19 de jul de 2009

Demonstração do Limite Fundamental Exponencial

O número e tem grande importância em diversos ramos das ciências, pois está presente em vários fenômenos naturais como por exemplo: crescimento populacional, crescimento de população de bactérias, datação por carbono, circuitos elétricos, entre outros.

Foi John Napier (1550-1617), matemático escocês, o responsável pelo desenvolvimento da teoria logarítmica utilizando o número e como base. O número e é irracional e vale aproximadamente:
\begin{equation*}
e=2,7182818\cdots
\end{equation*}
Devido à sua vasta aplicação, a função exponencial $f (x) = e^x$ é considerada uma das funções mais importantes da matemática.

Seja o limite exponencial:
\begin{equation}
e = \lim_{u \rightarrow +\infty} \left(1+\frac{1}{u}\right)^u = \lim_{u \rightarrow -\infty} \left(1+\frac{1}{u}\right)^u
\end{equation}
Vamos fazer uma mudança de variável, onde:
\begin{equation}
\Delta x = \frac{1}{u} \rightarrow u= \frac{1}{\Delta x}
\end{equation}
Logo, substituindo $(2)$ em $(1)$, obtemos:
\begin{equation}
e = \lim_{u \rightarrow +\infty} \left(1+\Delta x\right)^{1/ \Delta x}
\end{equation}
Vejam que $u \rightarrow +\infty$ quando $\Delta x \rightarrow 0^+$ e que $u \rightarrow -\infty$ quando $\Delta x \rightarrow 0^-$. Assim, as equações podem ser escritas como:
 \begin{equation*}
e = \lim_{\Delta x \rightarrow 0^+} \left(1+\Delta x\right)^{1/ \Delta x} = e = \lim_{\Delta x \rightarrow 0^-} \left(1+\Delta x\right)^{1/ \Delta x}
\end{equation*}
Ou simplesmente
\begin{equation}
e = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left(1+\Delta x\right)^{1/ \Delta x}
\end{equation}
Consideremos o fato que um número:
\begin{equation}
b^k = e^{k \ln b}
\end{equation}
Sendo válido para todos os valores reais de $k$ e sendo $b > 0$. (Veja seção de Funções Exponenciais e Logarítmicas com Bases Diferentes de e, Munem – Foulis, pág $445$). Assim
\begin{equation}
\left(1+\Delta x\right)^{1/ \Delta x} = e^{(1/ \Delta x ) \ln (1+\Delta x)} =\exp \left[\frac{1}{\Delta x} \ln (1+\Delta x)\right]
\end{equation}
A prova se dará quando:
\begin{equation}
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left[\frac{1}{\Delta x} \ln (1+\Delta x)\right] = 1
\end{equation}
Pois, então:
\begin{equation}
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} (1+\Delta x)^{1/\Delta x} = \exp \left\{\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left[\frac{1}{\Delta x} \ln (1+\Delta x)\right] \right\} = \\
=\exp 1 = e
\end{equation}
virá como continuidade da função exponencial.

Podemos provar o limite dado em $(7)$. Para isso, façamos $f(x) = \ln(x)$ para $x>0$, de modo que:
\begin{equation*}
f(1) = \ln (1) = 0 \:, \: f^{\prime} (x) = \frac{1}{x} \: \text{e} \: f^{\prime} (1) = 1
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation}
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left[\frac{1}{\Delta x} \ln (1+\Delta x) \right] = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(1+\Delta x)}{\Delta x} = \\
= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(1+\Delta x) - f(1)}{\Delta x} = f^\prime (1)=1
\end{equation}
Utilizando-se do teorema dado em $(1)$, podemos estabelecer:
\begin{equation}
e^a = \lim_{h \rightarrow +\infty}\left(1+\frac{a}{h}\right)^h = \lim_{h \rightarrow-\infty} \left(1+\frac{a}{h}\right)^h
\end{equation}
Quando $a>0$, façamos $u=h/a$, observando que $u \rightarrow +\infty$ quando $h \rightarrow +\infty$. Portanto:
\begin{equation}
\lim_{h \rightarrow +\infty}\left(1+\frac{a}{h}\right)^h = \lim_{h \rightarrow +\infty}\left(1+\frac{a}{h}\right)^{\left(\frac{h}{a}\right)a}=\\
= \lim_{u\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{u}\right)^{ua} = \lim_{u \rightarrow +\infty}\left[\left(1+\frac{1}{u}\right)^u\right]^a
\end{equation}
Façamos $\displaystyle v = \left(1+\frac{1}{u}\right)^u$. Então:
\begin{equation}
\lim_{h\rightarrow +\infty} \left(1+\frac{a}{h}\right)^h = \lim_{u\rightarrow +\infty}v^a = \left(\lim_{u\rightarrow +\infty}\right)^a = e^a
\end{equation}
Para a verificação, podemos usar noções de série e utilizaremos uma tabela de aproximações:
image Então, se:
\begin{equation}
\frac{1}{x}=u \Rightarrow x=\frac{1}{u}
\end{equation}
Se $x \rightarrow \infty$, então $t \rightarrow 0$, logo:
\begin{equation}
e=\lim_{u\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{u}\right)^u = \lim_{u\rightarrow -\infty} \left(1+\frac{1}{u}\right)^u
\end{equation}

Referências:

[1] Cálculo com Geometria Analítica – Munem – Foulis

Veja mais:

➊ Demonstração da Derivada da Função Exponencial
➋ Demonstração da Identidade de Euler
➌ Medidas de Tempos Muito Longos
 
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10 comentários:

  1. Porque quando x tende a infinito y tende a 0?
    Que teorema ou cálculo apoia essa afirmação?

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  2. Rodrigo, se temos a fração $\frac{1}{x}$, imagine $x=2$, logo $y=0,5$; Se $x=10$, então $y=0,1$; Se $x=1000$, então $y=0,001$. Veja que quanto maior é o número dado a $x$, mais próximo de zero se aproxima $y$. Então dizemos que quando $x$ tende ao infinito, $y$ tende a zero.
    Espero ter esclarecido.
    Abraços!

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  3. Ola, boa tarde.
    Me perdoe, mas eu não consegui entender o que você demonstrou aí. Não se pode presumir através de uma tabela que o limite tende para o número e. Aliás, como vc utilizou de uma tabela e não da lógica matemática, isso não pode ser considerado uma demonstração, e sim uma verificação que e = 2.178...
    Abraços

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  4. Excelente explicação, este artigo que me fez entender o limite fundamental exponencial. Perdoe as pessoas que fizeram os comentários injustos acima. Abraços

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  5. Como resolver a equação 2^x=x^2

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    Respostas
    1. Olá, para a raiz $x_1=2$, temos:$2^2=2^2$. Para demais raízes, veja este link:

      http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+2^x%3Dx^2

      Abraços.

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  6. Em um momento de sua demonstração, você utilizou o fato de que a derivada do f(x)=ln(x) é f'(x)=1/x, mas acontece que para se obter esse resultado pela definição de derivada utiliza-se o limite fundamental que você deseja demonstrar de forma que, no final das contas, a situação é semelhante à utilizar uma proposição A para provar que A é verdadeira.

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    Respostas
    1. Se partirmos da definição formal de logarítmo temos que ln(x) = | dx/x. Logo, pelo TFC, ln'(x) = 1/x.

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  7. Eu penso num impasse. Já vi onde dissesse que o logaritmo de Napier era de outra base. Que esses de base $$e$$ eram de Euler. E já vi o contrário também. No momento infelizmente não me lembro do que está no Boyer. Confusão!

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  8. Olá. ficou muito bom a demonstração do limite da função exponencial ser ela própria. Só faço uma ressalva em seu artigo. Tem uma incoerência de uma variável t sendo utilizada, e você não menciona ela em nenhum outro lugar do seu artigo. Onde t tende a 0. O correto é u tende a 0. Se x tende a infinito portanto u tende a 0. O resto esta bom. Abraços!

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