Resolução da integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$

Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma.

Seja a integral:
$$\begin{equation} \int \cos(2x) \cos(x) dx \end{equation}$$
Temos um produto de cossenos e os cálculos são facilitados utilizando a seguinte identidade trigonométrica, que transforma um produto de cossenos em uma soma:
$$\begin{equation} \cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2} \left[ \cos(a-b) + \cos(a+b) \right] \end{equation}$$
Tomando esta identidade, fazemos $a=2x$ e $b=x$. Assim, a integral se transforma:
$$\begin{equation} I = \frac{1}{2}\int \left[ \cos(2x-x) + \cos(2x+x)\right ] dx\\ I = \frac{1}{2}\int \left[ \cos(x) + \cos(3x)\right]dx \end{equation}$$
Integrando termo a termo:
$$\begin{equation} I = \frac{1}{2} \int \cos(x) dx + \frac{1}{2} \int \cos(3x) dx \end{equation}$$
A integral de $\cos(x) = \text{sen}(x)$. Assim:
$$\begin{equation} I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{2} \int \cos(3x) dx \end{equation}$$
Para o integrando $\cos(3x)$, usamos a substituição $u=3x$. Assim, $du=3dx$ e $\displaystyle dx=\frac{1}{3} du$:
$$\begin{equation*} I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{2} \frac{1}{3} \int \cos(u) du\\ I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{6} \int \cos(u) du\\ I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{6} \text{sen}(u) + C\\ I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{6} \text{sen}(3x) + C \end{equation*}$$
ou
$$\begin{equation*} I = \frac{1}{2} \left[\text{sen}(x) + \frac{1}{3} \text{sen}(3x)\right] + C \end{equation*}$$
ou ainda:
$$\begin{equation} I = \frac{1}{6} \left[ 3~\text{sen}(x) + \text{sen}(3x) \right] + C \end{equation}$$

Exemplo $1$:

Vamos determinar a área sob a curva $\cos(x)\cos(2x)$ no intervalo $[0,\pi/2]$.

A integral definida fica:
$$\begin{equation*} I = \int_0^{\pi /2} \cos(x)\cos(2x)dx \end{equation*}$$
$$\begin{equation*} I = \left[\frac{1}{2} \text{sen}(x) +\frac{1}{6} \text{sen}(3x)\right]_0^{\pi/2}\\ I = \left[\frac{1}{2} \text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)+\frac{1}{6}\text{sen}\left(\frac{3\pi}{2}\right)\right] - \left[\frac{1}{2}\text{sen}(0)+\frac{1}{6}\text{sen}(0)\right]\\ I = \frac{1}{2}\cdot 1 + \frac{1}{6}\cdot(-1)\\ I = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \approx 0,33333 \end{equation*}$$

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