$\text{tg}(p)+\text{tg}(q) = \frac{\text{sen}(p)}{\cos(p)} + \frac{\text{sen}(q)}{\cos(q)}\\ \ \\ = \frac{\text{sen}(p)\cos(q) + \text{sen}(q)\cos(p)}{\cos(p)\cos(q)}\\ \ \\ = \frac{\text{sen}(p+q)}{\cos(p)\cos(q)}$$

Subtração das tangentes

$$\text{tg}(p)-\text{tg}(q) = \frac{\text{sen}(p)}{\cos(p)} - \frac{\text{sen}(q)}{\cos(q)}\\ \ \\ = \frac{\text{sen}(p)\cos(q) - \text{sen}(q)\cos(p)}{\cos(p)\cos(q)}\\ \ \\ = \frac{\text{sen}(p-q)}{\cos(p)\cos(q)}$$

Links para este artigo:

• http://bit.ly/prostaferese
  
• https://www.obaricentrodamente.com/2009/07/formulas-de-prostaferese.html
  

Veja mais:

• Demonstração dos ângulos notáveis
  
• Demonstração da relação trigonométrica fundamental
  
• Demonstração da 1ª Fórmula de De Moivre
  

Atualização:

• Artigo atualizado em 21/04/2021