Cálculo do Centro de Massa do Binário Terra-Lua

O centro de massa de um sistema, também é chamado de baricentro, é um conceito importante em diversas áreas da ciência. Em astronomia, o centro de massa é o ponto por onde dois ou mais corpos orbitam um ao outro.

Podemos calcular o centro de massa do binário Terra-Lua utilizando alguns dados básicos sobre o sistema. Vamos considerar:

• Raio médio da Terra: $R_T = 6.378\ km$
• Raio da Lua: $R_L = 1.738\ km$
• Massa da Terra: $M_T = 5,98 \times 10^{24}\ kg$
• Massa da Lua: $M_L = 7,35 \times 10^{22}\ kg$
• Distância do centro da Terra ao centro da Lua: $d_{TL} = 384.405 \times 10^8\ m$

Leia também os artigos:

• Determinando a massa da Terra
• Calculando a distância entre a Terra e a Lua

Vamos encontrar uma proporção entre as massas da Lua e da Terra:

$$\frac{M_L}{M_T} = \frac{7,35 \times 10^{22}}{5,98 \times 10^{24}}\\ \ \\ \frac{M_L}{M_T} = 1,229 \times 10{-2}\\ \ \\ \frac{M_L}{M_T} = 0,001229\\ \ \\ M_L = 0,001229\ M_T$$

Isso quer dizer que a massa da Lua é cerca de $0,001229$ massas terrestres.

Como tomamos a Terra como referência, sua massa será considerada unitária e podemos calcular o centro de massa $C_M$ entre a Terra e a Lua através da expressão:

$$C_M = \frac{M_L \cdot d_{TL}}{M_T + M_L}\\ \ \\ C_M = \frac{0,01229 \cdot 3,84405 \times 10^8}{1 + 0,01229}\\ \ \\ C_M = \frac{4.724.337,45}{1,01229}\\ \ \\ C_M = 4.666.980\\ \ \\ C_M \approx 4.666\ km$$

O valor do $C_M$ encontrado acima é a distância a partir do centro da Terra. Assim, temos:

Como o raio médio da Terra é de $R_T = 6.378\ km$, o centro de massa $C_M$ está localizado a cerca de $1.712\ km$ abaixo da superfície terrestre. Esse é o eixo de órbita da Lua em torno da Terra e é por exte ponto que a Terra orbita o Sol.

Referências:

• Notas de aula

Veja mais:

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• O movimento de precessão da Terra
  
• O que é e como calcular o parsec
  
• A lei da gravitação universal e o campo gravitacional