Equação de Torricelli

Evangelista Torricelli nasceu em 15 de outubro de 1608 em Faenza, Itália e morreu em 25 de outubro de 1647 em Florença, Itália.

A equação de Torricelli permite calcular a velocidade final de um corpo em movimento retilíneo uniformemente variado (com aceleração constante), sem a necessidade de conhecer o tempo gasto no deslocamento.

Partimos da função horária do movimento:
$$v = v_0 + at$$
onde $v$ é a velocidade final em $m/s$, $v_0$ é a velocidade inicial em $m/s$, $a$ é a aceleração em $m/s^2$ e $t$ é o tempo em $s$.

Isolando o tempo, obtemos:
$$t = \frac{v-v_0}{a} \tag{1}$$
Tomamos a função horária da posição:
$$x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2} at^2 \tag{2}$$
onde $x$ é a posição final em $m$, $x_0$ é a posição inicial em $m$, $v_0$ é a velocidade inicial em $m/s$, $a$ é a aceleração em $m/s^2$ e $t$ é o tempo em $s$.

Substituímos o tempo da relação $(1)$ em $(2)$, obtendo:
$$x = x_0+v_0 \left(\frac{v-v_0}{a}\right) + \frac{a}{2}\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2\\ \ \\ x-x_0 = \frac{v \cdot v_0-v_0^2}{a} + \frac{a}{2} \left( \frac{v^2}{a^2}-\frac{2v \cdot v_0}{a^2} + \frac{v_0^2}{a^2} \right)\\ \ \\ \Delta x = \frac{v \cdot v_0}{a} - \frac{v_0^2}{a} + \frac{v^2}{2a} - \frac{v\cdot v_0}{a} + \frac{v_0^2}{2a}$$
Multiplicamos a equação acima por $2a$:
$$2a \Delta x = 2a\frac{v \cdot v_0}{a} -2a \frac{v_0^2}{a} + 2a\frac{v^2}{2a} -2a \frac{v\cdot v_0}{a} + 2a\frac{v_0^2}{2a}\\ \ \\ 2a \Delta x = 2v\cdot v_0 - 2v_0^2 +v^2 - 2v\cdot v_0 + v_0^2\\ \ \\ 2a \Delta x = -2v_0^2 + v^2 + v_0^2\\ \ \\ 2a \Delta x = v^2 - v_0^2\\ \ \\ v^2 = v_0^2 + 2a \Delta x$$
onde $v$ é a velocidade final em $m/s$, $v_0$ é a velocidade inicial em $m/s$, $a$ é a aceleração em $m/s^2$ e $\Delta x$ é o deslocamento em $m$.

Veja mais:

• Transformação de km/h em m/s
  
• Galileu e a queda dos corpos
  
• Equação do movimento, queda livre e lançamento vertical