Demonstração do Limite Fundamental Exponencial

O número e tem grande importância em diversos ramos das ciências, pois está presente em vários fenômenos naturais como por exemplo: crescimento populacional, crescimento de população de bactérias, datação por carbono, circuitos elétricos, entre outros.

Foi John Napier (1550-1617), matemático escocês, o responsável pelo desenvolvimento da teoria logarítmica utilizando o número e como base. O número e é irracional e vale aproximadamente:

$$\begin{equation*} e=2,7182818\cdots \end{equation*}$$

Devido à sua vasta aplicação, a função exponencial $f (x) = e^x$ é considerada uma das funções mais importantes da matemática.

Seja o limite exponencial:

$$\begin{equation} e = \lim_{u \rightarrow +\infty} \left(1+\frac{1}{u}\right)^u = \lim_{u \rightarrow -\infty} \left(1+\frac{1}{u}\right)^u \end{equation}$$

Vamos fazer uma mudança de variável, onde:

$$\begin{equation} \Delta x = \frac{1}{u} \rightarrow u= \frac{1}{\Delta x} \end{equation}$$
Logo, substituindo $(2)$ em $(1)$, obtemos:
$$\begin{equation} e = \lim_{u \rightarrow +\infty} \left(1+\Delta x\right)^{1/ \Delta x} \end{equation}$$

Vejam que $u \rightarrow +\infty$ quando $\Delta x \rightarrow 0^+$ e que $u \rightarrow -\infty$ quando $\Delta x \rightarrow 0^-$. Assim, as equações podem ser escritas como:

  $$\begin{equation*} e = \lim_{\Delta x \rightarrow 0^+} \left(1+\Delta x\right)^{1/ \Delta x} = e = \lim_{\Delta x \rightarrow 0^-} \left(1+\Delta x\right)^{1/ \Delta x} \end{equation*}$$
Ou simplesmente
$$\begin{equation} e = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left(1+\Delta x\right)^{1/ \Delta x} \end{equation}$$
Consideremos o fato que um número:
$$\begin{equation} b^k = e^{k \ln b} \end{equation}$$

Sendo válido para todos os valores reais de $k$ e sendo $b > 0$. (Veja seção de Funções Exponenciais e Logarítmicas com Bases Diferentes de e, Munem – Foulis, pág $445$). Assim

$$\begin{equation} \left(1+\Delta x\right)^{1/ \Delta x} = e^{(1/ \Delta x ) \ln (1+\Delta x)} =\exp \left[\frac{1}{\Delta x} \ln (1+\Delta x)\right] \end{equation}$$
A prova se dará quando:
$$\begin{equation} \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left[\frac{1}{\Delta x} \ln (1+\Delta x)\right] = 1 \end{equation}$$
Pois, então:
$$\begin{equation} \lim_{\Delta x \rightarrow 0} (1+\Delta x)^{1/\Delta x} = \exp \left\{\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left[\frac{1}{\Delta x} \ln (1+\Delta x)\right] \right\} = \\ =\exp 1 = e \end{equation}$$

virá como continuidade da função exponencial.

Podemos provar o limite dado em $(7)$. Para isso, façamos $f(x) = \ln(x)$ para $x>0$, de modo que:

$$\begin{equation*} f(1) = \ln (1) = 0 \:, \: f^{\prime} (x) = \frac{1}{x} \: \text{e} \: f^{\prime} (1) = 1 \end{equation*}$$
Assim:
$$\begin{equation} \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left[\frac{1}{\Delta x} \ln (1+\Delta x) \right] = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(1+\Delta x)}{\Delta x} = \\ = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(1+\Delta x) - f(1)}{\Delta x} = f^\prime (1)=1 \end{equation}$$
Utilizando-se do teorema dado em $(1)$, podemos estabelecer:
$$\begin{equation} e^a = \lim_{h \rightarrow +\infty}\left(1+\frac{a}{h}\right)^h = \lim_{h \rightarrow-\infty} \left(1+\frac{a}{h}\right)^h \end{equation}$$
Quando $a>0$, façamos $u=h/a$, observando que $u \rightarrow +\infty$ quando $h \rightarrow +\infty$. Portanto:
$$\begin{equation} \lim_{h \rightarrow +\infty}\left(1+\frac{a}{h}\right)^h = \lim_{h \rightarrow +\infty}\left(1+\frac{a}{h}\right)^{\left(\frac{h}{a}\right)a}=\\ = \lim_{u\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{u}\right)^{ua} = \lim_{u \rightarrow +\infty}\left[\left(1+\frac{1}{u}\right)^u\right]^a \end{equation}$$
Façamos $\displaystyle v = \left(1+\frac{1}{u}\right)^u$. Então:
$$\begin{equation} \lim_{h\rightarrow +\infty} \left(1+\frac{a}{h}\right)^h = \lim_{u\rightarrow +\infty}v^a = \left(\lim_{u\rightarrow +\infty}\right)^a = e^a \end{equation}$$
Para a verificação, podemos usar noções de série e utilizaremos uma tabela de aproximações:

Então, se:

$$\begin{equation} \frac{1}{x}=u \Rightarrow x=\frac{1}{u} \end{equation}$$

Se $x \rightarrow \infty$, então $t \rightarrow 0$, logo:
$$\begin{equation} e=\lim_{u\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{u}\right)^u = \lim_{u\rightarrow -\infty} \left(1+\frac{1}{u}\right)^u \end{equation}$$

Referências:

• Cálculo com Geometria Analítica – Munem – Foulis

Veja mais:

•  Demonstração da Derivada da Função Exponencial
•  Demonstração da Identidade de Euler
•  Medidas de Tempos Muito Longos