O Baricentro da Mente

Nomes de Matemáticos nas Ruas Parisienses

2012-02-19T18:49:00.001-02:00

Existem cerca de 100 ruas, praças, avenidas e parisienses com nomes de grandes matemáticos, claro que muitos deles são franceses.

Por exemplo, há uma região, próximo à Avenue Marceau, a cerca de 300 metros do Arco do Triunfo, onde os grandes matemáticos Newton, Galileu e Euler se reúnem.

[Rua Newton]

[Rua Euler]

[Rua Galileu]

Um fato interessante e até surpreendente é que não há uma rua em Paris com o nome do matemático Fourier. A rua em que ele nasceu em Auxerre, em sua homenagem, teve o nome alterado para após sua morte.

Selecionei algumas ruas e gerei algumas imagens com as placas das ruas, onde podemos ver um pouco da bela arquitetura da cidade.

[Cruzamento das Ruas Galileu e Kepler]

[Hotel Kepler]

[Rua Viéte]

[Rua Fermat]

[Rua Foucault]

[Rua Abel]

[Rua Lagrange]

[Rua Laplace]

O site Mairie de Paris conta a história de todos os nomes de ruas parisienses. Abaixo segue as ruas por ordem alfabética. Clicando na letra na letra M você poderá ver mais detalhes. Se quiser, utilize algum tradutor, como o Google tradutor para ler a página em português. Clicando na letra G você será direcionado para o Google Maps, mostrando a localidade de cada rua.

Ruas Parisienses com nomes de Matemáticos:

A
Rue Abel (12th Arrondissement) M G
Rue Ampère (17th Arrondissement) M G
Avenue Paul Appell (14th Arrondissement) M G
Boulevard Arago (13th Arrondissement) M G
Square Arago (13th Arrondissement) M G
Rue Antoine Arnauld (13th Arrondissement) M G
Square Antoine Arnauld (13th Arrondissement) M G

B
Rue Bernoulli (family!) ( 8th Arrondissement) M G
Rue Bezout (14th Arrondissement) M G
Rue Biot (17th Arrondissement) M G
Rue Borda ( 3rd Arrondissement) M G
Rue Émile Borel (17th Arrondissement) M G
Square Borel (17th Arrondissement)
Rue Charles Bossut (12th Arrondissement) M G
Rue de Broglie (13th Arrondissement) M G
Rue Buffon ( 5th Arrondissement) M G

C
Avenue Carnot (Lazare) (17th Arrondissement) M G
Boulevard Carnot (Lazare) (12th Arrondissement) M G
Villa Sadi Carnot (19th Arrondissement) M G
Rue Cassini (14th Arrondissement) M G
Rue Cauchy (15th Arrondissement) M G
Rue Michel Chasles (12th Arrondissement) M G
Rue Nicolas Chuquet (17th Arrondissement) M G
Rue Clairaut (17th Arrondissement) M G
Rue Clapeyron ( 8th Arrondissement) M G
Cité Condorcet ( 9th Arrondissement) M G
Rue Condorcet ( 9th Arrondissement) M G
Rue Coriolis ( 8th Arrondissement) M G
Rue Cournot (15th Arrondissement) M G

D
Rue d'Alembert (14th Arrondissement) M G
Rue Gaston Darboux (18th Arrondissement) M G
Rue Delambre (14th Arrondissement) M G
Square Delambre (14th Arrondissement) M G
Rue Deparcieux (14th Arrondissement) M G
Rue de Prony (17th Arrondissement) M G
Rue Desargues (11th Arrondissement) M G
Rue Descartes ( 5th Arrondissement) M G

E
Rue Esclangon (18th Arrondissement) M G
Rue Euler ( 8th Arrondissement) M G

F
Passage Fermat (14th Arrondissement) M G
Rue Fermat (14th Arrondissement) M G
Rue Foucault (16th Arrondissement) M G
Rue Francoeur (18th Arrondissement) M G
Rue Fresnel (16th Arrondissement) M G

G
Rue Galilée (Galileo) (16th Arrondissement) M G
Rue Évariste Galois (20th Arrondissement) M G
Rue Gassendi (14th Arrondissement) M G
Rue Sophie Germain (14th Arrondissement) M G

H
Rue Charles Hermite (18th Arrondissement) M G
Rue Huygens (14th Arrondissement) M G

K
Rue Kepler (17th Arrondissement) M G

L
Rue La Condamine (17th Arrondissement) M G
Rue Lagrange ( 5th Arrondissement) M G
Rue Gabriel Lamé (12th Arrondissement) M G
Rue Laplace ( 5th Arrondissement) M G
Rue Le Verrier ( 6th Arrondissement) M G
Passage Legendre (17th Arrondissement) M G
Rue Legendre (17th Arrondissement) M G
Rue Leibniz (18th Arrondissement) M G
Square Leibniz (18th Arrondissement) M G
Rue Léonard de Vinci (16th Arrondissement) M G
Rue Joseph Liouville (15th Arrondissement) M G

M
Rue Malebranche (5th Arrondissement) M G
Rue Malus ( 5th Arrondissement) M G
Place Monge ( 5th Arrondissement) M G
Rue Monge ( 5th Arrondissement) M G

N
Rue Navier (17th Arrondissement) M G
Rue Newton (16th Arrondissement) M G

P
Place Paul Painlevé ( 5th Arrondissement) M G
Rue Papin ( 3rd Arrondissement) M G
Rue Pascal (5/13 Arrondissement) M G
Rue Henri Poincaré (20th Arrondissement) M G
Rue Poinsot (14th Arrondissement) M G
Rue Denis Poisson (17th Arrondissement) M G
Passage Poncelet (17th Arrondissement) M G
Rue Poncelet (17th Arrondissement) M G

R
Rue Roberval (17th Arrondissement) M G

S
Rue Serret (15th Arrondissement) M G

T
Rue Tisserand (15th Arrondissement) M G
Rue Torricelli (17th Arrondissement) M G

V
Rue Vernier (17th Arrondissement) M G
Rue Viète (17th Arrondissement) M G

Veja mais:

Períodos Matemáticos
O Grande Metrô das Ciências
Poema de Amor Matemático

Como Saber a Distância que um Raio Caiu?

2012-02-12T00:29:00.001-02:00

Para que uma onda sonora se propague é necessário que haja um meio material. Em comparação com a velocidade da luz, aproximadamente 300.000km/s, a velocidade do som é muito menor em qualquer meio considerado. Um exemplo dessa diferença entre a velocidade da luz e do som pode ser observado em uma tempestade, pois observamos primeiro a luz do relâmpago e um tempo depois ouvimos o ruído do trovão.

A velocidade de propagação do som é maior no meio sólido do que no líquido e maior no líquido do que no gasoso. A velocidade do ar a 20°C é de aproximadamente 340m/s; na água, 1.500m/s e no ferro é de 5.100m/s.

A velocidade de propagação das ondas sonoras varia de acordo com as características do meio, que depende de outros fatores, mas principalmente da temperatura. Por exemplo, os gases, por serem bastante compressíveis, a velocidade do som aumenta com a elevação da temperatura. A agitação molecular devido à elevação da temperatura facilita a propagação das ondas sonoras, causando um aumento na velocidade do som.

Durante um tempestade, partículas de gelo e gotículas de água atritam-se com as nuvens, produzindo duas camadas: uma com carga elétrica positiva e outra com carga elétrica negativa, onde uma ou outra pode ficar acima ou abaixo. Assim, as cargas elétricas acumulam-se nas nuvens até que condições para o escoamento entre duas camadas surjam.

Inicialmente, ocorre o escoamento entre duas camadas de uma mesma nuvem ou entre camadas de uma nuvem para a camada oposta de outra nuvem. Percebemos este escoamento como um clarão cortando o ar com trajetórias sinuosas e de ramificações irregulares. Esse fenômeno é chamado Relâmpago. Simultaneamente ocorre uma descarga elétrica que chamamos de Raio, em que a atmosfera se torna condutora de eletricidade.

A temperatura que um raio produz em sua trajetória é cerca de 5 vezes a temperatura do Sol, que, em sua superfície, é de aproximadamente 5.500°C. Logo, os raios podem produzir temperaturas de 20.000°C a 30.000°C, ocasionando um superaquecimento no ar seguido de uma expansão do ar e uma onda sonora que conhecemos como trovão. Desta forma, temos:

1) Raio: é o nome dado à descarga elétrica que ocorre entre dois pontos adquirindo uma diferença de potencial;
2) Relâmpago: é o nome dado à luz emitida pela ionização do ar durante a descarga elétrica;
3) Trovão: é o nome dado às ondas sonoras produzidas.

Para estimarmos a distância que um raio caiu de nós, precisamos saber o tempo gasto até que percebemos o trovão. Temos que cronometrar esse tempo, iniciando quando observamos a descarga elétrica. Esse tempo será expresso por t, em segundos quando. O tempo gasto pela observação do raio é desprezado, levando em conta somente a velocidade do som. Assim, temos que a velocidade do som no ar a 20°C é de aproximadamente 340/s.

Para calcularmos a distância que um raio caiu, utilizamos a fórmula que relaciona velocidade média em relação ao deslocamento em num tempo t. Assim:

Supondo que numa dessas tardes tempestuosas observamos um raio cortando o céu e iniciamos uma contagem de tempo gasto até que percebemos o trovão, encontrando 6s. Assim:

Desta forma, caso escutemos um trovão após 6s da visualização de um raio, a distância aproximada onde cairá será de 2.040m ou cerca de 2km.

Se você visualizar um relâmpago ao mesmo tempo em que ouvir o trovão, cuidado! Ele poderá estar caindo sobre você.

Referências:

[1] Física V3 Aula por Aula – Xavier & Benigno

Veja mais:

Prismas Ópticos
Calor Específico dos Sólidos
A Matemática da Câmara Fotográfica
As Limitações da Mecânica Newtoniana e a Teoria da Relatividade

O Teorema de Stewart

2012-02-10T07:43:00.001-02:00

O Teorema de Stewart relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo com o comprimento de uma ceviana, sendo aplicável a uma ceviana qualquer. Neste post, veremos como determinar a fórmula e provar o teorema.

Um pouco de história

Matthew Stewart nasceu no ano de 1717 em Rothesay, na parte inferior do Firth of Clyde, na Escócia, numa pequena ilha chamada Ilha Bute.

Educado em Rothesay Grammar School, entrou na Universidade de Glasgow em 1734, onde estudou com o filósofo Francis Hutcheson e o matemático Robert Simson, com quem estudou a geometria antiga.

A amizade entre Stewart e Simson foi em parte pela admiração mútua de Pappus de Alexandria, resultando comunicações curiosas em relação ao De Locis Planis, de Apolônio de Perga e o Porisms de Euclides, por longos anos. Estas correspondências sugerem que Stewart passou várias semanas em Glasgow, iniciando em 1713 como auxiliar de Simson na produção de seu Apollonii Locorum Planorum Libri II, publicado em 1749.

Aproximadamente nesta mesma época, seu pai, o Reverendo Dugald Stewart, então Ministro de Rothesay, persuadiu Matthew Stewart a entrar para o ministério, sendo aceito pelo Presbitério de Dunoon em maio de 1744, tornando-se ministro em Roseneath, Dumbartonshire, um ano depois.

Porém, antes de iniciar sua carreira no ministério, Stewart participou de palestras de Colin Maclaurin na Universidade de Edimburgo, durante as sessões de 1742 e 1743.

Com a morte de Maclaurin em 1746, sua cadeira ficou vaga e pouco mais tarde, Stewart deixou o ministério para tornar-se professor de matemática. A publicação de sua obra mais famosa: Some General Theoremes of Considerable Use in the Higher Parts os Mathematics, pode ter ajudado a garantir o posto.

Esse livro, estende algumas idéias de Simson e trás a conhecida Proposição II, que hoje é conhecida como o Teorema de Stewart, que relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo e o comprimento de uma ceviana dada.

Stewart também forneceu uma solução para o problema de Kepler, em 1756, usando métodos geométricos. Em 1761 descreveu o movimento dos planetas e a perturbação causada por um outro planeta. Em 1763 forneceu um suplemento sobre a distância entre o Sol e a Terra. Em 1772 sua saúde começou a deteriorar-se e faleceu em 23 de janeiro de 1785. Suas atividades como professor em Edimburgo foram assumidas por seu filho Dugald Stewart, que em breve tornara-se um proeminente filósofo escocês.

O Teorema de Stewart

O Teorema de Stewart relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo com o comprimento de uma ceviana, sendo aplicável a uma ceviana qualquer.

Recordando, ceviana é todo seguimento de reta que tem um das extremidades num vértice de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte ao lado oposto ao vértice.

Teorema: Seja um triângulo ABC qualquer, cujos lados medem a, b e c. Seja d uma ceviana e D o ponto pertencente à reta suporte. O teorema de Stewart afirma que:

Vamos fazer duas demonstrações deste teorema:

Demonstração 1: Considere o triângulo abaixo:

Do triângulo BCD, temos que:

E também:

Substituindo (2) em (1), obtemos:

Do triângulo ACD, temos que:

E também:

Substituindo (5) em (4), obtemos:

Podemos montar um sistema de equações utilizando as relações (3) e (6):

Agora, multiplicamos a primeira equação por m e a segunda equação por n, obtendo:

Somando as duas equações termo a termos, resulta:

No entanto, temos que:

Desta forma, substituímos (8) em (7) obtendo a demonstração do teorema:

Demonstração 2: Considere o triângulo abaixo:

Seja θ o ângulo formado pelos segmentos m e d e θ' o seu suplemento. Desta forma, temos que cos(θ) = – cos(θ'). Pela lei dos cossenos, temos que:

Multiplicamos a primeira equação por n e a segunda por m, podemos eliminar os termos que contém cos(θ):

Somando as equações membro a membro, obtemos:

No entanto, c = m + n. Logo:

Assim, conseguimos provar o Teorema de Stewart de duas maneiras elegantemente diferentes.

Exemplo: Vamos ver um exemplo clássico da aplicação do Teorema de Stewart: Sejam 3 circunferências tangentes duas a duas inscritas em uma quarta circunferências tangente às três primeiras. Calcular o raio x, conforme mostra a figura abaixo:

Do triângulo ABC, podemos construir as seguintes relações:

Aplicamos o Teorema de Stewart:

Que é o raio procurado.

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 – Geometria Plana – Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Stewart%27s_theorem
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Matthew_Stewart_%28mathematician%29
[4] http://www.gap-system.org/~history/Extras/Gibson_history_10.html

Veja mais:

O Teorema de Stevin
Teorema da Base Média de um Triângulo
Teorema de Pitágoras Segundo Euclides - Proposição I-47

O Teorema de Stevin

2012-02-02T13:33:00.001-02:00

Um pouco de história

Simon Stevin (1548 – 1620) nasceu em Burges, Flandres, atual Bélgica. Filho ilegítimo de ricos cidadãos flamengos iniciou sua carreira profissional como coletor de impostos. Depois dos vinte anos de idade viajou pela Noruega, Polônia e Prússia e, na volta, estabeleceu-se na atual Holanda

Em 1581 passou a estudar em Leiden e dois anos depois entrou para a universidade local na qual, após formar-se, passou a ensinar matemática. Em 1585 publicou De thiende, de grande influência na engenharia, na prática comercial e na notação matemática e de grande popularidade na época.

Em 1593 foi nomeado para um importante posto no exército holandês, por ordem do príncipe De Nassau, o que contribuiu para se tornar um grande engenheiro militar e assumir outros postos importantes no governo até sua morte, em Haia.

Sua contribuição científica ao desenvolvimento da mecânica também foi notável. Na sua obra destacam-se três importantes publicações, todas editadas em Leiden e em holandês, em 1586: Princípios de estática, uma espécie de continuação dos trabalhos de Arquimedes (teoria da alavanca, centro de gravidade dos corpos, etc., e o teorema dos planos inclinados), Aplicações de estática e Princípios de hidrostática, uma importante contribuição ao estudo da hidrostática, entre outros assuntos, tratando sobre o deslocamento de corpos mergulhados em água e a explicação do paradoxo da hidrostática - a pressão de um líquido independe da forma do recipiente, depende apenas da altura da coluna líquida. Muitos consideram que ele fundou a ciência da hidrostática com este trabalho, mostrando que a pressão exercida por um líquido sobre uma dada superfície depende da altura do líquido e da área da superfície. Influenciado pelas teorias de Da Vinci, pesquisou o comportamento hidrostático das pressões, divulgando o princípio do paralelogramo das forças.

Ele foi também o primeiro a constatar que dois corpos de pesos diferentes, ao serem soltos ao mesmo tempo, chegam ao solo simultaneamente. (Essa experiência costuma ser atribuída a Galileu que, no entanto, apenas a analisou melhor.)

Stevin dedicou-se ainda a diversas outras áreas do conhecimento: calculou a declinação magnética (diferença angular entre o pólo norte magnético e o pólo norte geográfico) em diversos locais; demonstrou geometricamente a impossibilidade de funcionamento de um moto-perpétuo (dispositivo mecânico que se acreditava poder trabalhar infinitamente sem requerer energia); traduziu obras gregas; além disso, projetou o primeiro veículo com tração dianteira: um carro movido a vela.

Sua genialidade abrangia os mais variados campos do conhecimento, pois também escreveu pequenos tratados estabelecendo aplicações práticas de alguns princípios mecânicos, sobre acampamentos e fortificações militares, eclusas e barragens, a força dos ventos e moinhos de vento, astronomia copernicana, direitos civis e escalas musicais.

Não se conhece a data exata da sua morte. Consta apenas que se casou consideravelmente tarde, com 64 anos de idade, e que deixou quatro filhos.

A Teoria

Os corpos imersos em um líquido ficam sujeitos à pressão exercida por este líquido em todas as direções. Para calcular esta pressão, usamos o Teorema de Stevin. Vamos ver neste post como determinar a fórmula para este cálculo.

Primeiramente, vamos considerar a situação em que um líquido homogêneo encontra-se em equilíbrio num recipiente cilíndrico de altura h, com área da base igual a A e um volume V igual a:

Levando em consideração que o líquido se encontra em equilíbrio, a força trocada com o fundo do recipiente tem a mesma intensidade que p peso do líquido, portanto:

A pressão p exercida pelo líquido no fundo do recipiente será:

No entanto, F = P, que é o peso do líquido, dado por:

Assim, a relação (3) fica:

A densidade do líquido é definida pelo quociente entre sua massa e o seu volume, medindo o grau de concentração de massa em determinado volume. Assim, a densidade d é dada por:

Levando as relações (1) e (6) na relação (5), obtemos:

Podemos perceber que a pressão de um líquido sobre um corpo não depende das características do corpo.

Se tivermos então um recipiente cilíndrico totalmente cheio, devemos considerar que a pressão atmosférica p_atm age sobre a superfície livre do líquido em equilíbrio. Portanto, neste caso, a pressão p exercida num ponto qualquer da base do recipiente é determinada pela soma da pressão atmosférica com a pressão da coluna de líquido. Assim:

Se quisermos calcular a variação de pressão entre dois corpos M e N, situados no interior de um líquido homogêneo em equilíbrio, tomamos a diferença de profundidade entre eles como Δh.

Então, é possível deduzir que a diferença de pressão Δp entre esses corpos será determinada por:

Se os corpos M e N pertencerem ao mesmo plano horizontal, teremos:

Portanto, não há diferença de pressão entre dois corpos imersos em um líquido homogêneo e em equilíbrio que estejam no mesmo plano horizontal.

Vamos esboçar um gráfico onde temos a pressão p em função da profundidade h:

Podemos ver que, se a profundidade é zero, ou seja, o corpo encontra-se na superfície do líquido, a pressão sobre ele exercida será somente a pressão atmosférica.

Referências:

[1] Física V2 Aula por Aula – Xavier & Benigno
[2] http://www.geocities.ws/saladefisica9/biografias/stevin.html

Veja mais:

Equação de Clapeyron
O Teorema de Hardy-Weinberg
As Leis de Newton
Galileu e a Queda dos Corpos

Construção Geométrica da Espiral de Arquimedes com Régua e Compasso

2012-01-29T16:39:00.001-02:00

Os trabalhos de Arquimedes são obras-primas de exposição matemática. Além de exibirem grande originalidade, habilidade computacional e rigor nas demonstrações, são escritos numa linguagem altamente acabada e objetiva. Cerca de dez tratados de Arquimedes se preservaram até nossos dias e há vestígios de outros extraviados. Veja aqui a lista das obras de Arquimedes que, depois de muitas vicissitudes, chegaram à nós, seguindo a ordem da edição crítica de Heiberg.

Em seu tratado sobre as espirais, com vinte e oito proposições, dedica-se às propriedades da curva que hoje conhecemos como Espiral de Arquimedes e cuja equação polar é dada por:

Onde r é o raio e k é uma constante de proporcionalidade. Podemos definir a espiral como o lugar dos pontos P que se movem uniformemente ao longo de um raio que, por sua vez, gira uniformemente numa plano em torno da origem.

Vamos aqui construir a espiral de Arquimedes utilizando apenas régua e compasso.

O processo de construção consiste em dividir uma circunferência em n partes iguais, dividir o raio em n partes iguais e descrever circunferências concêntricas com raios iguais à distância da origem O às divisões do raio. Em seguida, marcar os pontos P_n nas intersecções dos raios r_n com as circunferências c_n. A curva que passa por esses pontos é a espiral de Arquimedes. Vejamos passo-a-passo:

1) Descreva uma circunferência e divida-a em n partes iguais. Vamos utiliza n = 16 por ser de fácil obtenção, somente traçando as mediatrizes:

2) Agora vamos dividir o raio em n = 16 partes iguais. Já vimos aqui como dividir um segmento de reta em n partes:

3) E tracemos as circunferências concêntricas passando pelos pontos da divisão do raio:

4) Marcamos os pontos P nas intersecções das circunferências c_n com os raios r_n e unimos esses pontos com segmentos de retas:

5) A curva que passa por esses pontos é a espiral de Arquimedes:

Referências:

[1] Introdução à História da Matemática – Howard Eves

Veja mais:

Construção Geométrica da Parábola com Régua e Compasso
Construção Geométrica da Hipérbole com Régua e Compasso
Construção Geométrica da Elipse com Régua e Compasso (Parte 1)
Construção Geométrica da Elipse com Régua e Compasso (Parte 2)

Centro de Gravidade de Áreas Planas

2012-01-25T17:13:00.001-02:00

A massa (m) de um corpo é a medida da quantidade de matéria nele existente; já o volume (V) é a medida do espaço por ele ocupado. Se a massa por unidade de volume for constante através de todo o corpo, este corpo é homogêneo ou tem massa específica constante.

Em Física é desejável considerar uma dada massa concentrada em um único ponto, denominado centro de gravidade. Se um corpo é homogêneo, esse ponto coincide com o centro geométrico. Por exemplo, o centro de gravidade de um círculo é o centro deste círculo. Isso é fácil de imaginar: posicione a ponta seca do compasso em uma folha de papel e descreva uma circunferência. Assim, o centro O onde foi posicionada a ponta seca do compasso é o centro de gravidade do círculo formado.

O centro de uma folha de papel retangular se encontra entre as duas faces, porém consideramos como existindo em uma das faces, na intersecção de suas diagonais. Assim, o centro de gravidade de uma folha de pequena espessura coincide com o centro geométrico da folha considerada como uma área plana.

O momento (M_L) de uma área plana em relação a um eixo L é o produto da área A pela distância de seu centro de gravidade ao eixo. O momento de uma área composta em relação a um eixo é a soma dos momentos das áreas componentes em relação ao eixo.

Para determinarmos o momento de uma área plana em relação a um eixo coordenado é útil fazer um esboço da área em questão. Assim podemos utilizar o conceito do retângulo elementar, que tem largura infinitesimal. Formamos, então, o produto da área do retângulo pela distância do seu centro de gravidade ao eixo. Em seguida, fazemos a soma para todos os retângulos, aplicando a integral definida.

Para uma área plana A, tendo seu centro de gravidade em e momentos denotados por M_x e M_y em relação aos eixos dos x e y serão dados por:

Exemplo 1: Para exemplificar e nos acostumar com o método, vamos determinar os momentos e as coordenadas do centro de gravidade da figura abaixo.

Com a geometria desta figura é simples, podemos dividi-las em vários retângulos, cujos centros de gravidade são denotados por: A, B. C e D.

Vejam que o retângulo superior (A) tem uma área A igual a 10 unidades de área (u.a.):

E o centro de gravidade será:

Vejam que a coordenada x é exatamente a metade do comprimento do retângulo e a coordenada y é a metade de sua altura. Mas para a altura, fazemos:

Para o retângulo (B), temos que:

Para o retângulo (C), temos que:

E para o retângulo (D), temos:

A área total da figura é:

Podemos agora calcular os momentos dos retângulos em relação ao eixo dos x, fazendo o produto entre a área e a distância ao eixo dos x:

Assim, o momento da área da figura em relação ao eixo dos x é a soma dos momentos dos retângulos individuais:

E analogamente, o momento da área da figura em relação ao eixo dos y é:

Logo, temos que:

Assim, o ponto de coordenadas igual a (67/34 ; 5) é o centro de gravidade da figura.

Exemplo 2: Achar os momentos em relação aos eixos coordenados da área plana limitada no 2º quadrante pela curva x = y² – 9.

Aqui vamos introduzir o conceito do retângulo elementar, que é um retângulo de largura infinitesimal. Considere o esboço do gráfico:

Observando o retângulo elementar da figura acima, podemos ver que sua área é igual a e seu centro de gravidade é dado por . Logo, seu momento em relação ao eixo dos x é . Então:

Da mesma forma podemos determinar o momento do retângulo elementar em relação ao eixo dos y, que é igual a . Então:

Exemplo 3: Achar o centro de gravidade da área limitada no primeiro quadrante pela parábola y = 4 – x ².

O centro de gravidade do retângulo elementar é (x ; 1/2y).

A área sob a curva no primeiro quadrante será dada pela soma dos retângulos elementares:

Os momentos M_x e M_y serão dados por:

Para o cálculo das coordenadas do centro de gravidade, fazemos:

Logo, as coordenadas do centro de gravidade da área limitada pela parábola no primeiro quadrante da curva são (3/4 ; 8/5).

Exemplo 4: Achar o centro de gravidade da área sob a curva y = 2sen (3x), desde x = 0 à x = π/3.

Fazendo uso do retângulo elementar, cujo centro de gravidade é igual a (x ; 1/2y), temos que:

Para o cálculo das coordenadas do centro de gravidade, fazemos:

Logo, as coordenadas do centro de gravidade da área limitada pela parábola no primeiro quadrante da curva são (π/6 ; π/4).

Referências:

[1] Cálculo Diferencial e Integral – Frank Ayres Jr. – McGraw-Hill

Veja mais:

O Cálculo Integral
Volume de uma Calota Esférica
Volume de um Segmento Esférico
Teste da Integral para Convergência de Séries

2012: Ano Bissexto

2012-01-22T10:19:00.001-02:00

Em 2012, o mês de fevereiro terá 29 dias. Para uma criança que venha a nascer em 29 de fevereiro de 2012, em 2020 terá 8 anos e esta poderá dizer para seu colegas na escola: “na verdade, eu só tenho 2 anos!”.

A regra para o ano bissexto é complicada mesmo: todo ano bissexto é divisível por 4, exceto aqueles terminados em 00. Contudo, se o ano em questão for terminado com 00, e seja divisível por 400, então será bissexto. Então, 2012 é bissexto, mas 2100, 2200, 2300 não serão. Já 2400 será.

A Terra completa uma rotação em 23 horas, 56 minutos e 4,1 segundos; a Lua dá uma volta em torno da Terra a cada 27 dias, 7 horas e 40 minutos; e a Terra completa sua translação em torno do Sol em 365 dias, 6 horas, 9 minutos e 9 segundos.

Estes ciclos não são múltiplos uns dos outros, pois não há um número inteiro de ciclos lunares num ano e não há um número inteiro de dias num ano solar, não podendo, assim, haver um calendário simples e perfeito.

Como os antigos não conheciam a teoria da relatividade, descobriram o assincronismo da Terra, da Lua e do Sol por observação, na tentativa e erro. Os egípcios tinham um ano de 365 dias e tiveram a ideia de colocar um dia extra a cada 4 anos. Júlio César obrigou todo o império romano a adotar a ideia egípcia: o calendário romano estava tão bagunçado que o ano de 46 a.C. precisou ter 80 dias a mais para corrigir os erros acumulados nos anos anteriores.

O Calendário Juliano foi adotado pela igreja, mas em 1422, os minutos de defasagem entre o calendário e o ciclo solar já tinham somado 10 dias. Em 1582, o papa Gregório XIII encomendou uma reforma e implementou a regra que vale até hoje:

Assim, para sincronizar um calendário de 365 dias com o ano solar, acrescente 1 dia a cada 4 anos, retire um dia a cada 100 anos e acrescente 1 dia a cada 400 anos.

Mas, talvez algum dia, regra precise ser reformulada, pois hoje, sabe-se que o ano solar não vale mais 365,2425 dias, mas sim 365,25636 dias. Desta forma, desde 1582 o calendário gregoriano já deveria ter escorregado quase 6 dias. Contudo, graças a teoria da relatividade, os astrônomos descobriram que a órbita da Terra muda um pouco todo ano. Por enquanto a humanidade precisará esperar até o ano de 9582 para saber se o calendário gregoriano precisará de um ajuste algum dia desses.

Referências:

[1] Revista Cálculo, Nº 12

Veja mais:

As Velocidades da Terra
As Limitações da Mecânica Newtoniana e a Teoria da Relatividade
Calendário Cósmico no blog Infravermelho

O Processo de Poisson

2012-01-19T07:48:00.001-02:00

Siméon Denis Poisson nasceu em Pithiviers, França, a 21 de Junho de 1781. Entrou na École Polytechnique em Paris em 1798, como primeiro colocado de sua turma, atraindo imediatamente a atenção dos professores da escola, deixando-o livre para escolher o que estudar. Teve como professores Laplace (1749 – 1827), Lagrange (1736 – 1813) e Fourier (1768 – 1830), tornando-se muito amigo destes.

Em 1800, menos de dois anos depois de seu ingresso, publicou duas memórias, uma sobre o método da eliminação de Étienne Bézout, e a outra sobre o número de integrais de uma equação em diferenças finitas. Esta última foi examinada por Sylvestre François Lacroix e Adrien-Marie Legendre, que recomendaram sua publicação no Recueil des savants étrangers, uma honra sem precedentes para um jovem de dezoito anos.

Seu pai foi um administrador público e queria que ele fosse médico, mas Poisson não tinha vocação para a medicina. Em 1802 começou a ensinar matemática na escola onde se formou e em 1809 foi nomeado professor de matemática pura na faculdade de ciências.

Poisson publicou trabalhos que ajudaram a fazer da eletricidade e do magnetismo um ramo da física matemática. Efetuou, também, importantes estudos na área da mecânica, da astronomia, da geometria diferencial e da teoria das probabilidades.

Na teoria das probabilidades deu a sua grande contribuição, descobrindo uma forma limitada da distribuição binomial, a qual mais tarde, em 1810, obteve o seu nome: a distribuição de Poisson. É considerada uma das mais importantes distribuições de Probabilidades. Esta distribuição descreve a probabilidade como um acontecimento casual, ocorrido num espaço ou intervalo de tempo sob as circunstâncias de a probabilidade de um acontecimento ocorrer ser muito pequena, mas o número de tentativas é muito grande, então o atual acontecimento ocorre algumas vezes.

Publicou cerca de quatrocentos trabalhos entre os quais em 1837 a obra Recherches sur la probabilite des jugements. Foi nomeado membro da Academia Francesa e obteve o título de Barão em 1825.

Poisson morreu a 25 de Abril de 1840, em Sceaux, França.

O Processo de Poisson

Muitos fenômenos podem ser vistos como uma grande quantidade de “acontecimentos” separados e distintos ocorrendo em relação a um “espaço de acontecimentos” contínuos. Se o “espaço de acontecimentos” fosse o tempo, os acontecimentos poderiam ser qualquer coisa, como desintegração de átomos individuais de urânio ou mesmo suicídios no metrô de São Paulo. Por outro lado, o “espaço” contínuo pode ser o volume de um suprimento de água do reservatório de uma cidade e os “acontecimentos” ou “eventos” podem ser a existência de bactérias coliformes dentro deste volume de água.

Um fenômeno como qualquer dos descritos acima é chamado de Processo de Poisson, desde que as seguintes condições sejam cumpridas:

1) Se a variável t representa o espaço contínuo, então a probabilidade de um evento em um intervalo pequeno Δt de t é proporcional a Δt;

2) A probabilidade de dois ou mais eventos em um mesmo intervalo pequeno Δt de t é desprezível;

3) Se Δt₁ e Δt₂ forem dois intervalos pequenos de t não-superpostos, então a ocorrência ou a não-ocorrência de um evento em Δt₁ não exercerão influência sobre a ocorrência ou não-ocorrência de um evento em Δt₂.

Sob tais condições, a probabilidade de ocorrerem k eventos em t unidades do espaço contínuo é dada pela fórmula de Poisson:

onde a constante λ é a média contínua do número de acontecimentos pode unidade do espaço.

Exemplo 1: Sabe-se que existem bactérias coliformes no reservatório de suprimento de água de uma cidade a uma taxa média de λ = 2 bactéria por centímetro cúbico de água. Considere que a presença da bactéria coliforme em uma amostra desta água é um Processo de Poisson, isto é, um acontecimento é a ocorrência de uma única bactéria e o espaço contínuo é o volume de água envolvido. Se uma amostra de 9 centímetro cúbicos de água é retirado do reservatório, qual é a probabilidade de a amostra conter exatamente 20 bactérias coliformes?

Temos aqui t =9 cm³, λ = 2 bactérias por cm³ em média e k = 20 bactérias. Logo, pela fórmula de Poisson:

Exemplo 2: Em um certo livro de cálculo existem 4.000 exercícios propostos. As respostas para todos esses exercícios estão no fim do livro. Entretanto, 1% das respostas dadas são incorretas. A aluna Sofia faz 10 exercícios e então compara suas respostas com aquelas dadas no fim do livro. Qual a probabilidade de que todas as 10 respostas do fim do livro estejam corretas?

Apesar do espaço (isto é, as respostas no fim do livro) não ser realmente contínuo, existirão tantas respostas (4.000 delas) que poderemos seguramente desprezar esta descontinuidade e usar a fórmula de Poisson. Aqui, um evento é uma resposta errada. Como 1% das 4.000 respostas estão erradas, existem 40 respostas incorretas e desta forma, λ = 40/4.000 = 0,01 erro por resposta. Para t = 10 respostas e k = 0 erros, a pela fórmula de Poisson temos:

Desta forma existe 90% de probabilidade de nenhum erro nas 10 respostas.

Suponha que tenha mos um processo de Poisson cujo espaço seja o tempo, de modo que em qualquer intervalo curto de tempo Δt podemos ou não observar um acontecimento; Seja λ o número médio contínuo de acontecimentos por unidade de intervalo de tempo. Pela fórmula de Poisson, a probabilidade de ocorrerem k acontecimentos em um intervalo de tempo t é dada por:

Comecemos a observar esse processo de Poisson e registrar o tempo passado T até o primeiro acontecimento. Denotemos a probabilidade de que o tempo de espera T até o primeiro acontecimento exceda t como:

Então, se tomarmos um exemplo, se P{T > 2} = 0,57, onde o tempo é medido em horas, em aproximadamente 57% dos casos, poderemos esperar pelo menos 2 horas antes que ocorra o primeiro evento. Analogamente, denotaremos por P {T ≤ t} a probabilidade de que o tempo de espera T não exceda t. Vejam que se P{T > 2} = 0,57, então P{T ≤ 2} = 0,43. Generalizando:

Dizer que o tempo de espera T até que ocorra o primeiro acontecimento excede t é equivalente a dizer que existem exatamente zero acontecimentos no intervalo de tempo t. Portanto, utilizando-se a fórmula de Poisson com k = 0, temos:

onde λ é o número médio de acontecimentos por unidade de tempo.

Exemplo 3: As falhas que ocorrem em um certo tipo de motor de jatos obedecem aproximadamente a um processo de Poisson tendo em média uma falha a cada 1000 horas de operação. Qual é a probabilidade de um desses motores funcionar 1500 horas sem uma falha?

Temos que λ = 1/1000 falhas por hora. Logo:

Exemplo 4: Sabe-se que erros de impressão ocorrem em um certo livro decido pelo Governo a uma taxa média de um por cada 100 páginas. Qual é a probabilidade de que o primeiro erro ocorra antes da página 76?

Neste caso, λ = 1/100 erros de impressão por página, logo:

Referências:

[1] Munem-Foulis – Cálculo V1
[2] http://pt.wikipedia.org/wiki/Simeon_Poisson
[3] http://www.alea.pt/html/nomesEdatas/swf/biografias.asp?art=14

Veja mais:

No Cerne do ENEM, o Teorema de Bayes
O Teorema de Hardy-Weinberg
Regressão Linear
Regressão Polinomial

Teste da Integral para Convergência de Séries

2012-01-13T07:54:00.001-02:00

O teorema conhecido como teste da integral ou teste de Leibniz para verificar convergências de séries faz uso da teoria de integrais impróprias.

Teorema 1: Se f (n) representa o termo geral de uma série numérica infinita de termos positivos, u₁ + u₂ + u₃ + ..., e se f (x) é decrescente para x > ξ, onde ξ é um número positivo, a série será convergente se a integral imprópria

convergir ou a série será divergente se ela divergir.

Demonstração:

Seja i um número inteiro positivo ≥ ξ. Pelo teorema do valor médio para integrais, existe um número tal que:

Como f é uma função decrescente, temos que:

Assim, substituindo (1) em (2), obtemos:

Se n for um número inteiro positivo ≥ ξ, teremos:

Se e somente se:

ou seja,

Assim, desta expressão segue que

Observe que o somatório nesta expressão é a sequência das somas parciais da série da, isto é:

de modo que:

Se a integral imprópria converge, isto é, se:

Então de (6), , e sendo uma sequência de termos positivos, então a sequência é crescente e, portanto convergente. Reciprocamente, se a série:

isto é, se existe, segue da segunda desigualdade acima que a integral imprópria converge.

Suponha agora que:

Da expressão:

segue que:

ou seja,

De forma análoga, se a série dada for divergente, então da desigualdade:

segue que a integral imprópria diverge.

Exemplo 1: Verificar a convergência da série:

O termo geral é igual a:

No intervalo x > 1, f (x) > 0 e é decrescente, pois é fácil mostrar que a derivada é negativa para x>1. Tomando ξ = 1:

A integral não existe e a série é divergente.

Exemplo 2: Verificar a convergência da série:

O termo geral desta sequência é:

No intervalo x > 1, f (x) > 0 e é decrescente, pois para x > 0. Tomando ξ = 1:

Desta forma, a integral existe e a série é convergente.

Exemplo 3: Verificar a convergência da série:

O termo geral desta sequência é:

No intervalo x > 1, f (x) > 0 e é decrescente. Tomando ξ = 1:

Podemos ter três possibilidades:

Se p > 1:

e a série converge.

Se p < 1:

e a série diverge.

Se p = 1, a série é a série harmônica:

Assim, o termo geral será:

No intervalo x > 1, f (x) > 0 e é decrescente. Tomando ξ = 1:

e a série diverge.

Exercício Proposto: Use o teste da integral e verifique se a série abaixo converge:

Sugestão: Use o fato que a função é decrescente para x > e, e, portanto, tende a zero para .

Referências:

[1] O Cálculo com Geometria Analítica – Louis Leithold
[2] Cálculo Diferencial e Integral – Frank Ayres Jr.

Veja mais:

O Cálculo Integral
Leibniz e as Diferenciais
Paradoxo no Cálculo: Integral Definida
Soma de Séries Através da Transformada de Laplace no blog Fatos Matemáticos
Calculando Somas Através da Derivada no blog Fatos Matemáticos
Uma Identidade entre Séries e Integrais no blog Fatos Matemáticos

Origens do Sistema Métrico Decimal

2012-01-07T11:39:00.001-02:00

Palavras como arrátel e côvado, que soam estranhas para nós hoje em dia, foram tão familiares a nossos antepassados como, guardadas as proporções, as palavras quilo e centímetro atualmente. Arrátel e côvado designavam, respectivamente, uma unidade de peso e uma unidade de comprimento do sistema de pesos e medidas brasileiro que vigorava antes da adoção do sistema métrico decimal. Aliás, esse sistema antigo deixava a desejar por vários motivos, entre os quais o fato de não obedecer a uma estruturação consistente e não adotar a escala decimal.

No mundo naquela época, antes do século XVIII, havia uma diversidade muito grande de unidades de pesos e medidas, o que dificultava o comércio entre as nações. Porém, já se pensava na possibilidade de um sistema único, universal, decimal. Não era fácil conseguir essa uniformização, mas no século XVIII, a Academia de Ciências da França nomeou uma comissão de grandes cientistas (como os matemáticos Laplace, Lagrange e Monge) para fazer um projeto com essa finalidade.

Dos trabalhos dessa comissão, encerrados em 1799, nasceu o sistema métrico decimal, hoje praticamente universalizado. O metro (a unidade de medida) foi definido como a décima milionésima parte da distância do equador ao Pólo Norte.

Utilizando o Google Earth, fiz uma medição entre as coordenadas (0,0) e (90,0) encontrando uma distância de 10.000.608m. Então, a décima milionésima parte seria:

Hoje é possível definir o metro de uma maneira mais precisa: O metro é o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 do segundo. Assim, a velocidade da luz no vácuo, c₀, é exatamente igual a 299 792 458 m/s.

O sistema métrico decimal só começou a se tornar realidade em 1837, quando seu uso passou a ser obrigatório na França.

[Protótipo em platina do metro usada de 1889 a 1960]

No Brasil, ele foi introduzido por uma lei em 26 de junho de 1862. Essa lei era bastante prudente, pois estabelecia um prazo de dez anos para que cessasse por completo o uso das antigas unidades de medida. Nesse meio tempo, se prepararia o terreno para a mudança, com a vinda dos novos padrões da França e a inclusão do ensino do sistema métrico decimal nas escolas. A partir de 1º de julho de 1873, o uso do sistema antigo implicaria multas e até prisão.

Ocorreu então, no Brasil, um fato que entrou para a história. Talvez porque a vigência do novo sistema de medidas tivesse coincidido com um aumento de impostos, algumas províncias do Nordeste tentaram resistir à sua adoção, e desencadearam uma insurreição que ficou conhecida como Revolta do Quebra-Quilos. Naquela ocasião, chefiava o Gabinete do Governo, o visconde de Rio Branco, um estadista de grande valor e que não era homem de se intimidar.

Entre os líderes dos quebra-quilos havia padres e senhores de engenho, o que, a princípio, acarretou uma certa adesão popular ao movimento. Mas, para enfrentar a firme reação do governo, os líderes da rebelião recrutaram bandoleiros e bandidos, o que acabou por enfraquecer o movimento. Pouco mais de um ano depois de iniciada a revolta, os insurretos tiveram de se render.

Diante das represálias do governo, algumas províncias do Nordeste baixaram leis locais para fazer com que o novo sistema coexistisse com o antigo. Porém, o governo do Império estava inflexível e demonstrou a inconstitucionalidade dessas leis.

Hoje nos parece um absurdo que uma mudança como essa, tão importante para o comércio internacional, pudesse ter acarretado derramamento de sangue. Mas, mesmo que não houvesse outros motivos, a tradição arraigada é uma barreira difícil de transpor. Por exemplo, nos Estados Unidos, o sistema métrico decimal ainda não conseguiu desbancar o sistema inglês de pesos e medidas, tradicional do país. Esse sistema inclui unidades como o pé (de comprimento) e a libra (de peso), e ainda está em pleno uso.

Referências:

[1] Matemática e Realidade: 6º ano – Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Antônio Machado
[2] http://images.math.cnrs.fr/Un-homme-a-la-mesure-du-metre-I.html

Veja mais:

As Sete Unidades Base SI
Definição de Notação Científica
Medidas de Tempo
Zero: O Número que Tentaram Proibir no blog Infravermelho

Juro

2012-01-05T14:06:00.001-02:00

A palavra juro, tão presente no mundo moderno, significa “preço do aluguel de um capital ou valor”. No entanto, essa palavra provém do advérbio latino jure, que significa “de direito”. Mas afinal, o que tem a ver uma coisa com a outra?

[O Cambista e sua Mulher (1514), de Quentin Matsys]

A cobrança de juro é uma prática muito antiga na história da humanidade, anterior à invenção da moeda, quando os valores eram representados por metais preciosos ou outros produtos. Na Suméria, por exemplo, cerca de 2.000 anos antes de Cristo, a taxa de juro podia variar de 20% a 30%, dependendo da forma de pagamento: em metais preciosos ou em produtos. Mais tarde, entre os babilônios, a taxa variava de 5,5% a 20% para o pagamento em metais preciosos e de 20% a 33,5% para pagamentos em produtos. É bom frisar, porém, que as taxas de juros não eram expressas em porcentagens, como hoje.

Na Grécia não havia limitação para as taxas de juros, que oscilavam entre 12% e 18%, sendo os juros pagos mensalmente. No tempo de Demóstenes (384 – 322 a.C.) uma taxa de 12% era considerada baixa.

Na Roma antiga, inicialmente, não havia nenhuma limitação à taxa de juro cobrada. Mas a Lei das Doze Tábuas (c. 445 a.C.) limitou-a a do capital, para cidadãos romanos. Somente no ano 100 a.C. essa taxa foi estendida aos estrangeiros. No período final do império romano foi adotada a prática de juros mensais. Inicialmente a taxa era de 1%, mas o imperador Justiniano (482 – 565 d.C.) fixou-a em 0,5% ao mês, derivando daí a taxa de 6% ao ano.

Na Idade Média, havia distinção entre empréstimo para produção – para o qual era admitida uma certa remuneração – e o empréstimo para o consumo – sobre o qual o juro era considerado, pela igreja, contrário ao interesse público. Devido a essa restrição, o Direito Romano estabeleceu uma regra interessante para a remuneração de empréstimos: o devedor não pagava juro se quitasse o empréstimo em dia, mas, se atrasasse, tinha de compensar o credor com base na diferença ou aquilo que está entre (em latim, “id quod interest”) a posição deste último com o que teria – e o que efetivamente tinha nessa data. É provável que, no século XIII, essa regra tenha sido disciplinada com a fixação de uma certa porcentagem acordada preliminarmente. É dessa expressão latina que derivam as palavras interes (espanhol), intérêt (francês) e interest (inglês), que significam juro.

Durante a Renascença, a cobrança de juro continuou oscilando entre a proibição e a necessidade de regulamentação legal. Na Alemanha, a oposição à cobrança de juros era grande. Na Inglaterra, em 1545, o Parlamento aprovou uma lei fixando em 10% o limite máximo da taxa de juro. Os protestos foram tantos que a lei foi revogada, sendo, porém, reeditada em 1571. No entanto, foi na Renascença, com o desenvolvimento do comércio que o juro passou a ser visto como um prêmio pelo risco envolvido no uso que o tomador faria do empréstimo e como um direito.

Em algumas aritméticas especializadas do século XV, para indicar 10%, encontram-se, por exemplo, expressões como: X p 100.

[1339 texto aritmétic em Rara Arithmetica pg. 437]

O p que aparece nessa expressão acima é a primeira letra de per (“por”). Encontram-se também as seguintes formas de per cento: per c^o e p c^o, auto-explicativas. No início do século XVII, essas formas transformaram-se em , mais tarde, o per foi abandonado, restando apenas .

[1684 texto aritmético em Rara Arithmetica pg. 441]

Esse símbolo é o antepassado mais próximo do símbolo que usamos atualmente: %.

Referências:

[1] Matemática e Realidade – 7º Ano – Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Antônio Machado.
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Percent_sign
[3] http://www.kingsacademy.com

Veja mais:

Alguma Etimologia
Juros Compostos pelos Babilônios
EDO's e Juros Continuamente Compostos no blog Fatos Matemáticos

Potências em Base Decimal, Base Binária e o byte

2012-01-04T07:36:00.000-02:00

As unidades de memória dos computadores são amplamente conhecidas hoje em dia. O uso de termos como megabytes ou gigabytes para se referir à capacidade de memória de dispositivos como HD, memórias ou Pendrives está muito comum no cotidiano do mundo da informática. Contudo, o significado do termo byte e de seus múltiplos pode causar muitas confusões.

Na Ciência da Computação, o byte é a unidade de armazenamento de memória no computador. Um byte é constituído por 8 bits. O bit (binary digit, ou dígito binário) é a menor unidade lógica de armazenamento de informação em um computador. O valor de um bit é determinado pelo estado de um dispositivo eletrônico interno do computador, chamado capacitor. Capacitor é um dispositivo eletrônico capaz de armazenar energia em um campo elétrico. Ele pode ser usado para representar informação de forma binária, podendo assumir somente dois valores: 0 (quando está desligado ou descarregado) e 1 (quando está ligado ou carregado). Por esta razão, as informações em um computador estão codificadas em uma base de numeração binária, e não decimal.

Há duas décadas, a memória dos computadores pessoais raramente ultrapassava algumas dezenas de quilobytes (KB). Alguns estudiosos notaram que o termo quilobyte tinha duas interpretações distintas. Segundo o S.I. (Sistema Internacional de Medidas), o prefixo quilo (k) corresponde a 1.000 unidades. Assim, um quilobyte (1 KB), segundo o S.I. corresponderia a 1.000 ou 10³ bytes. Por outro lado, tomando-se como referência a base binária de armazenamento de informação no computador, um quilobyte corresponderia a 2¹⁰ bytes. A diferença relativa entre as duas interpretações para o valor de um quilobyte era pequena (2,4%) e não ocasionaria maiores problemas na época.

Contudo, com a rápida ampliação da capacidade de memória dos computadores, novas unidades de medidas tiveram que ser adotadas, tais como megabytes, o gigabyte e o terabyte. A diferença relativa entre o sistema binário e o Sistema Internacional aumentou, gerando uma discrepância significativa no valor dessas unidades. Um gigabyte, no S.I. corresponde a 1.000.000.000 ou 10⁹ bytes. No sistema binário, um gigabyte corresponde a 2³⁰ bytes, ou 1.073.741.824 bytes, um número 7,4% maior que o seu correspondente no S.I.. No caso do terabyte, essa diferença chega a aproximadamente 10%.

Nos dias de hoje, há muita confusão sobre o real significado desses termos. Muitos fabricantes de memória adotam a base decimal na configuração de suas memórias devido à facilidade de compreensão por parte do usuário. Contudo, a maioria dos sistemas operacionais adota o sistema binário, o que gera uma discrepância entre a capacidade de memória declarada pelo fabricante e as medidas registradas nos sistemas operacionais.

O Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM), um dos órgãos responsáveis pela regulação do S.I., declara que os prefixos do Sistema Internacional de Medidas referem-se exclusivamente às potências de dez, e não devem ser usados para representar bases binárias, como no caso do quilobyte. Em 2005, a Comissão Eletrotécnica Internacional (IEC) criou um sistema de unidades específicas para o uso no campo das tecnologias de informação e processamento de dados, tendo como base o sistema binário. Foram definidos novos prefixos para designar os múltiplos das unidades de medida relacionadas à memória dos computadores. Nesse novo sistema, 2²⁰ bytes passam a ser designados como mebibyte, e não mais como megabyte, que representam 10⁶bytes no S.I.. O prefixo mega foi substituído por mebi, em que bi é a abreviação de binário.

Na tabela a seguir é possível comparar as unidades do sistema decimal (S.I.) com os do sistema binário.

Uma informação pode ser codificada a partir de uma combinação de bits. A tabela logo abaixo mostra a codificação dos algarismos de 0 a 7 por meio da combinação de três bits. Na primeira coluna da tabela estão representados os estados dos capacitores da seguinte forma: 0 para desligado e 1 para ligado. A segunda coluna representa o número binário em relação às configurações dos capacitores, que obedecerá o mesmo padrão. Por se tratar de três bits, o número binário. Na terceira coluna encontra-se o número correspondente no sistema decimal associado à configuração dos capacitores e ao número binário.

Utilizando 3 bits, foi possível armazenar 8 informações diferentes. No exemplo da tabela, foram representados os oito números de 0 a 7. O número 5, por exemplo, foi representado pelo número 101, enquanto o número 7 foi representado pelo número 111. Utilizando apenas os algarismos 0 e 1, e as três casas, não é possível representar nenhuma outra informação. Para representar mais números, seriam necessários mais bits.

Se cada bit só pode assumir dois valores, o número total de informações que podem ser armazenados com 3 bits é dado por:

Portanto, com 4 bits pode-se armazenar 2⁴ ou 16 informações. Com 5 bits, 2⁵ ou 32 informações e assim por diante. Com n bits é possível armazenar 2ⁿ informações.

A mesma situação pode ser descrita aplicando-se um método denominado diagrama de árvore.

Esse tipo de diagrama é um modelo representativo de raciocínio multiplicativo aplicado em várias situações que envolvem contagens, como por exemplo, de quantos modos diferentes podemos vestir uma camiseta e uma calça dispondo, para isso, de 3 camisetas e 2 calças diferentes.

No S.I., os prefixos quilo, mega e giga expressam diferentes potências de 10. Assim, um quilobyte (KB) equivale a 10³ bytes, um megabyte (MB) a 10⁶bytes e assim por diante. Com base no S.I., podemos fazer algumas transformações para exercitar o uso das potências de 10:

1) Transformar 10 megabytes em bytes:

2) Transformar 1 gigabyte em quilobytes:

3) Transformar 100 quilobytes em gigabytes:

4) Transformar 20 terabytes em megabytes:

Já para o sistema binário, os prefixos usado expressam potências de 2. Assim, 1 quibibyte (KiB) equivale a 2¹⁰ bytes; 1 mebibyte (MiB) a 2²⁰ bytes; 1 gibibyte (GiB) a 2³⁰ bytes e assim por diante. Vamos fazer algumas transformações para exercitar o uso das potências de 2:

5) Transformar 2 mebibytes em quibibytes:

6) Transformar 16 gibibytes em mebibytes:

7) Transformar 10 teribytes em bytes:

8) Transformar 32 quibibytes em gibibytes:

A capacidade de armazenamento de mídias como um CD-ROM está baseada no sistema binário, apesar de ser expressa com os prefixos no sistema decimal. Por exemplo: um CD-ROM de 700MB (megabytes) tem uma capacidade real de 700 MiB (mebibytes). Diferentemente, a capacidade real dos DVDs é calculada com potências de 10, ou seja, um DVD de 4,7 GB (gigabytes) tem efetivamente uma capacidade de armazenamento de 4,7 gigabytes. Então, qual a capacidade real em megabytes de um CD-ROM de 700 MiB? Transformamos 700 mebibytes em megabytes:

Portanto, a capacidade efetiva de um CD-ROM é de 734 MB.

Para sabermos qual é a capacidade real em gibibytes (GiB) de um DVD de 4,7 GB, basta transformarmos 4,7 gigabytes em gibibytes, assim:

Portanto, a capacidade, em base binária, de uma mídia de DVD é de 4,4 GiB (gibibytes).

Referências:

[1] Caderno do Professor – Matemática: Ensino Fundamental 7ª Série 1º Bimestre – Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, 2008
[2] http://pt.wikipedia.org/wiki/Bits
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/International_Electrotechnical_Commission

Veja mais:

A Computação e o Sonho de Babbage
A História do Computador e Alguns Matemáticos que Contribuíram para o seu Desenvolvimento
Definição de Notação Científica
Correção de Erros no blog Nerdyard
http://www.hardware.com.br/guias/hds/gigabytes-gibibytes.html

O Teorema de Hardy-Weinberg

2011-12-28T18:33:00.001-02:00

Existem vários fatores evolutivos responsáveis por alterações nas frequências gênicas da população. Os principais fatores considerados pela teoria sintética da evolução são: mutação, permutação, migrações, seleção natural e deriva genética.

[Hardy & Weinberg]

Vamos primeiramente aprender a calcular as frequências gênicas e genotípicas das populações e depois analisar uma das maneiras pelas quais ocorre o processo de especiação.

A composição genética de uma população pode ser conhecida calculando-se as frequências de genes e as frequências de genótipos nessa população.

Vamos determinar como exemplo, a frequência gênica e a genotípica de uma população que apresenta as seguintes características:

A frequência dos alelos A ou a nessa população pode ser calculada assim:

A frequência do alelo A é:

O número total de alelos na população para esse lócus é de 24.000, pois são 12.000 indivíduos diplóides, cada um com dois alelos para o lócus em questão:

Para calcular a frequência de a, podemos proceder da mesma forma ou utilizar a fórmula que estabelece a relação entre os alelos:

Aplicando os valores na fórmula 1, obtemos:

Nessa hipotética população, as frequências dos alelos A e a são, portanto, respectivamente iguais a:

A frequência genotípica nesse caso pode ser calculada do seguinte modo:

As frequências do genótipos AA, Aa e aa nessa população são, respectivamente:

Neste exemplo, o número de indivíduos e a distribuição dos genótipos para determinado par de alelos são conhecidas. A partir dessa população, ou de qualquer outra, pode-se estimar a frequência gênica e a genotípica da geração seguinte com base no teorema de Hardy-Weinberg.

Levando em conta a genética das populações, considera-se que uma determinada população está em equilíbrio quando seu estoque gênico (pool) permanece inalterado ao longo das gerações. Por outro lado, uma das populações encontra-se em evolução quando seu pool gênico vai se modificando através das gerações.

A existência ou não de alterações no pool gênico de uma população pode ser constatada por meio de métodos matemáticos que permitem determinar as frequências gênicas que ocorrem nessa população.

Em 1908, Godfrey Harold Hardy (1877 – 1947), matemático inglês, e Wilhelm Weinberg (1862 – 1937), físico alemão, descobriram, independentemente, O Princípio da Constância da Frequência Gênica e Genotípica para uma população em equilíbrio. O teorema formulado pode ser enunciado assim:

Teorema: Em uma população infinitamente grande, em que os cruzamentos ocorrem ao acaso e sobre a qual não há atuação de fatores evolutivos, as frequências gênicas e genotípicas permanecem constantes ao longo das gerações.

Esse teorema também é conhecido como Equilíbrio de Hardy-Weinberg, somente é válido para populações em equilíbrio quando estas:

1) Abrigarem um número de indivíduos infinitamente grandes. Isso quer dizer que o número de indivíduos da população seja grande o suficiente, onde os eventuais erros de amostragem no processo de levantamento das frequências gênicas ou genotípicas não tiverem significado estatístico;

2) Forem panmíticas (panmítica: pan=todos; mítica=misturar), isto é, seus integrantes se cruzam livremente, ao acaso, e sem preferências sexuais;

3) Estiverem isentas de fatores evolutivos, como mutação, seleção natural e migrações, livres de qualquer fator que promova alteração no pool gênico.

A importância do teorema de Hardy-Weinberg para as populações naturais está no fato de ele estabelecer um modelo para o comportamento dos genes. Assim, é possível estimar frequências gênicas e genotípicas ao longo das gerações e compará-las com as obtidas na prática.

Se os valores observados forem significativamente diferentes dos valores esperados, pode-se concluir que fatores evolutivos estão atuando sobre esta população e que ela está evoluindo. Se os valores não diferirem significativamente, pode-se concluir que a população está em equilíbrio e, portanto, não está evoluindo.

Vamos considerar um gene A, de frequência p; e seu alelo recessivo (a), de frequência q. Na população considerada:

Vamos supor que esta população abrigue indivíduos AA (formadores de gametas A), aa (formadores de gametas a) e Aa (formadores de gametas A e a). Podemos concluir que, para surgir um indivíduo de genótipo AA, é preciso que o gameta masculino seja A e o gameta feminino seja A. Lembrando que a frequência do gene A( f_(A)) = p, temos:

Da mesma forma, o surgimento de indivíduos de genótipo aa implica a existência de um gameta masculino a e outro feminino a. Assim, lembrando que f_(a) = q, temos:

Para o surgimento de indivíduos Aa, entretanto, pode-se ter um gameta masculino A e outro feminino a vice-versa. Logo, existem duas possibilidades para a ocorrência de indivíduos Aa. Assim, temos:

Note que:

Então, podemos considerar que:

Nessa representação, p é a frequência de um alelo e q é a frequência do outro alelo. Nesta fórmula, p² e q² representam as frequências dos homozigotos para um e outro alelo, 2pq representa a frequência dos heterozigotos.

Exemplo 1: Uma população tem as seguintes frequências gênicas:

p = frequência do alelo B = 0,9. Portanto, a frequência esperada de B e B (BB) é p² = 0,81;
q = frequência do alelo b = 0,1. Portanto, a frequência esperada de b e b (bb) é q² = 0,01;
Os heterozigotos correspondem a B e b ou b e B, sua frequência na população é dada por 2pq = 0,18.

Assim:

Se a população estiver em equilíbrio, a frequência dos alelos e dos genótipos se manterá constante ao longo das gerações. Se, no entanto, verificarmos que os valores obtidos na prática para os genótipos são significativamente diferentes dos esperados, a população não se encontra em equilíbrio genético e, portanto, está evoluindo.

Exemplo 2: Numa dada população humana em equilíbrio, determinou-se que a frequência de indivíduos Rh ^– era de 16%. A partir dessa informação, determine:

a) A frequência do gene r;

b) A frequência do gene R

c) A frequência dos indivíduos Rh ⁺ homozigotos (RR) e heterozigotos (Rr).

Resolução:

a) Sabendo que os indivíduos Rh ^–exibem genótipo RR, temos que:

Logo, a frequência do gene r (f_(r)):

b) Como q = f _(r) = 0,4, temos que a frequência do gene R (f_(R)) é dada por:

c) Sabendo que q = 0,4 e p = 0,6, a frequência dos indivíduos RR será:

Da mesma maneira, a frequência dos indivíduos Rr, será:

Observe que:

O Teorema de Hardy-Weinberg não se aplica com exatidão plena a populações naturais que estão sujeitas, por exemplo, a efeitos da seleção natural, de mutações e até mesmo de uniões sexuais até certo ponto preferenciais. Mas como modelo é importante, pois facilita a pesquisa da composição de uma população em termos de frequência gênica; a investigação dos efeitos da seleção natural sobre a composição genética de uma população; a determinação de genótipos, mesmo quando não são reconhecidos fenotipicamente.

As populações humanas estão evoluindo? Como exemplo, podemos analisar nos últimos anos a taxa do gene para a hemofilia. Estes têm aumentado muito nas populações humanas. Isso é fácil de entender: os hemofílicos, no passado, frequentemente não chegavam à idade de reprodução, já que para eles qualquer ferimento maior poderia ser fatal.

Hoje, porém, os hemofílicos recebem o fator VIII, retirado do sangue de pessoas normais, que favorece a coagulação. Assim, a probabilidade de sobrevivência dos hemofílicos aumentou muito; também se elevaram as chances de constituírem família, transmitindo seus genes para os descendentes.

Nesse caso, os avanços da medicina modificaram a atuação da seleção natural, fator que, no passado, mantinha o gene para a hemofilia em taxa baixa.

Referências:

[1] Biologia Volume Único – César e Sezar
[2] Biologia Volume Único – Sônia Lopes e Sergio Rosso
[3] Biologia Volume 3 – Genética, Evolução e Ecologia – Wilson Roberto Paulino

Veja mais:

No Cerne do ENEM, o Teorema de Bayes
EDO: Naftalina e o Tempo de Sublimação
A Equação de Siple e a Perda de Calorias

Meus Votos de Boas Festas

2011-12-24T20:36:00.001-02:00

Desejo a todos os amigos e visitantes que tanto prestigiam este blog um Feliz Metal e um Heavy New Year!

No Cerne do ENEM, o Teorema de Bayes

2011-12-20T07:48:00.001-02:00

Cerca de 5 milhões de brasileiros fizeram a prova do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) em outubro. O organizador da prova, Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP), mostrou o gabarito poucos dias depois. Suponha que um dos estudantes, hipoteticamente chamado de Isaac Newton, tenha resolvido as questões de matemática que ele sabia, e que, antes de entregar a prova, tenha chutado as respostas que não sabia. Afinal, entre cinco alternativas (a, b, c, d ou e), a chance de acertar uma delas no chute é de 1/5, ou seja. 20%. Com o gabarito oficial em mãos, Isaac Newton descobre que acertou uma das questões no chute. Em janeiro de 2012, quando usar seu CPF para saber a nota individual, aprenderá uma lição: é difícil enganar computadores. Para azar dele, os computadores a serviço do INEP vão soltar um relatório dizendo, mais ou menos, assim: "É muito alta a chance de que nosso amigo Isaac Newton tenha acertado essa questão no chute. Nós, computadores, recomendamos desconsiderar essa questão na nota final do Isaac Newton".

Para organizar o ENEM, técnicos do INEP usam um método estatístico conhecido como TRI (Teoria da Resposta ao Item). É um método usado por médicos, militares, propagandistas, administradores de empresas, esportistas. Quando uma empresa usa o TRI para organizar qualquer tipo de questionário, ela ganha uma pergunta importante: qual é a probabilidade de que uma pessoa tenha acertado a questão X por seu próprio mérito ou por acaso? Se a probabilidade for alta, a empresa atribui o mérito da resposta ao respondente; se a probabilidade for baixa, ela ignora a questão, pois é mais provável que o respondente tenha chutado.

Ao usa o TRI, o governo ganha várias vantagens: ele consegue informação mais precisa de quem sabe exatamente o quê, consegue comparar escolas da zona rural de Manaus com escolas do centro de São Paulo. A TRI, contudo, é menos ótima para quem faz o teste: o estudante, seu professor, seus pais. Se Isaac Newton quisesse saber como a TRI funciona, e por que sua nota é aquela divulgada pelo governo, teria que de estudar estatística avançada. Especialistas no assunto dizem que o Ministério da Educação (MEC) deve continuar usando a TRI nas avaliações oficiais, pois, pressupondo que o MEC esteja fazendo tudo com boa vontade, isso é bom para o Brasil. Mas, a cada rodada do ENEM, falta divulgar informações de um jeito que o estudante, seu professor e seus pais possam compreender e usar.

O Mais Provável

Raquel Cunha Valle, estatística da Fundação Carlos Chagas, diz que podemos usar uma fita métrica para medir a altura de uma pessoa em centímetros, ou usar uma balança para medir seu peso em quilogramas, mas como medimos o que uma pessoa sabe ou ignora? "A resposta da teoria da resposta ao item", dia Raquel, "é criar uma unidade de medida para o conhecimento".

Uma tabela muito simples, mostrada abaixo, pode ajudar leitores como Isaac Newton a entender o que lhes aconteceu. No caso de uma prova como a do ENEM, "C" significa "acertou" e "E" significa "errou".

Neste nosso exemplo, Gauss acertou as cinco questões, provavelmente sabe 100% do que deveria saber. Euler, acertou quatro questões e errou uma, provavelmente sabe 80¢ do que deveria saber. Arquimedes acertou três questões e errou duas, provavelmente sabe 60% do que deveria saber. E assim por diante. A ênfase na palavra provavelmente serve para destacar a natureza estatística da TRI. Da mesma forma, a questão 1, que somente uma pessoa acertou, é difícil demais para 80% dos candidatos. A questão 2, que só duas pessoas responderam corretamente é difícil demais para 60% dos candidatos. E assim por diante.

Agora, imagine o Isaac Newton como sendo a sexta pessoa da tabela acima:

Note que ele também acertou duas questões e errou três, e que, portanto, sua média é igual à média de Einstein. Isaac Newton parece saber 40% do que deveria saber. Mas sua prova tem lógica? Até que ponto uma pessoa consegue acertar uma questão difícil (questão 1) e errar três questões mais fáceis? Não é mais provável que Isaac Newton tenha chutado a resposta da questão 1?

Ao realizar um teste comum, o MEC só consegue descobrir duas coisas: quantas questões a pessoa acertou e quantas errou. Mas, ao realizar um teste com todas as ferramentas estatísticas da TRI, o MEC consegue saber, com maior grau de precisão, o que uma pessoa sabe ou ignora.

Tufi Machado Soares, professor da Universidade Federal de Juiz de Fora (MG) e coordenador de pesquisas do Centro de Políticas Públicas e Avaliação da Educação, explica as principais alavancas de ajuste num modelo estatístico feito com base na TRI: dá para ajustar o grau mínimo de conhecimento para responder a uma questão com 50% de chance, dá para ajustar até que ponto a questão vai discriminar entre quem sabe e quem ignora, e dá para saber a probabilidade de que alguém acerte a questão por acaso (chutando). Essas três alavancas têm nomes técnicos complicados (traço latente do j-ésimo indivíduo) e simbolizados por letras gregas e latinas (θ_j).

Para explicar a mágica da TRI, especialistas como Raquel e Tufi Machado sempre mostram uma curva famosa: curva característica do item:

Na imagem acima, θ representa o que a pessoa sabe, e se θ = 0 significa que a pessoa tem conhecimentos suficientes para acertar uma questão com probabilidade de 50% - ela tem conhecimentos suficientes para, nesta questão, decidir a resposta no cara e coroa. Se ela fizer isso, os computadores do INEP não conseguirão dedurá-la, pois ela acertou outras questões com o mesmo grau de dificuldade. Mas se θ = –5, significa que a pessoa tem conhecimentos suficientes para acertar a questão com probabilidade de 2%. Em outras palavras, significa que, caso ela acerte a questão, é bem provável que tenha chutado, e os computadores do INEP vão dedurá-la.

Exame por Computador

Especialistas independentes e técnicos do INEP não se cansam de mencionar as vantagens do TRI. Se a prova for bem desenhada, o avaliador pode cancelar uma questão errada sem prejudicar ninguém, pois as probabilidades são calculadas para as questões válidas. Se uma questão estiver escrita de modo a confundir pessoas com conhecimentos avançados, isto ficará claro, pois os computadores vão mostrar um grande número de pessoas com conhecimentos avançados errando a mesma questão, o que é pouco provável. Se uma pessoa se submeter a duas provas diferentes, mas feitas segundo a TRI, é provável que sua nota seja quase a mesma nas duas provas. O MEC pode comparar pessoas de regiões diferentes em anos diferentes. Se alguém obtiver os gabaritos da prova e vendê-los por um bom dinheiro, os computadores do INEP serão capazes de detectar a discrepância estatística.

A TRI só existe porque existem computadores. Sem eles, seria impossível calcular à mão todas as variáveis do modelo estatístico. Na fórmula principal da TRI, cada pessoa é descrita por meio de sete variáveis e quatro constantes. No ENEM, com 5 milhões de pessoas, são 35 milhões de variáveis e 20 milhões de constantes para calcular e comparar umas com as outras. Quando o INEP tiver um banco de dados de itens de tamanho adequado, os estudantes poderão realizar as provas por meio do computador: o estudante acerta uma questão e o computador puxa do banco de dados uma questão um pouco mais difícil; o estudante erra uma questão e o computador puxa uma questão um pouco mais fácil. Com esse método, o MEC conseguirá medir com precisão maior ainda o que o estudante sabe.

Bula Indecifrável

Críticos do ENEM vivem dizendo que o governo esconde os critérios pelos quais forma a nota de cada aluno. Afinal, os critérios são públicos ou são segredo de Estado? Tufi Machado diz que não há segredo algum: se a pessoa for ótima de estatística, se ela tiver conhecimentos profundos sobre a TRI, e se ela for persistente feito um mosquito da dengue, então ela conseguirá ter acesso aos critérios técnicos e talvez até aos dados brutos. "Os critérios até que são bem conhecidos pelos especialistas no assunto", fiz Tufi. Contudo, se a pessoa for um estudante, ou seu professor, ou um de seus pais, aí sim ela está numa enrascada. Até agora, o governo brasileiro não demonstrou interesse em divulgar critérios técnicos e dados brutos com frequência e clareza.

Explicar a TRI é difícil mesmo. Um exemplo: se o estudante tira a nota média do ENEM, ele tira 500, pois o INEP atribui valor 500 à nota média. Contudo, numa escala de 0 a 10, a nota média de uma ano pode ser 6 e de outro ano pode ser 5,5. Nos dois casos, o aluno que tirar a nota média vai tirar 500. Se ele tirar mais de 500, significa apenas que tirou mais que a nota média. Se tirar menos que 500, significa que tirou menos que a nota média. "A TRI é como se fosse um tipo de mágica", diz Raquel Valle, "mas poucos têm acesso ao truque".

Especialistas em modelagem matemática sabem que, quanto mais fielmente o modelo matemático representa a realidade, mais complicado ele é, pois a realidade é bem complicada. A TRI é complicada simplesmente porque ela retrata a realidade de modo melhor. Porém, isso não é desculpa para explicar a TRI com linguagem supertécnica. É possível pensar na TRI como uma bula. Se você escrever a bula com linguagem médica muito técnica, o paciente não vai entender nem mesmo para que serve o remédio.

O Teorema de Bayes

Os criadores da teoria da resposta ao item usaram como ferramenta principal o teorema de Bayes, criado pelo matemático inglês Thomas Bayes (1702 – 1761). O teorema trata de uma questão importante, cotidiana até, mas difícil de entendeer: qual é a probabilidade de que o evento A tenha ocorrido, visto que o evento B acabou de ocorrer? O símbolo para isso é Pr(A | B).

Teorema: Os eventos A₁, A₂, A₃, ..., A_k são eventos mutuamente exclusivos, cuja união é todo o espaço amostral de um experimento. O evento B é um evento com probabilidade diferente de zero (Pr(B) ≠ 0. Sendo assim:

Um exemplo para tornar a fórmula acima mais clara: A₁ representa o evento de jogar uma moeda com duas caras três vezes seguidas, e A₂ representa o evento de jogar uma moeda comum TRE vezes seguidas. Suponha que você escolhe uma das duas moedas ao acaso e, portanto, Pr(A₁) = 1/2 e Pr(A₂) = 1/2. Seja B o evento de obter três caras seguidas (ou seja, você escolheu uma moeda ao acaso, jogou essa moeda ao ar trÊs vezes e conseguiu três caras seguidas); portanto, Pr(B | A₁) = 1 e Pr(B | A₂) = 1/8. Qual é a probabilidade de que você tenha escolhido a moeda com duas caras (A₁) visto que saíram três caras seguidas? Aplicando a fórmula:

O teorema de Bayes dá a resposta: se você escolheu uma das moedas ao acaso, e obteve três caras seguidas, então a probabilidade de que tenha escolhido a moeda com duas caras é de 88,9%.

Na notação acima, temos que Pr(A) é a probabilidade a priori (antes do experimento) e Pr(A_i | B) é a probabilidade a posteriori (depois do evento).

Alguns exemplos do teorema de Bayes na vida diária:

1) Se um homem bate na própria mulher, qual é a probabilidade de que venha a matá-la? É baixa, visto que a maioria desses homens não mata a mulher. Se uma mulher é encontrada morta a facadas, qual é a probabilidade de que tenha sido assassinada pelo próprio marido, dado que o marido batia nela? É altíssima.

2) Escolha uma pessoa a esmo. Qual a chance de que ela tenha problemas psiquiátricos? É baixa. Qual a chance de que ela acredite que seu chefe lê seus pensamentos? É baixa. Mas se essa pessoa escolhida a esmo acredita que seu chefe lê seus pensamentos, qual é a chance de que tenha problemas psiquiátricos? É altíssima.

3) Segundo dados do INEP, só 11% dos brasileiros terminam o ensino médio sabendo a matemática que deveriam saber. Dada tal informação, o que é mais provável: que o MEC esconda os dados a respeito do método usado no ENEM para, escondendo, melhorar artificialmente os números da educação no Brasil, ou que ninguém no MEC tenha se animado a criar um programa nacional de explicações simples e claras sobre o ENEM?

Referências:

[1] Matéria extraída da Revista Cálculo nº 10, ed. Segmento, 2011

Veja mais:

Introdução à Ferramenta TRI
Análise Estatística e a TRI

Método de Sebá para Resolução Alguns Casos Particulares Nas Equações Diofantinas Lineares

2011-12-16T13:55:00.001-02:00

Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)

O objetivo do presente trabalho é apresentar um método, de resolução de equações diofantinas lineares, encontrado nos livros de teoria dos números e, além disso, mostrar alguns casos particulares nas equações diofantinas lineares, que é possível resolver algumas delas por meio do método de Sebá, método esse desenvolvido pelo autor deste trabalho.

Inicialmente iremos apresentar dois teoremas referentes a condição de existência de solução inteira das equações diofantinas lineares, e em seguida apresentar alguns exemplos resolvidos por meio do método de Sebá.

1 – Generalidade

O tipo mais simples de equações diofantinas é a equação diofantina linear com duas incógnitas x e y. Onde ax + by = c sendo a, b e c inteiros.

Todo par de inteiros x₀ e y₀ tais que ax₀+ by₀= c, diz-se que é uma solução inteira ou apenas uma solução da equação ax + by = c. Seja, por exemplo, a equação diofantina linear com duas incógnitas:

Logo, os pares de inteiros: 4 e 1; -6 e 6; 10 e –2 são soluções da equação 3x + 6y = 18.

Existem equações diofantinas lineares com duas incógnitas que não tem solução. Assim, por exemplo, a equação diofantina linear: 2x + 4y = 7 não tem solução, quaisquer que sejam os valores inteiros de x e y.

De modo geral, a equação diofantina linear ax + by = c não tem solução em inteiros, sempre que d = mdc (a,b) não divide c.

2 – Condição De Existência De Solução

Teorema 1: A equação diofantina linear ax + by = c tem solução se e somente se d divide c, sendo d = mdc (a,b).

3 – Solução Da Equação ax + by = c

Teorema 2: Se d divide c ou seja (d/c), sendo d = mdc(a,b) e se o par de inteiros x₀ e y₀ é uma solução particular da equação diofantina linear ax = by = c, então, todas as outras soluções dessa equação são dadas pelas fórmulas:

Sendo t um inteiro arbitrário.

Corolário 1: Se o mdc(a,b) = 1 e se x₀ e y₀ é uma solução particular da equação diofantina linear ax + by = c, então, todas as outras soluções desta equação são dadas pelas fórmulas:

Sendo t um inteiro arbitrário.

Se você, caro leitor, estiver interessado em ver as demonstrações dos dois teoremas acima, veja em: http://jogoseducativos.tripod.com.br/diofantina.htm.

4 – Exemplos

O exemplo a seguir e a sua resolução foram extraídos de:

OLIVEIRA, Silvio Barbosa de. As equações diofantinas lineares e o livro didático de matemática para o ensino médio. Mestrado em Educação Matemática, PUC/SP, São Paulo, 2006.

Exemplo 1 – Um laboratório dispõe de 2 máquinas para examinar amostras de sangue. Uma delas examina 15 amostras de cada vez, enquanto a outra examina 25. Pergunta-se: quantas vezes essas máquinas devem ser acionadas para examinar 2.000 amostras?

Resolução:

Designando, por x e y, o número de vezes que a primeira e a segunda máquinas, respectivamente, foram acionadas, basta resolver a seguinte equação diofantina linear para responder à pergunta proposta:

Essa equação é equivalente a:

Como o mdc(5, 3) = 1, logo, essa equação diofantina tem solução.

Tem-se agora que encontrar uma solução particular para 3x + 5y = 400.

Primeiramente, podemos encontrar a solução da equação 3x + 5y = 1, pelo algoritmo de Euclides:

Esse algoritmo permite construir as seguintes expressões:

A partir da expressão (3), obtém-se:

A partir da expressão (4):

Substituindo a (6) na (7), vem:

Aplicando a propriedade distributiva, obtém-se:

A expressão (8) indica que x = 2 e y = –1 é uma solução particular da equação 3x + 5y = 1. Multiplicando ambos os membros da expressão (8) por 400, obtemos:

Logo, 800 e –400 é uma solução particular da equação (2) e também será da equação original (1): 15(800) + 25(–400) = 2000. Consequentemente, a solução geral da equação (1) que apresenta mdc(25, 15) = 5, se expressa por:

Considerando o problema que levou a essa equação, vê-se que só interessam respostas não negativas para x e y. Assim, deve-se impor que:

Sendo assim, temos que:

Substituindo os valores de t em (9) e (10), obtém-se 27 soluções (que apresentam valores de x e y inteiros positivos) para o problema, desde a primeira máquina parada e a outra sendo acionada 80 vezes, até o caso em que a primeira trabalha 130 vezes e a outra só 2 vezes.

Soluções Usando O Método Que Consta Na Dissertação:

5 – Resolução Pelo Método De Sebá

Além da condição de d = mdc(a, b) dividir c, o método de Sebá exige as duas seguintes condições:

a) que a seja diferente de b
b) que a ou b (ou ambos) divida c

Resolvendo o exemplo por meio do método de Sebá

Pelas duas condições, temos:

a) Já que a = 15 e b = 25, logo, a ≠ b
b) Como c = 2000 e b = 25, logo, b/c (b divide c)

Sempre que a > b ou b > a, dividem-se ambos os membros da equação diofantina linear por a ou b.

Como no exemplo b > a, dividindo ambos os membros da (1) por 25, obtém-se:

Como a fração, do coeficiente de x, o denominador é 5, logo, para x = 5, temos:

Logo, x = 5 e y = 77 é uma solução particular da equação (1), e conseqüentemente, a solução geral da equação (1) que apresenta mdc(25, 15) = 5, se expressa por:

Considerando o problema que levou a essa equação, vê-se que só interessam respostas não negativas para x e y. Assim, deve-se impor que:

Sendo assim, então:

Substituindo os valores de t em (13) e (14), obtém-se 27 soluções (que apresentam valores de x e y inteiros positivos) para o problema, desde a primeira máquina parada e a outra sendo acionada 80 vezes, até o caso em que a primeira trabalha 130 vezes e a outra só 2.

Soluções Usando O Método De Sebá

Comparando as duas tabelas, constata-se que as soluções obtidas usando o método que consta na dissertação, são as mesmas soluções obtidas usando o método de Sebá.

Exemplo 2 – Resolver a equação diofantina 3x + 5y = 100.

Resolução:

Como o mdc(5, 3) = 1 e 1/100, logo, a equação tem solução em inteiros. Pelas duas condições do método de Sebá, temos:

a) Já que a = 3 e b = 5, logo, a ≠ b
b) Como c = 100 e b = 5, logo, b/c

Como b > a, dividindo ambos os membros por 5, obtém-se:

Como a fração, do coeficiente de x, o denominador é 5, logo, para x = 5, temos:

Logo, x = 5 e y = 17 é uma solução particular da equação. Consequentemente, a solução geral da equação que apresenta mdc(5, 3) = 1, se expressa por:

Considerando t pertencente aos Reais, existem infinitas soluções inteiras para x e y; sendo apenas 6 não negativas.

Exemplo 3 – Resolver a equação diofantina 3x + 6y = 18

Resolução:

Como o mdc(6, 3) = 3 e 3/18, logo, a equação tem solução em inteiros. Pelas duas condições do método de Sebá, temos:

a) Já que a = 3 e b = 6, logo, a ≠ b
b) Como c = 18, a = 3 e b = 6, logo, ambos dividem c

Como b > a, dividindo ambos os membros por 6, obtém-se:

Como a fração, do coeficiente de x, o denominador é 2, logo, para x = 2, temos:

Logo, x = 2 e y = 2 é uma solução particular da equação. Consequentemente, a solução geral da equação que apresenta mdc(6, 3) = 3, se expressa por:

Considerando t pertencente aos Reais, existem infinitas soluções inteiras para x e y; sendo apenas 3 não negativas.

Exemplo 4 – Um comerciante comprou 30 pássaros: perdizes, pardais e pombos. Um perdiz custa 3 moedas de prata, um pombo 2, e um pardal 1/2. Ele pagou 30 moedas. Quantos pássaros de cada espécie o comerciante comprou? (OUTUBRO 2011 SUPER, pg. 69)

Resolução:

Sejam:

x = perdizes
y = pardais
z = pombo

Temos o seguinte sistema de duas equações lineares

Multiplicando ambos os membros da (19) por –1/2 e somando com a (20), obtém-se:

Multiplicando ambos os membros da (21) por 10, obtém-se:

Como o mdc(25, 15) = 5 e 5/100, logo, a equação (22) tem solução em inteiros. Pelas duas condições do método de Sebá, temos:

a) Já que a = 25 e b = 15, logo, a ≠ b
b) Como c = 150, a = 25 e b = 15, logo, ambos dividem c

Como a > b, dividindo ambos os membros por 25, obtém-se:

Como a fração, do coeficiente de y, o denominador é 5, logo, para y = 5, temos:

Logo, x = 3 e y = 5 é uma solução particular da equação (22). Consequentemente, a solução geral da equação que apresenta mdc(25, 15) = 5, se expressa por:

Considerando o problema que levou a essa equação, vê-se que só interessam respostas não negativas para x e y. Assim, deve-se impor que:

Sendo assim, então:

Considerando t pertencente aos Reais, existem infinitas soluções inteiras para x e y; sendo apenas duas não negativas:

Resposta:

Primeira solução: o comerciante comprou: 3 perdizes, 5 pardais e 22 pombos, totalizando 30 pássaros. O comerciante gastou:

Segunda solução: o comerciante comprou: 6 perdizes, 0 pardais e 24 pombos, totalizando 30 pássaros. O comerciante gastou:

Exemplo 5 – Resolver a equação diofantina linear 39x + 26y = 105.

Resolução:

O mdc(39,26) = 13 e como 13 não divide 105, segue-se que a equação dada não tem solução.

Conclusão:

Quando os coeficientes (a, b) e o terno independente (c) de uma equação diofantina linear se enquadrar nas duas condições exigidas pelo método de Sebá, este, em termos de tempo computacional, é mais eficiente para encontrar as soluções em inteiros de uma equação diofantina linear do que o método utilizado em teoria dos números.

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

Veja mais:

A Regra de Sinais de Diofanto
Deserto Entre Números Primos
Quantos Número Primos Existem?

O Método da Gelosia para Multiplicações

2011-12-04T09:40:00.001-02:00

As aritméticas dos séculos XV e XVI traziam descrições de algoritmos para as operações fundamentais. Dentre os muitos métodos criados para efetuar multiplicações, o da Gelosia, ou o método da grade, talvez tenham sido o mais popular.

Há indícios de ter surgido na Índia, pois aparece num comentário sobre o Lilävati e em outros trabalhos Hindus. Da Índia seguiu por trabalhos chineses, árabes e persas.

Este método foi um dos favoritos dos árabes, através dos quais passou para a Europa Ocidental. A simplicidade de sua aplicação poderia tê-lo mantido em uso até hoje, não fora a necessidade de desenhar uma rede de segmentos de reta. O modelo lembra uma grade de janela chamada gelosia (em francês jalousie, que significa rótula).

Como forma de ilustrar o método, vamos efetuar a multiplicação entre os números 123 e 456. Inicialmente, desenhamos uma grade 3 x 3, já que as parcelas em questão possuem 3 algarismos cada. Dividimos cada quadrado por uma diagonal crescente.

Escrevemos uma das parcelas logo acima da grade horizontalmente, dispondo cada algarismo sobre um quadrado. Em seguida, escrevemos os algarismos da segunda parcela ao lado direito verticalmente, de modo que cada algarismo fique ao lado de um quadrado.

Multiplicamos cada par de números, escrevendo o produto em cada célula a_ij, sendo cada um dos algarismos posicionados em um dos lados da diagonal.

Agora, somamos todos os números das diagonais começando direita para a esquerda e escrevemos o resultado na parte inferior e esquerda da grade.

Encontrando assim o produto:

Vamos ver um outro exemplo. Seja multiplicar 731042 por 652.

Encontramos o produto:

Referências:

[1] Introdução à História da Matemática – Howard Eves

Veja mais:

Um Método para Multiplicação entre Dois Números
Método da Multiplicação dos Camponeses Russos
Um Método para Calcular o MMC e o MDC entre Dois Números

O Refinamento de Snell

2011-12-01T13:15:00.001-02:00

Willebrord Snellius (1580 – 1626) foi um matemático e astrônomo holandês, mais conhecido pela sua Lei de Snell-Descartes, mas com muitos feitos na área matemática.

Em 1613 sucedeu seu pai como professor da Universidade de Leiden e em 1615 planejou e criou um novo método de encontrar o raio da Terra através da determinação de um ponto na superfície terrestre paralelo à latitude de outro, através da trigonometria.

Em seu trabalho Eratosthenes Batavus (1617), descreve o método e mostra os resultados obtidos das medidas entre as cidades de Alkamaar e Bergen op Zoom, encontrando 107.396 km, sendo a distância atual de 111 km.

Snellius foi um grande matemático, produzindo um método diferenciado para calcular π, sendo o primeiro aprimoramento desde tempos remotos. Esse método foi chamado de Refinamento de Snell.

Seja AOP um ângulo central agudo num círculo de raio unitário. Prolongando o diâmetro AOB até o ponto S de modo que BS = AO, trace SP indicando por T sua intersecção com a tangente ao círculo em A. Snell percebeu que se o ângulo AOP é suficientemente pequeno, o segmento de tangente AT tem comprimento aproximadamente igual ao arco AP.

[Figura 1]

No entanto, esta aproximação vai piorando quando o ângulo se próxima do reto:

[Figura 2]

Considerando o círculo com raio unitário, o comprimento do arco AP pode ser expresso pela fórmula:

Considerando a figura 2, temos que AS= 3r, OS = 2r e OP = r. Assim:

Vejam que neste caso, para um ângulo AOP = 90°, o erro é de 0,70796... Já para ângulos menores, este erro é minimizado, como sugere a tabela abaixo:

[Tabela 1]

Um outro fato interessante a ser observado nesta construção de Snell é que podemos expressão a tangente do ângulo φ = AOT em função dos senos e cossenos do ângulo θ = AOP:

[Figura 3]

Seja M o pé da perpendicular a AO por P. Desta forma PM = r sen (θ), OM = r cos (θ):

Substituindo (4) em (5), obtemos:

Em 1630, usando o refinamento de Snell, Grienberger calculou π até a trigésima nona casa decimal. Essa foi a última tentativa importante de calcular π pelo método dos perímetros.

Podemos aproximar π da seguinte forma: Vimos que quando o ângulo θ diminui, o erro também cai sensivelmente, de modo que o segmento de tangente AT se aproxima cada vez mais do comprimento do arco AP. Se tomarmos valores para θ cada menores, melhoramos ainda mais a aproximação. Sabemos hoje que a circunferência pode ser calculada como C = 2πr. Mas se temos o raio unitário, C = 2π. Assim, o comprimento C é uma soma de segmentos de tangente AT. Para:

Vejam que se aproxima muito bem de π. Vamos construir uma nova tabela onde temos ângulos em graus, o valor do segmento AT e a aproximação de π.

[Tabela 2 – Aproximação de π]

Vejam que conseguimos precisão até a 14ª casa decimal para um ângulo θ = 0,01°. Ficamos limitados aos arredondamentos do Excel. Mas com softwares dedicados, podemos calcular π com precisão cada vez melhor!

Referências:

[1] Introdução à História da Matemática – Howard Eves
[2] http://pt.wikipedia.org/wiki/Willebrord_Snel_van_Royen

Veja mais:

Prisma Ópticos
Uma Breve Cronologia de PI
Newton e a Série Infinita para PI
O Princípio de Fermat e a Refração da Luz no blog Fatos Matemáticos

O Grande Metrô das Ciências

2011-11-25T08:11:00.001-02:00

O caminho da Ciência tem sido longo e sinuoso desde os gregos há cerca de 26 séculos, na época de Thales, passando por Pitágoras, Euclides, Galileu, Newton, Drawin e Einstein, entre outros. Foram inúmeras descobertas, perseguições, revoluções e tudo graças à dedicação de homens e mulheres que dedicaram suas vidas em prol do conhecimento científico.

Num artigo da revista Super Interessante em sua versão espanhola, trouxe um grande mapa científico, que podemos viajar como se estivéssemos num metrô, podendo ainda acompanhar algumas de suas principais contribuições.

Clicando na imagem acima, pode-se ver o mapa completo em formato jpg. Para uma visualização ainda melhor, sugiro baixar o Mapa Científico em pdf.

Em seu blog, Crispian Jago fez uma versão interativa: O Mapa da Ciência Moderna. Passando o mouse sobre os nomes dos cientistas, ou clicando neles, obtemos mais informações sobre suas vidas e obras.

Clique na imagem acima para redirecionar

O mapa inclui principalmente os cientistas modernos que fizeram avanços significativos para a nossa compreensão do mundo. Boa viagem!

Veja mais:

Alguma Etimologia
A Estrutura E8
A História do Símbolo do Infinito

Volume do Anel Esférico

2011-11-22T12:40:00.001-02:00

O Cálculo infinitesimal tem diversas aplicações no campo da Geometria. Uma delas é a determinação do volume de sólidos de revolução. Neste post, vamos encontrar a fórmula para o volume do anel esférico.

Um Anel esférico é uma esfera com um furo. Mais precisamente, é uma esfera com um furo cilíndrico de modo que os centros da esfera e do cilindro se coincidem.

Vejam que o anel esférico é uma esfera onde foi subtraído um cilindro e duas calotas esféricas.

Consideremos a figura abaixo onde tem-se um semicírculo de raio R e um retângulo inscrito de comprimento h e altura r.

Se rotacionarmos o semicírculo em torno do eixo dos x, obteremos um sólido de revolução. Vejam que nosso problema se resume em determinar o volume gerado pela área sombreada.

Sabemos que a equação da circunferência centrada na origem é dada por:

Desta equação, podemos obter uma outra em função de y:

Se seccionarmos este sólido perpendicularmente ao eixo dos x obteremos cilindros de alturas infinitesimais. Assim, podemos subdividir estes cilindros em dois casos: o primeiro sendo pertencente à esfera; e o segundo pertencente ao furo (cilindro):

Assim, temos que o volume do anel esférico é dado por:

Vejam que através da fórmula dada em (6), conseguimos calcular o volume do anel esférico somente em função da altura h do cilindro (furo).

Veja mais:

Volume da Esfera
Volume de uma Calota Esférica
Volume de um Segmento Esférico

Alguma Etimologia

2011-11-16T23:34:00.001-02:00

Muitos nomes e palavras usadas hoje em dia remontam ao período árabe. Assim, qualquer pessoa interessada em astronomia de observação provavelmente tem ciência de que um grande número de nomes de estrelas, em particular daquelas de brilho mais tênue, é árabe. Entre as estrelas de brilho mais intenso são exemplos bem conhecidos Alderabã, Vega e Rigel e entre as de brilho mais tênue Algol, Alcor e Mizar. Muitos dos nomes de estrelas eram originalmente expressões que indicavam sua localização nas respectivas constelações. Essas expressões descritivas, quando transcritas do catálogo de Ptolomeu para o árabe, acabaram se degenerando em palavras simples como Betelgeuse (axila da Principal), Formalhaut (boca de Peixe), Deneb (cauda de Pássaro), Rigel (perna do Gigante) e assim por diante.

A origem da palavra Álgebra, como conhecemos hoje, deu-se a partir do título do tratado de al-Khowârizmî sobre o assunto, Hisâb al-jabr w’al-muqâ-balah, é muito interessante. Esse título foi traduzido literalmente como “ciência da reunião e da oposição” ou, mais livremente, como “ciência da transposição e do cancelamento”. O texto, que se preservou, tornou-se conhecido na Europa através de uma tradução latina e fez da palavra al-jabr ou álgebra sinônimo de ciência das equações. Obviamente desde a metade do século XiX o termo álgebra adquiriu um significado muito mais amplo.

A palavra árabe al-jabr veio a encontrar um significado não-matemático na Europa, através dos mouros da Espanha. Nesse país, quem consertava ossos fraturados chamava-se algebrista; e os barbeiros medievais dedicavam-se adicionalmente a essa tarefa, eles próprios chamavam a si mesmo de algebristas.

O livro de al-khowârizmî sobre o uso dos numerais hindus também introduziu em palavra no vocabulário da matemática. Não há cópias do original desse livro, mas em 1857 descobriu-se uma tradução latina que começa por “algoritmi disse...”. Nessa abertura o nome al-Khowârizmî transformou-se em Algoritimi que, por sua vez, deu origem à palavra algoritmo que significa “arte de calcular de uma maneira particular”.

Os significados dos nomes atuais das funções trigonométricas, com exceção do seno, são claros a partir de sua interpretação geométrica, quando se coloca o ângulo no centro de um círculo de raio unitário. Assim, na figura abaixo, se o raio do círculo é uma unidade, os valores de tg(θ) e sec(θ) são dados pelos comprimentos do segmento de tangente CD e pelo segmento de secante OD. Obviamente, co-tangente significa simplesmente “tangente do complemento” e assim por diante. As funções tangente, co-tangente, secante e co-secante foram conhecidas por vários outros nomes, surgindo esses particulares no máximo até o fim do século XVI. A origem do nome seno é curiosa. Âryabhata usava ardhã-jyã (semicorda) e também jyã-ardhã(corda metade) e por brevidade escrevia apenas jyã (corda). Partindo de jyã os árabes foneticamente derivaram jîba que, devido à prática entre eles de se omitir as vogais, se escrevia jb. Afora seu significado técnico, hoje jîba é uma palavra que não tem sentido em árabe. Posteriormente, escritores que se depararam com jb como abreviação da palavra sem sentido jîba passaram a usar jaib que faz parte do vocabulário árabe e que significa “enseada” ou “baía”. Mais tarde ainda, ao fazer a tradução de jaib para o latim, Genardo de Cremona empregou o equivalente latino sinus, de onde vem nossa palavra atual seno.

As avaliações do papel dos árabes no desenvolvimento da matemática de maneira nenhuma são unânimes. Há aqueles que veem nos escritores muçulmanos, particularmente em seu trabalho em álgebra e geometria, grande originalidade. Outros assinalam que esses escritores, a despeito de talvez revelarem erudição raramente eram criativos e que seu trabalho se situa num plano secundário, quantitativa e qualitativamente, em relação aos gregos e aos escritores modernos. Por outro lado, deve-se admitir que eles deram pelo menos contribuições pequenas à ciência. Ocorre que suas realizações, quando vistas contra o pano de fundo cientificamente estéril do resto do mundo na época, assumiram dimensões maiores do que de fato tinham. Há ainda, no balanço a seu favor, o importante fato de que eles custodiaram de maneira admirável grande parte do patrimônio intelectual do mundo até que os europeus despertassem do marasmo da Baixa Idade Média.

Referências:

[1] Introdução à História da Matemática – Howard Eves

Veja mais:

Poema de Amor Matemático
Teorema de Pitágoras Segundo Euclides
A História das Equações Algébricas (Parte 1) no blog Fatos Matemáticos
A História das Equações Algébricas (Parte 2) no blog Fatos Matemáticos

Retificação da Circunferência (Parte 3) – Método de Gelder

2011-11-12T17:02:00.001-02:00

Em busca de uma solução para o problema da quadratura do círculo, muitas construções já foram dadas para obter um segmento de reta de comprimento aproximado a π.

Este método de retificação foi desenvolvido por Gelder, mas somente publicada em 1849, 1 ano após sua morte.

Jacob de Gelder (1765 – 1848) foi um matemático holandês que serviu de inspiração para uma nova compreensão da finalidade e aplicação da matemática no início do século XIX na Holanda.

Gelder iniciou sua carreira em 1790 em Rotterdam, como professor em Wiskunst. Suas primeiras publicações datam de 1791 e 1794. Foi muito influente sobre questões de educação e a matemática passou a ser parte obrigatória do currículo de cada curso com um apelo ao valor educativo.

Aposentou-se aos 75 anos e no mesmo ano de 1840, recebeu o prêmio de Cavaleiro da Ordem do Leão Holandês. Faleceu em 1848 após uma rápida doença.

Vamos ver como se dá a construção de Gelder para o problema da retificação e determinar uma aproximação para π com precisão de 6 casas decimais. O que é curioso neste método é que o segmento construído aproxima somente a parte decimal de π.

A Retificação:

Seja AB o diâmetro de uma circunferência de diâmetro igual a 1:

Trace o segmento BC = 7/8 do diâmetro, perpendicular a AB em B:

No prolongamento de AB, marque AD = AC. Para isso, descreva um arco de raio AC e centro em A:

Trace DE = 1/2, perpendicular a AD em D.

Trace o segmento AE e seja F o pé da perpendicular a AC por D:

Una os pontos BF e trace uma paralela por E. Marque como G a intersecção com BD:

O segmento BG é aproximadamente a parte decimal de π, com precisão até a sexta casa decimal.

Demonstração:

Nos triângulos GAE e BAF, temos os segmentos proporcionais:

Como o triângulo ABC é retângulo em B, temos que:

Mas AC = AD, logo:

Substituímos (3) em (1):

No entanto, AB = 1, DE = 1/2 e BC = 7/8. Substituímos estes valores na relação (4):

Assim, obtemos o valor da parte decimal de π com 6 casas decimais corretas. Para o valor de π, somamos sua parte inteira:

Para a construção geométrica, já temos o segmento BG = 0,1415929 e o segmento AB = 1. No prolongamento do segmento BA, fazemos dois arcos de raios igual a AB: um de centro em A marcando H e outro de centro em H marcando I. Assim, o segmento IG aproxima π.

Referências:

[1] Introdução à História da Matemática – Howard Eves

[2] http://bwnw.cwi-incubator.nl/

Veja mais:

Retificação da Circunferência (Parte 1)
Retificação da Circunferência (Parte 2) - Método de Kochanski
Uma Breve Cronologia de PI

A Bolsa de Valores e a Sequência de Fibonacci

2011-11-09T20:35:00.001-02:00

As bolsas de valores são instituições, conhecidas como mercado financeiro, onde são negociados instrumentos financeiros. É por meio delas que investidores compram e vendem ações de companhias de capital aberto, formadas por sociedade anônima.Cada um dos investidores em ações de determinada companhia passa a deter os direitos e as obrigações referentes ao percentual correspondente ao valor das ações sob sua posse.

[Figura 1 – Método das oito ondas]

Os preços das ações indicam o valor de mercado das empresas listadas na bolsa. A perspectiva dos investidores é obter o maior retorno sobre seu investimento, comprando ações por um determinado valor X, com a expectativa de que seu preço de venda Y seja superior ao valor pago no momento da aquisição (X < Y). Tal atividade implica fazer previsões sobre o mercado, com objetivo de auxiliar a tomada de decisões de compra e/ou venda das ações no momento lucrativo. Assim, a bolsa de valores é envolvida por intenso movimento de negociações pautado na flutuação (variação) do valor das empresas.

Neste sentido, o estudo do comportamento do mercado operado na bolsa de valores ganha fundamental importância para diminuir os riscos nos investimentos e identificar potenciais momentos para a realização de lucro ou prejuízo. Tais estudos são desenvolvidos por analistas especializados em mercado de ações.

Como exemplo, podemos citar os trabalhos de um dos pioneiros da análise financeira, o norte-americano Ralph Nelson Elliott (1876 – 1948).

Ao estudar o histórico das cotações para inferir sobre o comportamento futuro do mercado de ações da Bolsa de Valores de Nova York, no início do século passado, Elliott concluiu que as flutuações da bolsa não eram aleatórias. Ele reconheceu que a variação dos preços se comportava de modo cíclico, formando padrões que se repetem com uma mesma tendência.

Segundo a teoria desenvolvida por Elliott, um ciclo padrão de tendência de mercado graficamente é formado por oito ondas bem definidas, e cada uma delas é formada por grupos menores de ondas que reproduzem o mesmo padrão.

[Figura 2 – Modelo de repetição do padrão por onda]

A quinta onda finaliza um período de otimismo, identificado pelas ondas numeradas de 1 a 5 na figura 1. Nesse período, as pequenas baixas são superadas por significativas altas no preço das ações. Porém a partir desse momento tem início um período de significativas quedas no preço das ações, identificado por três ondas, sinalizadas nos gráficos pelas letras A, B e C.

Além do padrão gráfico, Elliott investigou uma “medida” para o ciclo de repetição das ondas, recorrendo à Matemática. Como resultado, ele conseguiu encontrar relações entre o comportamento do mercado e a sequência de número de Fibonacci.

De uma forma geral, a Teoria das Ondas de Elliott diz que a Razão entre um pico (alta de preços) e um vale (queda dos preços) do gráfico tende a ter um valor aproximadamente igual à razão entre dois números sucessivos da sequência de Fibonacci: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...).

[Figura 3 – Sequência de Fibonacci relacionada por Elliott]

Nessa sequência a razão entre um número e o seu antecessor, a partir do quinto termo (Elliott relaciona esse fato às cinco ondas), é um valor próximo a 1,618, que é o número de ouro:

No mercado de ações, a Teoria de Elliott tem sido discutida e aplicada por alguns analistas técnicos da área, utilizando métodos computacionais para orientar investidores a tomar decisões, ao inferir “em que fases das ondas” o mercado atual está situado e qual a tendência futura. Existem várias teorias de análise técnica. No entanto, praticamente todas partem de um fato indiscutível: o comportamento do mercado financeiro é cíclico e segue uma tendência de padrões entre as baixas e as altas dos preços das ações.

Referências:

[1] Matemática Ensino Médio V1 – Kátia Smole e Maria Ignez Diniz

Veja mais:

Regressão Polinomial
A Fórmula que Destruiu Wall Street
A História do Símbolo do Infinito

Logaritmos: Os Sons e a Audição Humana

2011-11-05T23:31:00.001-02:00

Uma pessoa com audição normal é capaz de ouvir uma grande faixa de sons de intensidade bem diferentes.

O som pode ser classificado como fraco ou forte quanto a sua intensidade, que é representado por I.

No S.I., a intensidade I é expressa em W/m² (watts por metro quadrado).

Existe um valor mínimo de intensidade de som, abaixo da qual é impossível ouvir algo. A essa intensidade damos o nome de limiar de audibilidade, que vale em média, 10^–12W/m². Com base nos valores de intensidade de som, podemos definir o nível de intensidade (β) medindo em decibels (dB):

Onde:

I é a intensidade correspondente ao nível β;

I₀ é uma constante que representa o nível de referência tomado como limiar de audição:

Por exemplo, para calcularmos a intensidade correspondente a um nível de 40 dB, fazemos:

Do mesmo modo, se tivermos a intensidade sonora é possível encontrarmos os respectivos decibels (níveis de intensidade).

Como forma de ilustrar, os metrôs antigos, estima-se que a intensidade sonora seja de 10^–2 W/m². O nível de intensidade é:

Um outro exemplo é a intensidade da onda correspondente à fala humana, a um metro de distância, é 4 · 10^–6 W/m². A quantidade de decibels é:

Como , temos:

De acordo com a Organização Mundial de Saúde (OMS), sons de até 55 dB são aceitáveis. Vejam abaixo uma tabela com níveis de intensidade de alguns tipos de som:

Referências:

[1] Matemática, Ciência e Aplicações V1 – Gelson Iezzi e Osvaldo Dolce

[2] Matemática Ensino Médio V1 – Katia Smole e Maria Ignez Diniz

Veja mais:

A Construção da Primeira Tábua de Logaritmos Decimais por Briggs
Stifel, Bürgi e a Criação dos Logaritmos
Os Logaritmos Segundo Napier
Utilizando Tábuas para Calcular Logaritmos

Teorema da Bissetriz Interna

2011-11-04T20:49:00.001-02:00

Este é um importante teorema da geometria plana, onde conseguimos determinar segmentos proporcionais em um triângulo. Mas o que é bissetriz?

Definição: Bissetriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas, concorrentes dividindo um ângulo em dois ângulos congruentes.

Teorema 1: Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos aditivos proporcionais aos lados adjacentes.

Em outras palavras, temos:

O lado BC é dividido em dois segmentos aditivos, pois DB + DC = BC e consequentemente x + y = a.

Por hipótese temos que a bissetriz interna do triângulo ABC nos fornece uma relação de proporcionalidade:

Demonstração:

Conduzindo por C um segmento paralelo à bissetriz, determinamos um ponto E na interceptação com o prolongamento do lado BA.

Sejam os ângulos:

Como os segmentos CE e AD são paralelos, temos que os ângulos α e γ são congruentes por serem correspondentes e os ângulos β e δ são congruente por serem alternos internos:

Desta forma, o triângulo ACE é isósceles cuja base é o segmento CE. Assim:

Considerando as retas que passam por BC e BE como retas transversais de um feixe de retas paralelas, aplicamos o Teorema de Tales, obtendo:

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 – Geometria Plana – Osvaldo Dolce e Nicolau Pompeo

[2] Elementos de Geometria e Desenho Geométrico V1 – Putnoki

Veja mais:

Teorema da Base Média de um Triângulo
Pontos Notáveis de um Triângulo
Teorema da Bissetriz Interna Através da Lei dos Senos no blog Fatos Matemáticos

Número de Regiões de um Plano Determinado por um Número de Retas

2011-11-02T17:41:00.001-02:00

Neste post, vamos estudar um teorema interessante da Geometria Plana onde um número de retas passando por um plano, determinam regiões distintas.

Teorema 1: O número máximo L_N de regiões de um plano definidas por N retas é dado por:

Posição Geral de Retas

Definição 1: Dizemos que um conjunto de N retas de um plano estão em posição geral se não existirem retas paralelas e se não houverem três retas concorrendo num mesmo ponto.

Desta forma, podemos ter:

Agora, vamos supor que a fórmula dada no teorema 1 é válida para todo N. Desta forma, um plano sem retas teria N = 0:

Se adicionarmos uma nova reta em posição geral num plano, fica fácil observar que o plano será seccionado em duas partes:

Adicionando uma nova reta em posição geral, obtemos:

E para o caso de três retas:

Para N = 1, 2, 3, 4, ..., N gera a sequência (A000124):

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, 232, 254, 277, 301, 326, 352, 379, 407, 436, 466, 497, 529, 562, 596, 631, 667, 704, 742, 781, 821, 862, 904, 947, 991, 1036, 1082, 1129, 1177, 1226, 1276, 1327, 1379, ...

Já para o caso de N + 1 retas em posição geral, temos:

Demonstração:

Por hipótese, temos que para todo N é válida a relação:

O que queremos demonstrar é que se a relação é válida para N retas também será válida para N + 1 retas.

Considere um conjunto R de N retas em posição geral num plano dado. Se adicionarmos uma nova reta, denominada por r, teremos um conjunto R' contendo N + 1 retas.

Mediante a isso, obtemos duas propriedades interessantes:

Propriedade 1: Uma reta r em posição geral num plano intersecta outras N retas de um conjunto R de retas em N pontos distintos.

Propriedade 2: Uma reta r em posição geral num plano que obedece à propriedade 1, intersecta N + 1 regiões deste plano, dividindo cada uma delas em duas partes.

Desta forma, se considerarmos a relação (1) e o fato de que uma reta r divide as N +1 regiões do plano que conte o conjunto R de N retas em duas partes, o conjunto R' de N + 1 retas deverá conter N +1 regiões:

Substituímos a relação (1) em (2):

Comprovando que o teorema é válido também para N + 1 retas.

Veja mais:

Teorema do Ângulo Inscrito
Teorema de Pitágoras Segundo Euclides
Reta Tangente a uma Curva
A Fórmula de Pick e a Aproximação de PI

Construção Geométrica da Elipse com Régua e Compasso (Parte 2)

2011-10-26T07:26:00.001-02:00

A primeira construção da elipse que fizemos foi a partir do eixo maior contendo seus focos. Para esta construção, vamos partir da premissa que temos seus dois eixos.

Descrevemos dois círculos de centro em O com diâmetros iguais aos eixos AA' e BB':

Dividimos a circunferência maior e a menor em N partes iguais. Por conveniência, vamos dividi-las em 16 partes iguais, pois para isso só precisamos determinar as bissetrizes entre os eixos e depois repetir o processo.

Em seguida, tracemos retas perpendiculares ao eixo AA' pelos pontos que dividem a circunferência maior:

Depois, tracemos retas perpendiculares ao eixo BB' pelos pontos que dividem a circunferência menor:

Os pontos (x_n, y_n) gerados a partir das intersecções destas retas determinam a elipse.

Veja mais:

Construção Geométrica da Elipse com Régua e Compasso (Parte 1)
Construção Geométrica da Parábola com Régua e Compasso
Construção Geométrica da Hipérbole com Régua e Compasso

Teorema do Ângulo Inscrito

2011-10-20T13:07:00.001-02:00

Um ângulo é considerado inscrito em uma circunferência quando seu vértice pertence a ela e os seus lados sejam, cada um deles, uma corda.

Teorema: Numa circunferência, a medida do ângulo central é igual ao dobro da medida do ângulo inscrito que subtende o mesmo arco.

Assim, pode haver três casos distintos:

i) O centro O da circunferência pertence a uma das cordas. Neste caso, a corda é o próprio diâmetro da circunferência;

ii) O centro O da circunferência está dentro do ângulo inscrito;

iii) O centro O da circunferência está fora do ângulo inscrito.

Vamos demonstrar cada um dos casos separadamente.

1) O centro O da circunferência pertence a uma das cordas

Vejam que os segmentos OB e OC possuem a mesma medida, pois são iguais ao raio da circunferência. Desta forma, o triângulo OBC é isóscele, cuja base BC compreende ângulos iguais a θ.

O segmento AB é o diâmetro da circunferência e podemos chamar como α o ângulo complementar de β, que é o ângulo central:

Como para todo triângulo a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180°, temos:

E assim fica provado o primeiro caso.

2) O centro O da circunferência está dentro do ângulo inscrito

Podemos traçar o diâmetro BD da circunferência, dividindo os ângulos, central e inscrito, em duas partes iguais, obtendo:

E desta forma, caímos ao primeiro caso, onde o centro da circunferência pertence a uma das cordas. Utilizando o mesmo raciocínio, obtemos:

E o mesmo vale para o outro ramo:

No entanto, temos pela relação (3) que:

Substituindo as relações (4) e (5), obtemos:

Substituindo a relação (2) na relação acima obtemos:

E assim provamos o segundo caso.

3) O centro O da circunferência está fora do ângulo inscrito

Podemos traçar o diâmetro BD da circunferência definindo outros dois ângulos: β₁ e θ₁:

Assim, podemos chamar como α o ângulo complementar do ângulo β + β₁, que é o ângulo central:

E desta forma, caímos ao primeiro caso, onde o centro da circunferência pertence a uma das cordas. Utilizando o mesmo raciocínio, obtemos:

Se aplicarmos o mesmo conceito no ângulo DBA, obtemos:

Substituindo a relação (8) em (7), obtemos:

E assim provamos o terceiro e último caso.

Veja mais:

O Teorema de Pitágoras, Segundo Euclides - A Proposição I-47
O Teorema da Base Média de um Triângulo
O Teorema da Base Média de um Triângulo Resolvido pelas Propriedades dos Vetores

Teorema da Base Média de um Triângulo Resolvido pelas Propriedades dos Vetores

2011-10-15T15:28:00.001-03:00

Um importante Teorema da Geometria Plana é o Teorema da Base Média de um Triângulo. Já demonstramos aqui utilizando a Geometria Analítica. Neste post, vamos demonstrar este teorema utilizando as propriedades dos vetores.

Teorema: O Segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado, e sua medida é igual à metade da medida do terceiro lado.

Seja o triângulo definido pelos pontos A, B e C, não colineares. Sejam os pontos M e N os pontos médios relativos aos lados AC e BC, respectivamente.

Por hipótese, temos que:

Pela álgebra vetorial temos:

Assim, podemos substituir as relações (3) e (4) na relação (5):

Substituindo (6) em (7), fica demonstrado que:

Veja mais:

Teorema da base Média de um Triângulo
Demonstração dos ângulos Notáveis
Pontos Notáveis de um Triângulo
A Mediana de um Triângulo no blog Fatos Matemáticos