tag:blogger.com,1999:blog-13273184027671364112024-03-17T06:54:56.369-03:00O Baricentro da MentePorque o conhecimento é infinito.Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.comBlogger673125tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-69584068758792002692024-02-18T19:57:00.001-03:002024-02-18T20:03:16.638-03:00A circunferência e seus elementos<div style="text-align: justify;">A circunferência desempenha um papel fundamental na geometria, sendo um dos objetos geométricos mais estudados e aplicados em diversas áreas do conhecimento. Desde a antiguidade, a circunferência tem fascinado matemáticos, cientistas e filósofos, desempenhando um papel central no desenvolvimento da geometria euclidiana e em muitas outras teorias matemáticas.</div><div style="text-align: justify;"><ul><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2019/01/a-quadratura-do-circulo-pelos-egipcios.html" target="_blank">A quadratura do círculo pelos egípcios</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2014/05/como-achar-o-centro-do-circulo-por.html" target="_blank">Como encontrar o centro do círculo</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2011/06/interseccao-de-circunferencias.html" target="_blank">Intersecção de circunferências</a><br /></li></ul></div><div style="text-align: justify;">Ela serve como a base para o estudo de muitos conceitos geométricos, como área, perímetro, ângulos e coordenadas. Além disso, a circunferência está presente em várias situações do mundo real, desde o movimento dos planetas no espaço até o design de objetos cotidianos, como rodas, relógios e engrenagens.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Na geometria analítica, a equação da circunferência desempenha um papel crucial na representação de formas geométricas em um plano cartesiano, permitindo a modelagem e resolução de uma ampla gama de problemas geométricos e físicos.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Compreender os elementos e propriedades da circunferência é essencial para explorar e aplicar conceitos geométricos em diversas áreas do conhecimento, destacando sua importância contínua na matemática e em aplicações práticas.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Vamos considerar a imagem abaixo e explorar os principais elementos que compões a circunferência.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiRdclOLbXR0Gv9SAXeADGmbTR-SIrjapTjzqe71cPSIIHYWKkjkpTf6QpY-dgLVudi2lQHH-I6-K1NYjYOgMP3Ur2pV0_erFGiYwpS_wQ7rLzAV54AlXq_LmrYaJJ7v0WumxM_7lLC2BrLdJ5XFC9wrx2SiF9MmjvbMH_mHBN2mxN2rPYUF5kNUDl6EsM/s1000/a-circunferencia-e-seus-elementos-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="a-circunferencia-e-seus-elementos-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian-raio-corda-secante-diametro-raio-tangente-angulo central-flecha" border="0" data-original-height="1000" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiRdclOLbXR0Gv9SAXeADGmbTR-SIrjapTjzqe71cPSIIHYWKkjkpTf6QpY-dgLVudi2lQHH-I6-K1NYjYOgMP3Ur2pV0_erFGiYwpS_wQ7rLzAV54AlXq_LmrYaJJ7v0WumxM_7lLC2BrLdJ5XFC9wrx2SiF9MmjvbMH_mHBN2mxN2rPYUF5kNUDl6EsM/s16000/a-circunferencia-e-seus-elementos-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian.png" title="A circunferência e seus elementos" /></a></div><div style="text-align: justify;"><b><br /></b></div><div style="text-align: justify;"><b>Centro:</b> O centro $O$ da circunferência é o ponto que possui a mesma distância de todos os pontos que compõem a circunferência.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>Raio:</b> O raio $r$ é o segmento de reta que une o centro da circunferência a qualquer ponto sobre a circunferência. Na figura, o raio está representado pelo segmento $r=\overline{OC}$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>Corda:</b> Corda é o segmento de reta que une dois pontos distintos sobre a circunferência. Na figura, a corda está representada pelo segmento $\overline{DE}$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>Diâmetro:</b> O diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência e possui comprimento igual a duas vezes o raio. Geralmente é representado pela letra $D$. Na figura, o diâmetro está representado pelo segmento $\overline{AB}=2r$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>Arco:</b> O <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2014/09/arcos-de-circunferencia.html" target="_blank">arco </a>de é uma porção da circunferência limitada por dois pontos. Na figura, o arco está representado pela porção entre os pontos $F$ e $G$. O arco é medido através do ângulo central que o admite.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>Flecha:</b> Uma flecha é o segmento de reta que unes os pontos médios do arco e da corda que o admite. Na imagem, a flecha está representada pelo segmento $\overline{HI}$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>Tangente:</b> A <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2011/03/construcao-geometrica-de-tangentes-com.html" target="_blank">tangente </a>é uma reta que intersecta a circunferência em apenas 1 ponto. Na imagem, a reta tangente $(t)$ passa pelo ponto $L$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>Secante:</b> A <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2021/10/a-derivada-da-funcao-secante.html" target="_blank">secante </a>é uma reta que intersecta a circunferência em 2 pontos distintos. Na imagem, a reta secante $(s)$ passa pelos pontos $J$ e $K$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>Semicircunferência:</b> A semicircunferência é o arco equivalente a meia circunferência. Na imagem, a semicircunferência está representada é limitada pelos pontos $A$ e $B$. O ângulo central mede $\theta = 180^\circ$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>Comprimento da circunferência:</b> O comprimento $C$ da circunferência é a medida da soma de todos os pontos que compõe a curva. O comprimento de uma circunferência é dado por $C=2\pi r$</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><h4 style="text-align: justify;">Veja mais:</h4><div style="text-align: justify;"><ul><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2014/09/arcos-de-circunferencia.html" target="_blank">Arcos de circunferência</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2022/07/arquimedes-e-a-area-do-circulo.html" target="_blank">Arquimedes e a área do círculo</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/11/reta-tangente-uma-curva.html" target="_blank">Retas tangentes a uma circunferência</a></li></ul></div>Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-86164861522973112482024-01-06T20:33:00.005-03:002024-01-07T21:33:55.896-03:00Método de integração por partes com 3 termos<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPgjwOZ1u_EC9NxlIsrHZJwHcQesWqRivlbEkZWZ8RbqUt02OtdcFolUEFSb4jfXTxWYv8ynDw295Bed0ebzAWjxRa7Lq344T_UsoC-j-O54sxgC0YaGUsJ9EcFvMKioNApp_Q_eH06KJFmzDbzEJD1DfqcOK0mrqm7jhEXrDJysZAHXkFWIr-nOqIa2U/s752/metodo-de-resolucao-de-integral-por-partes-com-3-funcoes.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="metodo-de-resolucao-de-integral-por-partes-com-3-funcoes-com-3-fatores-integrando-com 3-fatores-integrando-com-3-funcoes" border="0" data-original-height="450" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPgjwOZ1u_EC9NxlIsrHZJwHcQesWqRivlbEkZWZ8RbqUt02OtdcFolUEFSb4jfXTxWYv8ynDw295Bed0ebzAWjxRa7Lq344T_UsoC-j-O54sxgC0YaGUsJ9EcFvMKioNApp_Q_eH06KJFmzDbzEJD1DfqcOK0mrqm7jhEXrDJysZAHXkFWIr-nOqIa2U/s16000/metodo-de-resolucao-de-integral-por-partes-com-3-funcoes.png" title="Método de integração por partes com 3 termos" /></a></div><div style="text-align: justify;">O método de integração por partes funciona bem quando o integrando é um produto entre duas funções, como por exemplo $e^x\ \cos(x)$, e para isso, utilizamos a fórmula:</div>$$<br />\int u\ dv = uv - \int v\ du <br />$$<div style="text-align: justify;">Podemos estender essa fórmula para quando houver no integrando um produto entre três funções, como por exemplo $x\ \text{sen}(x)\ e^x$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Vamos iniciar com a função:</div>$$<br />f = u\ v\ w <br />$$<div style="text-align: justify;">E a derivada de $f$ será:</div>$$<br />f^\prime = u^\prime v\ w + u\ v^\prime w + u\ v\ w^\prime<br />$$<div style="text-align: justify;">Para entender de onde vieram as fórmulas acima, sugiro a leitura dos artigos:</div><div style="text-align: justify;"><ul><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/metodo-de-integracao-por-partes.html" target="_blank">Método de integração por partes</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2009/09/derivada-do-produto-entre-tres-funcoes.html" target="_blank">Derivada do produto entre 3 funções</a></li></ul></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Podemos reescrever a derivada com outra notação mais intuitiva:</div>$$<br />d(u\ v\ w) = v\ w \ du + u\ w\ dv + u\ v\ dw<br />$$<div style="text-align: justify;">Para obtermos:</div>$$<br />u\ v\ dw = d(u\ v\ w) - v\ w\ du - u\ w\ dv<br />$$<div style="text-align: justify;">Integrando ambos os membros da igualdade, obtemos:</div>$$<br />\int u\ v\ dw = \int d(u\ v\ w) - \int v\ w\ du - \int u\ w\ dv<br />$$<div style="text-align: justify;">Encontrando a fórmula para integração por partes de 3 termos:</div>$$<br />\int u\ v\ dw = u\ v\ w - \int v\ w\ du - \int u\ w\ dv<br />$$<div style="text-align: justify;">De um modo geral, é possível seguir algumas etapas para resolver integrais contendo 3 termos através do método de integração por partes:</div><div><ol><li>Fatoramos o integrando em três partes convenientes;</li><li>Escolhemos as substituições dos fatores, sendo o primeiro igual a $u$, o segundo igual a $v$ e o terceiro (incluindo $dx$) igual a $dw$;</li><li>Calculamos as derivadas de $u$ e $v$ e a integral de $dw$ para obtermos $du$, $dv$ e $w$, respectivamente;</li><li>Calculamos as integrais $\displaystyle \int v\ w\ du$ e $\displaystyle \int u\ w\ dv$;</li><li>Escrevemos o resultado como:</li></ol>$$<br />\int u\ v\ dw = u\ v\ w - \int v\ w\ du - \int u\ w\ dv<br />$$</div><div style="text-align: justify;">As escolhas de $u$, $v$ e $dw$ são importantes para o sucesso na integração. Devemos pensar essa escolha como um produto $u\ v\ dw$ de tal modo que seja o mais simples possível de integrar.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>Nota: </b>Se você estiver utilizando celular, talvez as fórmulas não apareçam completamente em sua tela devido ela serem longas demais. Talvez seja necessário girar a tela para horizontal.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><h3 style="text-align: justify;">Exemplo:</h3><div style="text-align: justify;">Calcular a integral $\displaystyle \int x\ \text{sen}(x)\ e^x\ dx$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Seja a integral:</div>$$<br />I = \int x\ \text{sen}(x)\ e^x\ dx<br />$$<div style="text-align: justify;">Vamos escolher $u = x$, $v = \text{sen}(x)$ e $dw=e^x\ dx$. Em seguida, calculamos as derivadas de $u$ e $v$ e a integral de $dw$:</div>\begin{matrix}<br />u = x &\longrightarrow & du = dx\\<br />v =\text{sen}(x) & \longrightarrow & dv = \cos(x)\ dx\\<br />dw = e^x\ dx & \longrightarrow & w = e^x<br />\end{matrix}<div style="text-align: justify;">O próximo passo é aplicar os resultados obtidos acima na fórmula para integração por partes:</div>$$<br />I = x\ \text{sen}(x)\ e^x - \color{red}{\underbrace{\int \text{sen}(x)\ e^x\ dx}_1} - \color{blue}{\underbrace{\int x\ \cos(x)\ e^x dx}_2}<br />$$<div style="text-align: justify;">Vamos resolver separadamente as integrais $(1)$ e $(2)$ e depois substituímos na integral acima.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div><span style="text-indent: 0cm;">◾ </span>Resolvendo a integral $(1)$: $\displaystyle \color{red}{ \int \text{sen}(x)\ e^x\ dx}$</div><div style="text-align: justify;"><span style="text-align: start;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="text-align: start;">Fazemos:</span></div><div>$$<br />\color{red}{\begin{matrix}<br />u =\text{sen}(x) & \longrightarrow & du = \cos(x)\ dx\\<br />dv = e^x\ dx & \longrightarrow & v = e^x<br />\end{matrix}}<br />$$<br /><div><span>Aplicamos os resultados acima na fórmula para integração por partes:</span></div>$$<br />\color{red}{\int \text{sen}(x)\ e^x\ dx = \text{sen}(x)\ e^x - \int \cos(x)\ e^x\ dx}<br />$$<div style="text-align: justify;"><span style="text-align: start;"><br /></span></div><div><span style="text-align: start;"><span style="text-indent: 0cm;">◾ </span>Resolvendo a integral $(2)$: </span>$\displaystyle \color{blue}{\int x\ \cos(x)\ e^x dx}$</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div>Fazemos:</div>$$<br />\color{blue}{\begin{matrix}<br />u = x & \longrightarrow & du = dx\\<br />v = \cos(x) & \longrightarrow & dv = -\text{sen}(x)\ dx\\<br />dw = e^x\ dx & \longrightarrow & w = e^x<br />\end{matrix}}<br />$$</div><div><div style="text-align: justify;">Aplicamos o resultado na fórmula para integração por partes:</div>$$<br />\color{blue}{\int x\ \cos(x)\ e^x dx = x\ \cos(x)\ e^x - \int \cos(x)\ e^x du + \int x\ \text{sen}(x)\ e^x dx}<br />$$<div style="text-align: justify;">Agora, substituímos os dois resultados acima na integral $I$:</div>$$<br />I = x\ \text{sen}(x)\ e^x - \text{sen}(x)\ e^x +\\<br /> \int \cos(x)\ e^x\ dx - x\ \cos(x)\ e^x +\\<br />\int \cos(x)\ e^x\ dx - \int x\ \text{sen}(x)\ e^x\ dx<br />$$<div style="text-align: justify;">A última integral da relação acima é igual à integral original, de modo que podemos substituí-la por $I$:</div>$$<br />I = x\ \text{sen}(x)\ e^x - \text{sen}(x)\ e^x +\\<br /> \int \cos(x)\ e^x\ dx - x\ \cos(x)\ e^x +\\<br />\int \cos(x)\ e^x\ dx - I\\<br />\ \\<br />\ \\<br />2I = x\ \text{sen}(x)\ e^x - \text{sen}(x)\ e^x +\\<br /> \int \cos(x)\ e^x\ dx - x\ \cos(x)\ e^x +\\<br />\int \cos(x)\ e^x\ dx<br />$$<div><div><div>Somamos os termos semelhantes:</div></div>$$<br />2I = x\ \text{sen}(x)\ e^x - \text{sen}(x)\ e^x -\\<br />x\ \cos(x)\ e^x + 2 \color{Magenta}{\underbrace{\int \cos(x)\ e^x\ dx}_3}<br />$$</div><div><span style="text-indent: 0cm;">◾ </span>Resolvendo a integral $(3)$: $\color{Magenta}{\displaystyle \int \cos(x)\ e^x\ dx}$<div><br /></div><div>Fazemos:</div>$$<br />\color{Magenta}{\begin{matrix}<br />u =\cos(x) & \longrightarrow & du = -\text{sen}(x)\ dx\\<br />dv = e^x\ dx & \longrightarrow & v = e^x<br />\end{matrix}}<br />$$</div><div><div>Aplicamos o resultado na fórmula para integração por partes:</div>$$<br />\color{Magenta}{\displaystyle \int \cos(x)\ e^x\ dx = \cos(x)\ e^x + \int \text{sen}(x)\ e^x\ dx}<br />$$<div>Precisamos efetuar uma nova integração por partes para resolver a última integral. Fazemos:</div>$$<br />\color{Magenta}{\begin{matrix}<br />u =\text{sen}(x) & \longrightarrow & du = \cos(x)\ dx\\<br />dv = e^x\ dx & \longrightarrow & v = e^x<br />\end{matrix}}<br />$$</div><div><div>Substituindo os valores obtidos:</div>$$<br />\color{Magenta}{\displaystyle \int \cos(x)\ e^x\ dx = \cos(x)\ e^x +\\<br />\text{sen}(x)\ e^x - \int \cos(x)\ e^x\ dx\\}<br />\ \\<br />\ \\<br />\color{Magenta}{2 \displaystyle \int \cos(x)\ e^x\ dx = \cos(x)\ e^x + \text{sen}(x)\ e^x}<br />$$</div><div><div>Agora, podemos substituir o resultado acima na integral $I$:</div>$$<br />2I = x\ \text{sen}(x)\ e^x - \text{sen}(x)\ e^x -\\<br />x\ \cos(x)\ e^x + \cos(x)\ e^x + \text{sen}(x)\ e^x + C<br />$$<br /><div>Somamos os termos semelhantes:</div>$$<br />2I = x\ \text{sen}(x)\ e^x - x\ \cos(x)\ e^x + \cos(x)\ e^x + C\\<br />\ \\<br />2I = e^x \Big(x\ \text{sen}(x) - x\cos(x) + \cos(x)\Big)+C\\<br />\ \\<br />I = \frac{e^x}{2}\Big(x\ \text{sen}(x) - x\cos(x) + \cos(x)\Big)+C<br />$$</div><div><br /></div><h4 style="text-align: left;">Download</h4><div><span style="text-align: justify;">Você pode fazer o download deste artigo em PDF através do Google Drive:</span></div><div><span style="text-align: justify;"><br /></span></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://drive.google.com/file/d/10Lv2i0zw6iL3zFdjs0Cmol0oHbs-uZjg/view?usp=sharing" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img border="0" data-original-height="46" data-original-width="200" height="46" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj43uzq2J3Xe9WyrPa9JBlu3ydl25IKwZod1lwbv9g8frWD2zSQ4dVX297MCIoA6P4fJlfLwEQKdwCs7nOUD4Lhs-NM04hrk0U_-_cZVYruB50Y1-BqceQpC5KFZtlPk0k5aXl3KxefBbgrJjc2CMSgV6nyWpeIAPkSoeZ6oNHaffbiF8eb-f6Q716caxQ/w200-h46/botao-download-artigo-drive-o-baricentro-da-mente.png" width="200" /></a></div><span style="text-align: justify;"><br /></span></div><div><span style="text-align: justify;"><br /></span></div><div><h4 style="text-align: left;">Veja mais</h4><ul style="text-align: left;"><li><p class="western" style="line-height: 100%; margin-bottom: 0cm;">
</p><div><span style="border: none; display: inline-block; padding: 0cm;"><span><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/metodo-de-integracao-por-partes.html">Por
partes</a></span></span></div></li><li><div><span><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2019/05/o-metodo-tabular-para-resolver-integrais-por-partes.html">Método
</a></span><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2019/05/o-metodo-tabular-para-resolver-integrais-por-partes.html"><span>t</span><span>abular</span></a></div></li><li><div style="line-height: 100%; margin-bottom: 0cm;"><span style="border: none; display: inline-block; padding: 0cm;"><span><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/10/metodo-de-integracao-por-substituicao.html">Por
substituição</a></span></span></div></li><li><div style="line-height: 100%; margin-bottom: 0cm;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/06/integracao-por-fracoes-parciais-parte-1.html">Por
frações parciais</a></div></li><li><div style="line-height: 100%; margin-bottom: 0cm;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/06/integracao-por-substituicao.html">Por
substituição trigonométrica</a></div></li><li><div style="line-height: 100%; margin-bottom: 0cm;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/p/integrais.html">Integrais
literais resolvidas</a><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2013/02/formula-de-reducao-para-alguns-casos-de.html">Fórmula
de redução</a></div></li></ul></div></div>Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-48241711278418899872023-12-27T17:55:00.007-03:002024-01-07T18:43:40.150-03:00 O Teorema de Pitágoras: Uma jornada através da história<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkvrpuZ6VenL0MpzBmxgcfQ9W_isStmFQ6at7KA1wNr0C9Nggl_Yj-fcsPkvVAMLKeMTmWrIspY-sIXnVLEcbzKYwHMvqwXczLMUsz0d-FXu6Sjsoy85p0QyFK2PX_EZmGbgg01KM4Psz4OOqrnOO3V76ogs5v-Ws8dr0PR1zYiMTYLh7Q0UF5jXiDnO0/s752/o-teorema-de-pitagoras-uma-jornada-atraves-da-historia-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="o-teorema-de-pitagoras-uma-jornada-atraves-da-historia-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian" border="0" data-original-height="500" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkvrpuZ6VenL0MpzBmxgcfQ9W_isStmFQ6at7KA1wNr0C9Nggl_Yj-fcsPkvVAMLKeMTmWrIspY-sIXnVLEcbzKYwHMvqwXczLMUsz0d-FXu6Sjsoy85p0QyFK2PX_EZmGbgg01KM4Psz4OOqrnOO3V76ogs5v-Ws8dr0PR1zYiMTYLh7Q0UF5jXiDnO0/s16000/o-teorema-de-pitagoras-uma-jornada-atraves-da-historia-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian.png" title="O Teorema da Pitágoras: Uma jornada através da história" /></a></div><div style="text-align: justify;">O Teorema de Pitágoras é uma das descobertas matemáticas mais fundamentais e influentes na história da humanidade. Sua origem remonta à antiga Mesopotâmia (mais de mil anos antes de Pitágoras nascer), onde os babilônios possuíam um conhecimento prático que antecedeu a formulação formal pelos pitagóricos na <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2011/07/astronomia-e-os-astronomos-na-grecia.html" target="_blank">Grécia Antiga.</a></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras" target="_blank">Pitágoras</a> de Samos (aprox. 570 a.C. - 496 a,C.) foi um filósofo e matemático grego jônico creditado como fundador do movimento chamado Pitagorismo. Na sua maioria, as informações sobre Pitágoras foram escritas séculos depois da sua morte, de modo que há pouca informação confiável sobre ele.</div><div><br /></div><h3>Origens e utilização pelos babilônios</h3><div style="text-align: justify;">As origens do Teorema de Pitágoras têm raízes profundas na prática matemática dos babilônios na Mesopotâmia, onde os registros arqueológicos revelam uma compreensão empírica dessas relações geométricas. Embora os babilônios não tenham formulado o teorema de maneira abstrata, eles o aplicavam de maneira prática em situações do cotidiano.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Os <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2008/11/metodo-babilonico-para-calcular-raziz-quadrada.html" target="_blank">babilônios</a> utilizavam tábuas de argila para registrar informações matemáticas, e talvez a mais notável das tábuas babilônias já analisadas seja aquela conhecida como <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2008/11/ternos-pitagoricos-e-a-tabua-de-plimpton-322.html" target="_blank">Plimpton 322.</a> O nome faz referência a G. A. Plimpton da Universidade de Columbia, catalogada pelo número de 322.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjBEFW1BrgdBvgLOiElsGMec7ImeDp2NsnG-f2gVHx4mpBqg3ahGvmU2J9kdA2mZL8mXXt31QtOjcsd5ZnuJ31qSEymDrTmghTUyVza7BnYfK36Z6BGwqmBwS9uYyBiPhETgItjiiKYR8Kb27Qr0_DIPHYY8sOfyj_SL9lTL81GB5oxFpC78zz_SmIHtk/s752/tabua-de-plimpton-322-teorema-de-pitagoras.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="tabua-de-plimpton-322-teorema-de-pitagoras" border="0" data-original-height="520" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjBEFW1BrgdBvgLOiElsGMec7ImeDp2NsnG-f2gVHx4mpBqg3ahGvmU2J9kdA2mZL8mXXt31QtOjcsd5ZnuJ31qSEymDrTmghTUyVza7BnYfK36Z6BGwqmBwS9uYyBiPhETgItjiiKYR8Kb27Qr0_DIPHYY8sOfyj_SL9lTL81GB5oxFpC78zz_SmIHtk/s16000/tabua-de-plimpton-322-teorema-de-pitagoras.png" title="A tábua de Plimpton 322 e o Teorema de Pitágoras" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">[Plimpton-322: Tábua em argila com escrita cuneiforme com registro de matemática babilônica]</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Esta tábua foi escrita no período babilônio antigo, aproximadamente entre 1900 a 1600 a.C.. Contém três colunas praticamente completas de caracteres, sendo os valores dos catetos e hipotenusa de triângulos retângulos.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Esses ternos pitagóricos eram frequentemente associadas a medidas de áreas e comprimentos em contextos como agricultura e construção.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">É interessante notar que os babilônios não se preocupavam em fornecer uma prova formal do teorema, mas sim em aplicar suas propriedades de forma pragmática. Por exemplo, registros de terras agrícolas mostram o uso do teorema de Pitágoras na demarcação de campos retangulares. Eles reconheciam que um triângulo retângulo com lados proporcionais de $3$, $4$ e $5$ unidades, por exemplo, garantia um ângulo reto e, portanto, poderia ser usado para garantir a precisão nas medidas.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Essa abordagem prática e aplicada dos babilônios destaca a natureza evolutiva do conhecimento matemático, onde princípios fundamentais são descobertos e utilizados muito antes de serem formalizados por teóricos posteriores. Assim, a contribuição dos babilônios para o desenvolvimento do Teorema de Pitágoras reside não apenas na descoberta empírica, mas também na aplicação eficaz dessa relação geométrica em sua sociedade.</div><div><br /></div><h3>Origem dos termos cateto e hipotenusa</h3><div style="text-align: justify;">A etimologia das palavras "cateto" e "hipotenusa" está ligada à influência da língua grega na terminologia matemática. Ambos os termos são utilizados em contextos relacionados a triângulos retângulos.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>Cateto: </b>A palavra "cateto" tem sua origem no termo grego "kathetos" (κάθετος), que significa "vertical" ou "perpendicular". Essa escolha de termo reflete a posição dos lados que formam o ângulo reto em um triângulo retângulo, que são perpendiculares entre si.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>Hipotenusa: </b>A palavra "hipotenusa" também tem origem grega, derivada de "hypoteinousa" (ὑποτείνουσα), que é a junção das palavras “hypo”, que significa “sob”, “por baixo” e pela palavra “teinen”, que significa “esticar”, podendo ser traduzida como "estendida sob". Isso se refere ao lado oposto ao ângulo reto, que se "estende sob" os catetos, conectando-os.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhOYOVzxE8xaicSSiU1VzycILVx3_68CfhzaeUfv5B7OTtBbdYBXdzacR93Dh6DSfzhN0EDwIS8-MhJgMxaoDGTQsDDA4s0PIHIUysJsz_5gQWEeSW_JwdB7OXpFjwWePSdnZrnqAia3h4u0ww0gt-IjeEh7JDn2gbTD1PQJme5xw61kYlD7eMOpXJ3EFE/s752/triangulo-retangulo-catetos-e-hipotenusa.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Triângulo retângulo e seus lados: catetos e hipotenusa" border="0" data-original-height="360" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhOYOVzxE8xaicSSiU1VzycILVx3_68CfhzaeUfv5B7OTtBbdYBXdzacR93Dh6DSfzhN0EDwIS8-MhJgMxaoDGTQsDDA4s0PIHIUysJsz_5gQWEeSW_JwdB7OXpFjwWePSdnZrnqAia3h4u0ww0gt-IjeEh7JDn2gbTD1PQJme5xw61kYlD7eMOpXJ3EFE/s16000/triangulo-retangulo-catetos-e-hipotenusa.png" title="Triângulo retângulo e seus lados: catetos e hipotenusa" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">[Triângulo retângulo e seus lados: catetos e hipotenusa]</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Essas terminologias foram incorporadas à linguagem matemática e foram preservadas ao longo do tempo. A utilização de raízes gregas para nomear elementos geométricos reflete a influência duradoura da tradição matemática grega na construção do vocabulário matemático em várias línguas.</div><div><br /></div><h3>Formulação pelos pitagóricos</h3><div style="text-align: justify;">A formulação formal do teorema é atribuída à escola pitagórica, uma comunidade de pensadores liderada por Pitágoras, na Grécia do século VI a.C. A ideia fundamental é expressa pela relação matemática que afirma:</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: center;"><i><b>A soma dos quadrados dos catetos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado da hipotenusa.</b></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhurcGShyphenhyphenbsajRgjcZx8oo9N2oLWromaTvgWo6g-252bV2-LR3hBLn_JxGrWJfeKA5DVLp0ymNKXxon5hI9I1WqY5JvcQ8TKG0mVHS_qxyGxQzHPzaecqgNh2B13RhB37gexVvP2wfGHxpNQZ7_Nw6my-plX8VEgvYCKF1zMUmbljGbvqD-fsfamfHs3Nc/s752/teorema-de-pitagoras-quadrados-sobre-os-lados.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="teorema-de-pitagoras-quadrados-sobre-os-lados" border="0" data-original-height="500" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhurcGShyphenhyphenbsajRgjcZx8oo9N2oLWromaTvgWo6g-252bV2-LR3hBLn_JxGrWJfeKA5DVLp0ymNKXxon5hI9I1WqY5JvcQ8TKG0mVHS_qxyGxQzHPzaecqgNh2B13RhB37gexVvP2wfGHxpNQZ7_Nw6my-plX8VEgvYCKF1zMUmbljGbvqD-fsfamfHs3Nc/s16000/teorema-de-pitagoras-quadrados-sobre-os-lados.png" title="O teorema de Pitágoras: quadrados sobre os lados de um triângulo retângulo" /></a></div><div style="text-align: center;">[Quadrados sobre os catetos e sobre a hipotenusa]</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Essa formulação abriu caminho para uma compreensão mais abstrata e generalizada das relações geométricas, representando a transição de conceitos práticos para uma compreensão mais abstrata e teórica da geometria.</div><div><br /></div><h3>Elementos da formulação pitagórica</h3><div style="text-align: justify;"><b>Triângulo retângulo: </b>Os pitagóricos focaram inicialmente em triângulos retângulos, ou seja, aqueles que possuem um ângulo reto (90 graus). Identificaram a relação fundamental entre os comprimentos dos lados desse tipo específico de triângulo.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>A importância dos quadrados: </b>A percepção crucial foi o reconhecimento de que os quadrados construídos sobre os catetos (os lados que formam o ângulo reto) tinham uma relação específica com o quadrado construído sobre a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto).</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>Sentença matemática: </b>A formulação pitagórica pode ser expressa como:</div>$$<br />a^2+b^2=c^2<br />$$<div style="text-align: justify;">onde $a$ e $b$ são os catetos, e $c$ é a hipotenusa de um triângulo retângulo.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Devemos esclarecer que quando dizemos “quadrado”, não estamos nos referindo necessariamente a figura geométrica “quadrado”, mas sim à área de um polígono qualquer.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjbTTKQa3aZcT4dP49RZzIgPe2dty7SpguOqU9tywbeBoYDeas9zMBp30Wmkz2CiznhjtKWJHz6NKL9fQJGlpCbSTlASjLbBHM5D6FLNk4GTaPedqwlPiJ-_ktaeNeQgODoRkXnwKcejbto-Ddd8dLRnfJXiGugZs4r2lT3zCutILuj5KiTVHfkUKTE1_M/s752/teorema-de-pitagoras-generalizado-para-poligonos-sobre-os-lados-de-um-triangulo-retangulo.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="teorema-de-pitagoras-generalizado-para-poligonos-sobre-os-lados-de-um-triangulo-retangulo" border="0" data-original-height="500" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjbTTKQa3aZcT4dP49RZzIgPe2dty7SpguOqU9tywbeBoYDeas9zMBp30Wmkz2CiznhjtKWJHz6NKL9fQJGlpCbSTlASjLbBHM5D6FLNk4GTaPedqwlPiJ-_ktaeNeQgODoRkXnwKcejbto-Ddd8dLRnfJXiGugZs4r2lT3zCutILuj5KiTVHfkUKTE1_M/s16000/teorema-de-pitagoras-generalizado-para-poligonos-sobre-os-lados-de-um-triangulo-retangulo.png" title="O teorema de Pitágoras generalizado para a área de polígonos sobre os lados de um triângulo retângulo" /></a></div><div style="text-align: center;">[O teorema de Pitágoras generalizado para a área de polígonos sobre os lados de um triângulo retângulo]</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div><br /></div><h3 style="text-align: left;">Demonstrações do Teorema de Pitágoras</h3><div style="text-align: justify;">Ao longo dos séculos, matemáticos desenvolveram diversas demonstrações do teorema. Desde as clássicas demonstrações geométricas, como a Proposição <code>I-47</code> contida nos <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/01/elementos-de-euclides.html" target="_blank">Elementos de Euclides</a> e a de Leonardo Da Vinci, até abordagens mais algébricas, o teorema de Pitágoras tornou-se um ponto focal na teoria matemática.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">O Teorema de Pitágoras é considerado o que possui maior quantidade de métodos de demonstração (mais de 400). Essas demonstrações não apenas reforçam a validade do teorema, mas também enriquecem a compreensão da matemática como um sistema lógico e coerente.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">As demonstrações tendem a comprovar que a área sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas sobre os catetos, podendo utilizar a geometria plana, a trigonometria, a geometria analítica, entre outros.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8xTxRNaxJ-KkrbD3hc5SobN5IBK97Sx9Nsq1EZsJuHwwjV0KRey82uj5FxTXe5CGmcg2iovcKlQTnqK8poaIbOik7qXt6Ulsp5aODp9kvozxeIIuiJsOWOmlQGBwJlxn8VuMeToR07XQqpPnomF-IHhjA5QMi9hOKjDM2UyvuKHJa8wVcmqke2oJOVEE/s800/teorema-depitagoras-segundo-euclides-proposicao-I-47.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="teorema-depitagoras-segundo-euclides-proposicao-I-47" border="0" data-original-height="800" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8xTxRNaxJ-KkrbD3hc5SobN5IBK97Sx9Nsq1EZsJuHwwjV0KRey82uj5FxTXe5CGmcg2iovcKlQTnqK8poaIbOik7qXt6Ulsp5aODp9kvozxeIIuiJsOWOmlQGBwJlxn8VuMeToR07XQqpPnomF-IHhjA5QMi9hOKjDM2UyvuKHJa8wVcmqke2oJOVEE/s16000/teorema-depitagoras-segundo-euclides-proposicao-I-47.png" title="Preposição I-47 do Livro Os Elementos de Euclides, demonstrando o Teorema de Pitágoras" /></a></div><div style="text-align: center;">[Prova do Teorema de Pitágoras, segundo Euclides] </div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Demonstrações do <b>Teorema de Pitágoras </b>podem ser lidas nos links abaixo:</div><div style="text-align: justify;"><ol><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2018/11/teorema-de-pitagoras-metodo-de-perigal.html" target="_blank">Teorema de Pitágoras - Método de Perigal</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2011/04/o-teorema-de-pitagoras-segundo-euclides.html" target="_blank">O teorema de Pitágoras, segundo Euclides – A proposição I-47</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2015/11/a-arte-de-contar-historias-em-desenhos.html" target="_blank">A arte de contar histórias em desenhos e o Teorema de Pitágoras</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2020/12/prova-do-teorema-de-pitagoras-utilizando-a-potencia-de-um-ponto.html" target="_blank">Prova do Teorema de Pitágoras utilizando a potência de um ponto</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2015/03/prova-do-teorema-de-pitagoras-relacoes-circunferencia.html" target="_blank">Prova do Teorema de Pitágoras, baseado nas relações métricas da circunferência</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2019/05/prova-do-teorema-de-pitagoras-a-partir-de-um-quadrado-formado-por-4-triangulos-retangulos.html" target="_blank">Prova do Teorema de Pitágoras a partir de um quadrado formado por 4 triângulos retângulos</a></li></ol></div><div><br /></div><h3 style="text-align: left;">Fórmula para calcular os ternos pitagóricos </h3><div style="text-align: justify;">Um<b> <a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Terno_pitag%C3%B3rico" target="_blank">terno pitagórico </a></b>(ou tripla pitagórica) é formado por três números inteiros positivos $(a,b,c)$ que representam os lados de um triângulo retângulo e que obedecem à relação $a^2+b^2=c^2$. Se $(a,b,c)$ é um terno pitagórico, então $(ka,kb,kc)$ também é, para todo $k$ pertencente aos números naturais.</div><div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Um<b> <a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Terno_pitag%C3%B3rico" target="_blank">terno pitagórico primitivo </a></b>é aquele que os três lados $(a,b,c)$ do triângulo retângulo são primos entre si.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><div>Um dos grandes feitos matemáticos dos gregos, posterior muitos séculos à <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2008/11/ternos-pitagoricos-e-a-tabua-de-plimpton-322.html" target="_blank">tábua de Plimpton 322,</a> foi mostrar que é possível encontrar três números $(a,b,c)$ que satisfazem à relação $a^2+b^2=c^2$ dados parametricamente por:</div><div style="text-align: left;">\begin{cases}<br />a = 2\ u\ v\\<br />\ \\<br />b = u^2 - v^2\\<br />\ \\<br />c = u^2 + v^2<br />\end{cases}<br /><div>sendo $u>v$.</div><div><br /></div></div></div><div style="text-align: justify;">As fórmulas acima fornecem <b>ternos pitagóricos </b>se $u>v$, mas serão <b>ternos pitagóricos primitivos </b>se os valores atribuídos a $u$ e $v$ forem primos entre si de paridades diferentes, ou seja, um par e outro ímpar.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Abaixo podemos observar uma tabela contendo <b>ternos pitagóricos.</b> As linhas destacadas em azul são os <b>ternos pitagóricos primitivos:</b></div><div style="text-align: justify;"><br /></div>
<table class="tg">
<thead>
<tr>
<th class="tg-hv44">$u$</th>
<th class="tg-hv44">$v$</th>
<th class="tg-hv44">$a=$$2uv$</th>
<th class="tg-hv44">$b=$$u^2-v^2$</th>
<th class="tg-hv44">$c=$$u^2+v^2$</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td class="tg-hv44"><b><span style="color: #2b00fe;">2</span></b></td>
<td class="tg-hv44"><b><span style="color: #2b00fe;">1</span></b></td>
<td class="tg-hv44"><b><span style="color: #2b00fe;">4</span></b></td>
<td class="tg-hv44"><b><span style="color: #2b00fe;">3</span></b></td>
<td class="tg-wi6j"><b><span style="color: #2b00fe;">5</span></b></td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-hv44">3</td>
<td class="tg-hv44">1</td>
<td class="tg-hv44">6</td>
<td class="tg-hv44">8</td>
<td class="tg-hv44">10</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">3</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">2</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">12</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">5</span></b></td>
<td class="tg-7btt"><b><span style="color: #2b00fe;">13</span></b></td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">4</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">1</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">8</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">15</span></b></td>
<td class="tg-7btt"><b><span style="color: #2b00fe;">17</span></b></td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow">4</td>
<td class="tg-c3ow">2</td>
<td class="tg-c3ow">16</td>
<td class="tg-c3ow">12</td>
<td class="tg-c3ow">20</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow"><span style="color: #2b00fe;"><b>4</b></span></td>
<td class="tg-c3ow"><span style="color: #2b00fe;"><b>3</b></span></td>
<td class="tg-c3ow"><span style="color: #2b00fe;"><b>24</b></span></td>
<td class="tg-c3ow"><span style="color: #2b00fe;"><b>7</b></span></td>
<td class="tg-7btt"><span style="color: #2b00fe;"><b>25</b></span></td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow">5</td>
<td class="tg-c3ow">1</td>
<td class="tg-c3ow">10</td>
<td class="tg-c3ow">24</td>
<td class="tg-c3ow">26</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">5</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">2</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">20</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">21</span></b></td>
<td class="tg-7btt"><b><span style="color: #2b00fe;">29</span></b></td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow">5</td>
<td class="tg-c3ow">3</td>
<td class="tg-c3ow">30</td>
<td class="tg-c3ow">16</td>
<td class="tg-c3ow">34</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">5</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">4</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">40</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">9</span></b></td>
<td class="tg-7btt"><b><span style="color: #2b00fe;">41</span></b></td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">6</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">1</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">12</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">35</span></b></td>
<td class="tg-7btt"><b><span style="color: #2b00fe;">37</span></b></td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow">6</td>
<td class="tg-c3ow">2</td>
<td class="tg-c3ow">34</td>
<td class="tg-c3ow">32</td>
<td class="tg-c3ow">40</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow">6</td>
<td class="tg-c3ow">3</td>
<td class="tg-c3ow">36</td>
<td class="tg-c3ow">27</td>
<td class="tg-c3ow">45</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow">6</td>
<td class="tg-c3ow">4</td>
<td class="tg-c3ow">48</td>
<td class="tg-c3ow">20</td>
<td class="tg-c3ow">52</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">6</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">5</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">60</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">11</span></b></td>
<td class="tg-7btt"><b><span style="color: #2b00fe;">61</span></b></td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow">7</td>
<td class="tg-c3ow">1</td>
<td class="tg-c3ow">14</td>
<td class="tg-c3ow">48</td>
<td class="tg-c3ow">50</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">7</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">2</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">28</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">45</span></b></td>
<td class="tg-7btt"><b><span style="color: #2b00fe;">53</span></b></td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow">7</td>
<td class="tg-c3ow">3</td>
<td class="tg-c3ow">42</td>
<td class="tg-c3ow">40</td>
<td class="tg-c3ow">58</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">7</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">4</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">56</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">33</span></b></td>
<td class="tg-7btt"><b><span style="color: #2b00fe;">65</span></b></td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow">7</td>
<td class="tg-c3ow">5</td>
<td class="tg-c3ow">70</td>
<td class="tg-c3ow">24</td>
<td class="tg-c3ow">74</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">7</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">6</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">84</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">13</span></b></td>
<td class="tg-7btt"><b><span style="color: #2b00fe;">85</span></b></td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">8</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">1</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">16</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">63</span></b></td>
<td class="tg-7btt"><b><span style="color: #2b00fe;">65</span></b></td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow">8</td>
<td class="tg-c3ow">2</td>
<td class="tg-c3ow">32</td>
<td class="tg-c3ow">60</td>
<td class="tg-c3ow">68</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">8</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">3</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">48</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">55</span></b></td>
<td class="tg-7btt"><b><span style="color: #2b00fe;">73</span></b></td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow">8</td>
<td class="tg-c3ow">4</td>
<td class="tg-c3ow">64</td>
<td class="tg-c3ow">48</td>
<td class="tg-c3ow">80</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">8</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">5</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">80</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">39</span></b></td>
<td class="tg-7btt"><b><span style="color: #2b00fe;">89</span></b></td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow">8</td>
<td class="tg-c3ow">6</td>
<td class="tg-c3ow">96</td>
<td class="tg-c3ow">28</td>
<td class="tg-c3ow">100</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow">8</td>
<td class="tg-c3ow">7</td>
<td class="tg-c3ow">112</td>
<td class="tg-c3ow">15</td>
<td class="tg-c3ow">113</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow">9</td>
<td class="tg-c3ow">1</td>
<td class="tg-c3ow">18</td>
<td class="tg-c3ow">8</td>
<td class="tg-c3ow">82</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">9</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">2</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">36</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">77</span></b></td>
<td class="tg-7btt"><b><span style="color: #2b00fe;">85</span></b></td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow">9</td>
<td class="tg-c3ow">3</td>
<td class="tg-c3ow">54</td>
<td class="tg-c3ow">72</td>
<td class="tg-c3ow">90</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">9</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">4</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">72</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">65</span></b></td>
<td class="tg-7btt"><b><span style="color: #2b00fe;">97</span></b></td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow">9</td>
<td class="tg-c3ow">5</td>
<td class="tg-c3ow">90</td>
<td class="tg-c3ow">56</td>
<td class="tg-c3ow">106</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow">9</td>
<td class="tg-c3ow">6</td>
<td class="tg-c3ow">108</td>
<td class="tg-c3ow">45</td>
<td class="tg-c3ow">117</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow">9</td>
<td class="tg-c3ow">7</td>
<td class="tg-c3ow">126</td>
<td class="tg-c3ow">32</td>
<td class="tg-c3ow">130</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">9</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">8</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">144</span></b></td>
<td class="tg-c3ow"><b><span style="color: #2b00fe;">17</span></b></td>
<td class="tg-7btt"><b><span style="color: #2b00fe;">145</span></b></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: center;">[Tabela de ternos pitagóricos]</div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: justify;">A sequência de ternos pitagórigos primitivos está catalogada na OEIS sob o número <a href="https://oeis.org/A103606" target="_blank">A103606</a>.</div></div><div><br /></div><div><br /></div><h3 style="text-align: left;">Significado filosófico</h3><div style="text-align: justify;"><div>Além da importância matemática, o Teorema de Pitágoras reflete a busca dos pitagóricos por harmonia e ordem no universo. Eles acreditavam que os números e as relações matemáticas desempenhavam um papel fundamental na compreensão da natureza e do cosmos.</div><div><br /></div><div>Os pitagóricos acreditavam que os números eram a base fundamental da realidade e que podiam ser aplicados para entender a natureza e a relação entre os lados do triângulo retângulo conectava os números e a geometria.</div><div><br /></div><div>Pitágoras e seus seguidores consideravam que as relações matemáticas eram a chave para compreender a estrutura fundamental do universo. A ideia de que padrões numéricos e geométricos podiam ser encontrados em todas as coisas, desde as proporções do corpo humano até os movimentos dos planetas.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIBftbzr02MyCBu2TG3zRfAG7WgVa2yUJpWpnrGaVsOTjkE5ea8wn25uftysXPR5wkyJ4b8rcxcvcqYJQOyW0G-59uy0U2nzN64DX0_wI875eMmG-w_GJTzRYOrTkq6xFRovbeN8A248OZWpDiEEijnc3Bc-6OdIkSoVRTkCTr6e4UCHqWpzm_R6JqlKU/s752/musica-das-esferas-de-pitagoras.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="musica-das-esferas-pitagoras" border="0" data-original-height="383" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIBftbzr02MyCBu2TG3zRfAG7WgVa2yUJpWpnrGaVsOTjkE5ea8wn25uftysXPR5wkyJ4b8rcxcvcqYJQOyW0G-59uy0U2nzN64DX0_wI875eMmG-w_GJTzRYOrTkq6xFRovbeN8A248OZWpDiEEijnc3Bc-6OdIkSoVRTkCTr6e4UCHqWpzm_R6JqlKU/s16000/musica-das-esferas-de-pitagoras.png" title="O conceito de música ser uma analogia perfeita para as funções do sistema solar existe desde os pitagóricos gregos, que acreditavam que os padrões geométricos do sistema solar denotavam notações musicais." /></a></div><div style="text-align: center;">[O conceito de música ser uma analogia perfeita para as funções do sistema solar existe desde os pitagóricos gregos, que acreditavam que os padrões geométricos do sistema solar denotavam notações musicais]</div><div><br /></div><div>Uma parte interessante da filosofia pitagórica é a concepção da <a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%BAsica_das_esferas" target="_blank">música das esferas</a>, que postula a existência de uma harmonia divina e matemática entre o macrocosmo e o microcosmo. Os pitagóricos acreditavam que os movimentos dos corpos celestes geravam sons inaudíveis, e esses sons, quando traduzidos em termos musicais, formavam uma harmonia cósmica. A relação entre as proporções numéricas e as escalas musicais refletia, para eles, a ordem do universo.</div><div><br /></div><div>A abordagem pitagórica influenciou muitos filósofos posteriores, como Platão, que valorizava a matemática como uma forma de acesso ao conhecimento eterno e universal. A ideia de que a realidade podia ser compreendida por meio de princípios matemáticos encontrou eco em várias tradições filosóficas ocidentais.</div><div><br /></div></div><h3 style="text-align: left;">Legado e influência</h3><div style="text-align: justify;">A formulação pitagórica não apenas solidificou o entendimento do Teorema de Pitágoras, mas também influenciou o desenvolvimento subsequente da matemática grega e, eventualmente, da matemática ocidental. Essa formulação abstrata proporcionou uma base sólida para o desenvolvimento da geometria e álgebra, contribuindo para a ascensão da matemática como uma disciplina autônoma.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">A formulação pelos pitagóricos não apenas estabeleceu um teorema fundamental na geometria, mas também inaugurou uma nova era de investigação matemática, marcada por uma abordagem mais abstrata e teórica em direção aos princípios fundamentais da disciplina.</div><div><br /></div><h3 style="text-align: left;">Outras civilizações</h3><div style="text-align: justify;">Outras civilizações antigas, além dos babilônios e dos gregos, também faziam uso da propriedade do triângulo retângulo:</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>Egípcios:</b> Embora não tenham formulado o teorema da mesma forma que os gregos, podemos encontrar papiros com evidências do uso prático pelos egípcios na construção de pirâmides e medições de áreas.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>Indianos: </b>No século VI a.C., o Período Védico é marcado por intensas transformações nos campos religioso e intelectual. Os matemáticos indianos contribuíram significativamente para o desenvolvimento da matemática. Textos Shulba Sutras fazem parte do corpo de textos maiores chamados Shrauta Sutras, considerados apêndices dos Vedas. São as únicas fontes de conhecimento da matemática indiana a partir do período védico e mostram conhecimento de triângulos com lados proporcionais, indicando compreensão similar ao teorema de Pitágoras.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>Chineses: </b>Na China antiga, há registros que matemáticos chineses também tinham compreensão das relações nos triângulos retângulos. No livro Was Pythagoras Chinese?, nos mostra que a demonstração do teorema já era conhecida pelos chineses muito antes do nascimento de Pitágoras. Isso é verdade, pois no livro Chou Pei Suan Ching, na dinastia Han, contém algumas explicações sobre triângulos retângulos que mais tarde foram reconhecidos como demonstrações do teorema de Pitágoras na antiga China.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">É importante notar que, embora essas civilizações tenham demonstrado um entendimento prático de conceitos relacionados ao Teorema de Pitágoras, muitas vezes essas ideias não foram formuladas de maneira formal e teórica como na matemática grega. O conhecimento matemático era frequentemente utilizado para aplicações práticas, como na agricultura, construção e astronomia.</div><div><br /></div><h3 style="text-align: left;">Importância no cotidiano atual</h3><div style="text-align: justify;">O Teorema de Pitágoras transcende seu contexto histórico e continua a ser uma ferramenta essencial no cotidiano. Muito embora seja amplamente ensinado em contextos tradicionais da Matemática, podemos ainda observar aplicações em diversas áreas, tais como Física, Astronomia, Arquitetura, Engenharias, Ciências Tecnológicas, Arte, Marcenaria, Logística, entre outras.</div><div style="text-align: justify;"><div><br /></div><div>O Teorema de Pitágoras é milenarmente aplicado em engenharia civil e arquitetura para calcular distâncias, verificar a perpendicularidade de estruturas e garantir que construções estejam niveladas e alinhadas corretamente.</div><div><br /></div><div>Na navegação marítima e aérea, o teorema é utilizado para calcular distâncias e coordenadas. Pilotos e navegadores podem usar princípios semelhantes para determinar a distância entre dois pontos em um mapa.</div><div><br /></div><div>Em biologia, o Teorema de Pitágoras pode ser aplicado em estudos de ecologia para estimar áreas de habitats ou a distância entre locais de amostragem. Em física, ele é utilizado para analisar trajetórias e movimentos, por exemplo, em problemas relacionados a projeções de objetos.</div><div><br /></div><div>Na área de computação gráfica, o teorema é frequentemente utilizado para determinar a distância entre pontos em um espaço tridimensional, sendo crucial em aplicações como design de jogos, modelagem 3D e realidade virtual.</div><div><br /></div><div>Em algumas técnicas médicas, como a ressonância magnética, o Teorema de Pitágoras é aplicado indiretamente para calcular distâncias e garantir a precisão na localização de estruturas anatômicas.</div><div><br /></div><div>Em análises de dados espaciais, o teorema pode ser utilizado para calcular distâncias euclidianas entre pontos. Isso é útil em estudos de mercado, análise de localização de empresas e em muitos campos relacionados à estatística e geografia econômica.</div><div><br /></div><div>A relação entre comprimentos de cordas em instrumentos musicais segue os princípios do Teorema de Pitágoras. As notas musicais e suas frequências estão relacionadas proporcionalmente aos comprimentos das cordas, e isso é fundamental na construção e ajuste de instrumentos.</div><div><br /></div><div>Em cinematografia, o teorema é utilizado na composição de cenas, ajustando distâncias entre objetos e câmeras para criar efeitos visuais específicos. Isso é crucial em áreas como efeitos especiais e animação.</div><div><br /></div><h3>Além do Teorema de Pitágoras</h3><div><div>Pierre de Fermat conjecturou em 1637 um teorema que ficou conhecido como <b><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%9Altimo_teorema_de_Fermat" target="_blank">O Último Teorema de Fermat</a></b>. Trata-se de uma generalização do Teorema de Pitágoras para expoentes inteiros positivos maiores que 2:</div>$$<br />a^n + b^n = c^n<br />$$<div>Fermat afirmou que para expoentes maiores que dois, não havia solução, no entanto, não provou.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxrAjVfRN-ojFxBX_LP0UyhZY7apmcWZp6urXA8MHMhZtP06-95NXAiUA3DJ51HIlbYaNmdPMuL3lApC2vaa_22ghKFikVkwCm56VBitLr4PAzjC5kmmjCMrHY81PibOmCCcbhJJiobJ8zgrjHT7h0fbtmXIpu3VmB9kXA3U9os_z_QJBFdAZdikV4xeE/s752/o-ultimo-teorema-de-fermat-andrew-wiles.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="O último teorema de Fermat Andrew Wiles Teorema de pitágoras" border="0" data-original-height="459" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxrAjVfRN-ojFxBX_LP0UyhZY7apmcWZp6urXA8MHMhZtP06-95NXAiUA3DJ51HIlbYaNmdPMuL3lApC2vaa_22ghKFikVkwCm56VBitLr4PAzjC5kmmjCMrHY81PibOmCCcbhJJiobJ8zgrjHT7h0fbtmXIpu3VmB9kXA3U9os_z_QJBFdAZdikV4xeE/s16000/o-ultimo-teorema-de-fermat-andrew-wiles.png" title="O último Teorema de Fermat" /></a></div><div>Muitos matemáticos se dedicaram para tentar demonstrar o caso genérico, mas a solução só viria em 1995 por Andrew Wiles. Neste meio tempo, matemáticos provaram casos particulares, por exemplo:</div><div><ul><li>1753: Leonhard Euler demonstrou o caso para $n=3$</li><li>1825: Legendre demonstrou o caso para $n=5$</li><li>1832: Dirichlet demonstrou o caso para $n=14$</li><li>1839: Lamé demonstrou parcialmente o caso para $n=7$</li></ul></div></div><div>Andrew Wiles conseguiu o feito utilizando como base uma conjectura feita pelos matemáticos Yutaka Taniyama e Goro Shimura (conhecida como conjectura Taniyama-Shimura). Wiles percebeu que, se conseguisse demonstrar essaa conjectura, conseguiria <a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Resolu%C3%A7%C3%A3o_do_%C3%BAltimo_teorema_de_Fermat" target="_blank">provar o Último Teorema de Fermat</a>.</div><div><br /></div><div>Apesar do Último Teorema de Fermat não ter uma aplicação prática em nosso cotidiano, a busca por sua solução possibilitou o desenvolvimento de sofisticadas ferramentas que enriqueceram a matemática moderna.</div><div><br /></div></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><h3 style="text-align: justify;">Download</h3><div style="text-align: justify;">Você pode fazer o download deste artigo em PDF através do Google Drive:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://drive.google.com/file/d/1iwu14Z73QD_d4_hWUbM-CCQFyrwHSNP0/view?usp=sharing" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img border="0" data-original-height="46" data-original-width="200" height="46" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj43uzq2J3Xe9WyrPa9JBlu3ydl25IKwZod1lwbv9g8frWD2zSQ4dVX297MCIoA6P4fJlfLwEQKdwCs7nOUD4Lhs-NM04hrk0U_-_cZVYruB50Y1-BqceQpC5KFZtlPk0k5aXl3KxefBbgrJjc2CMSgV6nyWpeIAPkSoeZ6oNHaffbiF8eb-f6Q716caxQ/w200-h46/botao-download-artigo-drive-o-baricentro-da-mente.png" width="200" /></a></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div><br /></div><h3 style="text-align: left;">Referências</h3><div><ul style="text-align: left;"><li>Introdução à História da Matemática - Howard Eves</li><li>História da Matemática - Carl Boyer</li><li>Os Elementos de Euclides</li><li>https://pt.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras</li><li>https://pt.wikipedia.org/wiki/Terno_pitag%C3%B3rico</li><li>https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%BAsica_das_esferas</li><li>https://en.m.wikipedia.org/wiki/Shulba_Sutras</li><li>https://jornal.usp.br/ciencias/ciencias-exatas-e-da-terra/a-matematica-em-nosso-dia-a-dia-mais-constante-do-que-imaginamos/</li><li>https://www.dm.ufscar.br/~sampaio/tccs/TCCB-HuangShinYi.pdf </li><li>https://www.fc.unesp.br/Home/Departamentos/Matematica/revistacqd2228/v06a03-teorema-de-pitagoras.pdf</li></ul><div><br /></div></div><h3 style="text-align: left;">Veja mais:</h3><div><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2015/04/relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo.html" target="_blank">Relações métricas no triângulo retângulo</a><br /></li><li><a href="https://www.google.com/url?client=internal-element-cse&cx=partner-pub-1943813310069937:1648324447&q=https://www.obaricentrodamente.com/2018/04/a-deducao-da-formula-de-bhaskara.html" target="_blank">A dedução da fórmula de Bháskara</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/02/o-teorema-de-stewart.html" target="_blank">O Teorema de Stewart</a><br /></li><li><a href="https://www.google.com/url?client=internal-element-cse&cx=partner-pub-1943813310069937:1648324447&q=https://www.obaricentrodamente.com/2012/02/o-teorema-de-stevin.html" target="_blank">O Teorema de Stevin</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2019/12/o-teorema-de-faure.html" target="_blank">O Teorema de Faure</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2018/02/papus-o-epilogo-da-geometria-grega.html" target="_blank">O Teorema de Papus</a><br /></li></ul></div>Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-35573491262800104642023-12-09T09:14:00.003-03:002023-12-09T09:14:30.348-03:00A teoria da gravidade no mundo islâmico medieval<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHgDEv58qOoxn5ktz0QoTP5NkGdj60pU2Savb_tPAO5wQKlCDP3QT0xYOi_2mn5Wd4sBonDiPQUMwMqzhdqa0TKEirVMuOURkUP7buRW-7ckX-ULWHG96nli3E3ao0OeVQs7BMQwOa7z9pMXDCAxh_EyKIi7KmNbIQi_UiO8d8oCMxeUk0aBN8qYtOpbo/s752/a-teoria-da-gravidade-no-mundo-islamico-medieval-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="a-teoria-da-gravidade-no-mundo-islamico-medieval-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian" border="0" data-original-height="480" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHgDEv58qOoxn5ktz0QoTP5NkGdj60pU2Savb_tPAO5wQKlCDP3QT0xYOi_2mn5Wd4sBonDiPQUMwMqzhdqa0TKEirVMuOURkUP7buRW-7ckX-ULWHG96nli3E3ao0OeVQs7BMQwOa7z9pMXDCAxh_EyKIi7KmNbIQi_UiO8d8oCMxeUk0aBN8qYtOpbo/s16000/a-teoria-da-gravidade-no-mundo-islamico-medieval-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian.png" title="A teoria da gravidade no mundo islâmico medieval" /></a></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><div>A valorização e o reconhecimento da ciência variam em diferentes regiões e culturas, e a história da ciência é marcada por contribuições significativas de várias partes do mundo. Quando estudamos no ensino fundamental e médio, aprendemos muito superficialemtne sobre o desenvolvimento científico fora da Europa. Muitas civilizações, incluindo aquelas no Oriente e no Oriente Médio, fizeram contribuições notáveis para o conhecimento científico ao longo da história.</div><div><br /></div><div>Entre os séculos VIII e XIII, o mundo islâmico experimentou uma Idade de Ouro, durante a qual houve avanços significativos em várias disciplinas, incluindo matemática, astronomia, medicina e filosofia. Centros de aprendizado, como a <a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Casa_da_Sabedoria" target="_blank">Casa da Sabedoria</a> em Bagdá, foram importantes na preservação e tradução de textos antigos e na geração de novo conhecimento.</div><div><br /></div><div>Atualmente, há um esforço crescente para reconhecer e valorizar as contribuições científicas de diversas culturas. Instituições de pesquisa, tanto no Oriente quanto no Ocidente, frequentemente buscam colaborações internacionais para promover o intercâmbio de conhecimento.</div><div><br /></div><div>Conferências científicas globais e publicações científicas agora incluem trabalhos de cientistas de todo o mundo, refletindo uma abordagem mais inclusiva para o avanço do conhecimento.</div><div><br /></div><div>Embora o eurocentrismo ainda tenha sido uma característica proeminente na narrativa histórica da ciência, os esforços estão sendo feitos para corrigir essa visão, reconhecendo a diversidade e a riqueza das contribuições científicas de várias culturas e regiões. O diálogo global e a colaboração científica são fundamentais para uma compreensão mais completa e justa do papel de todas as culturas na construção do conhecimento científico.</div></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><a href="https://islam.fandom.com/wiki/Islamic_physics" target="_blank">A física no Islamismo medieval</a> abrange as áreas da física experimental, física matemática e física teórica. Os campos da física que foram estudados por cientistas muçulmanos durante essa época compreendiam também óptica e magnetismo (que hoje fazem parte do eletromagnetismo), mecânica (incluindo estática, dinâmica, cinemática e os movimentos) e astrofísica. Tais estudos floresceram no mundo islâmico durante a <a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D9%88%D8%B1%D8%A7%D9%86_%D8%B7%D9%84%D8%A7%DB%8C%DB%8C_%D8%A7%D8%B3%D9%84%D8%A7%D9%85#:~:text=%D8%AF%D9%88%D8%B1%D8%A7%D9%86%20%D8%B7%D9%84%D8%A7%DB%8C%DB%8C%20%D8%A7%D8%B3%D9%84%D8%A7%D9%85%D8%8C%20%D8%AF%D9%88%D8%B1%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%DB%8C%20%D8%AF%D8%B1,%D8%AF%D8%B1%20%D8%A2%D9%86%20%D8%B2%D9%85%D8%A7%D9%86%D8%8C%20%D8%A2%D8%BA%D8%A7%D8%B2%20%D8%B4%D8%AF%D9%87%E2%80%8C%D8%A7%D8%B3%D8%AA." target="_blank">Idade de Ouro do Islã</a>, que foi do século VIII ao XIII.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Bagdá foi um lugar onde oniscientes muçulmanos e estudiosos de diferentes regiões estiveram presentes e começaram a traduzir o conhecimento clássico mundialmente conhecido para as línguas aramaica e árabe. Durante este período, a terra histórica do Islã esteve sob o domínio dos califas e é caracterizada pelas invenções da Idade de Ouro Islâmica e pela expansão da ciência, economia e cultura.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Muitos cientistas, filósofos e estudiosos foram importantes na tradução e preservação de textos antigos, pois traduziram muitos textos científicos e filosóficos gregos e indianos para o árabe. Esse esforço de tradução desempenhou um papel vital na preservação do conhecimento antigo e na posterior transferência desse conhecimento para a Europa.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Alhaz%C3%A9m" target="_blank">Al-Ḥasan Ibn al-Haytham</a> (Alhazen) (965-1040) nascido no Iraque, foi um dos notáveis cientistas islâmicos, contribuindo significativamente para a óptica e fequentemente é chamado de "o pai da óptica experimental". Escreveu extensivamente sobre a refração da luz, a formação de imagens e a natureza da visão.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Séculos depois, em 1704, <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2017/12/isaac-newton.html" target="_blank">Isaac Newton</a> publicaria sua intitulada <i>Óptica</i>, tratando sobre a natureza da luz, como reflexões, refrações, inflexões e cores da luz. No entanto, não há evidências que Newton tenha plagiado a obra de Ibn al-Haytham.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Naceradim_de_Tus" target="_blank">Nasir al-Din al-Tusi</a> (Naceradim de Tus) (1201-1274) nascido na Pérsia, contribuiu para várias áreas da ciência, incluindo arquitetura, biologia, química, medicina, matemática, astronomia e física, propondo uma teoria sobre o movimento planetário que anteciparia a <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2017/12/o-modelo-geocentrico-de-ptolomeu.html" target="_blank">teoria heiocêntrica</a> de Copérnico.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Longe de ser uma teorização iniciada com Newton, no século XI o polímata persa <a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Avicena" target="_blank">Ibn Sina</a> (Avicena) (980-1037) nascido em Bucara, atual Uzbequistão, apesar de ser mais conhecido por suas contribuições à medicina e filosofia, também fez contribuições à física. Ibn Sina já havia expandido a teoria gravitacional do grego <a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Jo%C3%A3o_Filopono" target="_blank">Filopono</a>, e corrigido suas noções, sobre a gravidade e movimentação de projéteis.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAaBS0RZX7ix0nrP4pDejW-QdRjq1JNkJF61PJtqv8fV5fF361aCarw9rDR1GoNpGNWQskzmWVynEYMqCMbcjn02NDqgTrbO8nG_1v-_orUF3qnNf3pVvz1KfCHWuyLxnCCRDVHYo_yNoKaZAall4DQGfUE5ib5p3G1-qPHNPWrDrcF6Qyf2vqGfug6aM/s752/ibn-sina-avicena-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="ibn-sina-avicena-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian-a-teoria-da-gravidade-no-mundo-islamico-medieval" border="0" data-original-height="450" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAaBS0RZX7ix0nrP4pDejW-QdRjq1JNkJF61PJtqv8fV5fF361aCarw9rDR1GoNpGNWQskzmWVynEYMqCMbcjn02NDqgTrbO8nG_1v-_orUF3qnNf3pVvz1KfCHWuyLxnCCRDVHYo_yNoKaZAall4DQGfUE5ib5p3G1-qPHNPWrDrcF6Qyf2vqGfug6aM/s16000/ibn-sina-avicena-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian.png" title="Ibn Sina (Avicena)" /></a></div><div style="text-align: justify;">Outro polímata persa do século XI, <a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Albiruni" target="_blank">Al-Biruni</a> (Albiruni) (973-1048) nascido em Beruni, Uzbequistão, estudou sobre a teoria da gravidade, especialmente no contexto da <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/01/galileu-e-queda-dos-corpos.html" target="_blank">queda dos corpos</a>, antecipando as ideias de <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/01/galileu-e-queda-dos-corpos.html" target="_blank">Galileu </a>e Newton em alguns séculos. Propôs que os corpos celestes têm massa, peso e gravidade e que a Terra exerce uma atração sobre os corpos levando-os a cair em direção ao centro da Terra, criticando Aristóteles por manter a visão de que apenas a Terra teria essas propriedades, propondo a gravidade como uma lei geral. Sua explicação foi mais uma compreensão intuitiva da força gravitacional, uma vez que não apresentou qualquer formulação matemática ou uma teoria sistemática como seria desenvolvida mais tarde por Newton.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiwM8Z9RdEQydZOO5KLhB4ZEd561Ooni8TW1We5Rfo12kcrEJbfvIMIH5l39h888zzQvxf5Q-MTlUwCE6XAzPAPurNgsb1nl7QppyJtyJ1sTzqZ6Vj-aFuUO1V0ENBmZ9abmqRl1Cx05zcSGIajdYCY8aZHkRFfyRVIR43ZD_kbiWxpExtOXKS_spu57M/s752/al-biruni-teoria-da-gravidade-no-mundo-islamico-medieval.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="al-biruni-teoria-da-gravidade-no-mundo-islamico-medieval" border="0" data-original-height="450" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiwM8Z9RdEQydZOO5KLhB4ZEd561Ooni8TW1We5Rfo12kcrEJbfvIMIH5l39h888zzQvxf5Q-MTlUwCE6XAzPAPurNgsb1nl7QppyJtyJ1sTzqZ6Vj-aFuUO1V0ENBmZ9abmqRl1Cx05zcSGIajdYCY8aZHkRFfyRVIR43ZD_kbiWxpExtOXKS_spu57M/s16000/al-biruni-teoria-da-gravidade-no-mundo-islamico-medieval.png" title="Al-Biruni" /></a></div><div style="text-align: justify;">Al-Biruni também realizou experimentos para medir a gravidade com técnicas e instrumentos limitados, mas conseguiu propor métodos para medir a aceleração da gravidade , abordando questões relacionadas à queda dos corpos e às variações na gravidade em diferentes locais.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhuaDz2-31wjWpEs3NDWtDLw9c8r16ySC9V8PLnb0LgdfsDzgeionFDYpIGB8wSs50gnSZXzuQ9j8RoG2Fm65bPQbUEBNyKkDwW5ijCWfDBsTrkK1q3SGg1RaZ6m0xQZbcnz6KWRHKD23ryhqx4q9pwxLw00hlYEVHSY7r3fDbHF9kb3Q9YBB4r9YPVZJA/s752/al-khazini-a-teoria-da-gravidade-no-mundo-islamico-medieval.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="al-khazini-a-teoria-da-gravidade-no-mundo-islamico-medieval" border="0" data-original-height="450" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhuaDz2-31wjWpEs3NDWtDLw9c8r16ySC9V8PLnb0LgdfsDzgeionFDYpIGB8wSs50gnSZXzuQ9j8RoG2Fm65bPQbUEBNyKkDwW5ijCWfDBsTrkK1q3SGg1RaZ6m0xQZbcnz6KWRHKD23ryhqx4q9pwxLw00hlYEVHSY7r3fDbHF9kb3Q9YBB4r9YPVZJA/s16000/al-khazini-a-teoria-da-gravidade-no-mundo-islamico-medieval.png" title="Al-Khazini" /></a></div><div style="text-align: justify;">No século XII, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Al-Khazini" target="_blank">Al-Khazini</a> (séc XI-séc XII) nascido em Irã, sugeriu que a gravidade que um objeto contém varia dependendo de sua distância do centro da Terra. Em seu tratado escrito em quatro volumes <i>O livro da sabedoria</i>, dissertou sobre a teoria do centro de gravidade de seus antecessores, incluindo Al-Biruni, al-Razi e Omar Khayam. </div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Al-Khazini explica como o peso do ar e sua densidade diminuem com a altitude e como a densidade da água é maior quanto mais próximo ao centro da Terra, o que foi comprovado por Roger Bacon dois séculos mais tarde.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Al-Khazini ainda escreve que um corpo pesado é aquele que é movido por uma força inerente, constante, em direção oa centro da Terra, ou seja, que possui uma força que o move em unicamente em direção a um ponto central.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Al-Biruni e Al-Khazini estudaram a teoria do centro de gravidade, generalizando-a e aplicando-a a corpos tridimensionais. Eles também fundaram a teoria da alavanca ponderável e criaram a ciência da gravidade, meio milênio antes de Isaac Newton. Métodos experimentais refinados também foram desenvolvidos para determinar a gravidade específica ou o peso específico de objetos, baseados na teoria de balanças e pesagens pelos polímatas muçulmanos.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjsKOHY8PZ8sJZ4KvededpBXqPZo5dVk7dRFlOj3WjMmJi9Pf66SbxOt0cTnEqcpOjb5G2yMQtq4f0utkYo4tBEf2LKMXaLJXlT3IjSmj5dXjdG9ofUQerAwSS1VEd2FQa8JY8PQadAttVsSO4W45QAdkHWHEG5aFzPdMyMSjnn0vi1dWO_6P7X8GfOeiY/s753/Abu%E2%80%99l-Barak%C4%81t%20Al-Baghd%C4%81d%C4%AB%20.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Abu’l-Barakāt Al-Baghdādī" border="0" data-original-height="450" data-original-width="753" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjsKOHY8PZ8sJZ4KvededpBXqPZo5dVk7dRFlOj3WjMmJi9Pf66SbxOt0cTnEqcpOjb5G2yMQtq4f0utkYo4tBEf2LKMXaLJXlT3IjSmj5dXjdG9ofUQerAwSS1VEd2FQa8JY8PQadAttVsSO4W45QAdkHWHEG5aFzPdMyMSjnn0vi1dWO_6P7X8GfOeiY/s16000/Abu%E2%80%99l-Barak%C4%81t%20Al-Baghd%C4%81d%C4%AB%20.png" title="Abu’l-Barakāt Al-Baghdādī" /></a></div><div style="text-align: justify;">No século XII, <a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Abu%27l-Barak%C4%81t_al-Baghd%C4%81d%C4%AB" target="_blank">Abu’l-Barakāt Al-Baghdādī</a> (1080-1165), nascido em Bagdá, Iraque, adotou e modificou a teoria de Ibn Sina sobre o movimento do projétil. Em sua obra claramente anti-aristotélica <i>Kitab al-Mu’tabar</i>, Al-Baghdādī desenvolveu conceitos que se assemelham a várias teorias modernas da física, propondo uma explicação da aceleração de corpos em queda pelo acúmulo de incrementos sucessivos de potência em incrementos sucessivos de velocidade.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">A teoria do movimento de Al-Baghdādī foi um vago prenúncio da segunda lei do movimento de Newton, ao distinguir entre velocidade e aceleração e mostrar que a força é proporcional à aceleração.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Al-Baghdādī também modificou a teoria do movimento de projétil de Avicena e afirmou que o motor transmite uma inclinação violenta ao movido e que isso diminui à medida que o objeto em movimento se distancia do motor.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">De acordo com <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Shlomo_Pines" target="_blank">Shlomo Pines</a> (1908-1990) estudioso francês de filosofia judaica e islâmica, a teoria do movimento de al-Baghdādī era “a negação mais antiga da lei dinâmica fundamental de Aristóteles, ou seja, que uma força constante produz um movimento uniforme, e é, portanto, uma antecipação de uma forma vaga da lei fundamental da mecânica clássica, ou seja, que uma força aplicada continuamente produz aceleração.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">$\rightarrow$ Conheça mais sobre a cultura islâmica em <a href="https://historiaislamica.com/pt" target="_blank">História Islâmica</a>, por Mansur Peixoto.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><h4 style="text-align: left;">Download:</h4><div style="text-align: left;">Você pode fazer o download deste artigo em PDF através do Google Drive:<div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://drive.google.com/file/d/1CRW_4p_r3ISn6z22HY2RbOzbdDBVWfKp/view?usp=sharing" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img border="0" data-original-height="172" data-original-width="752" height="46" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj43uzq2J3Xe9WyrPa9JBlu3ydl25IKwZod1lwbv9g8frWD2zSQ4dVX297MCIoA6P4fJlfLwEQKdwCs7nOUD4Lhs-NM04hrk0U_-_cZVYruB50Y1-BqceQpC5KFZtlPk0k5aXl3KxefBbgrJjc2CMSgV6nyWpeIAPkSoeZ6oNHaffbiF8eb-f6Q716caxQ/w200-h46/botao-download-artigo-drive-o-baricentro-da-mente.png" width="200" /></a></div></div></div></div><p style="text-align: justify;"><br /></p><h4 style="text-align: justify;">Referências:</h4><p style="text-align: justify;"></p><ul><li><a href="https://historiaislamica.com/pt/">https://historiaislamica.com/pt/</a></li><li><a href="https://www.instagram.com/p/C0eWxwiuyh1/?igshid=MzRlODBiNWFlZA%3D%3D&img_index=1">https://www.instagram.com/p/C0eWxwiuyh1/?igshid=MzRlODBiNWFlZA%3D%3D&img_index=1</a></li><li><a href="https://www.ige.unicamp.br/lehg/a-historia-islamica-e-o-brasil-reflexoes-vida-islamica-e-milagres-cientificos">https://www.ige.unicamp.br/lehg/a-historia-islamica-e-o-brasil-reflexoes-vida-islamica-e-milagres-cientificos</a></li><li><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica_isl%C3%A2mica_medieval">https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica_isl%C3%A2mica_medieval</a></li><li><a href="https://www.britannica.com/biography/al-Biruni#ref1110648">https://www.britannica.com/biography/al-Biruni#ref1110648</a></li><li><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Al-Khazini">https://en.wikipedia.org/wiki/Al-Khazini</a></li><li><a href="https://islam.fandom.com/wiki/Al-Khazini">https://islam.fandom.com/wiki/Al-Khazini</a></li><li><a href="https://islam.fandom.com/wiki/Abu%27l-Barak%C4%81t_al-Baghd%C4%81d%C4%AB">https://islam.fandom.com/wiki/Abu%27l-Barak%C4%81t_al-Baghd%C4%81d%C4%AB</a></li><li><a href="https://www.muslimobserver.com/muslim-scientists-and-thinkers-abdal-rahman-al-khazini/">https://www.muslimobserver.com/muslim-scientists-and-thinkers-abdal-rahman-al-khazini/</a></li></ul><p></p><div style="text-align: justify;"><br /></div><h4 style="text-align: justify;">Veja mais:</h4><div style="text-align: justify;"><ul><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2022/09/o-metodo-das-fluxoes-de-newton.html" target="_blank">O método das fluxões de Newton</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2009/05/as-leis-de-newton.html" target="_blank">As leis de Newton</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/01/galileu-e-queda-dos-corpos.html" target="_blank">Galileu e a queda dos corpos</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2008/11/periodos-matemticos.html" target="_blank">Períodos matemáticos</a><br /></li></ul></div>Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-67748603029236823372023-12-02T08:57:00.005-03:002023-12-02T14:07:37.604-03:00O eclipse solar total de 12 de maio de 1706<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhjuY66oRN-YtZbtD58c_QAs0qmp33v8ijVMuktggAD13p3iZ1Fv9g8QeNXBuMgRbHHiiktr5GW1DgDGu7NSzDRTBAAkZtMcY1HKUhJLyXycs25xlDTklArW6zStZrb_Mymx2nml1SxOgF2teRHgyH1Qbz3gFXKAFUFQ7mE-G1YjYPoSq9Jz-8MTV7JAFg/s752/o-eclipse-solar-total-de-12-de-maio-de-1706-o-baricentro-ada-mente-kleber-kilhian.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="o-eclipse-solar-total-de-12-de-maio-de-1706-o-baricentro-ada-mente-kleber-kilhian" border="0" data-original-height="450" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhjuY66oRN-YtZbtD58c_QAs0qmp33v8ijVMuktggAD13p3iZ1Fv9g8QeNXBuMgRbHHiiktr5GW1DgDGu7NSzDRTBAAkZtMcY1HKUhJLyXycs25xlDTklArW6zStZrb_Mymx2nml1SxOgF2teRHgyH1Qbz3gFXKAFUFQ7mE-G1YjYPoSq9Jz-8MTV7JAFg/s16000/o-eclipse-solar-total-de-12-de-maio-de-1706-o-baricentro-ada-mente-kleber-kilhian.png" title="O eclipse solar total de 1706 - O dia que virou noite" /></a></div><div style="border: none; padding: 0cm; text-align: justify;"><br /></div><div style="border: none; padding: 0cm; text-align: justify;"><b>O eclipse
solar total</b> que ocorreu em 12 de maio de 1706 foi de grande interesse
para os geógrafos que confiavam em cálculos astronômicos para
produzir <a href="https://picryl.com/media/ca-1706-map-of-europe-during-the-solar-eclipse-of-may-12-1706-76238a" target="_blank">mapas terrestres</a>, porque foi o primeiro a ser objeto de
mapas preditivos, tornando-se um ponto de referência para a
cartografia.</div><div style="border: none; padding: 0cm; text-align: left;"><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">O eclipse teve
início no meio do Atlântico e terminou ao pôr do Sol na Sibéria,
Coreia e China. Pôde ser observado em toda a Europa, na Ásia,
incluindo a maior parte do Oriente Médio, em quase toda a Sibéria,
no norte e oeste da África, no nordeste da América do Norte e parte
do Atlântico. Uma porção muito pequena ocorreu no hemisfério sul,
quase inteiramente sobre o oceano. Na Europa, muitas estrelas puderam
ser observadas a olho nu, tais como Aldebarã e Capella, assim como
os planetas Vênus, Mercúrio e Saturno.</div></div><div style="border: none; padding: 0cm; text-align: left;"><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><div style="border: none; padding: 0cm;">A porção umbral que chegava a 242 km, atravessando áreas que ficavam a noroeste da ilha cabo-verdiana de Santo Antão (então uma colônia portuguesa) no Atlântico, as Ilhas Canárias controladas pelos espanhóis, Marrocos, Espanha, França, Suíça, Polônia, São Petersburgo na Rússia, incluindo parte do norte russo como Samoieda e Iacutusque e até a Manchúria. O maior umbral ocorreu na área entre a Saxônia e a Baixa Silésia (Polônia) às 9h35 e durou mais de 4 minutos.</div><div style="border: none; padding: 0cm; text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGp7MkwsUmN6dxmRQOLSCzDuiwvsFPkSfU6YAC4t5W9NB0IhO6dD3gq_cMU1WsJtyUIs7oLqD5_Hlb25LWrZdKJjobqatjUifqi1a-FSKoztx3z47Zy3YyiDpy9-84QOyiRNpXSLB_xx57wuZHQrVJB2tHgftXqoUAQfPGvJRsWg3QJcgAfcG5_H6chBU/s752/caminho-percorrido-pelo-eclipse-em-12-de-maio-de-1706.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="caminho-percorrido-pelo-eclipse-em-12-de-maio-de-1706" border="0" data-original-height="341" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGp7MkwsUmN6dxmRQOLSCzDuiwvsFPkSfU6YAC4t5W9NB0IhO6dD3gq_cMU1WsJtyUIs7oLqD5_Hlb25LWrZdKJjobqatjUifqi1a-FSKoztx3z47Zy3YyiDpy9-84QOyiRNpXSLB_xx57wuZHQrVJB2tHgftXqoUAQfPGvJRsWg3QJcgAfcG5_H6chBU/s16000/caminho-percorrido-pelo-eclipse-em-12-de-maio-de-1706.png" title="Caminho percorrido pelo eclipse em 12 de maio de 1706" /></a></div>$\rightarrow$ Clique <a href="https://eclipsewise.com/solar/SEgmapx/1701-1800/SE1706May12Tgmapx.html" target="_blank">aqui</a> para ver em alta resolução e interagir com o mapa.<br /><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">O eclipse mostrou obscurecimento de até 50% em Burkina Faso, na Líbia, Ancara, capital da Turquia e em uma parte da Mongólia e, do outro lado, no noroeste das ilhas e na costa leste da Groenlândia. O obscurecimento foi de 75% em lugares como Noruega, Lapônia e Zemlya e do outro lado em torno de Bissau, Siracusa na Sicília e Bucareste. Os lugares que apresentavam 25% de obscurecimento do Sol incluíam o Reino do Benin, o Egito e a Babilônia no Iraque. As áreas que estavam na borda do eclipse incluíam Gabão, Darfur, Núbia, o norte da Península Arábica, Pérsia, o Império Arghan, Nepal, Assam e Yunnan controlado pela Manchúria.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div></div></div><div style="text-align: justify;">O evento
causou grande comoção nas pessoas. Diz-se que em Genebra, o
Conselho interrompeu suas deliberações devido à escuridão causada
pelo eclipse, não sendo possível ler nem escrever. Em diversos
lugares as pessoas se prostravam no chão e rezavam, imaginando ser o
Juízo Final. Além disso, diversos animais apresentaram mudanças no
comportamento sensíveis às mudanças do céu. Morcegos voavam,
galinhas e pombos voltavam para seus ninhos, aves de gaiola ficaram
silenciosas e animais que trabalhavam nos campos se aquietaram.</div></div><div style="border: none; padding: 0cm; text-align: left;"><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Este eclipse
ocorreu durante a <a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Guerra_da_Sucess%C3%A3o_Espanhola" target="_blank">Guerra de Sucessão Espanhola</a>, atravessando os
territórios da Espanha, França e norte da Itália e foi visto na
época como uma metáfora e um sinal premonitório do declínio do
Rei Luis XIV da França, conhecido como Rei Sol, sendo ocultado pela
Grande Aliança.</div></div><div style="border: none; padding: 0cm; text-align: left;"><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Esse evento
astronômico fez parte do <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Solar_Saros_133" target="_blank">Ciclo de Saros 133</a> é um fenômeno
astronômico e foi observado pelos babilônios a milhares de anos e
possui um período de 223 meses sinódicos, ou seja, 6.585,321 dias,
ou ainda 18 anos, 10, 11 ou 12 dias (dependendo de quantos anos
bissextos ocorrerem) e 8 horas. Um mês sinódico é o intervalo de
tempo médio entre duas fases iguais consecutivas da Lua, com duração
de aproximadamente 29,5 dias (29 dias, 12 horas, 44 minutos e 3
segundos).</div></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi-7jfjmlDgNIDco9YtS0KeyyXRPwsJRYd5krWXk1AsERI0f1Q1BPXw9z7vR5Qomd48bkyswgss3nPyWO4SELY9B-xkB2wTAVTJlyahfNI506qPLE5In-SP_CY4_cQ9ccRj81gxiSMek1qJUJBZELo07NCCD57lHr7GEyQs1QXkl1dm2mnSBAqzQhATYds/s594/eclipse%20total%20do%20sol%20em%201706.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="594" data-original-width="513" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi-7jfjmlDgNIDco9YtS0KeyyXRPwsJRYd5krWXk1AsERI0f1Q1BPXw9z7vR5Qomd48bkyswgss3nPyWO4SELY9B-xkB2wTAVTJlyahfNI506qPLE5In-SP_CY4_cQ9ccRj81gxiSMek1qJUJBZELo07NCCD57lHr7GEyQs1QXkl1dm2mnSBAqzQhATYds/s16000/eclipse%20total%20do%20sol%20em%201706.png" /></a></div><br /><h3 style="text-align: left;">O Ciclo de Saros 133</h3><div style="border: none; padding: 0cm; text-align: justify;"><span style="text-align: left;">Quando ocorre
um eclipse de um <b>Ciclo de Saros 133</b>, após 223 meses, o Sol, a Lua e a
Terra retornam aproximadamente à mesma geometria relativa, quase uma
linha reta, e um eclipse quase idêntico ocorre.</span></div><div style="border: none; padding: 0cm; text-align: justify;"><span style="text-align: left;"><br /></span></div><div style="border: none; padding: 0cm;"><span style="text-align: left;"><div style="border: none; padding: 0cm; text-align: justify;">O primeiro registro histórico descoberto do que é conhecido como saros foi feito por astrônomos caldeus (neobabilônicos) nos últimos séculos AC. Mais tarde foi conhecido por <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2021/10/hiparco-ptolomeu-e-trigonometria.html" target="_blank">Hiparco</a>, Plínio e <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2021/10/hiparco-ptolomeu-e-trigonometria.html" target="_blank">Ptolomeu</a>.</div><div style="border: none; padding: 0cm; text-align: justify;"><br /></div></span><div style="text-align: justify;">O nome "Saros"
foi dado ao ciclo de eclipses por Edmond Halley em 1686. A palavra
grega aparentemente vem da palavra babilônica "sāru", que
significa o número "3600" ou do verbo grego "saro"
que significa "varredura", o que faria mais sentido.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguo9jf0jhvNcAQYkaggagTO1O1qtDaCG8n_diiOE_J5ltb0GKHKivxzAsx8oR-rUEMi81RuYabBxpkFHt350wLr95XUcIRYNFSPN4kOf7AvGGh7AyntnW51bZtvnpf_fvjup1zgzpLPYaiTKAoHm8jh7-jWKVcjYNpBMyCE7CULJQcFtKP1DzrfMMFcog/s752/quatro-eclipses-do-ciclo-de-saros-133-registrados.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="quatro-eclipses-do-ciclo-de-saros-133-registrados" border="0" data-original-height="578" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguo9jf0jhvNcAQYkaggagTO1O1qtDaCG8n_diiOE_J5ltb0GKHKivxzAsx8oR-rUEMi81RuYabBxpkFHt350wLr95XUcIRYNFSPN4kOf7AvGGh7AyntnW51bZtvnpf_fvjup1zgzpLPYaiTKAoHm8jh7-jWKVcjYNpBMyCE7CULJQcFtKP1DzrfMMFcog/s16000/quatro-eclipses-do-ciclo-de-saros-133-registrados.png" /></a></div><div style="text-align: justify;"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Eclipse_solar_de_13_de_novembro_de_2012" target="_blank">O último eclipse solar</a> do Ciclo de Saros 133 ocorreu em 13 de novembro de 2012 visível na Austrália e no sul do Pacífico.</div></div><div style="border: none; padding: 0cm;"><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><a href="https://eclipsewise.com/solar/SEprime/2001-2100/SE2030Nov25Tprime.html" target="_blank">O próximo eclipse solar </a>de Saros 133 ocorrerá em 25 de novembro de 2030, O eclipse poderá ser observado em sua totalidade em Botsuana, África do Sul e Austrália, e parcialmente ao sul do Oceano Índico, nordeste da Antártida, passando pela Austrália.</div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhjJ-R11KCtxC2XS5fdUFLOxDnXlrrkhtO7QTKjF0QFufekFvKZSQWcj8k_SwQgsA1trS-CQACldQ8ncuE8MgvX6X6VhAUKecZ443iklZAhRxLEOq95vJkJCSfcWCcRutpTDr6aqqoBohqtabGmfX1kYRB6yDjgbt9fKVJmVNHhWCptqLbToeXs2QEcHrM/s594/animacao-dos-eclipses-do-ciclo-de-saros-133.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="animacao-dos-eclipses-do-ciclo-de-saros-133" border="0" data-original-height="594" data-original-width="513" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhjJ-R11KCtxC2XS5fdUFLOxDnXlrrkhtO7QTKjF0QFufekFvKZSQWcj8k_SwQgsA1trS-CQACldQ8ncuE8MgvX6X6VhAUKecZ443iklZAhRxLEOq95vJkJCSfcWCcRutpTDr6aqqoBohqtabGmfX1kYRB6yDjgbt9fKVJmVNHhWCptqLbToeXs2QEcHrM/s16000/animacao-dos-eclipses-do-ciclo-de-saros-133.gif" /></a></div><div style="text-align: center;">Animação dos eclipses pertencentes ao Ciclo de Saros 133</div>
<p align="justify" style="border: none; padding: 0cm;">
A lista com os 72 eclipses catalogados no Ciclo de Saros 133 pode ser lida <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Solar_Saros_133" target="_blank">aqui</a>.<br style="text-align: left;" /></p><p align="justify" style="border: none; padding: 0cm;"><br /></p><h4 style="text-align: left;">Download:</h4><div>Você pode fazer o download deste artigo em PDF através do Google Drive:<div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://drive.google.com/file/d/1h8kJTWQDT3WTr-gRF0GEzne6Lp22tKXy/view?usp=sharing" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img border="0" data-original-height="172" data-original-width="752" height="46" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj43uzq2J3Xe9WyrPa9JBlu3ydl25IKwZod1lwbv9g8frWD2zSQ4dVX297MCIoA6P4fJlfLwEQKdwCs7nOUD4Lhs-NM04hrk0U_-_cZVYruB50Y1-BqceQpC5KFZtlPk0k5aXl3KxefBbgrJjc2CMSgV6nyWpeIAPkSoeZ6oNHaffbiF8eb-f6Q716caxQ/w200-h46/botao-download-artigo-drive-o-baricentro-da-mente.png" width="200" /></a></div><div><h4><span style="text-align: left;">Referências:</span></h4><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Solar_eclipse_of_May_12,_1706"></a><ul style="text-align: left;"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Solar_eclipse_of_May_12,_1706"></a><li><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Solar_eclipse_of_May_12,_1706"></a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Solar_eclipse_of_May_12,_1706">https://en.wikipedia.org/wiki/Solar_eclipse_of_May_12,_1706</a></li><li><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Solar_Saros_133">https://en.wikipedia.org/wiki/Solar_Saros_133</a></li><li><a href="https://eclipse.gsfc.nasa.gov/SEsaros/SEsaros133.html" target="_blank">https://eclipse.gsfc.nasa.gov/SEsaros/SEsaros133.html</a></li><li><a href="http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/materiais/0000014522.pdf">http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/materiais/0000014522.pdf</a></li><li><a href="https://webspace.science.uu.nl/~gent0113/publications/eclipse_maps.pdf" target="_blank">https://webspace.science.uu.nl/~gent0113/publications/eclipse_maps.pdf</a></li><li><a href="https://eclipsewise.com/solar/SEsaros/SEsaros133.html" target="_blank">https://eclipsewise.com/solar/SEsaros/SEsaros133.html</a></li></ul><div><p></p></div><div><br /></div><h4 style="text-align: left;">Veja mais:</h4><div><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2022/12/como-calcular-o-tamanho-da-sombra-da-terra.html" target="_blank">Como calcular o tamanho da sombra da Terra</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2011/07/astronomia-e-os-astronomos-na-grecia.html" target="_blank">A astronomia e os astrônomos da Grécia Antiga</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2021/05/como-descobrimos-que-a-terra-e-redonda-livro-de-isaac-asimov.html" target="_blank">Como descobrimos que a Terra é redonda?</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2021/10/hiparco-ptolomeu-e-trigonometria.html" target="_blank">Hiparco, Ptolomeu e a trigonometria</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2013/02/o-surgimento-do-grau-na-circunferencia.html" target="_blank">Hiparco e o surgimento do grau na circunferência</a><br /></li></ul></div></div></div></div>Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-32785198519761330522023-11-25T12:42:00.004-03:002023-11-26T07:40:28.578-03:00Os irmãos Jacques e Jean Bernoulli<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjtowXrL8GQvF6F4EF20qookcMXJ80YLiW8xhn6icCHNOb6d0Rh5SHP9kxU22u5LW2-QGmMoSC2zpn1e2VFJn7iXzNnc9HG0bklnlXhgqrEFRjwAeZ3NMWR4cUqS4zZUVFHu76bEPLY_MG3ZXFCnbsEpwCcJ7_MYJTwBxUlKkJtl9ZCU3zMfZ9l-iJ7cT4/s752/os-irmaos-jacques-e-jean-bernoulli-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="os irmãos jacques bernoulli e jean bernoulli jakob bernoulli johann bernoulli familia bernoulli" border="0" data-original-height="450" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjtowXrL8GQvF6F4EF20qookcMXJ80YLiW8xhn6icCHNOb6d0Rh5SHP9kxU22u5LW2-QGmMoSC2zpn1e2VFJn7iXzNnc9HG0bklnlXhgqrEFRjwAeZ3NMWR4cUqS4zZUVFHu76bEPLY_MG3ZXFCnbsEpwCcJ7_MYJTwBxUlKkJtl9ZCU3zMfZ9l-iJ7cT4/s16000/os-irmaos-jacques-e-jean-bernoulli-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian.png" title="Os irmãos Jacques e Jean Bernoulli" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Os Bernoulli são sem dúvida a saga familiar mais famosa da história da matemática, estando alguns dos seus membros entre os grandes matemáticos do último terço do século XVII e de todo o século XVIII. Os fundadores da saga foram os irmãos Jacques e Jean Bernoulli.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Importantes campos novos da matemática, como o Cálculo, a Geometria Analítica e a Teoria das Probabilidades, despontaram em sua forma moderna no século XVII. Mas, obviamente, considerando inclusive o estágio da matemática na época, tudo acontecia sem uma fundamentação lógica consistente. Explorar as potencialidades desses campos e fundamentá-los seria uma tarefa longa. E já no século XVII o trabalho de explorar esses campos visando desenvolvê-los e buscar aplicações para eles inicia-se revelando nomes de grande talento matemático, como os irmãos Jacques (Jakob) Bernoulli (1654-1705) e Jean (Johann) Bernoulli (1667-1748), da Basileia, na Suíça.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">A <b>família Bernoulli </b>pertencia à burguesia comercial da Basileia, onde se fixara, vinda em fuga da Antuérpia no final do século XVI, após esta cidade ter sido conquistada pela Espanha católica (os Bernoulli eram huguenotes). Cerca de meio século depois, por alguma mutação difícil de explicar, a família começou a produzir cientistas (não sem decepcionar alguns patriarcas) de maneira talvez inédita na história da humanidade. Só matemáticos, até a primeira metade do século XIX, contam-se nada menos que treze membros da família. Mas possivelmente nenhum tenha superado em brilho os irmãos Jacques e Jean.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Ambos os irmãos se bandearam para a matemática, deixando outros interesses e outras carreiras, quando começaram a aparecer na <i>Acta eruditorum</i> os artigos de <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/04/os-mitos-leibzinianos-respeito-das-curvas-diferenciais.html" target="_blank">Leibniz </a>. Eles estavam entre os primeiros matemáticos que perceberam a potência espantosa do cálculo e que aplicaram esse instrumento a uma gama ampla de problemas.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYLhxMgfKRvurY85xlclUFvseKLgHkbs6nhFdB5DJS2RRRg37ZvA87bZ_0rKNYGvXv1lFxAWlxniR1z6O4ZOwwZ3hPa_dk1rdbnvdkp7Mdo7ZkC5E2SAn3oKwE7nJEaX37QuFRoZqsvaKPvVt9naRQhC5e8Oe8WwRdaSVleCHN_eN__jsP6Csw3ElGVmQ/s1100/arvore-genealogia-dos-matematicos-da-familia-bernoulli.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="arvore-genealogia-dos-matematicos-da-familia-bernoulli" border="0" data-original-height="1100" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYLhxMgfKRvurY85xlclUFvseKLgHkbs6nhFdB5DJS2RRRg37ZvA87bZ_0rKNYGvXv1lFxAWlxniR1z6O4ZOwwZ3hPa_dk1rdbnvdkp7Mdo7ZkC5E2SAn3oKwE7nJEaX37QuFRoZqsvaKPvVt9naRQhC5e8Oe8WwRdaSVleCHN_eN__jsP6Csw3ElGVmQ/s16000/arvore-genealogia-dos-matematicos-da-familia-bernoulli.png" /></a></div>
<div style="text-align: justify;"><b>Jacques Bernoulli</b> graduou-se em teologia em 1676 na Universidade da Basileia, atendendo aos desejos do pai. Os seus próprios desejos aparecem no lema que posteriormente adotou: "<i>Invito patre sidera verso</i>" (Estudo as estrelas contra a vontade de meu pai).</div><div style="text-align: justify;"><br />Assim, entende-se por que desde os tempos de estudante dedicava o melhor de seu tempo à matemática e à astronomia. De 1676 a 1682 percorre França, Inglaterra e Holanda para se atualizar cientificamente e na volta à Basileia funda uma escola de matemática e ciência. Cinco anos depois assumiu a cadeira de Matemática da Universidade local, onde ficou até a morte.</div><div style="text-align: justify;"><br />No que se refere ao Cálculo, Jacques o estudou na forma idealizada por Leibniz, sendo aliás um dos primeiros matemáticos a dominar os artigos em que este lançou as bases de suas ideias sobre o assunto. Ao contrário de <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2022/09/o-metodo-das-fluxoes-de-newton.html" target="_blank">Newton</a>, <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/08/leibniz-e-as-diferenciais.html" target="_blank">Leibniz </a>era aberto à troca de informações científicas, com o que conseguiu muitos seguidores e correspondentes, entre os quais Jacques.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">$\rightarrow$ Leia o artigo: <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2022/09/o-metodo-das-fluxoes-de-newton.html" target="_blank">O método das fluxões de Newton</a></div><div style="text-align: justify;"><br />Dentre as múltiplas contribuições de Jacques à matemática, talvez a que o tenha tornado mais conhecido seja seu livro <i>Ars conjectandi</i> (A arte de conjecturar) no qual trabalhou cerca de 20 anos (sem completá-lo totalmente) e que só foi publicado após sua morte (em 1713). Trata-se da primeira obra substancial sobre a teoria das probabilidades.</div><div style="text-align: justify;"><br />O <i>Ars conjectandi </i>está dividido em quatro partes. Na primeira reproduz a breve introdução de Huygens ao assunto. A segunda é um apanhado geral dos resultados básicos sobre permutações e combinações. Nela figura inclusive a primeira demonstração correta (por indução) do teorema binomial para expoentes inteiros positivos. A terceira apresenta 24 problemas sobre jogos de azar muito populares na época. A última termina com o célebre "teorema de Bernoulli" ou "Lei dos grandes números" (Jacques não viveu para incluir nela as aplicações à economia e à política que tinha em vista).</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><div>Entre as contribuições de <b>Jacques Bernoulli</b> à matemática figuram o uso das coordenadas polares (talvez pela primeira vez), a dedução (em coordenadas retangulares e polares) da fórmula do raio de curvatura de uma curva plana, o estudo da <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2017/04/caten-catenarias-em-movimento.html" target="_blank">catenária </a>(com extensões para fios de densidade variável e fios sob a ação de uma força central), o estudo de muitas outras curvas planas superiores, a descoberta da chamada isócrona (ou curva ao longo da qual um corpo cairá com velocidade vertical uniforme), a determinação da forma assumida por uma haste elástica presa por uma das extremidades e suportando um peso na outra, a determinação da forma assumida por uma lâmina retangular flexível com duas bordas opostas mantidas presas horizontalmente e carregada de um líquido pesado e a forma de uma vela retangular enfunada pelo vento. Ele também propôs e discutiu o problema das figuras isoperimétricas (caminhos planos fechados de uma dada espécie e perímetro fixo que abarcam uma área máxima) e, com isso, foi um dos primeiros matemáticos a trabalhar no cálculo de variações.</div><div><br /></div><div>Foi também um dos primeiros a se ocupar da probabilidade matemática. Várias coisas em matemática têm hoje o nome de Jaques Bernoulli, entre elas estão: A distribuição de Bernoulli e o teorema de Bernoulli da estatística e da teoria das probabilidades; A equação de Bernoulli, de um primeiro curso de equações diferenciais; Os números de Bernoulli e os polinômios de Bernoulli de interesse da teoria dos números; A lemniscata de Bernoulli, que aparecem nos cursos iniciais de cálculo.</div><div><br /></div><div>Na resolução de <b>Jacques Bernoulli</b> do problema da curva <i>isócrona</i>, publicada na<i> Acta eruditorum</i> em 1690, encontra-se pela primeira vez a palavra <i>integral</i> com um sentido ligado ao cálculo. Leibniz havia chamado o cálculo integral de <i>calculus summatorius</i>. Em 1696 Leibniz e <b>Jean Bernoulli </b>acordaram em chamá-lo de <i>calculus integralis</i>. Causava forte impressão em Jacques a maneira como a espiral equiangular (<i>spira mirabilis</i>) se reproduzia em si mesma quando submetida a várias transformações e pediu, imitando Arquimedes, que essa curva fosse gravada em seu túmulo com a inscrição “<i>Eadem mutata resurgo</i>” (“Embora transformada, reapareço igual”).</div></div><div style="text-align: justify;"><br /><b>Jean Bernoulli</b>, segundo os planos de seu pai, deveria sucedê-lo à testa dos negócios da família. Contudo, sem vocação comercial, conseguiu dissuadir o velho de suas intenções concordando em fazer medicina. Mas, simultaneamente, era orientado pelo irmão para o caminho que aspirava trilhar – o da matemática e das ciências físicas. Tanto quanto Jacques, logo dominou os métodos do cálculo de Leibniz, tornando-se um dos maiores expoentes e divulgadores do assunto em sua época. Após 10 anos como professor de Matemática da Universidade de Groningen (Holanda), em 1705 sucedeu o falecido irmão na Universidade da Basileia, onde também ficou até a morte.</div><div style="text-align: justify;"><br />Um episódio que marcou a vida de Jean foi seu relacionamento com o Marquês de L'Hospital (1661-1704). Este nobre francês, desejando dominar o Cálculo, então uma novidade científica, contratou para tanto os serviços de Jean, o qual, sabe-se lá por que, concordou até com o que o Marquês usasse como lhe aprouvesse as descobertas que fazia e que a ele comunicava. E em 1696 L'Hospital lançou o livro <i>Analyse des infinement petits</i>, o primeiro texto de Cálculo a ser publicado, não sem agradecimentos especiais, embora genéricos, ao "jovem professor de Groningen". O livro teve muito sucesso, o que chegou a envaidecer Jean. Mas este, após a morte do autor, passou a reivindicar a paternidade de boa parte do conteúdo do livro – tudo indica que com razão. Por exemplo, o teorema sobre limites de quocientes, conhecido como método de determinação da forma indeterminada $0/0$, conhecido hoje como regra de L'Hospital, muito provavelmente é de Jean Bernoulli.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>Jean Bernoulli</b> contribuiu para a matemática mais ainda do que seu irmão Jacques, sendo um dos professores mais inspirados de seu tempo. Enriqueceu grandemente o cálculo desepenhando um papel destacado na divulgação das potencialidades desse novo campo de estudo na Europa; Escreveu sobre múltiplos tópicos, como fenômenos ópticos relacionados com reflexões e refrações, determinações de trajetórias ortogonais de uma família de curvas, retificação de curvas e quadratura de áreas por meios de séries, trigonometria analítica, cálculo exponencial e muitos outros assuntos.</div><div style="text-align: justify;"><br />A matemática, que foi um elo de ligação a mais entre os irmãos Jacques e Jean, acabou por estremecer as relações entre ambos, dado o zelo com que se empenhavam em suas pesquisas. O pivô da desavença entre ambos pode ter sido o problema da <i>braquistócrona </i>(nome derivado das palavras gregas menor e tempo) com que a certa altura Jean desafiou a comunidade matemática do mundo.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">$\rightarrow$ Leia o artigo: <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2013/12/christiaan-huygens-e-o-relogio-de.html" target="_blank">Christiaan Huygens e o relógio de pêndulo</a></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">O problema consistia em determinar a curva de descida no menor espaço de tempo possível de uma partícula dados dois pontos $A$ e $B$, com alturas diferentes, em um plano vertical, sob a ação da gravidade. A solução do problema é o arco (único) da cicloide invertida unindo $A$ com $B$. A cicloide é a curva descrita por um ponto $P$ de uma circunferência que roda sem deslizar sobre uma reta:</div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5_xKd236Hr3diTggQ6fwzTqn5HCPKtfqVH9fNyx8FDzuo0pw7IwhiqeYNbAjzZmV_Jqu2fMS0FZft_gjUTjtTeAgjR_3OBRxc-AKpD3IGbl9WXq6-I0-vvuFjZgBmhiM_oOHkfEyQbcvY5FJvgVDt_QEpaGl8k0lmVPhb9HpiGXsUP8eEpvTZoo7OHxM/s752/cicloide-e-a-cicloide-invertida-problema-da-braquistocrona.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="cicloide-e-a-cicloide-invertida-problema-da-braquistocrona" border="0" data-original-height="679" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5_xKd236Hr3diTggQ6fwzTqn5HCPKtfqVH9fNyx8FDzuo0pw7IwhiqeYNbAjzZmV_Jqu2fMS0FZft_gjUTjtTeAgjR_3OBRxc-AKpD3IGbl9WXq6-I0-vvuFjZgBmhiM_oOHkfEyQbcvY5FJvgVDt_QEpaGl8k0lmVPhb9HpiGXsUP8eEpvTZoo7OHxM/s16000/cicloide-e-a-cicloide-invertida-problema-da-braquistocrona.png" title="A cicloide e a cicloide invertida" /></a></div>Somente cinco matemáticos da época chegaram a essa resposta acertadamente: Newton, Leibniz, L'Hospital e os irmãos Bernoulli. Segundo algumas versões, a resolução inicial de Jean não era satisfatória, o que o teria levado a tentar usar, de alguma maneira, a do irmão. Daí talvez o atrito. Mas supostamente uma outra solução obtida por ele, além de original, tinha um alcance maior que a de Jacques, sendo considerada, inclusive, o ponto de partida de um novo ramo da matemática: o cálculo de variações.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><h4 style="text-align: justify;">Referências:</h4><div style="text-align: justify;"><ul><li>Fundamentos de Matemática Elementar V5 - Combinatória e Probabilidade - Samuel Hazzan</li><li>Introdução à História da Matemática - Howard Eves</li></ul></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><h4 style="text-align: justify;">Download:</h4><div style="text-align: justify;"><span style="text-align: left;">Você pode fazer o download deste artigo em PDF através do Google Drive:</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://drive.google.com/file/d/1aEZTcsSzBVpM4WLjbc2b8ujx47GYqyMN/view?usp=sharing" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img border="0" data-original-height="172" data-original-width="752" height="46" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyNnr4fELd7v4yO-m8dRGIaSoBxavKwvLMVnqi7ow2CLbO0S47q-49q6QyO7t_UYzLY61lXED3QVsApcdKc85J1_nenpD_UTr4TUse3I9ZjEyP7Mc0W2Kxa-m-2JVD_oPH-gC1LI19-FtfrSVlVHx9-kKR6h-pHbvJo5ol52G1XPYnhGrbr_mcE0gtgzc/w200-h46/botao-download-artigo-drive-o-baricentro-da-mente.png" width="200" /></a></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><h4 style="text-align: justify;">Veja mais:</h4><div style="text-align: justify;"><ul><li style="text-align: left;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2022/09/o-metodo-das-fluxoes-de-newton.html" target="_blank">O método das fluxões de newton</a><br /></li><li style="text-align: left;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2017/12/isaac-newton.html" target="_blank">Uma breve biografia de Isaac Newton</a><br /></li><li style="text-align: left;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/08/leibniz-e-as-diferenciais.html" target="_blank">Leibniz e as diferenciais</a><br /></li><li style="text-align: left;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2019/03/a-cegueira-e-morte-de-leonhard-euler.html" target="_blank">A cegueira e a morte de Leonhard Euler</a><br /></li></ul></div>
Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-22684822103710386492023-11-20T09:44:00.001-03:002023-12-09T14:09:39.196-03:00Qual o valor de $(-1)^\pi$?<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhDZt6NojEwjM3cuxp_tgnhl6M7zgv_-nsl8eBKCJX-iHQYyd9eNfs7YJrvABAuKCTOsIkcWvjuVmEoWFkvfw1a-IULoNO5ZhGQdJ9BlK6gemeb0S3fRL7RFPnJZyJnqM5yX_0PbicMmcpq99s46z7HEihB3-00ak5ugV5PPh35QZHJ9asGTNuEy2jP2Hk/s752/qual-o-valor-de-meno-um-elevado-a-pi.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="qual o valor de (-1)^π? Quanto vale (-1)^pi? Qual o valor de (-1) elevado a pi?" border="0" data-original-height="752" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhDZt6NojEwjM3cuxp_tgnhl6M7zgv_-nsl8eBKCJX-iHQYyd9eNfs7YJrvABAuKCTOsIkcWvjuVmEoWFkvfw1a-IULoNO5ZhGQdJ9BlK6gemeb0S3fRL7RFPnJZyJnqM5yX_0PbicMmcpq99s46z7HEihB3-00ak5ugV5PPh35QZHJ9asGTNuEy2jP2Hk/s16000/qual-o-valor-de-meno-um-elevado-a-pi.png" title="Qual o valor de (-1)^pi" /></a></div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div></div><div style="text-align: justify;">Vamos iniciar relembrando a <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/demonstracao-da-identidade-de-euler.html" target="_blank">identidade de Euler</a>:<br /></div>$$<br />e^{i\pi} = \cos(\theta) + i\ \text{sen}(\theta) \tag{1}<br />$$<div style="text-align: justify;">Se fizermos $\theta = \pi$, obteremos:</div>$$<br />e^{i\ \pi} = \cos(\pi) + i\ \text{sen}(\pi) \tag{2}<br />$$<div style="text-align: justify;">Como $\cos(\pi)=-1$ e $\text{sen}(\pi)=0$, chegamos a:</div>$$<br />e^{i\ \pi} = -1 \tag{3}<br />$$<div style="text-align: justify;">Para entender como se chega a esse resultado, leia o artigo: <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/demonstracao-da-identidade-de-euler.html" target="_blank">Demonstração da Identidade de Euler</a>.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Reescrevemos $(3)$ como:</div>$$<br />-1 = e^{i\ \pi} \tag{4}<br />$$<div style="text-align: justify;">Elevando ambos os membro à potência $\pi$:</div>$$<br />(-1)^\pi = \left(e^{i\ \pi}\right)^\pi \tag{5}<br />$$<div style="text-align: justify;">Obtendo:</div>$$<br />(-1)^\pi = e^{i\ \pi^2} \tag{6}<br />$$<div style="text-align: justify;">No entanto, se substituírmos o valor de $\theta$ po $\pi^2$ na relação $(1)$, obteremos:</div>$$<br />e^{i\ \pi^2} = \cos\Big(\pi^2 \Big) + i\ \text{sen}\Big(\pi^2 \Big) \tag{7}<br />$$<div style="text-align: justify;">Substituindo $(7)$ na relação $(6)$:</div>$$<br />(-1)^\pi = \cos\Big(\pi^2\Big) + i\ \text{sen}\Big(\pi^2\Big) \tag{8}<br />$$<div style="text-align: justify;">Numericamente, teremos:</div>$$<br />(-1)^\pi \approx -0,9027 - (0,4303)\ i<br />$$<div style="text-align: left;"><br /></div><h4 style="text-align: left;">Veja mais:</h4><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/demonstracao-da-identidade-de-euler.html" target="_blank">Demonstração da Identidade de Euler</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2013/03/o-calculo-no-japao.html" target="_blank">O Cálculo no Japão</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2008/12/breve-cronologia-de-pi.html" target="_blank">Uma breve cronologia de $\pi$</a></li></ul></div>Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-43315357056583420672023-10-21T20:52:00.015-03:002023-11-15T22:32:37.355-03:007 Livros de História da Matemática para Ensino Fundamental, Médio e Superior<div style="text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgD3UC3CUicKZno3cI0GuBNcvq-aXML1vWQCTjCe1CBUCig-6UJP1nfbb94D4scjcN0juAMfzhATB01zRiZBXdkTbUyEpOHtsYyG0IZowoOirFlL_UUx-etOjHkDvc8dHV6-T_nyHnrncoPi7HLbZqh_AT8Ow9P0lyHms4AELq0p6yrJ3oauQ5vHKxWXrw/s752/7-livros-de-historia-da-matematica-para-ensino-fundamental-medio-e-superior.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="7-livros-de-historia-da-matematica-para-ensino-fundamental-medio-e-superior" border="0" data-original-height="450" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgD3UC3CUicKZno3cI0GuBNcvq-aXML1vWQCTjCe1CBUCig-6UJP1nfbb94D4scjcN0juAMfzhATB01zRiZBXdkTbUyEpOHtsYyG0IZowoOirFlL_UUx-etOjHkDvc8dHV6-T_nyHnrncoPi7HLbZqh_AT8Ow9P0lyHms4AELq0p6yrJ3oauQ5vHKxWXrw/s16000/7-livros-de-historia-da-matematica-para-ensino-fundamental-medio-e-superior.png" title="7 livros de História da Matemática para ensino fundamental, médio e superior" /></a></div><br /><div style="text-align: justify;">Conhecer a <b>História da Matemática</b> é importante por várias razões:</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>1. Compreensão do desenvolvimento intelectual humano: </b>Através da História da Matemática é possível obter uma perspectiva enriquecedora sobre a evolução da matemática ao longo do tempo, pois reflete o desenvolvimento intelectual da humanidade, permitindo compreender a concepção, evolução e aprimoramento das ideias matemáticas ao longo dos séculos.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>2. Contextualização de conceitos matemáticos:</b> Conhecer a história por trás de conceitos matemáticos torna mais fácil compreender o porquê e como esses conceitos foram desenvolvidos. Isso pode facilitar a aprendizagem, tornando os conceitos matemáticos mais tangíveis e significativos.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>3. Inspiração:</b> A História da Matemática frequentemente destaca a criatividade e o pensamento inovador de matemáticos famosos, o que pode inspirar estudantes a perseguirem carreiras em áreas relacionadas. Ela mostra que a matemática é uma disciplina dinâmica, com muitas oportunidades de contribuição original.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>4. Resolução de problemas: </b>O estudo da História da Matemática muitas vezes envolve a análise de problemas matemáticos históricos e suas soluções. Isso pode ajudar os estudantes a aprimorar suas habilidades de resolução de problemas, uma vez que podem aprender com as estratégias utilizadas no passado.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>5. Conexões interdisciplinares:</b> A matemática tem ligações profundas com outras disciplinas, como ciência, filosofia, arte e história. Conhecer a História da Matemática pode ajudar a destacar essas conexões e aprofundar a compreensão de como a matemática desempenhou um papel vital em várias áreas ao longo da história.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>6. Consciência da diversidade cultural:</b> A História da Matemática não é exclusiva de uma única cultura, pois inclui contribuições de matemáticos de diferentes partes do mundo, ajudando a promover a conscientização sobre a diversidade cultural e a importância das perspectivas globais na matemática.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>7. Valorização da importância da matemática:</b> Ao conhecer a História da Matemática e os desafios que os matemáticos enfrentaram ao longo da história, as pessoas podem apreciar melhor a importância da matemática em nossa sociedade moderna. Isso pode levar a um maior respeito pela disciplina e pelo papel dos matemáticos na resolução de problemas do mundo real.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">A História da Matemática não apenas fornece informações interessantes sobre o desenvolvimento da disciplina, mas também oferece insights valiosos para estudantes, educadores e entusiastas da matemática, contribuindo para uma compreensão mais profunda e apreciação desse campo fundamental do conhecimento.</div></div><div style="text-align: left;"><br /></div><h3 style="text-align: left;">1. História da Matemática - Carl Boyer</h3><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0CeCvyzzBOPEsrL58AJGrqbYo3dYUrv6RRdTxnjcMmk2PcZZr3UXuOAqsNy-pn6aBY1dQ6DtIObAhxpLO7nzcyF8MfCDIw7u-9JyUgk8cc0X-hR3BZWcAoHVJsjw6TlDEsU9arn6UCFMXonfHywZMBo1KxX9Ke1Q9v9NpCEk4QHW3EJlnHPIpPe5t3Pk/s525/historia-da-matematica-carl-boyer.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="525" data-original-width="423" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0CeCvyzzBOPEsrL58AJGrqbYo3dYUrv6RRdTxnjcMmk2PcZZr3UXuOAqsNy-pn6aBY1dQ6DtIObAhxpLO7nzcyF8MfCDIw7u-9JyUgk8cc0X-hR3BZWcAoHVJsjw6TlDEsU9arn6UCFMXonfHywZMBo1KxX9Ke1Q9v9NpCEk4QHW3EJlnHPIpPe5t3Pk/s16000/historia-da-matematica-carl-boyer.jpg" /></a></div><div style="text-align: justify;">Por mais de vinte anos, <b>"História da Matemática"</b> tem sido texto de referência para aqueles que querem aprender sobre a fascinante história da relação da humanidade com números, formas e padrões.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Esta <b>edição revisada</b> apresenta uma cobertura atualizada de tópicos como o <b>último teorema de Fermat</b> e a <b>conjectura de Poincaré</b>, além de avanços recentes em áreas como teoria dos grupos finitos e demonstrações com o auxílio do computador.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Quer você esteja interessado na idade de <b>Platão </b>e <b>Aristóteles </b>ou de <b>Poincaré </b>e <b>Hilbert</b>, quer você queira saber mais sobre o <b>teorema de Pitágoras</b> ou sobre a <b>razão áurea</b>, "História da Matemática" é uma referência essencial que o ajudará a explorar a incrível história da matemática e dos homens e mulheres que a criaram.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://amzn.to/3QTiK5b" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img alt="livro historia da matematica de carl boyer" border="0" data-original-height="172" data-original-width="752" height="46" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh6QebapGVQ3kBgpv59o3Q-wSeR9lQ1EyO9p6WLnXi2bk8kVPgCVDoqsi4oF0SfmDY888pDpLP53vNLfSDLkL3zYyrMlIwSu4HMFPs74GO7rdcw-zpSMjkCik34k8kQkUxS3QB5levaLqm7gx-xcF3PoPh4PCFDhAG5qFcALgKC0RrM0wg_b5HQSI1gHJY/w200-h46/botao-logo-amazon-ver-na-amazon-752px.png" title="Clique para ser redirecionado ao site da Amazon e veja mais sobre o livro História da Matemática de Carl Boyer" width="200" /></a></div><div><b>Detalhes do produto:</b></div><div><ul style="text-align: left;"><li><b>Autor:</b> Carl Boyer e Uta C. Merzbach</li><li><b>Editora:</b> Blucher</li><li><b>Idioma:</b> Português</li><li><b>Capa comum: </b>508 páginas</li><li><b>Dimensões:</b> 25,2 x 20,0 x 2,8 cm</li></ul></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><br /></div><h3 style="text-align: left;">2. História da Matemática: Uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas - Tatiana Roque</h3><div style="text-align: left;"><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlxOQMi6uvooOiRXrmZuVTh02jqOCuGWsFw0_fOXm7YxSA-AEU7oIVPWnXLsFzAgZIH5qe91qbvpls3dYIxUDsnhZzkfqODyWVJecpCdijXdTVznCfYiWcMKxrsFGqUXbkhEW9PWPG7uOQSAY53vkScmgRkMi_VFFixiee2KH7XUuvssPyYl1gqYAAgZA/s525/historia-da-matematica-tatiana-roque.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="livro historia da matematica Uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas" border="0" data-original-height="525" data-original-width="365" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlxOQMi6uvooOiRXrmZuVTh02jqOCuGWsFw0_fOXm7YxSA-AEU7oIVPWnXLsFzAgZIH5qe91qbvpls3dYIxUDsnhZzkfqODyWVJecpCdijXdTVznCfYiWcMKxrsFGqUXbkhEW9PWPG7uOQSAY53vkScmgRkMi_VFFixiee2KH7XUuvssPyYl1gqYAAgZA/s16000/historia-da-matematica-tatiana-roque.jpg" title="Livro História da Matemática: Uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas" /></a></div></div><div style="text-align: justify;"><b>Primeiro livro de História da Matemática propriamente brasileiro</b>, em linguagem objetiva e com ilustrações, apresenta um olhar crítico sobre o modo como a história da matemática tem sido contada ao longo dos tempos. Para tanto, aborda os sistemas matemáticos desenvolvidos desde a Mesopotâmia até o século XIX, passando pelo <b>Egito antigo</b>, a <b>Grécia clássica</b>, a <b>Idade Média</b>, a chamada <b>Revolução Científica</b> e os debates dos século XVIII. </div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">A autora mostra que diferentes práticas matemáticas coexistiram desde sempre, dando soluções diversas para problemas semelhantes. E que tal concepção põe em xeque não apenas a crença de que <b>a matemática é universal</b> como também a tradicional visão de que a matemática grega seria superior à de outros povos da Antiguidade, como os árabes. Nessa ousada empreitada, um dos objetivos principais de Tatiana Roque é acabar com a falsa ideia de que a matemática seria essencialmente abstrata e teórica, acessível apenas a gênios.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://amzn.to/49oVW4u" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img alt="livro História da Matemática de Tatiana Roque" border="0" data-original-height="172" data-original-width="752" height="46" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghdm6brRoWoDYgYw9ENv5y8dEJk8qFhgMNU2Z2Gtv_0Rp4naSbzoKn-6pd8EhpzaL_Fg4X4GZhlmwSiJneOitBHhQr0nwjZ80GN1u1bRjeBeEfzkJpYChgfie0PTB3dC-SwKqghYpD5jodjajTJ8SeYjiwppcJEPRrbX93qiTVTQ9hsH7hx2MQlWaaSk4/w200-h46/botao-logo-amazon-ver-na-amazon-752px.png" title="Clique para ser redirecionado ao site da Amazon e veja mais sobre o livro História da Matemática de Tatiana Roque" width="200" /></a></div><div><b>Detalhes do produto:</b></div><div><ul style="text-align: left;"><li><b>Autor:</b> Tatiana Roque</li><li><b>Editora:</b> Zahar</li><li><b>Idioma: </b>Português</li><li><b>Capa comum:</b> 512 páginas</li><li><b>Dimensões:</b> 22,8 x 15,8 x 3,2 cm</li></ul></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><h3 style="text-align: left;">3. Em busca do infinito: Uma história da matemática dos primeiros números à teoria do caos - Ian Stewart</h3><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhaLZp9q18iOf8BUz4zYSiEjba6_cEtSJFjJ_a8MPG6oSwgPzEQw6LvDTmwOAj5NGBeO6bloC5WQiorT0VOenBYdFnlRbwkDAXi6fPValhyphenhyphenF-feqHy0k6wEBw4Ga30_A8AybVI7iapXHRYjj7NnDH9kIC26Z66iN-YFjpj2Tr-7iBH76NUtfQsjYESJqw/s525/em-busca-do-infinito-ian-stewart.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Em busca do infinito: Uma história da matemática dos primeiros números à teoria do caos" border="0" data-original-height="525" data-original-width="365" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhaLZp9q18iOf8BUz4zYSiEjba6_cEtSJFjJ_a8MPG6oSwgPzEQw6LvDTmwOAj5NGBeO6bloC5WQiorT0VOenBYdFnlRbwkDAXi6fPValhyphenhyphenF-feqHy0k6wEBw4Ga30_A8AybVI7iapXHRYjj7NnDH9kIC26Z66iN-YFjpj2Tr-7iBH76NUtfQsjYESJqw/s16000/em-busca-do-infinito-ian-stewart.jpg" title="Em busca do infinito: Uma história da matemática dos primeiros números à teoria do caos - Ian Stewart" /></a></div><div style="text-align: justify;">Dos <b>primeiros símbolos numéricos</b> da Mesopotâmia aos <b>grandes problemas ainda insolúveis</b> que desafiam a mente dos maiores cientistas de nosso tempo, o brilhante e aclamado professor Ian Stewart oferece uma história da matemática esclarecedora e extremamente simples de ler.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Com mais de 100 ilustrações, <b>Em busca do infinito</b> desmistifica as ideias essenciais da matemática, explicando um tema fundamental de cada vez. Entre diagramas, fotos e pinturas - além de quadros destacando o que cada descoberta fez por sua época e também suas aplicações hoje em dia -, Stewart revela a natureza fascinante desta ciência e sua presença em todos os aspectos de nossa vida.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://amzn.to/3SqLCmo" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img alt="Clique para ser redirecionado ao site da Amazon e veja mais sobre o livro Em busca do infinito: Uma história da matemática dos primeiros números à teoria do caos de Ian Stewart" border="0" data-original-height="172" data-original-width="752" height="46" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhlDlE5eWk7rcn7dboFkTsxxTXTzu2_XIzUe0_lFNYzixXunolU3LHTUozhgco6fJml2c8H-UNe_GezijumnJSacnOarL-EsfInoOZ7gCzi7znxIjYhMTDaWti1Sl3ediLnAGnKZao6vj8t2quXbCnzapNWh8GU0G2GHs4XtrQHWqxArcxBKzkBq1iA5DE/w200-h46/botao-logo-amazon-ver-na-amazon-752px.png" title="Clique para ser redirecionado ao site da Amazon e veja mais sobre o livro Em busca do infinito: Uma história da matemática dos primeiros números à teoria do caos de Ian Stewart" width="200" /></a></div><div><b>Detalhes do produto:</b></div><div><ul style="text-align: left;"><li><b>Autor:</b> Ian Stewart</li><li><b>Editora:</b> Zahar</li><li><b>Idioma: </b>Português</li><li><b>Capa comum: </b>384 páginas</li><li><b>Dimensões:</b> 22,8 x 15,6 x 2,8 cm</li></ul></div><div><br /></div><div><br /></div><h3 style="text-align: left;">4. A História da Matemática - Anne Rooney</h3><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlQUmrIuvA8e9SEp42OvK3PhQckPB71sx1lKV2VBk-kiRmUMVhuG1AYeWrmUZ6FFXrAtLxSpOS-wQizV9t4MiqJv7PhubinOukad1ZjF1XK17GJXScyh1Vnc1R80ukUC7Rp7QgT9WiE-MnJJBjb-HMlDbZvScpaOuAbCkixXBpsY3P-WmCWz4Pzd0mI1Q/s525/a-historia-da-matematica-anne-rooney.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="A História da Matemática - Anne Rooney" border="0" data-original-height="525" data-original-width="372" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlQUmrIuvA8e9SEp42OvK3PhQckPB71sx1lKV2VBk-kiRmUMVhuG1AYeWrmUZ6FFXrAtLxSpOS-wQizV9t4MiqJv7PhubinOukad1ZjF1XK17GJXScyh1Vnc1R80ukUC7Rp7QgT9WiE-MnJJBjb-HMlDbZvScpaOuAbCkixXBpsY3P-WmCWz4Pzd0mI1Q/s16000/a-historia-da-matematica-anne-rooney.jpg" title="A História da Matemática - Anne Rooney" /></a></div><div style="text-align: justify;">O livro procura traçar uma jornada desde os <b>habitantes das cavernas</b> até os <b>matemáticos do início do século XXI</b>, mostrando conquistas da humanidade.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Os tópicos presentes no livro apresentam: <b>Contagem e medição</b> desde os tempos antigos, <b>Os antigos egípcios</b> e a geometria, <b>Estudando o movimento dos planetas</b>, <b>Álgebra</b>, <b>Geometria </b>sólida e <b>tabelas trigonométricas</b>, Os primeiros computadores, Como as estatísticas passaram a governar nossas finanças, Formas impossíveis e dimensões extras, Medindo e mapeando o mundo, <b>Teoria do caos </b>e fuzzy logic e <b>Teoria dos conjuntos</b> e a morte dos números.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">O livro procura apresentar algumas pessoas por trás das descobertas matemáticas, como Euclides, Apolônio, Pitágoras, Brahmagupta, Aryabhata, Liu Hui, Omar Khayyam, AL-Khwarizmi, Napier, Galileu, Pascal, Newton, Leibniz, Gauss, Riemann, Russel, entre outros.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://amzn.to/3u1kW1m" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img alt="Clique para ser redirecionado ao site da Amazon e veja mais sobre o livro A História da Matemática de Anne Rooney" border="0" data-original-height="172" data-original-width="752" height="46" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhlF3UptMLS0B8PypY295F1n004dsG4nM-_z0Ra_9dhGHoUakjVExjYJdvlEtjII76LRoy2UjeDFOlsUxFnQI3MaZo1v-SS8VL1l2L0MOZvekqpQuuLDMRVzpYH_6g-CC2Ns29Ecjw8o-na8iv8V9MoyHQFgC8PQNRLi7WKNudOfy6advHbOq2BYNQWUN4/w200-h46/botao-logo-amazon-ver-na-amazon-752px.png" title="Clique para ser redirecionado ao site da Amazon e veja mais sobre o livro A História da Matemática de Anne Rooney" width="200" /></a></div><div><b>Detalhes do produto:</b></div><div><ul><li><b>Autor:</b> Anne Rooney</li><li><b>Editora:</b> M. Books</li><li><b>Idioma: </b>Português</li><li><b>Capa comum: </b>216 páginas</li><li><b>Dimensões:</b> 23,8 x 17,0 x 1,6 cm</li></ul></div><div><br /></div><h3 style="text-align: left;">5. Uma história da simetria na Matemática - Ian Stewart</h3><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhigc6xbPOsz4opDce_iszWT5qGi358ly1AC-4w-AP_jfPO3gQbVMJ6D1xiPHHc4xRzXceQHbj4VLJ81ykOM-Zk89QniGSx_AXf4ZmYUv7T6NOfgpaAsEG6C4ymypiQcXiHsYw5lp52qNzElDcefelFM4aMusGmbmH8JS54SVQGLyLQHSHRV5N6eZpbXAo/s525/uma-historia-da-simetria-da-matematica-ian-stewart.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Uma história da simetria na Matemática - Ian Stewart" border="0" data-original-height="525" data-original-width="365" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhigc6xbPOsz4opDce_iszWT5qGi358ly1AC-4w-AP_jfPO3gQbVMJ6D1xiPHHc4xRzXceQHbj4VLJ81ykOM-Zk89QniGSx_AXf4ZmYUv7T6NOfgpaAsEG6C4ymypiQcXiHsYw5lp52qNzElDcefelFM4aMusGmbmH8JS54SVQGLyLQHSHRV5N6eZpbXAo/s16000/uma-historia-da-simetria-da-matematica-ian-stewart.jpg" title="Uma história da simetria na Matemática - Ian Stewart" /></a></div><div style="text-align: justify;">O divulgador da ciência <b>Ian Stewart </b>conta de modo simples e atraente como uma sucessão de matemáticos e físicos, à procura de soluções para equações algébricas, acabou por construir uma teoria que revolucionou nossa visão sobre o Universo. Stewart constrói uma linha do tempo que vai da antiga Babilônia à física do século XXI.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Um caminho cheio de <b>histórias de matemáticos</b> e suas buscas, como a de <b>Girolamo Cardano</b>, vigarista italiano que roubou o método para solucionar as equações cúbicas e publicou o primeiro livro importante de álgebra. E <b>Evariste Galois</b>, revolucionário francês que morreu aos 21 anos, num duelo por causa de uma mulher, deixando inédita a teoria dos grupos, que viria a remodelar o modo de calcular a <b>simetria</b>.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Um livro que nos revela, sobretudo, que a<b> história da matemática </b>depende das descobertas produzidas por pensadores persistentes e inconformados.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://amzn.to/3MrMuTX" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img alt="Clique para ser redirecionado ao site da Amazon e veja mais sobre o livro Uma História da Simetria de Ian Stewart" border="0" data-original-height="172" data-original-width="752" height="46" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVnX5_50FFm4l78PBTnfzkJtKGryvRPgB2FSe2AXTRgiKSsDzWQ4lzyBrj6nU41oXlgZdUSILonPtR_CqbPmkcOji93eWiCNt_nBIPcn2OoVKfK3-iZXqHxTh0foDFs7agaVuyarF_N5JRtHc4HVnYOZG0nDcVxVWdiFGW_qBHwqmYyjlspA7AcH7am-4/w200-h46/botao-logo-amazon-ver-na-amazon-752px.png" title="Clique para ser redirecionado ao site da Amazon e veja mais sobre o livro Uma História da Simetria de Ian Stewart" width="200" /></a></div><div><b>Detalhes do produto:</b></div><div><ul style="text-align: left;"><li><b>Autor: </b>Ian Stewart</li><li><b>Editora: </b>Zahar</li><li><b>Idioma: </b>Português</li><li><b>Capa comum: </b>348 páginas</li><li><b>Dimensões: </b>22,8 x 16,2 x 2,0 cm</li></ul></div><div><br /></div><div><br /></div><h3 style="text-align: left;">6. A Fascinante História da Matemática</h3><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCuCK3D7ue4XgoMzY1SsJW8w9j1GOhNq1AiVn4UZ9-9ikKUR_KqsiF_0lLXe5R74SX-Ce3femJ1dDD8Zf-exKStB56EM4Y7bfgXtwBQ18VilAXnE8IDbQaSpcbvIe7H8dCmSQLFshAw-cS45jvVN0c9bGWohrbRXsOwRNuQ1DqKzCoP34Fy22L8WjFbGQ/s525/a-fascinante-historia-da-matematica-%20Mickael-Launay.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="a-fascinante-historia-da-matematica- Mickael-Launay" border="0" data-original-height="525" data-original-width="343" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCuCK3D7ue4XgoMzY1SsJW8w9j1GOhNq1AiVn4UZ9-9ikKUR_KqsiF_0lLXe5R74SX-Ce3femJ1dDD8Zf-exKStB56EM4Y7bfgXtwBQ18VilAXnE8IDbQaSpcbvIe7H8dCmSQLFshAw-cS45jvVN0c9bGWohrbRXsOwRNuQ1DqKzCoP34Fy22L8WjFbGQ/s16000/a-fascinante-historia-da-matematica-%20Mickael-Launay.jpg" title="A Fascinante História da Matemática - Mickael Launay" /></a></div><div><div style="text-align: justify;">Em <b>A Fascinante História da Matemática</b>, o jovem prodígio da matemática Mickaël Launay mostra que <b>todo mundo gosta de matemática</b>. O problema é que <b>quase ninguém sabe disso</b>.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Nos tempos pré-históricos a matemática nasceu para ser útil. Os números serviam para contar os carneiros do rebanho. Com a <b>geometria</b>, era possível medir campos e traçar estradas. A história poderia parar por aí, mas ao longo dos séculos o Homo sapiens admirou-se ao descobrir os caminhos sinuosos dessa ciência às vezes abstrata. Evidentemente, a história da matemática foi escrita por homens e mulheres de espantosa genialidade, mas não se engane: as verdadeiras heroínas desse “grande romance” são as ideias.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">As pequenas ideias que vão germinando no fundo do cérebro propagam-se de um século a outro, de um continente a outro, amplificam-se, desenvolvem-se e nos revelam, quase sem querermos, um mundo de prodigiosa riqueza. Você vai descobrir que a matemática é bonita, poética, surpreendente, prazerosa e cativante. <b>O número $\pi$</b> é fascinante. <b>A sequência de Fibonacci</b> e o <b>número de ouro</b> nos conduzem a pistas inesperadas. <b>As equações</b> nos lançam desafios, e o <b>infinitamente pequeno</b> vem atiçar deliciosamente nossa inteligência com seus <b>paradoxos</b>.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Se você nunca entendeu matemática, se chegou até a detestá-la, o que acha de dar a ela uma segunda chance? Você poderá ter uma grande surpresa ao ler <b>A Fascinante História da Matemática</b>.</div></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://amzn.to/3MviK8B" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img alt="Clique para ser redirecionado ao site da Amazon e veja mais sobre o livro A Fascinante História da Matemática - Mickaël Launay" border="0" data-original-height="172" data-original-width="752" height="46" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWgmK8SxvnrZJG_LauUDflISzT8t2-280P8FJM74CTG1u4SMUaTpCgRoFALtYysmv0d4zilDXe6IufBl3i6JAXMsnFzqRQGA3MRbNUs4y_RUXJM1_eTOMRz1psMucBRXTunVcEL-_xVx4JZSs3egCrwG9zfVl-1fFL-KFMYPqAPaMO50xq6TomXb0OQts/w200-h46/botao-logo-amazon-ver-na-amazon-752px.png" title="Clique para ser redirecionado ao site da Amazon e veja mais sobre o livro A Fascinante História da Matemática - Mickaël Launay" width="200" /></a></div><div><b>Detalhes do produto:</b></div><div><ul><li><b>Autor: </b>Mickaël Launay</li><li><b>Editora: </b>Difel</li><li><b>Idioma: </b>Português</li><li><b>Capa comum: </b>264 páginas</li><li><b>Dimensões: </b>22,8 x 15,2 x 2,0 cm</li></ul></div><div><br /></div><div><br /></div><h3 style="text-align: left;">7. Introdução à História da Matemática - Howard Eves</h3><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiISh5tThnTEy_eiI7cBJCyj7G411fhnsNqCU2bJqEEn4DMz_Me_9KiByoiPAzHNJdnbP29q4a_qgkwMq7dLo2widD1q7JdW1fZTY5dD65PBCvqDH1JWVDnpBzxc5PfgjXexJC3pr6y1W6yWl5MVFSNZh5Vcb_K1TJsdjEJZkJUa9zvc2iu4HJ6lrV5EVw/s525/introducao-a-historia-da-matematica-howrd-eves.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="introducao-a-historia-da-matematica-howrd-eves" border="0" data-original-height="525" data-original-width="353" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiISh5tThnTEy_eiI7cBJCyj7G411fhnsNqCU2bJqEEn4DMz_Me_9KiByoiPAzHNJdnbP29q4a_qgkwMq7dLo2widD1q7JdW1fZTY5dD65PBCvqDH1JWVDnpBzxc5PfgjXexJC3pr6y1W6yWl5MVFSNZh5Vcb_K1TJsdjEJZkJUa9zvc2iu4HJ6lrV5EVw/s16000/introducao-a-historia-da-matematica-howrd-eves.jpg" title="Introdução à Historia da Matemática - Howard Eves" /></a></div><div style="text-align: justify;">Além da narrativa histórica, que abarca a história da matemática desde a Antiguidade até os tempos modernos, o livro adota recursos pedagógicos, como exercícios ao fim de cada capítulo. Alguns capítulos são introduzidos por panoramas culturais da época abordada. Pode ser utilizado por estudantes de graduação e pós-graduação e professores do ensino médio e superior, tanto de matemática quanto de história ou educação.</div><div><br /></div><div><div><b>Detalhes do produto:</b></div><div><ul><li><b>Autor: </b>Howard Eves</li><li><b>Editora: </b>Unicamp</li><li><b>Idioma: </b>Português</li><li><b>Capa comum: </b>844 páginas</li><li><b>Dimensões: </b>26,0 x 18,0 cm</li></ul></div></div><div><br /></div><h3 style="text-align: left;">Livraria O Baricentro da Mente</h3><div style="text-align: justify;">A <b><a href="https://livraria.obaricentrodamente.com/" target="_blank">Livraria O Baricentro da Mente</a></b> é um agregador de links que apontam para o site da <b>Amazon</b>. São livros de Matemática, Física, Astronomia e de Ciências em geral que recomendo, pois acredito que possa ser útil a você, Leitor.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Para cada compra realizada através dos links disponibilizados, a Amazon repassa uma pequena comissão, mas que me ajuda a manter a <a href="https://livraria.obaricentrodamente.com/" target="_blank">Livraria e o Blog O Baricentro da Mente</a>.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://livraria.obaricentrodamente.com/" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img border="0" data-original-height="160" data-original-width="357" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5kPuU_ESgmWqWXlmDUPr7e3KGddcC0f0RgZGJkw0LVuua0-8f1X7tTRarlJSoS5GgyglC4NGYA9SfLVoRLHjV_azjdpLkMeEFASVvHaa-JXJUsI4LmilWCGWwDgacE131A4PVfHYHDyJqtqwo3vTIv7Mf0HNDMgmVpmlb6E-6Rt1yaznRa2wjshXzoJg/s16000/livraria.png" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div></div>
Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-80786427851257227392023-10-12T09:13:00.010-03:002023-11-11T08:35:46.214-03:00Resolução da integral $\displaystyle \int \text{cossec}(x)\ dx$<div style="text-align: justify;">Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?</div>
<div style="text-align: justify;"> </div>
<div style="text-align: justify;">Este artigo faz parte de uma série de <a href="https://www.obaricentrodamente.com/p/integrais.html" target="_blank">resoluções de integrais</a> que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.</div>
<div style="text-align: justify;"> </div>
<div style="text-align: justify;">Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/10/metodo-de-integracao-por-substituicao.html" rel="noopener" target="_blank">por substituição</a>, <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/metodo-de-integracao-por-partes.html" rel="noopener" target="_blank">por partes</a>, <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/06/integracao-por-fracoes-parciais-parte-1.html" rel="noopener" target="_blank">por frações parciais</a> ou <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/06/integracao-por-substituicao.html" rel="noopener" target="_blank">substituição trigonométrica</a> ou ainda uma combinação de métodos.</div>
<div style="text-align: justify;"> </div>
<div style="text-align: justify;">Nesta postagem, vamos demonstrar que:</div>$$ <br />\int \text{cossec}(x)\ dx = -\ln |\text{cotg}(x) + \text{cossec}(x)| + C<br />$$ <div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfij_-lG1NicOi-Vrpp-DueW0hT08xAPhSST0nYgNVC3gYL4bO1D_4v3zfgrFrvv5GQy9zryv_ZjjX5-lWOyGCaDke9Gajf_DovI-UbSB8OYqkJQ6IUEzjKbPgEsd0VQvRrVaVBQi6iI1RzQYcJ1W3wW7nNhPzj02PRJs0vVZreI_k6-fqJY67reHh1FI/s752/resolucao-da-integral-da-cossecante-de-x.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="resolucao-da-integral-da-cossecante-de-x-atraves-do-metodo-da-substituicao-exemplos-exercicio-resolvido" border="0" data-original-height="450" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfij_-lG1NicOi-Vrpp-DueW0hT08xAPhSST0nYgNVC3gYL4bO1D_4v3zfgrFrvv5GQy9zryv_ZjjX5-lWOyGCaDke9Gajf_DovI-UbSB8OYqkJQ6IUEzjKbPgEsd0VQvRrVaVBQi6iI1RzQYcJ1W3wW7nNhPzj02PRJs0vVZreI_k6-fqJY67reHh1FI/s16000/resolucao-da-integral-da-cossecante-de-x.png" title="Resolução da integral da cossecante de x" /></a></div><div><br /></div>
<div>Seja a integral:</div>$$ <br />I = \int \text{cossec}(x)\ dx<br />$$<br /><div style="text-align: justify;">Quando tratamos de integrais trigonométricas muitas vezes precisamos fazer substituições convenientes para que possamos cancelar termos do integrando.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Podemos multiplicar e dividir o integrando por uma determinada expressão de modo que, ao fazermos uma substituição, possamos encontrar uma derivada que simplifique o integrando.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Para a integral da cossecante, vamos multiplicar e dividir o integrando por $\text{cotg}(x)+\text{cossec}(x)$. Assim:</div>$$<br />I = \int \text{cossec}(x) \cdot \frac{\text{cotg}(x)+\text{cossec}(x)}{\text{cotg}(x)+\text{cossec}(x)}\ dx\\<br />\ \\<br />I = \int \frac{\text{cossec}(x)\ \text{cotg}(x)+\text{cossec}^2(x)}{\text{cotg}(x)+\text{cossec}(x)}\ dx\\<br />\ \\<br />I = - \int \frac{-\text{cossec}(x)\ \text{cotg}(x)-\text{cossec}^2(x)}{\text{cotg}(x)+\text{cossec}(x)}\ dx\\<br />$$</div><div style="text-align: justify;">Para o integrando, fazemos a substituição $u=\text{cotg}(x)+\text{cossec}(x)$. Assim, obtemos:</div><div>$$<br />du = \big(-\text{cossec}^2(x)-\text{cotg}(x)\ \text{cossec}(x)\big)\ dx\\<br />\ \\<br />\text{e}\\<br />\ \\<br />dx = \frac{du}{\big(-\text{cossec}^2(x)-\text{cotg}(x)\ \text{cossec}(x)\big)}<br />$$<div>Aplicando as substituições:</div>$$<br />I = - \int \frac{-\text{cossec}(x)\ \text{cotg}(x)-\text{cossec}^2(x)}{u\ \big(-\text{cossec}^2(x)-\text{cotg}(x)\ \text{cossec}(x)\big)}du\\<br />\ \\<br />I = - \int \frac{1}{u}\ du<br />$$<div>A integral de $\cfrac{1}{u}$ é $\ln|u|$. Assim:</div>$$<br />I = -\ln|u| + C<br />$$<br />Mas, $u=\text{cotg}(x)+\text{cossec}(x)$, logo:</div>$$<br />I = - \ln|\text{cotg}(x)+\text{cossec}(x)|+C<br />$$<div><br /></div><h3 style="text-align: left;">Exemplo 1:</h3><div style="text-align: justify;">Encontrar a área sob a curva $f(x) = \text{cossec}(x)$, no intervalo $\displaystyle \left[ \frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right]$.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5rHBvLcm8VNLGfeFO9VL7mA-nxbmN5C6QNpAS-yzvFdI2mYmeOyZVZpm_lTlrJSMXP27ZYuo9MqUQbrCNPr7HSPZ23FefeZab4WObIlYa_3yRYlk4Rjryw7RAqucjVvJJXGy2WgZfFpJ4RchovOvaGwIdButzdBP2hMF7b0-Dk__jUEMUWXV3mj-35tc/s750/calculo-da-are-asob-a-curva-cossec-x.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="cálculo da área sob a curva cossecante de x" border="0" data-original-height="534" data-original-width="750" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5rHBvLcm8VNLGfeFO9VL7mA-nxbmN5C6QNpAS-yzvFdI2mYmeOyZVZpm_lTlrJSMXP27ZYuo9MqUQbrCNPr7HSPZ23FefeZab4WObIlYa_3yRYlk4Rjryw7RAqucjVvJJXGy2WgZfFpJ4RchovOvaGwIdButzdBP2hMF7b0-Dk__jUEMUWXV3mj-35tc/s16000/calculo-da-are-asob-a-curva-cossec-x.png" title="Cálculo da área sob a curva cossecante de x" /></a></div><div style="text-align: justify;">Para calcularmos a área desejada, utilizaremos o conceito de integral definida, com limites de integração inferior e superior iguais a $\pi/6$ e $\pi/3$, respectivamente. Assim, podemos representar a área desejada como:</div>$$<br />A = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \text{cossec}(x)\ dx<br />$$<div>Utilizando os resultados obtidos anteriormente, temos que:</div>$$<br />A = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \text{cossec}(x)\ dx\\<br />\ \\<br />A= \Big[ -\ln \Big( \text{cotg}(x) + \text{cossec}(x)\Big) \Big]_{\pi/6}^{\pi/3}\\<br />\ \\<br />A = -\ln\left( \text{cotg}\left(\frac{\pi}{3}\right) + \text{cossec}\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)+\\<br /> \ln \left(\text{cotg}\left(\frac{\pi}{6}\right)+\text{cossec}\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)<br />$$<div style="text-align: justify;">De tabelas trigonométricas que podemos encontrar em livros, internet ou mesmo em calculadoras, temos que:</div>$$<br />\text{cotg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \quad \text{e}\quad \text{cotg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\\<br />\ \\<br />\text{cossec}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \quad \text{e}\quad \text{cossec}\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2<br />$$<div>Assim, fazemos:</div>$$<br />A = -\ln \Big( \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3}\Big) + \ln \Big(\sqrt{3} + 2 \Big)\\<br />\ \\<br />A = -\ln (\sqrt{3}) + \ln(\sqrt{3}+2)\\<br />\ \\<br />A \approx 0,76765\ u.a.<br />$$<div>Assim, a área desejada possui aproximadamente 0,76765 unidades de área.</div><div><br /></div><h3 style="text-align: left;">Livros de Cálculo na Amazon:</h3>
<br />
<iframe frameborder="0" marginheight="0" marginwidth="0" sandbox="allow-popups allow-scripts allow-modals allow-forms allow-same-origin" scrolling="no" src="//ws-na.amazon-adsystem.com/widgets/q?ServiceVersion=20070822&OneJS=1&Operation=GetAdHtml&MarketPlace=BR&source=ss&ref=as_ss_li_til&ad_type=product_link&tracking_id=baricentro-20&language=pt_BR&marketplace=amazon&region=BR&placement=6555584017&asins=6555584017&linkId=97d6855cfc560c85f6194eba8cee4cf3&show_border=true&link_opens_in_new_window=true" style="height: 240px; width: 120px;"></iframe>
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<div><br /></div><div><br /></div><h4 style="text-align: left;">Download:</h4><div>Você pode fazer o download deste artigo em PDF através do Google Drive:</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://drive.google.com/file/d/17q7LzBKA5n5NHaSv4obC1bvZtyI6St1Y/view?usp=sharing" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img alt="download-do-artigo-resolucao-da-integral-da-cossecante-de-x" border="0" data-original-height="172" data-original-width="752" height="46" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLea1Cx3VgehdaV01HyAnCzKuohSuSWn-xWM_SXqI9CALqo5xkMYWn8tkQlcR1PLMb0XDE1itEB3tcBv81IDDP-dWwzEeweAf-5U6HnXAQ32-zpFZjTvgXJGJp46LXEZhyrXQvhl68Igcm4c6uvtJu4PUfTJF5e9n-B35w97p_SftMacTmr7Ip3lcN2Tw/w200-h46/botao-download-artigo-drive-o-baricentro-da-mente.png" title="Download do artigo no Google Drive: Resolução da integral da cossecante de x" width="200" /></a></div><br /><div><br /></div><div><br /></div><div><h4 style="text-align: left;">Veja mais:</h4>
<ul>
<li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/metodo-de-integracao-por-partes.html" target="_blank">Método de integração por partes</a><br /></li>
<li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/10/metodo-de-integracao-por-substituicao.html" target="_blank">Método de integração por substituição</a><br /></li>
<li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/06/integracao-por-fracoes-parciais-parte-1.html" target="_blank">Método de integração por frações parciais</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/06/integracao-por-substituicao.html" target="_blank">Método de integração por substituição trigonométrica</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/p/integrais.html" target="_blank">Lista de integrais resolvidas</a><br /></li>
</ul></div>Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-89858596110758453182023-09-23T18:52:00.004-03:002023-11-03T17:45:00.238-03:00Os círculos gêmeos de Arquimedes<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgu9Jo11pW3T95sgUCmxzh5j3O6pVarB79UGrltJbl26NXndwfQW2c0lOB0SvR2Jq4LwDAVV2KrGdkC1Ppn6JwyzRjIdCXDy0fMbqT4EksI4wecLVAm_zTjoL7_k4UMl3d_Lph7trT60Hh48s3eKE8LPJZoaVNjp9v_3EwCWmGyOJqwLJ2NrV1PUHS-6IA/s752/os-circulos-gemeos-de-arquimedes.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="os-circulos-gemeos-de-arquimedes-as-circunferencias-gemeas-de-arquimedes" border="0" data-original-height="450" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgu9Jo11pW3T95sgUCmxzh5j3O6pVarB79UGrltJbl26NXndwfQW2c0lOB0SvR2Jq4LwDAVV2KrGdkC1Ppn6JwyzRjIdCXDy0fMbqT4EksI4wecLVAm_zTjoL7_k4UMl3d_Lph7trT60Hh48s3eKE8LPJZoaVNjp9v_3EwCWmGyOJqwLJ2NrV1PUHS-6IA/s16000/os-circulos-gemeos-de-arquimedes.png" title="Os círculos gêmeos de Arquimedes" /></a></div><div style="text-align: justify;">No <b>livro dos Lemas de Arquimedes</b> aparecem os problemas dos <a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Arbelos" target="_blank">arbelos </a>(faca de sapateiro), que é a região limitada por dois semicírculos <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2011/03/construcao-geometrica-de-tangentes-com.html" target="_blank">tangentes </a>entre si e a um terceiro semicírculo maior, cujo diâmetro é a soma dos dois menores. <b>Os círculos gêmeos de Arquimedes</b> estão ligados diretamente ao problema dos arbelos.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2023/09/os-circulos-gemeos-de-arquimedes.html" target="_blank">Os círculos gêmeos de Arquimedes</a> são dois círculos tangentes aos dois semicírculos menores, ao maior e a um segmento de reta perpendicular ao ponto de tangência entre os dois semicírculos menores.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div><div style="text-align: justify;">Para quaisquer raios que o dois semicírculos menores assumam, os raios dos círculos gêmeos serão sempre iguais e, consequentemente, suas áreas.</div></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Seja um semicírculo de centro $O$ e raio $r$, com diâmetro definido como $AC$ e sejam outros dois semicírculos menores de centros $O_1$ e $O_2$, raios $r_1$ e $r_2$ e diâmetros $AB$ e $BC$, respectivamente.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Traçamos por $B$ um segmento de reta $BD$ perpendicular ao diâmetro $AC$, marcando o ponto $D$ na intersecção com o semicírculo maior.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Descrevemos dois círculos de raios $t_1$ e $t_2$, com centros $E$ e $F$, respectivamente, de modo que o círculo de centro $E$ seja tangente ao segmento $BD$ e aos semicírculos de diâmetros $AC$, e $AB$; e o círculo de centro $F$ seja tangente ao segmento $BD$ e aos semicírculos de diâmetros $AC$ e BC$.</div><div><br /></div><div>Vamos provar que:</div><div><br /></div><div><ul style="text-align: left;"><li>A distância de $E$ ao segmento $AC$ é dada por:</li></ul></div>$$<br />EH = \sqrt{(r_1+r_2)^2 - (r_1-t_1)^2} \tag{1}<br />$$<div><br /></div><div><ul style="text-align: left;"><li>Os raios dos dos círculos gêmeos de Arquimedes são dados por:</li></ul></div>$$<br />t = \frac{r_1 \cdot r_2}{r_1 + r_2} \tag{2}<br />$$<div><br /></div><h3 style="text-align: left;">Demonstrações:</h3><div>Para encontrarmos algumas relações que nos ajudem a provar $(1)$ e $(2)$, fazemos</div><div><ul style="text-align: left;"><li>Traçamos o segmento $HE$, perpendicular ao diâmetro $AC$;</li><li>Traçamos o segmento $OE$, marcando como $I$ a intersecção com o semicírculo de centro $O$;</li><li>Traçamos os segmento $O_1E$, marcando como $J$ a tangência entre o semicírculo de centro $O_1$ e o círculo de centro $E$;</li><li>Traçamos o segmento $EM$ perpendicular ao segmento $BD$.</li></ul></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYtlastYvkt0Ckhmx1Wk5TVpcHzNLbxqcuNKB6VubeM5zkz1zdiCejZPt6ZIzf2qwn8-mchtLiKnp5znF6cOY8xdh3TO0Fqs9umKQLmwUNzziOX_Ag_kOihCdqyk78utrZ9CWlnKxoIYE0EGKSW1XsAEo4T6X1fjwxmQuS6bVOBjNDHkevlyO3kyMJpe0/s752/demonstracao-os-circulos-gemeos-de-arquimedes.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="demonstracao-os-circulos-gemeos-de-arquimedes" border="0" data-original-height="538" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYtlastYvkt0Ckhmx1Wk5TVpcHzNLbxqcuNKB6VubeM5zkz1zdiCejZPt6ZIzf2qwn8-mchtLiKnp5znF6cOY8xdh3TO0Fqs9umKQLmwUNzziOX_Ag_kOihCdqyk78utrZ9CWlnKxoIYE0EGKSW1XsAEo4T6X1fjwxmQuS6bVOBjNDHkevlyO3kyMJpe0/s16000/demonstracao-os-circulos-gemeos-de-arquimedes.png" title="Demonstração dos círculos gêmeos de Arquimedes" /></a></div><div><br /></div><h4 style="text-align: left;">Prova de (1):</h4><div>Como o segmento $AC = AB + BC$, segue que:</div>$$<br />r = r_1 + r_2 \tag{3}<br />$$<div>Do segmento $O_1E$, temos:</div>$$<br />O_1E = O_1J + JE\\<br />\ \\<br />O_1E = r_1 + t_1 \tag{4}<br />$$<div>Do segmento $OI$, temos:</div>$$<br />EO = OI - EI\<br />\ \\<br />EO = r - t_1 \tag{5}<br />$$<div>Do segmento $O_1H$, temos:</div>$$<br />O_1H = O_!B - HB\\<br />\ \\<br />O_1H = O_1B - EM\\<br />\ \\<br />O_1H = r_1 - t_1 \tag{6}<br />$$<div>Do segmento $OC$, temos:</div>$$<br />OH = OC - HB - BC\\<br />\ \\<br />OH = (r_1+r_2) - t_1 - 2r_2\\<br />\ \\<br />OH = r_1 + r_2 - t_1 - 2r_2\\<br />\ \\<br />OH = r_1 - r_2 - t_1 \tag{7}<br />$$<div style="text-align: justify;">Aplicamos o Teorema de Pitágoras no triângulo $EO_1H$ e substituímos as relações $(4)$ e $(6)$:</div>$$<br />O_1E^2 = EH^2 + O_1H^2\\<br />\ \\<br />EH^2 = O_1E^2 - O_1H^2\\<br />\ \\<br />EH^2 = (r_1+t_1)^2 - (r_1-t_1)^2\\<br />\ \\<br />EH = \sqrt{(r_1+t_1)^2 - (r_1 - t_1)^2} \tag{8}<br />$$<div><br /></div><h4 style="text-align: left;">Prova de (2):</h4><div>Aplicamos o Teorema de Pitágoras no triângulo $EOH$ e substituímos as relações $(5)$ e $(7)$:</div>$$<br />EO^2 = EH^2 + OH^2\\<br />\ \\<br />EH^2 = EO^2 - OH^2\\<br />\ \\<br />EH^2 = (r-t_1)^2 - (r_1 - r_2 - t_1)^2<br />$$<div>Mas, $r=r_1+r_2$. Assim:</div>$$<br />EH^2 = (r_1+r_2-t_1)^2 - (r_1-r_2-t_1)^2 <br />$$<div>Substituindo a relação $(8)$ na relação acima, obtemos:</div>$$<br />\color{red}{(r_1+t_1)^2} - \color{blue}{(r_1 - t_1)^2} =\\<br />\color{green}{(r_1+r_2-t_1)^2} - \color{magenta}{(r_1-r_2-t_1)^2} \tag{9}<br />$$<br /><div><div>Vamos aplicar o produto notável em cada quadrado da igualdade acima separadamente para facilitar a visualização:</div>$$<br />\color{red}{(r_1+t_1)^2 = r_1^2 + 2r_1t_1 + t_1^2}<br />\ \\ \ \\<br />\color{blue}{(r_1-t_1)^2 = r_1^2-2r_1t_1 + t_1^2}<br />\ \\ \ \\<br />\color{green}{(r_1+r_2-t_1)^2 = r_1^2+2r_1r_2-2r_1t_1+\\ r_2^2-2r_2t_1+t_1^2}<br />\ \\ \ \\<br />\color{magenta}{(r_1-r_2-t_1)^2 = r_1^2 - 2r_1r_2 - 2r_1t_1 + \\ r_2^2 + 2r_2t_1 + t_1^2}<br />$$</div><div>Agora, aplicamos em $(9)$ os produtos notáveis em sua forma expandida:</div>$$<br />r_1^2 + 2r_1t_1 + t_1^2 - r_1^2+2r_1t_1 - t_1^2 = \\<br />r_1^2+2r_1r_2-2r_1t_1+ r_2^2-2r_2t_1+t_1^2 - \\<br />r_1^2 + 2r_1r_2 + 2r_1t_1 - r_2^2 - 2r_2t_1 - t_1^2<br />$$<div>Através de um pouco de álgebra, somamos os termos comuns e cancelamos termos opostos:</div>$$<br />4r_1t_1 = 4r_1r_2 - 4r_2t_1\\<br />\ \\<br />4r_1t_1+4r_2t_1 = 4r_1r_2\\<br />\ \\<br />4t_1(r_1+r_2) = 4r_1r_2<br />$$<div>Finalmente obtendo:</div>$$<br />t_1 = \frac{r_1 \cdot r_2}{r_1+r_2} \tag{10}<br />$$<div style="text-align: justify;">De modo análogo, considerando as projeções de $F$ sobre os segmentos $BC$ e $BD$, podemos provar que:</div><div style="text-align: justify;"></div>$$<br />t_2 = \frac{r_1 \cdot r_2}{r_1+r_2} \tag{11}<br />$$<div style="text-align: justify;">Sendo assim, as relações $(10)$ e $(11)$ mostra que $t_1=t_2$, provando que os círculos gêmeos de Arquimedes possuem raios iguais e, portanto, áreas iguais. Assim, podemos escrever:</div>$$<br />t = \frac{r_1 \cdot r_2}{r_1+r_2}<br />$$<div><br /></div><h4 style="text-align: left;">Veja mais:</h4><div><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2015/06/o-teorema-da-corda-quebrada-de.html" target="_blank">O teorema da corda quebrada de Arquimedes</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2022/07/arquimedes-e-a-area-do-circulo.html" target="_blank">Arquimedes e a área do círculo</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/09/sobre-esfera-e-o-cilindro.html" target="_blank">Sobre a esfera e o cilindro</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2011/04/o-corpus-arquimediano.html" target="_blank">O corpus arquimediano</a><br /></li><li><a href="https://www.prof-edigleyalexandre.com/2012/03/top-7-matematicos-gregos.html" target="_blank">7 matemáticos gregos</a> no blog do <b>Professor Edigley Alexandre</b><br /></li></ul><div><b><br /></b></div><h4 style="text-align: left;"><span style="font-weight: normal;">Livros sobre Arquimedes na Amazon:</span></h4></div><div><b><br /></b></div>
<iframe sandbox="allow-popups allow-scripts allow-modals allow-forms allow-same-origin" style="width:120px;height:240px;" marginwidth="0" marginheight="0" scrolling="no" frameborder="0" src="//ws-na.amazon-adsystem.com/widgets/q?ServiceVersion=20070822&OneJS=1&Operation=GetAdHtml&MarketPlace=BR&source=ss&ref=as_ss_li_til&ad_type=product_link&tracking_id=baricentro-20&language=pt_BR&marketplace=amazon®ion=BR&placement=8578611055&asins=8578611055&linkId=f9132e6613e7cfa44a559d83658f4933&show_border=true&link_opens_in_new_window=true"></iframe>
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margin-right: 1em;"><img alt="4-modos-de-determinacao-de-um-plano" border="0" data-original-height="752" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjH5iETHWp-fO94S97e-a-JZrMFfYF5rSaPqgXJcFwXGpMRG9ZfZseBZ7vaix3Nt3eEK7galSRzdc04KchUQur_Eoa_EeHaAxsiy_L_B97H7YmL7fw5jeDLWSn3v1SnpoHeBXoRTIuR6SnLlQlb-SsigGqT2_2xeiu_HG5xVORuRamewMx0k5G253NqgqU/s16000/4-modos-de-determinacao-de-um-plano.png" title="4 modos de determinação de um plano" /></a></div><div style="text-align: justify;">Existem 4 modos para determinação de planos:</div><div style="text-align: justify;"><ul><li>Por três pontos não colineares</li><li>Por uma reta e um ponto não pertencente à reta</li><li>Por duas retas concorrentes</li><li>Por duas retas paralelas distintas</li></ul></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><h3 style="text-align: justify;">1º Modo: Utilizando o axioma da determinação</h3><div style="text-align: justify;">Este primeiro modo é um postulado baseado no axioma da determinação, onde:</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">a) Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por elas:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPkIXuRmaPpeuSLXD2jeLA0sersLEVI62rR844mYQwiPDxAeoEh2RBScEtLkitTc0oAT8gEj9PVNyshghh9qhSHqNknPuNx_WXfTFCVpZGAe4nLI16zSR9a2cg0v62Y1iXMYGY_00DREX8SM1gRr3jkPJ1g4lOUqWwBFO0rilfF88mt7svKIn1tBN9oH0/s568/dois-pontos-distintos-definem-uma-reta.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="dois-pontos-distintos-definem-uma-reta" border="0" data-original-height="100" data-original-width="568" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPkIXuRmaPpeuSLXD2jeLA0sersLEVI62rR844mYQwiPDxAeoEh2RBScEtLkitTc0oAT8gEj9PVNyshghh9qhSHqNknPuNx_WXfTFCVpZGAe4nLI16zSR9a2cg0v62Y1iXMYGY_00DREX8SM1gRr3jkPJ1g4lOUqWwBFO0rilfF88mt7svKIn1tBN9oH0/s16000/dois-pontos-distintos-definem-uma-reta.png" title="Dois pontos distintos definem uma reta" /></a></div>$$<br />\overleftrightarrow{AB\ }<br />$$<div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">b) Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidss0Y5dB_aNyv1SnivNXl91IzIAHKJP0CDjaw3DUpfFkjs1mbX7CoGv0JVAbrYckv7xp-sRm-PISoUBvwPb4WOjMQT8aEyvMF2kApA7FBts-IdiRyjGzMJfeafmRS0a6BFz8EB-9YNmodAeZWYkfwRUyiKJz6PiO0bG7XBH-6msxbT0tgjA5LO4iNn4I/s574/tres-pontos-nao-colineares-definem-um-plano.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="tres-pontos-nao-colineares-definem-um-plano" border="0" data-original-height="206" data-original-width="574" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidss0Y5dB_aNyv1SnivNXl91IzIAHKJP0CDjaw3DUpfFkjs1mbX7CoGv0JVAbrYckv7xp-sRm-PISoUBvwPb4WOjMQT8aEyvMF2kApA7FBts-IdiRyjGzMJfeafmRS0a6BFz8EB-9YNmodAeZWYkfwRUyiKJz6PiO0bG7XBH-6msxbT0tgjA5LO4iNn4I/s16000/tres-pontos-nao-colineares-definem-um-plano.png" title="Três pontos não colineares definem um plano" /></a></div>$$<br />\alpha = (A,B,P)<br />$$<div style="text-align: justify;"><br /></div><h3 style="text-align: justify;">2º Modo: Utilizando uma reta e um ponto</h3><div style="text-align: justify;">Se existir uma reta $r$ e um ponto $P$ não pertencente à $r$, então eles determinam um único plano que os contém.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Por hipótese, temos que o ponto $P$ não pertence à reta $r$:</div>$$<br />P \notin r<br />$$<div style="text-align: justify;">A tese que queremos demonstrar é que existe um plano $\alpha$ de modo que o ponto $P$ pertence ao plano $\alpha$ e que a reta $r$ está contida em $\alpha$:</div>$$<br />\exists \ \alpha \ | \ P \in \alpha \quad \text{e} \quad r \subset \alpha<br />$$<div style="text-align: justify;">Como este é um problema de existência e unicidade, vamos dividir a demonstração em duas partes:</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>1ª Parte: Existência</b></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Dados um ponto $P$ e uma reta $r$, tomamos dois pontos $A$ e $B$ distintos pertencentes a $r$.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9f0pAp3Pa2r01u2omspmEZidyDzXRUfigT2rga3EYXqFiC__lrOxf5k6r_9FWpn4kG2WKksDCXGB1QoB0RZqFQERmlnsZxDCRsn-_z99Z0prWecCyFYcC5dG1jEUOC68MNhnGb2-jLHs4i0hOvf3JVE_xejj1gSmob7LTclacz4FXU4NOq---2qcsWug/s574/uma-reta-e-um-ponto-fora-da-reta-definem-um-plano.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="uma-reta-e-um-ponto-fora-da-reta-definem-um-plano" border="0" data-original-height="206" data-original-width="574" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9f0pAp3Pa2r01u2omspmEZidyDzXRUfigT2rga3EYXqFiC__lrOxf5k6r_9FWpn4kG2WKksDCXGB1QoB0RZqFQERmlnsZxDCRsn-_z99Z0prWecCyFYcC5dG1jEUOC68MNhnGb2-jLHs4i0hOvf3JVE_xejj1gSmob7LTclacz4FXU4NOq---2qcsWug/s16000/uma-reta-e-um-ponto-fora-da-reta-definem-um-plano.png" title="Uma reta e um ponto fora da reta definem um plano" /></a></div><div style="text-align: justify;">Se os pontos $A$, $B$ e $P$ não forem colineares $(A,B \in r \quad \text{e} \quad P \notin r)$, então esses pontos determinam um plano $\alpha$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Como os pontos $A$, $B$ e $P$ determinam o plano $\alpha$, logo, o ponto $P$ pertence a esse plano:</div>$$<br />\alpha = (A, B, P) \Longrightarrow P \in \alpha<br />$$<div style="text-align: justify;">Por outro lado, como os pontos $A$, $B$ e $P$ determinam o plano $\alpha$, e sendo os pontos $A$ e $B$ distintos, então $A$ e $B$ pertencem à reta $r$. Logo, a reta $r$ está contida no plano $\alpha$:</div><div>$$<br />\left.\begin{matrix}<br />\alpha = (A,B,P) \\<br />A \neq B; \ B \in r\<br />\end{matrix}\right\}<br />\Longrightarrow r \subset \alpha<br />$$<div style="text-align: justify;">Sendo assim, existe pelo menos o plano $\alpha$ determinado por $r$ e $P$:</div>$$<br />\alpha = (r,P)<br />$$<div><br /></div><div><b>2ª Parte: Unicidade</b></div><div><br /></div><div style="text-align: justify;">Para provarmos que o plano $\alpha$ é o único plano determinado pela reta $r$ e o ponto $P$, vamos supor a existência de dois planos, $\alpha$ e $\alpha ^\prime$, determinados por $r$ e $P$. Assim, teríamos:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhWZGb6Ge-8AUIm7nkjFZhtwhRUD44-X_ucwuIQKf_BlbM_J-TiejdJc4yn606ZMXXlMMhYBFiIQrIzknZH6QUEIK8ZNomqjPGANWGCiFCIL7IeQANmjJjtIuKmyozZa5VIBEZGnQSifioK55d3At4hrMQxZfiejWMKFAanCpslrL_dYDovjhSf2ILiN0/s574/uma-reta-e-um-ponto-fora-da-reta-definem-um-plano-demonstracao.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="uma-reta-e-um-ponto-fora-da-reta-definem-um-plano" border="0" data-original-height="206" data-original-width="574" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhWZGb6Ge-8AUIm7nkjFZhtwhRUD44-X_ucwuIQKf_BlbM_J-TiejdJc4yn606ZMXXlMMhYBFiIQrIzknZH6QUEIK8ZNomqjPGANWGCiFCIL7IeQANmjJjtIuKmyozZa5VIBEZGnQSifioK55d3At4hrMQxZfiejWMKFAanCpslrL_dYDovjhSf2ILiN0/s16000/uma-reta-e-um-ponto-fora-da-reta-definem-um-plano-demonstracao.png" title="Uma reta e um ponto fora da reta definem um plano" /></a></div><div style="text-align: justify;">a) Como o plano $\alpha$ é determinado pela reta $r$ e o ponto $P$ e $A$ e $B$ pertencem a $r$, então os pontos $A$, $B$ e $P$ determinam o plano $\alpha$:</div>$$<br />\alpha = (r,P); A, B \in r \Longrightarrow \alpha = (A, B, P)<br />$$<div style="text-align: justify;">b) Analogamente, como o plano $\alpha^\prime$ também seria determinado pela reta $r$ e o ponto $P$, com os pontos $A$ e $B$ pertencendo à reta $r$, então os pontos $A$, $B$ e $P$ determinam o plano $\alpha^\prime$:</div>$$<br />\alpha^\prime=(r,P); A, B \in r \Longrightarrow \alpha^\prime=(A,B,P)<br />$$<div style="text-align: justify;">Logo, os planos $\alpha$ e $\alpha^\prime$ são iguais:</div>$$<br />\alpha = \alpha^\prime<br />$$<div style="text-align: justify;">Sendo assim, não existe mais que um plano $(r,P)$, de modo que:</div>$$<br />\exists \ \alpha \ | \ P \in \alpha \quad \text{e} \quad r \subset \alpha<br />$$<div style="text-align: justify;"><br /></div><h3 style="text-align: justify;">3º Modo: Utilizando duas retas concorrentes</h3><div style="text-align: justify;">Se duas retas forem concorrentes, então elas determinam um único plano que as contém.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Por hipótese, temos que o ponto $P$ é a intersecção entre as retas $r$ e $s$:</div>$$<br />r \cap s = \{P\}<br />$$<div style="text-align: justify;">A tese que queremos demonstrar é que existe um plano $\alpha$ de modo que as retas $r$ e $s$ estão contidas neste plano:</div>$$<br />\exists \ \alpha \ | \ r \subset \alpha \quad \text{e} \quad s \subset \alpha<br />$$<div style="text-align: justify;">Novamente, por se tratar de um problema de existência e unicidade, vamos dividir a demonstração em duas partes.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>1ª Parte: Existência</b></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Dadas duas retas, $r$ e $s$, concorrentes em um ponto $P$, tomamos o ponto $A$ em $r$ e o ponto $B$ em $s$:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4g9d2ESFVnfvgjvYn9IKYFSm6xcvnGd3eiQfyv8We3QjBjQGJ037Jyrfg1csKZi8IxSpQG3uyy2LMYHPTHXMsXVa0vPmbePBW6X1FoD2m14-YsxW80obuz73wJ01Qi5_BcI8pEVkccvOecIeyva6NR-mxsh6T3YFvw9Lt6FmD4-CqWtm-7TbAjNpVbLs/s574/duas-retas-concorrentes-definem-um-plano.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="duas-retas-concorrentes-definem-um-plano" border="0" data-original-height="206" data-original-width="574" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4g9d2ESFVnfvgjvYn9IKYFSm6xcvnGd3eiQfyv8We3QjBjQGJ037Jyrfg1csKZi8IxSpQG3uyy2LMYHPTHXMsXVa0vPmbePBW6X1FoD2m14-YsxW80obuz73wJ01Qi5_BcI8pEVkccvOecIeyva6NR-mxsh6T3YFvw9Lt6FmD4-CqWtm-7TbAjNpVbLs/s16000/duas-retas-concorrentes-definem-um-plano.png" title="Duas retas concorrentes definem um plano" /></a></div><div style="text-align: justify;">Se os pontos $A$, $B$ e $P$ não forem colineares $(A,P \in r \quad \text{e} \quad B \notin r)$, então esses pontos determinam um plano $\alpha$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Como os pontos $A$, $B$ e $P$ determinam o plano $\alpha$, e $A$ e $P$ pertencem à reta $r$, sendo distintos, então a reta $r$ está contida no plano $\alpha$:</div>$$<br />\alpha=(A,B,P); A,P\in r; A \neq P \Longrightarrow r \subset \alpha<br />$$<div style="text-align: justify;">Da mesma forma, como os pontos $A$, $B$ e $P$ determinam o plano $\alpha$, e $B$ e $P$ pertencem à reta $s$, sendo distintos, então a reta $s$ está contida no plano $\alpha$:</div>$$<br />\alpha=(A,B,P); B,P\in s; B \neq P \Longrightarrow s \subset \alpha<br />$$<div style="text-align: justify;">Logo, existe pelo menos o plano $\alpha$ determinado pelas retas $r$ e $s$:</div>$$<br />\alpha = (r,s)<br />$$<div style="text-align: justify;"><b>2ª Parte: Unicidade</b></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Para provarmos que o plano $\alpha$ é o único plano determinado pelas retas $r$ e $s$, vamos supor a existência de dois planos, $\alpha$ e $\alpha^\prime$ determinados por $r$ e $s$. Assim, teríamos:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhcC8l1ELvzMymFyBVoxwBvnw8Amp5mQin250SmWpIrquE5IWHHpNuZi4UCpJnboXFvHIAc7cfGnVH2wN4h6GDx1nIc1CbYZ0HxIwYZzo8IWD9RR6xh8q9Ar3Bch6YCsYycUchq4RhCX3jobjzcywiNjsoXSC4sHuyeElmA9sBYIcy_L1Ev0hMmNs3MIgs/s574/duas-retas-concorrentes-definem-um-plano-demonstracao.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="duas-retas-concorrentes-definem-um-plano" border="0" data-original-height="206" data-original-width="574" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhcC8l1ELvzMymFyBVoxwBvnw8Amp5mQin250SmWpIrquE5IWHHpNuZi4UCpJnboXFvHIAc7cfGnVH2wN4h6GDx1nIc1CbYZ0HxIwYZzo8IWD9RR6xh8q9Ar3Bch6YCsYycUchq4RhCX3jobjzcywiNjsoXSC4sHuyeElmA9sBYIcy_L1Ev0hMmNs3MIgs/s16000/duas-retas-concorrentes-definem-um-plano-demonstracao.png" title="Duas retas concorrentes definem um plano" /></a></div><div style="text-align: justify;">a) Como o plano $\alpha$ é determinado peças retas $r$ e $s$, os pontos $A$ e $P$ pertencem à reta $r$ e o ponto $B$ à reta $s$, então os pontos $A$, $B$ e $P$ determinam o plano $\alpha$:</div>$$<br />\alpha = (r,s); A, P \in r; B \in s \Longrightarrow \alpha=(A,B,P)<br />$$<div style="text-align: justify;">b) Analogamente, como o plano $\alpha^\prime$ também seria determinado pelas retas $r$ e $s$, com os pontos $A^\prime$ e $P$ pertencendo à reta $r$ e o ponto $B^\prime$ à reta $s$, então os pontos $A^\prime$, $B^\prime$ e $P$ determinam o plano $\alpha^\prime$:</div>$$<br />\alpha^\prime = (r,s); A^\prime , P \in r; B^\prime \in s \Longrightarrow \\<br />\ \\<br />\alpha^\prime = (A^\prime, B^\prime, P)<br />$$</div><div><div style="text-align: justify;">Logo, os planos $\alpha$ e $\alpha^\prime$ são iguais:</div>$$<br />\alpha = \alpha^\prime<br />$$<div style="text-align: justify;">Sendo assim, não existe mais que um plano $(r,s)$, de modo que:</div>$$<br />\exists \ \alpha \ | \ r \subset \alpha \quad \text{e} \quad s \subset \alpha<br />$$<div style="text-align: justify;"><br /></div><h3 style="text-align: justify;">4º Modo: Utilizando duas retas paralelas</h3><div style="text-align: justify;">Se duas retas são paralelas e distintas entre si, então elas determinam um único plano que as contém.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Por hipótese temos que as retas $r$ e $s$ são paralelas e distintas entre si:</div>$$<br />r \parallel s \quad \text{e} \quad r \neq s<br />$$<div style="text-align: justify;">A tese que queremos demonstrar é que existe um plano $\alpha$ de modo que as retas $r$ e $s$ estão contidas no plano $\alpha$, sendo $r$ e $s$ distintas:</div>$$<br />\exists \ \alpha \ | \ r \subset \alpha \quad \text{e} \quad s \subset s, \ r \neq s<br />$$<div style="text-align: justify;">Do mesmo modo que as demonstrações anteriores, por se tratar de um problema de existência e unicidade, vamos dividir a demonstração em duas partes:</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>1ª Parte Existência</b></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">A existência do plano $\alpha = (r,s)$ é uma consequência da definição de retas paralelas (ou da existência dessas retas), pois duas retas são paralelas se, e somente se:</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">a) Ou as retas $r$ e $s$ são coincidentes:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2AB7857jICTh3y7SN5N6wWyJSkO7HvlVNphbMyeE75q-LRFjLuMaK3ereujOhV9fGphp7eBMgx9y_N3EkBYq9otiVRBqeUElbAD8O0bANKm01J62zQAFQEYNVq7nBhzlx4DdQahHetI4lxx4I14-GCHUKypLUBFc9dbjW5BNGqcgIzixbS-0qt2LAP7A/s567/duas-retas-paralelas-coincidentes.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="duas-retas-paralelas-coincidentes" border="0" data-original-height="75" data-original-width="567" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2AB7857jICTh3y7SN5N6wWyJSkO7HvlVNphbMyeE75q-LRFjLuMaK3ereujOhV9fGphp7eBMgx9y_N3EkBYq9otiVRBqeUElbAD8O0bANKm01J62zQAFQEYNVq7nBhzlx4DdQahHetI4lxx4I14-GCHUKypLUBFc9dbjW5BNGqcgIzixbS-0qt2LAP7A/s16000/duas-retas-paralelas-coincidentes.png" title="Duas retas paralelas coincidentes" /></a></div>$$<br />r = s \Longrightarrow r \parallel s<br />$$<br /><div style="text-align: justify;">b) Ou as retas $r$ e $s$ são coplanares sem nenhum ponto comum:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSTrQuwP8ZLGKmSLEXCn-hw_dr46hR3A68m-b4uX52NoYxfyZDOBYczCiR8yHtGRz-sGwK1oSt8flL7i5B_MOOP9B2fSbyWXeuIYu2h5Y_pcAktZV7HsTSgIWYUKcyIrPGpALcYNxmrJfjqQloy3NUBtqPK69T7zkY3933lwSJEImU7Xql8tahFjP4yZI/s574/duas-retas-paralelas-distintas-definem-um-plano.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="duas-retas-paralelas-distintas-definem-um-plano" border="0" data-original-height="206" data-original-width="574" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSTrQuwP8ZLGKmSLEXCn-hw_dr46hR3A68m-b4uX52NoYxfyZDOBYczCiR8yHtGRz-sGwK1oSt8flL7i5B_MOOP9B2fSbyWXeuIYu2h5Y_pcAktZV7HsTSgIWYUKcyIrPGpALcYNxmrJfjqQloy3NUBtqPK69T7zkY3933lwSJEImU7Xql8tahFjP4yZI/s16000/duas-retas-paralelas-distintas-definem-um-plano.png" title="Duas retas paralelas distintas definem um plano" /></a></div>$$r \subset \alpha , \ s \subset \alpha \quad \text{e} \quad r \cap s = \emptyset \Longrightarrow r \parallel s<br />$$<div style="text-align: justify;">Então, se as retas $r$ e $s$ forem paralelas e distintas, estas retas determinam um plano $\alpha$:</div>$$<br />\exists \ \alpha \ | \ r \cap \alpha , s \cap \alpha \quad \text{e} \quad r \cap s = \emptyset<br />$$<div style="text-align: justify;">Sendo assim, existe pelo menos o plano $\alpha$ determinado pelas retas paralelas $r$ e $s$:</div>$$<br />\alpha = (r,s)<br />$$<div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>2ª Parte: Unicidade</b></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Para provarmos que o plano $\alpha$ é o único plano determinado pelas retas paralelas $r$ e $s$, vamos supor a existência de dois planos, $\alpha$ e $\alpha^\prime$, determinados por $r$ e $s$.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhi7JXES-tWV4LcI6p2YeY75s0hLEW02_5bcfUCmliIhFtYIQxTilL_IZSvkdYMVweWVGHhndSKJcdSv4lTWxYKvdcIEUrgh2VPJIvC8sxKuR8PNyLaTeLI659X73thnYJ2CBSvKI9zjqu3TGjwjrs7gKaWnXsxIXxD-tGvFQlsVhhX6-cKnJ5Qf6I4cJc/s574/duas-retas-paralelas-distintas-definem-um-plano-demonstracao.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="duas-retas-paralelas-distintas-definem-um-plano" border="0" data-original-height="206" data-original-width="574" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhi7JXES-tWV4LcI6p2YeY75s0hLEW02_5bcfUCmliIhFtYIQxTilL_IZSvkdYMVweWVGHhndSKJcdSv4lTWxYKvdcIEUrgh2VPJIvC8sxKuR8PNyLaTeLI659X73thnYJ2CBSvKI9zjqu3TGjwjrs7gKaWnXsxIXxD-tGvFQlsVhhX6-cKnJ5Qf6I4cJc/s16000/duas-retas-paralelas-distintas-definem-um-plano-demonstracao.png" title="Duas retas paralelas distintas definem um plano" /></a></div><div style="text-align: justify;">Se existirem os planos $\alpha$ e $\alpha^\prime$ passando pelas retas paralelas distintas $r$ e $s$, tomamos os pontos $A$ e $B$ distintos em $r$ e $P$ em $s$. Então, teríamos:</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">a) Como o plano $\alpha$ é determinado pelas retas $r$ e $s$, os pontos $A$ e $B$ são distintos e pertencem à reta $r$ e o ponto $P$ à retas $s$, então os pontos $A$, $B$ e $P$ determinam o plano $\alpha$:</div>$$<br />\alpha = (r,s) ; A,B \in r, P \in s \Longrightarrow \alpha =(ABP)<br />$$<br /><div style="text-align: justify;">b) Analogamente, como o plano $\alpha^\prime$ é determinado pelas retas $r$ e $s$, os pontos $A$ e $B$ são distintos e pertencem à reta $r$ e o ponto $P$ À reta $s$, então ps pontos $A$, $B$ e $P$ determinam o plano $\alpha^\prime$:</div>$$<br />\alpha^\prime = (r,s) ; A,B \in r, P \in s \Longrightarrow \alpha^\prime =(ABP)<br />$$<div style="text-align: justify;">Logo, os planos $\alpha$ e $\alpha^\prime$ são iguais:</div>$$<br />\alpha = \alpha^\prime<br />$$<div style="text-align: justify;">Sendo assim, não existe mais que um plano $(r,s)$, de modo que:</div>$$<br />\exists \ \alpha \ | \ r \cap \alpha \quad \text{e} \quad s \cap \alpha<br />$$<div style="text-align: justify;"><br /></div><h4 style="text-align: justify;">Referências:</h4><div style="text-align: justify;"><ul><li style="text-align: left;">Fundamentos de Matemática Elementar V10 - Geometria Espacial - Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo</li></ul></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><h4 style="text-align: justify;">Veja mais:</h4><div style="text-align: justify;"><ul><li style="text-align: left;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2021/07/como-calcular-distancias-no-espaco-atraves-da-geometria-analitica.html" target="_blank">Como calcular distâncias através da Geometria Analítica</a></li><li style="text-align: left;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2022/01/os-numeros-complexos-de-cardano-a-hamilton.html" target="_blank">Os números complexos, de Cardano a Hamilton</a><br /></li><li style="text-align: left;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2021/12/como-obter-equacao-reduzida-da-reta.html" target="_blank">Como obter a equação reduzida da reta</a><br /></li><li style="text-align: left;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2022/12/como-determinar-a-inteseccao-de-duas-retas.html" target="_blank">Como determinar a intersecção de duas reta</a></li></ul></div></div>Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-1418842917823358182023-08-26T17:10:00.005-03:002023-09-03T18:25:25.721-03:00Área de um triângulo formado por duas diagonais consecutivas de um hexágono regular<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7HYC2w_5dBk3iSLy9JBLNF-v4rxEcFrXq9G-xEloMQMHEuN3dbZ5ynMg0telRxmvAetWoBogxNIur7vZ9Sng-6KZmndM2lptdNOHK3py_-KNThQ8Z0o5ONDq0--TYZMeZWyZk50-B5qu5krYKOC1PM4zhuFNDORTGFC_bICI21FA3Y3QNwLZC1opHAz8/s752/area-de-um-triangulo-formado-por-duas-diagonais-consecutivas-de-um-hexagono-regular-o-baricentro-da-mente.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="area-de-um-triangulo-formado-por-duas-diagonais-consecutivas-de-um-hexagono-regular-o-baricentro-da-mente-geometria-geometria plana-polígonos" border="0" data-original-height="492" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7HYC2w_5dBk3iSLy9JBLNF-v4rxEcFrXq9G-xEloMQMHEuN3dbZ5ynMg0telRxmvAetWoBogxNIur7vZ9Sng-6KZmndM2lptdNOHK3py_-KNThQ8Z0o5ONDq0--TYZMeZWyZk50-B5qu5krYKOC1PM4zhuFNDORTGFC_bICI21FA3Y3QNwLZC1opHAz8/s16000/area-de-um-triangulo-formado-por-duas-diagonais-consecutivas-de-um-hexagono-regular-o-baricentro-da-mente.png" title="Área de um triângulo formado por duas diagonais consecutivas de um hexágono regular" /></a></div><br /><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Dado um <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/09/construcao-de-um-hexagono-regular-com.html" target="_blank">hexágono regular</a> $ABCDEF$ de lado $\ell$, vamos encontrar uma fórmula que exprima a área de um triângulo formado quando traçamos duas <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2014/04/como-determinar-o-numero-de-diagonais.html" target="_blank">diagonais </a>consecutivas.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">O hexágono regular é composto de 6 <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2018/12/construcao-de-um-triangulo-equilatero-com-regua-e-compasso.html" target="_blank">triângulos equiláteros</a>, de modo que a área de um desses triângulos é dada por:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjS-yvIlYXJ-IhcUHIgCJ_v3xravPHZA06Rl_KMCZHvLwkoyp92zLJWevRq9cHIB2Mon3gUmf8bf-yDvrdW2NYhWp-X8mVy_ybLy-O3Ngn40MQ2hfWeZXRDL6tyCRpWjXhKfWoh4yaduN080ee4RsEhVIOWFKZ_ljnc0YVFdmaouFowwkUpb-wxwhe14fY/s752/area-de-um-triangulo-equilatero.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="area-de-um-triangulo-equilatero" border="0" data-original-height="274" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjS-yvIlYXJ-IhcUHIgCJ_v3xravPHZA06Rl_KMCZHvLwkoyp92zLJWevRq9cHIB2Mon3gUmf8bf-yDvrdW2NYhWp-X8mVy_ybLy-O3Ngn40MQ2hfWeZXRDL6tyCRpWjXhKfWoh4yaduN080ee4RsEhVIOWFKZ_ljnc0YVFdmaouFowwkUpb-wxwhe14fY/s16000/area-de-um-triangulo-equilatero.png" title="Área de um triângulo equilátero" /></a></div><div style="text-align: justify;">Primeiramente traçamos a altura $h$ do triângulo e aplicamos o <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2020/12/prova-do-teorema-de-pitagoras-utilizando-a-potencia-de-um-ponto.html" target="_blank">teorema de Pitágoras</a>:</div>$$<br />\ell^2 = h^2 + \left(\frac{\ell}{2}\right)^2\\<br />\ \\<br />\ell^2 = h^2 + \frac{\ell^2}{4}\\<br />\ \\<br />h^2 = \ell^2 - \frac{\ell^2}{4}\\<br />\ \\<br />h^2 = \frac{3\ell^2}{4}\\ <br />\ \\<br />h = \frac{\ell \sqrt{3}}{2}<br />$$<div style="text-align: justify;">Aplicando na fórmula para a área de um triângulo, obtemos:</div>$$<br />A = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2}\\<br />\ \\<br />A = \frac{\displaystyle \ell \cdot \frac{\ell \sqrt{3}}{2}}{2}\\<br />\ \\<br />A = \frac{\ell^2 \sqrt{3}}{4}<br />$$<br />Assim, a área do triângulo $\triangle CDO$ é dada por:<br />$$<br />A_{\triangle CDO} = \frac{\ell^2 \sqrt{3}}{4} \tag{1}<br />$$<br /><div style="text-align: justify;">Por construção, <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/01/quadrilateros-notaveis.html" target="_blank">o quadrilátero</a> $ABCO$ é um losango e, sendo assim, os segmentos $AC$ e $BO$ são suas diagonais, <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2018/02/construcao-geometrica-de-perpendiculares.html" target="_blank">perpendiculares </a>entre si que intersectam-se em seus pontos médios $M$. Desta forma, o triângulo $\triangle MCO$ é a metade de $\triangle BCO$ e o triângulo $\triangle AMO$ é a metade de $\triangle ABO$. Logo, suas áreas são dadas por:</div>$$<br />A_{\triangle MCO} = \frac{\displaystyle \frac{\ell^2\sqrt{3}}{4}}{2} = \frac{\ell^2 \sqrt{3}}{8} \tag{2}<br />$$<div style="text-align: justify;">e</div><div>$$<br />A_{\triangle AMO} = \frac{\displaystyle \frac{\ell^2\sqrt{3}}{4}}{2} = \frac{\ell^2 \sqrt{3}}{8} \tag{3}<br />$$<div style="text-align: justify;">A área do triângulo $\triangle ACD$ é a soma das áreas dos três triângulos encontradas em $(1)$, $(2)$ e $(3)$:</div>$$<br />A_{\triangle ACD} = \frac{\ell^2 \sqrt{3}}{4} + \frac{\ell^2 \sqrt{3}}{8} + \frac{\ell^2 \sqrt{3}}{8}\\<br />\ \\<br />A_{\triangle ACD} = \frac{2\ell^2 \sqrt{3} + \ell^2 \sqrt{3} + \ell^2 \sqrt{3}}{8}\\<br />\ \\<br />A_{\triangle ACD} = \frac{4 \ell^2 \sqrt{3}}{8}\\<br />\ \\<br />A_{\triangle ACD} = \frac{\ell^2 \sqrt{3}}{2}<br />$$<div><br /></div><h4 style="text-align: left;">Exemplo 1:</h4><div style="text-align: justify;">Seja um hexágono regular $ABCDEF$ de lado igual a $2\ cm$. Calcular a área formada por duas diagonais consecutivas.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj9gk3ohkimtkHH-diz52EmUupkjQI_X7RLnKFzn_1sbwM0Wg94EY_rEL4mnsWVzArWxLnXGQ8mnpWgb7wa9auAHwEIzcLga00FEM_dEEtO3EovWAzwRjVLWidXokSXbz2bFsKuwUDQ_H7ipdmtpP6OBG5Veptx23bwXarHNsSMb3Jwtho91RUn-OATI24/s752/exercicio-area-de-triangulo.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="area-triangulo-hexagono" border="0" data-original-height="320" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj9gk3ohkimtkHH-diz52EmUupkjQI_X7RLnKFzn_1sbwM0Wg94EY_rEL4mnsWVzArWxLnXGQ8mnpWgb7wa9auAHwEIzcLga00FEM_dEEtO3EovWAzwRjVLWidXokSXbz2bFsKuwUDQ_H7ipdmtpP6OBG5Veptx23bwXarHNsSMb3Jwtho91RUn-OATI24/s16000/exercicio-area-de-triangulo.png" title="Área de um triângulo" /></a></div>$$<br />A_{\triangle ACD} = \frac{\ell^2 \sqrt{3}}{2}\\<br />\ \\<br />A_{\triangle ACD} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{2}\\<br />\ \\<br />A_{\triangle ACD} = 2 \sqrt{3}\ cm^2<br />$$</div><div><br /></div><h4 style="text-align: left;">Exemplo 2:</h4><div style="text-align: justify;">Qual deve ser a medida do lado de um hexágono regular para que a área formada por duas diagonais consecutivas seja igual a $1\ cm^2$?</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6ZvWtvrQXgP-Ci3Rr6Oloj7qtdV-SyKUgjLyruwjo0Erwil5facNdQ5Wo76dZmmarU9Mfs2Giz1XeINKoTZwrez1aRe_bEM45XQFcsa_tynz_IuC6j_wr4Cel21WWukLgWbbWoCvpZAnrIVRR8q8MP29be7RfukjrraBifax2zTGb3U3IC0PLkqdZ7jE/s752/exercicio-area-de-triangulo-mede-1-cm2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="area-triangulo-hexagono-poligono" border="0" data-original-height="320" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6ZvWtvrQXgP-Ci3Rr6Oloj7qtdV-SyKUgjLyruwjo0Erwil5facNdQ5Wo76dZmmarU9Mfs2Giz1XeINKoTZwrez1aRe_bEM45XQFcsa_tynz_IuC6j_wr4Cel21WWukLgWbbWoCvpZAnrIVRR8q8MP29be7RfukjrraBifax2zTGb3U3IC0PLkqdZ7jE/s16000/exercicio-area-de-triangulo-mede-1-cm2.png" title="Área de triângulo com 1cm²" /></a></div>$$<br />A_{\triangle ACD} = \frac{\ell^2 \sqrt{3}}{2}\\<br />\ \\<br />1 = \frac{\ell^2 \sqrt{3}}{2}\\<br />\ \\<br />\ell^2 \sqrt{3} = 2\\<br />\ \\<br />\ell^2 = \frac{2}{\sqrt{3}}\\<br />\ \\ <br />\ell^2 = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\<br />\ \\<br />\ell^2 = \frac{2\sqrt{3}}{3}\\<br />\ \\<br />\ell = \sqrt{\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{3}}<br />$$<br /><div><div><br /></div><h4 style="text-align: left;">Livro recomendado:</h4><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://amzn.to/45XXKyv" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img border="0" data-original-height="494" data-original-width="350" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEixLTvnRwEuEyokQGnbSgRyEuntyc5SAABPWBqr_I26cudWwBzg3RXSUi4w9h_55qf5QtmspR_TN9-BS46ddTaF4mYnTg6Lb_DOGacnqSyfue1fCyez4Db2MQ810jPTpCaUIGyKAGHqkR0uD4mkoVIEo7bvCBw94JU6goufgIYaYJ3XRVGMpRpe7-crI8E/w227-h320/fundamentos-de-matematica-elementar-v9-geometria-plana.jpg" width="227" /></a></div><br /><div style="text-align: center;"><a class="button orange" href="https://amzn.to/45XXKyv" target="_blank"><code>Capa comum</code></a></div>
<div><br /></div><div><h4 style="text-align: left;">Veja mais:</h4><div><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2014/04/como-determinar-o-numero-de-diagonais.html" target="_blank">Como calcular o número de diagonais de um polígono convexo de n lados</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/09/construcao-de-um-hexagono-regular-com.html" target="_blank">Construção de um hexágono regular com régua e compasso</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2018/04/construcao-triangulo-equilatero-origami.html" target="_blank">Construção de um triângulo equilátero através de origami</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2018/02/construcao-geometrica-de-perpendiculares.html" target="_blank">Construção de perpendiculares</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/01/quadrilateros-notaveis.html" target="_blank">Os quadriláteros notáveis</a></li></ul></div></div></div>Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-25472756613426082192023-08-20T22:34:00.000-03:002023-08-20T22:34:12.036-03:00O triângulo de área máxima inscrito em uma semicircunferência é isósceles<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjD5axJkuMhI9jPetbkyUo_Tw9O6dCGNQSHC5s3QOuonvvUIhy-zx-KjhOxndoROTnqbS038BbbG_SQtkuUzOIx0rIoq_pfSC3A-iYM0M5-E7RdvjKvk932HhAeftSg4xMItMvRrs9wBTThaAbdfqeqhR8Rh5NGGusLhuScn5SwMeD3JTyAGOGgc6LUGr4/s752/o-triangulo-de-area-maxima-inscrito-em-uma-semicircunferencia-e-isosceles.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="o-triangulo-de-area-maxima-inscrito-em-uma-semicircunferencia-e-isosceles" border="0" data-original-height="450" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjD5axJkuMhI9jPetbkyUo_Tw9O6dCGNQSHC5s3QOuonvvUIhy-zx-KjhOxndoROTnqbS038BbbG_SQtkuUzOIx0rIoq_pfSC3A-iYM0M5-E7RdvjKvk932HhAeftSg4xMItMvRrs9wBTThaAbdfqeqhR8Rh5NGGusLhuScn5SwMeD3JTyAGOGgc6LUGr4/s16000/o-triangulo-de-area-maxima-inscrito-em-uma-semicircunferencia-e-isosceles.png" title="O triângulo de área máxima inscrito em uma semicircunferência é isósceles" /></a></div><div style="text-align: justify;">Dado um <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2023/07/demonstracao-de-que-todo-triangulo-inscrito-em-uma-semicircunferencia-e-retangulo.html" target="_blank">triângulo inscrito em uma semicircunferência</a>, podemos utilizar <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2016/12/derivada-usando-definicao-de-limite.html" target="_blank">derivadas </a>para encontrar um triângulo que possua área máxima.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">O problema se resume em encontrar as medidas dos catetos em função do raio $r$ da circunferência.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6_D22_1EK7aYDHq_7u8OAF-jRX5wcioG-hDVQZ3UbXHjbOvrULZwF1ayCGegYIIuL9z4b-Po8AkkC1GG90DBk3vPDPthD0xItWfglnLeUVVx_Pcs4EfrK4j11yY7clnqR4zmrifIjk82Gb60sHx7hdII-_vsCXiQu2wamYcjTvuKeYjppD3EsgNCTl1k/s752/triangulos-retangulos-inscritos-em-uma-semicircunferencia.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="triangulos-retangulos-inscritos-em-uma-semicircunferencia" border="0" data-original-height="175" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6_D22_1EK7aYDHq_7u8OAF-jRX5wcioG-hDVQZ3UbXHjbOvrULZwF1ayCGegYIIuL9z4b-Po8AkkC1GG90DBk3vPDPthD0xItWfglnLeUVVx_Pcs4EfrK4j11yY7clnqR4zmrifIjk82Gb60sHx7hdII-_vsCXiQu2wamYcjTvuKeYjppD3EsgNCTl1k/s16000/triangulos-retangulos-inscritos-em-uma-semicircunferencia.png" title="Triângulos retângulos inscritos em uma semicircunferência" /></a></div><div style="text-align: justify;">Visualmente é fácil aceitar que o <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/03/aplicacao-de-derivadas-para-determinacao-de-maximos-e-minimos.html" target="_blank">triângulo de maior área</a> é aquele cujos catetos $a$ e $b$ são iguais, ou seja, um triângulo retângulo isósceles. Mas, na Matemática, temos que demonstrar, por mais óbvio que pareça a solução.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Notemos que é possível obter infinitos triângulos retângulos inscritos em uma semicircunferência de raio $r$ conforme o vértice $C$ percorre o arco $AB$ em um intervalo aberto $I=]0,2r[$, ou seja:</div>$$<br />0<a<2r \quad \text{e} \quad 0<b<2r<br />$$<div style="text-align: justify;">Para obtermos a área $A$ de qualquer triângulo, podemos aplicar a fórmula:</div>$$<br />A = \frac{a \cdot b}{2} \tag{1}<br />$$<div style="text-align: justify;">E, através do <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2020/12/prova-do-teorema-de-pitagoras-utilizando-a-potencia-de-um-ponto.html" target="_blank">Teorema de Pitágoras</a>, obtemos a relação:</div>$$<br />a^2 + b^2 = 4r^2 \tag{2}<br />$$<div style="text-align: justify;">Para encontrarmos <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/03/aplicacao-de-derivadas-para-determinacao-de-maximos-e-minimos.html" target="_blank">área máxima</a> $A$, colocamos a área em função de apenas um dos catetos ($a$ ou $b$). Vamos escolher o cateto $a$, de modo que podemos reescrever o cateto $b$ em função de $a$:</div>$$<br />a^2 + b^2 = 4r^2\\<br />\ \\<br />b^2 = 4r^2 - a^2<br />$$<div>Extraindo a raiz de ambos os membros:</div>$$<br />b = \sqrt{4r^2-a^2} \tag{3}<br />$$<div style="text-align: justify;">Substituindo o cateto $b$ na fórmula da área, dada em $(1)$, obtemos:</div>$$<br />A = \frac{1}{2}\ a\cdot b\\<br />\ \\<br />A = \frac{1}{2}\ a\cdot \sqrt{4r^2-a^2}\\<br />\ \\<br />A = \frac{1}{2}\ \sqrt{a^2(4r^2-a^2)}\\<br />\ \\<br />A = \frac{1}{2}\ \sqrt{4a^2r^2 - a^4}<br />$$<div style="text-align: justify;">Agora que obtivemos uma fórmula para a área em função de um dos catetos e raio $r$, podemos aplicar a derivada:</div>$$<br />A(a) = \frac{1}{2}\ \sqrt{4a^2r^2-a^4}\\<br />\ \\<br />A^\prime = \frac{1}{2}\cdot \frac{8ar^2-4a^3}{2\sqrt{4a^2r^2-a^4}}\\<br />\ \\<br />A^\prime = \frac{2ar^2-a^3}{\sqrt{4a^2r^2-a^4}}<br />$$<div style="text-align: justify;">Igualamos a zero para obtermos uma equação que nos leve ao valor de máximo:</div>$$<br />\frac{2ar^2-a^3}{\sqrt{4a^2r^2-a^4}} = 0<br />$$<div style="text-align: justify;">Multiplicando ambos os membros da equação por $\sqrt{4a^2r^2-a^4}$, obtemos:</div>$$<br />2ar^2-a^3=0\\<br />\ \\<br />a(2r^2-a^2) = 0<br />$$<div style="text-align: justify;">Desta equação, temos duas respostas, mas descartamos a que $a=0$, pela obviedade. Assim:</div>$$<br />2r^2-a^2=0\\<br />\ \\<br />a^2 = 2r^2<br />$$<div>Extraindo a raiz em ambos os membros:</div>$$<br />a = r\sqrt{2} \tag{4}<br />$$<div style="text-align: justify;">Para encontrarmos a medida do cateto $b$, substituímos o valor de $a$ obtido em $(4)$ na relação $(3)$:</div><div>$$<br />b = \sqrt{4r^2-a^2}\\<br />\ \\<br />b = \sqrt{4r^2-\left(r\sqrt{2}\right)}\\<br />\ \\<br />b = \sqrt{4r^2-2r^2}\\<br />\ \\<br />b = \sqrt{2r^2}<br />$$O que nos leva a:</div>$$<br />b = r\sqrt{2} \tag{5}<br />$$<div style="text-align: justify;">Provamos, assim, que o triângulo de área máxima inscrito em uma semicircunferência de raio $r$ é aquele cujos catetos medem $a=b=r\sqrt{2}$, ou seja, isósceles.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><h4 style="text-align: justify;">Veja mais:</h4><div style="text-align: justify;"><ul><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/03/aplicacao-de-derivadas-para-determinacao-de-maximos-e-minimos.html" target="_blank">Aplicação de derivadas para determinação de máximos e mínimos</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2023/07/demonstracao-de-que-todo-triangulo-inscrito-em-uma-semicircunferencia-e-retangulo.html" target="_blank">Todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é retângulo</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2016/12/derivada-usando-definicao-de-limite.html" target="_blank">Derivada utilizando a definição de limite</a></li></ul></div>Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-58108737551831040252023-08-05T22:44:00.001-03:002023-08-20T19:40:29.553-03:00Demonstração de que as diagonais de um trapézio isósceles são iguais<div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhhDgdvDTgACTCQ26VJI2VWrdnee123Jo2DUxvyzLTNaNs5Gk6G6WXF59ElJlakO_GusbenUOePKF44Qj71_NkzbZ-_KaKV4rB_pk2whsHXMN_ATzLlmTEJsKUd-8WXcBRB1rg4IfchXD9GjOiH_SGfk1Cc9GhN8szp5KZHJEFSorgQrXZIIPe81PJQeqM/s752/demonstracao-de-que-as-diagonais-de-um-trapezio-isosceles-sao-congruentes-min.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="demonstracao-de-que-as-diagonais-de-um-trapezio-isosceles-sao-congruentes-geometria-teorema" border="0" data-original-height="450" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhhDgdvDTgACTCQ26VJI2VWrdnee123Jo2DUxvyzLTNaNs5Gk6G6WXF59ElJlakO_GusbenUOePKF44Qj71_NkzbZ-_KaKV4rB_pk2whsHXMN_ATzLlmTEJsKUd-8WXcBRB1rg4IfchXD9GjOiH_SGfk1Cc9GhN8szp5KZHJEFSorgQrXZIIPe81PJQeqM/s16000/demonstracao-de-que-as-diagonais-de-um-trapezio-isosceles-sao-congruentes-min.png" title="Demonstração de que as diagonais de um trapézio isósceles são congruentes" /></a></div><div style="text-align: justify;">A <b>Geometria Plana </b>possui muitos teorema interessantes que podem ser demonstrados por métodos analíticos seguindo algumas etapas:</div><ol style="text-align: left;"><li>Construir uma figura que represente o problema;</li><li>Escolher um sistema cartesiano em posição conveniente;</li><li>Fixar as coordenadas de pontos específicos da figura impondo hipóteses;</li><li>Fazer a demonstração.</li></ol><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">O <b>trapézio </b>é um quadrilátero que possui um par de lados opostos paralelos.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Um trapézio é<b> isósceles </b>se os dois lados oblíquos (não paralelos) forem congruentes, ou seja, possuírem o mesmo comprimento.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Podemos demonstrar que <b>as diagonais de um trapézio isósceles são iguais</b> utilizando a <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2013/06/distancia-entre-dois-pontos-no-plano.html" target="_blank">fórmula de distância entre dois pontos</a>.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Uma das propriedades dos trapézio isósceles é que se traçarmos perpendiculares a partir dos vértices da base menor, obtemos dois triângulos congruentes.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEituGvd6tiKTzDmCbAdRzW1FoBqBeYPkRFsbNp4XW-e-SeJ7dV2xlN1d8WD3gR-gwTcnxO7gGt5pCYm-Pr-Hty4r2CCu3HRnH7MvqQexTd5xOvkC6CLYvQ43veabwuf1WPX-K98imwUNI2ZLfDgC1-aH_jtuHornoIEFeXrVPHs2AxyP16fhtPFJYJY56E/s752/um-trapezio-isosceles-e-formado-por-um-quadrado-e-dois-triangulos-congruentes.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="um-trapezio-isosceles-e-formado-por-um-quadrado-e-dois-triangulos-congruentes" border="0" data-original-height="200" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEituGvd6tiKTzDmCbAdRzW1FoBqBeYPkRFsbNp4XW-e-SeJ7dV2xlN1d8WD3gR-gwTcnxO7gGt5pCYm-Pr-Hty4r2CCu3HRnH7MvqQexTd5xOvkC6CLYvQ43veabwuf1WPX-K98imwUNI2ZLfDgC1-aH_jtuHornoIEFeXrVPHs2AxyP16fhtPFJYJY56E/s16000/um-trapezio-isosceles-e-formado-por-um-quadrado-e-dois-triangulos-congruentes.png" /></a></div><div style="text-align: justify;">Se o colocarmos no plano cartesiano sendo um de seus vértices a origem do sistema, podemos definir as coordenadas de um trapézio isósceles genérico:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxXjWNoP4bo6a6tg6CVA0F8fXIQxXoYhuXy-O1kZ87-Fut5jFONYuseMV09oWEgp3ewBB3GiXdkWvh0m9B9E17b6T7zptQN5pb6UF0pBY4pox1SxJzFObX4e4adyT3mAqViMzsb1fFXxKUEkAVghqVFny9GkZS1qLodHa4lYqafU0D0VFGhD1XpCrky3w/s752/as-diagonais-de-um-trapezio-isosceles-sao-congruentes.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="as-diagonais-de-um-trapezio-isosceles-sao-congruentes" border="0" data-original-height="266" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxXjWNoP4bo6a6tg6CVA0F8fXIQxXoYhuXy-O1kZ87-Fut5jFONYuseMV09oWEgp3ewBB3GiXdkWvh0m9B9E17b6T7zptQN5pb6UF0pBY4pox1SxJzFObX4e4adyT3mAqViMzsb1fFXxKUEkAVghqVFny9GkZS1qLodHa4lYqafU0D0VFGhD1XpCrky3w/s16000/as-diagonais-de-um-trapezio-isosceles-sao-congruentes.png" title="As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes" /></a></div><div style="text-align: justify;">Seja $ABCD$ um trapézio isósceles cujas coordenadas são:</div>$$<br />A(0,0),\ B(a,0),\ C(b,c)\ \text{e}\ D(a-b,c)<br />$$<br /><div style="text-align: justify;">Utilizando a <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2013/06/distancia-entre-dois-pontos-no-plano.html" target="_blank">fórmula de distância entre dois pontos</a>, vamos encontrar as medidas das duas diagonais.</div>$$<br />d_{AC} = \sqrt{(b-0)^2 + (c-0)^2}\\<br />\ \\<br />d_{AC} = \sqrt{b^2+c^2}<br />$$<br />e<br />$$<br />d_{BD} = \sqrt{(a-b-a)^2 + (c-0)^2}\\<br />\ \\<br />d_{BD} = \sqrt{b^2+c^2}<br />$$<br />Então:<br />$$<br />AC = BD<br />$$</div><div><br /></div><h4 style="text-align: left;">Referências:</h4><div><ul style="text-align: left;"><li>Fundamentos de Matemática Elementar - Geometria Analítica- Gelson Iezzi</li></ul></div><div><br /></div><h4 style="text-align: left;">Veja mais:</h4><div><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2022/10/a-mediana-relativa-a-hipotenusa-de-um-triangulo-retangulo-e-igual-a-metade-da-hipotenusa.html#google_vignette" target="_blank">A mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à metade da hipotenusa</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/10/organograma-dos-quadrilateros-notaveis.html" target="_blank">Organograma dos quadriláteros notáveis</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2013/10/base-media-de-um-trapezio.html" target="_blank">Base média de um trapézio</a></li></ul></div><div><br /></div>Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-55237975661560567242023-07-29T15:06:00.003-03:002023-08-19T22:38:19.597-03:00Demonstração de que todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é retângulo<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgylgNT8zrxjhPhxwFjNLV-GJ5bykxDdfV6O35ERFs8gdzyibb_IXymk6O-S7t0xhbtp5xKOOIETpDPO1zYQxLbIw0iHFJTvNXeec_gAHAJon6dzHpO_Q-dN-EumUC7a6bIdeAJ8RT-XLrGrCE2c8WIyPfrSwkIVhiLS-WgRaP8DnQrcRh2cH9pHDZtXNI/s752/demonstracao-de-que-todo-triangulo-inscrito-em-uma-semicircunferencia-e-retangulo.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="demonstracao-de-que-todo-triangulo-inscrito-em-uma-semicircunferencia-e-retangulo-triangulo-inscrito-em -uma-circunferencia-em-um-circulo" border="0" data-original-height="450" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgylgNT8zrxjhPhxwFjNLV-GJ5bykxDdfV6O35ERFs8gdzyibb_IXymk6O-S7t0xhbtp5xKOOIETpDPO1zYQxLbIw0iHFJTvNXeec_gAHAJon6dzHpO_Q-dN-EumUC7a6bIdeAJ8RT-XLrGrCE2c8WIyPfrSwkIVhiLS-WgRaP8DnQrcRh2cH9pHDZtXNI/s16000/demonstracao-de-que-todo-triangulo-inscrito-em-uma-semicircunferencia-e-retangulo.png" title="Demonstração de que todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é retângulo" /></a></div><div style="text-align: justify;">Todo triângulo que esteja inscrito em uma semicircunferência é um triângulo retângulo. Em outras palavras, um triângulo inscrito em uma circunferência é retângulo se, e somente se, um de seus lados passar pelo centro da circunferência.<br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Seja uma semicircunferência de centro $O$ e diâmetro $BC$. Escolhemos o ponto $A$ em qualquer posição do arco. Vamos demonstrar que o ângulo $\angle BAC$ é reto.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Iniciamos traçando os pontos $OA$. Considerando o triângulo $\triangle AOB$, temos que os segmentos $OA$ e $OB$ são o raio da semicircunferência. Deste modo, o triângulo $\triangle AOB$ é isósceles e os ângulos $\angle AOB$ e $\angle BAO$ são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida. Vamos chamar esses ângulos de $\alpha$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Analogamente, observamos que $OA$ e $OC$ são o raio da semicircunferência e o triângulo $\triangle AOC$ é isósceles. Assim, os ângulos $\angle OAC$ e $\angle OCA$ são congruentes. Vamos chamar esses ângulos de $\beta$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Sabemos que a <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2014/04/soma-dos-angulos-internos-e-externos-de.html" target="_blank">soma dos ângulos internos</a> de qualquer triângulo é igual a $180^\circ$, ou seja, dois ângulos retos. Observando o triângulo $\triangle ABC$, temos que:</div>$$<br />180^\circ = \angle ABC + \angle ACB + \angle BAC\\<br />\ \\<br />180^\circ = \alpha + \beta + (\alpha + \beta)\\<br />\ \\<br />180^\circ = 2 \alpha + 2 \beta\\<br />\ \\<br />180^\circ = 2(\alpha + \beta)<br />$$<div style="text-align: justify;">Dividindo ambos os membros da igualdade por $2$, obtemos:</div>$$<br />90^\circ = \alpha + \beta<br />$$<div style="text-align: justify;">E provamos desta forma que $\angle BAC = \alpha + \beta = 90^\circ$.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><h3 style="text-align: left;">Sugestão de livro sobre Geometria Plana:</h3><div style="text-align: left;">Este livro faz parte da coleção Fundamentos de Matemática Elementar e este volume aborda toda a Geometria Plana usualmente tratada nas últimas séries do ensino fundamental. Os capítulos I à XI apresentam um estudo posicional das figuras geométricas planas. Os capítulos XII à XIX oferecem um tratamento mais métrico a essas figuras com destaque para os cálculos de perímetros e áreas.</div><div style="text-align: left;"><ul><li>Título: Fundamentos de Matemática Elementar, V9 - Geometria Plana</li><li>Autores: Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo</li><li>Editora: Saraiva Didáticos</li><li>Idioma: Português</li><li>Capa comum: 464 páginas</li><li>Dimensões: 24,13 x 16,76 x 1,52 cm</li></ul></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh31Dok6nHf8PYwNvdTdpW5YHFZ5zBeyvBgJAxfOVuoZlGhGQy-flaQb-0OL4kEySZv0hVUt91r7ZUw6_qT2fF9C5otlAsyA1qLH2LU9tdZ-lLY6WS8dNmyB-UXi3OVgr7uSxXIbpOF3znHQIkhOvAsRM8UidbR6tTDF9z4zrpAv48RR1GkYlfAhhsiRYQ/s250/livro-amazon-fundamentos-de-matematic-aelementar-v9-geometria-plana-osvaldo-dolce.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="livro-amazon-fundamentos-de-matematic-aelementar-v9-geometria-plana-osvaldo-dolce" border="0" data-original-height="250" data-original-width="177" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh31Dok6nHf8PYwNvdTdpW5YHFZ5zBeyvBgJAxfOVuoZlGhGQy-flaQb-0OL4kEySZv0hVUt91r7ZUw6_qT2fF9C5otlAsyA1qLH2LU9tdZ-lLY6WS8dNmyB-UXi3OVgr7uSxXIbpOF3znHQIkhOvAsRM8UidbR6tTDF9z4zrpAv48RR1GkYlfAhhsiRYQ/s16000/livro-amazon-fundamentos-de-matematic-aelementar-v9-geometria-plana-osvaldo-dolce.jpg" title="Livro Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce & José Nicolau de Pompeo" /></a></div>
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<a class="button blue" href=" https://www.amazon.com.br/Fundamentos-Matem%C3%A1tica-Elementar-Osvaldo-Nicolau/dp/8535716866?&linkCode=ll1&tag=obaricentroda-20&linkId=e91e0f210a65c7e0791a284feb8c8657&language=pt_BR&ref_=as_li_ss_tl " target="_blank"><i class="fa fa-external-link"></i><code> Capa comum </code></a>
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<div style="text-align: left;"><br /></div><h4 style="text-align: left;">Veja mais:</h4><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2015/04/relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo.html" target="_blank">Relações métricas no triângulo retângulo</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2011/04/o-teorema-de-pitagoras-segundo-euclides.html" target="_blank">O Teorema de Pitágoras, segundo Euclides</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2018/10/demonstracao-geometrica-da-adicao-e-subtracao-de-arcos.html" target="_blank">Demonstração da adição e subtração de arcos</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2014/10/teorema-do-quadrilatero-inscritivel.html" target="_blank">Teorema do quadrilátero inscritível</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2009/08/pontos-notaveis-de-um-triangulo.html" target="_blank">Pontos notáveis de um trângulo</a><br /></li></ul></div>Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-15774281997155189132023-07-29T09:22:00.002-03:002023-07-29T09:22:57.073-03:00Construção geométrica de um pentadecágono regular com régua e compasso<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjflGk1Xf8f9zyzueVITxpPy8zatd4Cj7lL2Y48jNebGabBwzAsHlx5ot6qkWJ6DC6QYtHVLrkVKssphDD4xeXA8f-nQy7fTfPuEydsc-85elFhhau7bmnUThsbUMeztllIzBKAhFZ_IWGXN7XW5oRsAhYp7om0azzyZLsmJ0ClUax9muD9A7JyWaAdMFE/s752/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-01.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso" border="0" data-original-height="752" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjflGk1Xf8f9zyzueVITxpPy8zatd4Cj7lL2Y48jNebGabBwzAsHlx5ot6qkWJ6DC6QYtHVLrkVKssphDD4xeXA8f-nQy7fTfPuEydsc-85elFhhau7bmnUThsbUMeztllIzBKAhFZ_IWGXN7XW5oRsAhYp7om0azzyZLsmJ0ClUax9muD9A7JyWaAdMFE/s16000/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-01.png" title="Construção geométrica do pentadecágono com régua e compasso" /></a></div><div style="text-align: justify;">O <b>pentadecágono regular</b> é um polígono que possui 15 lados iguais e faz parte de um conjunto de polígonos construtíveis com régua e compasso. Cada <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2011/07/como-determinar-o-angulo-interno-de-um.html" target="_blank">ângulo interno de um polígono regular</a> mede 156° e a <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2014/04/soma-dos-angulos-internos-e-externos-de.html" target="_blank">soma dos ângulos internos</a> equivale a 2340°.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div><div style="text-align: justify;">A construção geométrica de um polígono regular pode ser explicada pelo <a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_construt%C3%ADvel" target="_blank">Teorema de Gauss-Wantzel</a>, que nos diz que um polígono regular de $n$ lados é construtível com régua e compasso se, e somente se, $n$ pode ser escrito como uma potência de 2 ou como produto entre uma potência de 2 por um <a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Fermat" target="_blank">número primo de Fermat</a> (distintos), podendo ser expresso de duas maneiras:</div>$$<br />n = 2^k,\quad k \in \mathbb{N}<br />$$<div>ou</div>$$<br />n = 2^k \cdot \prod _n F_n<br />$$<div style="text-align: justify;">em que $k \in \mathbb{N}$ e $F_n$ são os números primos de Fermat, que, por sua, vez, são escritos sob a forma:</div>$$<br />F_n = 2^{2^n}+1, \quad n \in \mathbb{N}<br />$$</div><div><div style="text-align: justify;">Dividindo a circunferência em 15 partes iguais, obteremos setores circulares com ângulos de 24°. Assim, se conseguirmos encontrar dois pontos sobre a circunferência que nos forneça um ângulo de 24° em relação à origem, conseguiremos construir um pentadecágono regular.</div><h3 style="text-align: left;"><br />Construção geométrica do pentadecágono</h3></div><div style="text-align: justify;">1. Descreva uma circunferência de centro $O$ e raio $r$.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibpfuzuzpKdDY3ZVANHVKe8OtfvdR6mn-WD--MTn615ZDF7ggoSd382wv3e0UUKjsI8V2a5NLu-9XWVkThY9P-nz78kovjnj3y_rO-7cPwMOM-WX6QlvkoEQXOmELd9ydqJ1dtUKQoJfrQmB6oyxORnys98F3cJf7p7KBRR_gYDfisMTS3N4xuvUcrPFY/s752/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-02.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso" border="0" data-original-height="752" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibpfuzuzpKdDY3ZVANHVKe8OtfvdR6mn-WD--MTn615ZDF7ggoSd382wv3e0UUKjsI8V2a5NLu-9XWVkThY9P-nz78kovjnj3y_rO-7cPwMOM-WX6QlvkoEQXOmELd9ydqJ1dtUKQoJfrQmB6oyxORnys98F3cJf7p7KBRR_gYDfisMTS3N4xuvUcrPFY/s16000/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-02.png" title="Construção de um pentadecágono regular com régua e compasso" /></a></div><div style="text-align: left;"><div style="text-align: justify;">2. Trace o diâmetro horizontal e marque os pontos $P_1$ e $P_2$.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqB3HQ3jnQaP68XXuixlBjVM-ShX4YyMh7dCWS-YeWPcf-Vy1mDDSGufyDarhzry2xRFjNB5RyDDqB722kmMjsxT5ZlXGicetMxef178dX5p_gXh7ByZ4CHnjqzqbOoy5oy2sSa7HE1KYHpwSf9qp3VtRpt43Bg0_MEJnR2WZhkJrYej3vxrAlnXAipYk/s752/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-03.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso" border="0" data-original-height="752" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqB3HQ3jnQaP68XXuixlBjVM-ShX4YyMh7dCWS-YeWPcf-Vy1mDDSGufyDarhzry2xRFjNB5RyDDqB722kmMjsxT5ZlXGicetMxef178dX5p_gXh7ByZ4CHnjqzqbOoy5oy2sSa7HE1KYHpwSf9qp3VtRpt43Bg0_MEJnR2WZhkJrYej3vxrAlnXAipYk/s16000/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-03.png" title="Construção de um pentadecágono regular com régua e compasso" /></a></div><div style="text-align: justify;">3. Trace o diâmetro vertical, marcando os pontos $P_3$ e $P_4$. Com a ponta seca do compasso em $P_1$ e depois em em $P_2$, e raio $2r$, descreva dois arcos. A reta que passa pelas intersecções desses arcos fornece o diâmetro vertical.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6DnD5AG_NYL6TWmd4pqu3OJLXl-Idug1nKbI-Na0iKmqDSGk8BRoEkKp2NryBvcD98htxFFqnCE7sydhU9KeQeLS90NXRRFURycQea-XIGAEEBEUy7-ZGRETwIPPWrRsP-x7EU1GlVQh7f5H45KDT58DCjLhw2GOiPF7fM7GS5oKVnXsKbR5eU_CcYk8/s1131/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-05.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Construção de um pentadecágono regular com régua e compasso" border="0" data-original-height="1131" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6DnD5AG_NYL6TWmd4pqu3OJLXl-Idug1nKbI-Na0iKmqDSGk8BRoEkKp2NryBvcD98htxFFqnCE7sydhU9KeQeLS90NXRRFURycQea-XIGAEEBEUy7-ZGRETwIPPWrRsP-x7EU1GlVQh7f5H45KDT58DCjLhw2GOiPF7fM7GS5oKVnXsKbR5eU_CcYk8/s16000/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-05.png" title="Construção de um pentadecágono regular com régua e compasso" /></a></div></div><div style="text-align: justify;">4. Encontre o ponto médio de $OP_1$. Descreva o arco de raio $r$ com centro em $P_1$. A mediana passa pela intersecção do arco com a circunferência. Marque como $P_5$ o ponto médio do segmento $OP_1$.</div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIpCoQVe5lxPbWL3_24DMH4DqsbLZi6TysBC6S3JEdQbk9GlXOLJPkAOxvEluCpr2lKn2W3584LfFWStt-blfImsJcK7RJX3TAdO87AEUo-w-lKxTAIDLEYH7GGEsieNbf9xUoQE92pZT4jd3iulHbXlD3hlx0UAqcBEQBN2Sjo8uTaoR_jkRUBNu1aLA/s752/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-06.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Construção de um pentadecágono regular com régua e compasso" border="0" data-original-height="752" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIpCoQVe5lxPbWL3_24DMH4DqsbLZi6TysBC6S3JEdQbk9GlXOLJPkAOxvEluCpr2lKn2W3584LfFWStt-blfImsJcK7RJX3TAdO87AEUo-w-lKxTAIDLEYH7GGEsieNbf9xUoQE92pZT4jd3iulHbXlD3hlx0UAqcBEQBN2Sjo8uTaoR_jkRUBNu1aLA/s16000/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-06.png" title="Construção de um pentadecágono regular com régua e compasso" /></a></div></div><div style="text-align: justify;">5. Trace o segmento $P_3P_5$.</div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMC-ZpW1kAPlEJSsq4UclCYC7aS_FUgOxMfSY8pQ0lFz4foFz14l_viWu-Ptn7RDMmr5skljxWAj9LUkNFP8yLrskNPF0Hc8UY3fWmrY18WT4h6EiIG8nnHdaMz_1E2DQucR7p7vrFUln63Xkwn8tZPrsOngZ3qYez8BQy1HukVN8xfEy8fHrfOtTcSH0/s752/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-07.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Construção de um pentadecágono regular com régua e compasso" border="0" data-original-height="752" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMC-ZpW1kAPlEJSsq4UclCYC7aS_FUgOxMfSY8pQ0lFz4foFz14l_viWu-Ptn7RDMmr5skljxWAj9LUkNFP8yLrskNPF0Hc8UY3fWmrY18WT4h6EiIG8nnHdaMz_1E2DQucR7p7vrFUln63Xkwn8tZPrsOngZ3qYez8BQy1HukVN8xfEy8fHrfOtTcSH0/s16000/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-07.png" title="Construção de um pentadecágono regular com régua e compasso" /></a></div>6. Com centro em $P_5$e raio $OP_5$, descreva um arco e marque como $P_6$ a intersecção com o segmento $P_3P_5$.</div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgv7EAHk4RrFhxJcG_W1QIvDeBxmo0BmDH4Aui3lYBkpauoWoQQ7xlEVu1UaSjR_jHEnFnGV2bAsFo6TWeGZWVtvGCTw4mNJJDsB7cfbMFAN-u0mDHdkwjcQ5QfuOt7gm0cpPswMUzjecAxEaBC283E4WE64DIuuP5YMMDDxjUzvbTgbNOoGpJ0ZHE1KII/s752/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-08.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Construção de um pentadecágono regular com régua e compasso" border="0" data-original-height="752" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgv7EAHk4RrFhxJcG_W1QIvDeBxmo0BmDH4Aui3lYBkpauoWoQQ7xlEVu1UaSjR_jHEnFnGV2bAsFo6TWeGZWVtvGCTw4mNJJDsB7cfbMFAN-u0mDHdkwjcQ5QfuOt7gm0cpPswMUzjecAxEaBC283E4WE64DIuuP5YMMDDxjUzvbTgbNOoGpJ0ZHE1KII/s16000/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-08.png" title="Construção de um pentadecágono regular com régua e compasso" /></a></div>7. Com centro em $P_3$ e raio $P_3P_6$, descreva uma arco marcando como $A$ a intersecção com a circunferência.</div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiu4AdJFLDgkHfkZT4rO1Co9V6mAu8pqA4LZVHsjzo45VNvj8M0L9AkxMoXOfUGjmjj44iLPdk7YaDrCEX-iWIqr9rBVFicaZMKQYqOIN8XNNYHipdun4Sst5kw3nGWKMbe15UEsI_fKJ9NPaac3lrgaVq0JXKin4WKDt9lnEr2ZuvlE720ohdyyy81hQU/s752/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-09.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Construção de um pentadecágono regular com régua e compasso" border="0" data-original-height="752" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiu4AdJFLDgkHfkZT4rO1Co9V6mAu8pqA4LZVHsjzo45VNvj8M0L9AkxMoXOfUGjmjj44iLPdk7YaDrCEX-iWIqr9rBVFicaZMKQYqOIN8XNNYHipdun4Sst5kw3nGWKMbe15UEsI_fKJ9NPaac3lrgaVq0JXKin4WKDt9lnEr2ZuvlE720ohdyyy81hQU/s16000/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-09.png" title="Construção de um pentadecágono regular com régua e compasso" /></a></div>8. Com centro em $P_3$ e raio $OP_3$, descreva uma arco marcando como $B$ a intersecção com a circunferência.</div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhq6xqMe88ABOAu7-FB2DBSv7BHfG0eKZ74x9ZdeoCB7_yMcJKZCSdffys1W7tqN798OKlbgkJExTDG0ek7OyP1isUZMsA2axNkG9RJ2GuVogZlOvFzCKxeYVV_3D-uoHZOQ9SlX-JL-ZG7m8l4OwoIqWLJcodkMK9_WIymNeemkhCutWXPKb07O8dDGGA/s752/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-10.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Construção de um pentadecágono regular com régua e compasso" border="0" data-original-height="752" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhq6xqMe88ABOAu7-FB2DBSv7BHfG0eKZ74x9ZdeoCB7_yMcJKZCSdffys1W7tqN798OKlbgkJExTDG0ek7OyP1isUZMsA2axNkG9RJ2GuVogZlOvFzCKxeYVV_3D-uoHZOQ9SlX-JL-ZG7m8l4OwoIqWLJcodkMK9_WIymNeemkhCutWXPKb07O8dDGGA/s16000/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-10.png" title="Construção de um pentadecágono regular com régua e compasso" /></a></div></div><div style="text-align: justify;">9. O ângulo $AOB$ é de $24^\circ$. Sendo assim, devemos transferir este ângulo seguidamente para descobrir os demais vértices do pentadecágono.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHOXZWkbmUqXRtcRHiK7SmnRuUQulqM99HnIskAN2Ylirc7TusxW_Eh09tLfucmnZ51TrUoKCs6dSzd2gt1L6sUQ2CaDlsqpUTifWP83w2oGTR7tDNI5E3GpMNLd0Vst0SGCDgVDrIDkdUQC31acmS9ToRTRcckv1vyGgwpDMyRHGbKVXwgJ-Zdu3prGA/s752/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-11.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Construção de um pentadecágono regular com régua e compasso" border="0" data-original-height="752" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHOXZWkbmUqXRtcRHiK7SmnRuUQulqM99HnIskAN2Ylirc7TusxW_Eh09tLfucmnZ51TrUoKCs6dSzd2gt1L6sUQ2CaDlsqpUTifWP83w2oGTR7tDNI5E3GpMNLd0Vst0SGCDgVDrIDkdUQC31acmS9ToRTRcckv1vyGgwpDMyRHGbKVXwgJ-Zdu3prGA/s16000/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-11.png" title="Construção de um pentadecágono regular com régua e compasso" /></a></div><div style="text-align: justify;">10. Com centro em $B$ e raio $AB$, descreva um arco marcando como $C$ a intersecção com a circunferência. Com centro em $C$ e raio $AB$ descreva um arco marcando como $D$ a intersecção com a circunferência. Continue o procedimento até e finalizar o polígono.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdFVEg_swTLSDB50yu93CLK0JXDHFGN_EQSRbBZ2SjWKntl9s6py0qghpW6OT9l0iKesKQTcT2l6GA5f-Dbv7xkOjR7GL3h6xluPwNfip83_XB4zmfl7hr7MWrtyleZkT_1_UEAe199GESoVEr_gWu3VsFcX165FnuRpRsHzgZqJoA8hW_mYIs5L8bywo/s752/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-12.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Construção de um pentadecágono regular com régua e compasso" border="0" data-original-height="752" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdFVEg_swTLSDB50yu93CLK0JXDHFGN_EQSRbBZ2SjWKntl9s6py0qghpW6OT9l0iKesKQTcT2l6GA5f-Dbv7xkOjR7GL3h6xluPwNfip83_XB4zmfl7hr7MWrtyleZkT_1_UEAe199GESoVEr_gWu3VsFcX165FnuRpRsHzgZqJoA8hW_mYIs5L8bywo/s16000/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-12.png" title="Construção de um pentadecágono regular com régua e compasso" /></a></div><br /><div style="text-align: justify;">11. Unindo os pontos $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $I$, $J$, $K$, $L$, $M$, $N$ e $Q$, encontramos o pentadecágono regular:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiDRccH-HLo1gJshYn7hRIKEhNtU_DIJ8R7Ig7VtIU0c53BeaLMjOq7DVpskg1_4h_whFgtY5O7WkZrmhFb3vDl45dNDEmCaXyZXyS9DGEyDyZFMqKLdC6Bn0xrHNKMhuKTXpf7lYA5VzN8iOzKJga5jgwE1JP2QjzgDwXOozP5IyzRUuHJOjNGdyDdk-0/s752/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-13.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Construção de um pentadecágono regular com régua e compasso" border="0" data-original-height="752" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiDRccH-HLo1gJshYn7hRIKEhNtU_DIJ8R7Ig7VtIU0c53BeaLMjOq7DVpskg1_4h_whFgtY5O7WkZrmhFb3vDl45dNDEmCaXyZXyS9DGEyDyZFMqKLdC6Bn0xrHNKMhuKTXpf7lYA5VzN8iOzKJga5jgwE1JP2QjzgDwXOozP5IyzRUuHJOjNGdyDdk-0/s16000/construcao-de-um-pentadecagono-regular-com-regua-e-compasso-13.png" title="Construção de um pentadecágono regular com régua e compasso" /></a></div><br /><div style="text-align: justify;">Uma animação da construção pode ser vista abaixo:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjtyzLPRKanCrXSTymUbc88auy_bMJUIXcjELh0-LoN2d1UEzozsKS8NSydY7o--eVEWNfIP863baHj1xzPNcRRA9mE3gJ6tL8tZbv50B_U9saWiC8yWso_cPMfm7bgekkcZjROXvDFxWOmfBnKcw9hguijuoMu93NrV5qaSxloty3Kdx1ikMKu04qYSJA/s480/Anima%C3%A7%C3%A3o%20da%20Constru%C3%A7%C3%A3o%20de%20um%20pentadec%C3%A1gono%20regular%20com%20r%C3%A9gua%20e%20compasso.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Construção de um pentadecágono regular com régua e compasso" border="0" data-original-height="480" data-original-width="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjtyzLPRKanCrXSTymUbc88auy_bMJUIXcjELh0-LoN2d1UEzozsKS8NSydY7o--eVEWNfIP863baHj1xzPNcRRA9mE3gJ6tL8tZbv50B_U9saWiC8yWso_cPMfm7bgekkcZjROXvDFxWOmfBnKcw9hguijuoMu93NrV5qaSxloty3Kdx1ikMKu04qYSJA/s16000/Anima%C3%A7%C3%A3o%20da%20Constru%C3%A7%C3%A3o%20de%20um%20pentadec%C3%A1gono%20regular%20com%20r%C3%A9gua%20e%20compasso.gif" title="Construção de um pentadecágono regular com régua e compasso" /></a></div><div style="text-align: center;">Imagem:</div><div style="text-align: center;">https://en.wikipedia.org/wiki/Pentadecagon</div></div><div style="text-align: left;"><br /></div><h4 style="text-align: left;">Sugestão de livro sobre construções geométricas:</h4><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">O objetivo do livro Desenho Geométrico é a obtenção de uma forma determinada, geométrica e precisa. Desse modo, o desenho geométrico é a própria geometria aplicada. Esta obra apresenta uma parte técnica acompanhada das explicações e comentários, conclusões e definições.</div><div><ul style="text-align: left;"><li>Título: Desenho Geométrico</li><li>Autor: Benjamin de A. Carvalho</li><li>Editora: Imperial Novo Milênio</li><li>Idioma: Português</li><li>Capa comum: 332 páginas</li><li>Dimensões: 22,8 x 15,6 x 1,8 cm</li></ul></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhesXVJh27G_9i-SyhDgecRpiZBz1yiF3nFTeuBeUlC2MItH9Nbil8euRZw7RWsWtX3Rp1X7MYxvcINaTT0IjZXjrJ1fhqrWmQQNozrG1gTpaWqHLGOUOZ46xd-nb9xfgj-_Wuh9T3tWmU3ismfY00x-rREgVXfyCTfMAUlX-tIw2qbZBKB3c-8pxYLQRM/s250/livro-amazon-desenho-geometrico-benjamim-de-a-carvalho-250px.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="250" data-original-width="173" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhesXVJh27G_9i-SyhDgecRpiZBz1yiF3nFTeuBeUlC2MItH9Nbil8euRZw7RWsWtX3Rp1X7MYxvcINaTT0IjZXjrJ1fhqrWmQQNozrG1gTpaWqHLGOUOZ46xd-nb9xfgj-_Wuh9T3tWmU3ismfY00x-rREgVXfyCTfMAUlX-tIw2qbZBKB3c-8pxYLQRM/s16000/livro-amazon-desenho-geometrico-benjamim-de-a-carvalho-250px.jpg" /></a>
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<a class="button blue" href=" https://www.amazon.com.br/Desenho-Geom%C3%A9trico-Benjamin-Carvalho/dp/8599868217?__mk_pt_BR=%C3%85M%C3%85%C5%BD%C3%95%C3%91&crid=13EQ7XL8OASRL&keywords=livro+desenho+geom%C3%A9trico&qid=1690631208&sprefix=livro+desenho+geom%C3%A9trico%2Caps%2C270&sr=8-16&linkCode=ll1&tag=obaricentroda-20&linkId=46c399c533f83c7de97622cda03120df&language=pt_BR&ref_=as_li_ss_tl " target="_blank"><i class="fa fa-external-link"></i><code> Capa comum </code></a>
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</div><h4 style="text-align: left;">Veja mais:</h4><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2018/12/construcao-de-um-triangulo-equilatero-com-regua-e-compasso.html" target="_blank">Construção geométrica de um triângulo equilátero</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/09/construcao-de-um-hexagono-regular-com.html" target="_blank">Construção geométrica de um hexágono</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2018/02/construcao-geometrica-de-perpendiculares.html" target="_blank">Construção geométrica de perpendiculares</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/01/construcao-geometrica-da-espiral-de.html" target="_blank">Construção geométrica da espiral de Arquimedes</a><br /></li></ul></div><div style="text-align: left;"><br /><div style="text-align: justify;"><br /></div></div>Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-11300383539254606662023-07-08T09:30:00.001-03:002023-07-10T12:34:38.797-03:00Resolução da integral da secante de x: $\displaystyle \int \sec(x)\ dx$<div style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?</span></div><div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Este artigo faz parte de uma série de <a href="https://www.obaricentrodamente.com/p/integrais.html" target="_blank">resoluções de integrais</a> que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/10/metodo-de-integracao-por-substituicao.html" rel="noopener" target="_blank">por substituição</a>, <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/metodo-de-integracao-por-partes.html" rel="noopener" target="_blank">por partes</a>, <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/06/integracao-por-fracoes-parciais-parte-1.html" rel="noopener" target="_blank">por frações parciais</a> ou <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/06/integracao-por-substituicao.html" rel="noopener" target="_blank">substituição trigonométrica</a> ou ainda uma combinação de métodos.</span></div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGGWfeQqFI7JIfwd25Tj6dazCmHJo4E1lEB0_Vi6THO-VttqeiU6iYoT4EQ6nWaCgNjpie6jbkrI0-yZM-7Qn37l3c_P3foNWBBRklE6Mk_cq4ynAl72opO6qDzOwcj2mEHxJwhNnQ-bdHozJIzgMRXzr-Vwt60slolXJ1ZkYYfi7vc29pst5hsrw6oM8/s752/resolucao-da-integral-sec-x-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="resolucao-da-integral-sec-x-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian" border="0" data-original-height="450" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGGWfeQqFI7JIfwd25Tj6dazCmHJo4E1lEB0_Vi6THO-VttqeiU6iYoT4EQ6nWaCgNjpie6jbkrI0-yZM-7Qn37l3c_P3foNWBBRklE6Mk_cq4ynAl72opO6qDzOwcj2mEHxJwhNnQ-bdHozJIzgMRXzr-Vwt60slolXJ1ZkYYfi7vc29pst5hsrw6oM8/s16000/resolucao-da-integral-sec-x-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian.png" title="Resolução da integral de secante de x" /></a></div></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Calcular a integral:</span></div>$$<br />\int \sec(x)\ dx<br />$$<br /><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Para resolver esta integral, utilizamos o <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/10/metodo-de-integracao-por-substituicao.html" target="_blank">método de integração por substituição</a>.</span></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Seja a integral:</div>$$<br />I = \int \sec(x)\ dx<br />$$<br /><div style="text-align: justify;">Multiplicamos e dividimos o integrando por $\sec(x)+\text{tg}(x)$:</div>$$<br />I = \int \sec(x) \left( \frac{\sec(x)+\text{tg}(x)}{\sec(x)+\text{tg}(x)} \right)\ dx\\<br />\ \\<br />I = \frac{\sec^2(x) + \sec(x)\text{tg}(x)}{\sec(x)+\text{tg}(x)}\ dx<br />$$<div style="text-align: justify;">Fazemos a substituição $u=\sec(x)+\text{tg}(x)$. Assim, $du=\big(\sec^2(x)+\sec(x)\text{tg}(x)\big)dx$ e $\displaystyle dx=\frac{du}{\sec^2(x)+\sec(x)\text{tg}(x)}$:</div>$$<br />I = \int \frac{\sec^2(x)+\sec(x)\text{tg}(x)}{u}\cdot \frac{du}{\sec^2(x)+\sec(x)\text{tg}(x)}\\<br />\ \\<br />I = \int \frac{1}{u}\ du<br />$$<div style="text-align: justify;">A integral de $\displaystyle \frac{1}{u}$ é $\ln|u|$. Assim:</div>$$<br />I = \ln|u| + C<br />$$<div style="text-align: justify;">Mas, $u = \sec(x)+\text{tg}(x)$, logo:</div>$$<br />I = \ln|\sec(x)+\text{tg}(x)| + C<br />$$<div style="text-align: justify;"><br /></div><h3 style="text-align: justify;">Generalização:</h3><div style="text-align: justify;">Podemos obter uma fórmula que resolva a integral da secante de $x$ quando o argumento é multiplicado por uma constante:</div>$$<br />\int \sec(ax)\ dx = \frac{\ln|\sec(ax)+\text{tg}(ax)|}{a} + C<br />$$<div style="text-align: justify;">Para ver esta resolução, acesse o artigo:</div><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2019/10/resolucao-da-integral-da-secante-de-ax.html" target="_blank"></a><ul style="text-align: left;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2019/10/resolucao-da-integral-da-secante-de-ax.html" target="_blank"></a><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2019/10/resolucao-da-integral-da-secante-de-ax.html" target="_blank"></a><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2019/10/resolucao-da-integral-da-secante-de-ax.html" target="_blank">Resolução da integral da secante de $ax$: $\displaystyle \int \sec(ax)\ dx$</a></li></ul><div style="text-align: justify;"><br /></div><div><br /></div><div><h4 style="text-align: left;"><span style="font-family: inherit;">Métodos de integração:</span></h4><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.25em 0px; vertical-align: baseline;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/metodo-de-integracao-por-partes.html" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; color: #f1c232; font-weight: bold; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; transition: all 0.2s ease 0s; vertical-align: baseline;"><span style="font-family: inherit;">Por partes</span></a></li><li style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.25em 0px; vertical-align: baseline;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2019/05/o-metodo-tabular-para-resolver-integrais-por-partes.html" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; color: #f1c232; font-weight: bold; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; text-decoration-line: none; transition: all 0.2s ease 0s; vertical-align: baseline;"><span style="font-family: inherit;">Método Tabular</span></a></li><li style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.25em 0px; vertical-align: baseline;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/10/metodo-de-integracao-por-substituicao.html" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; color: #f1c232; font-weight: bold; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; text-decoration-line: none; transition: all 0.2s ease 0s; vertical-align: baseline;"><span style="font-family: inherit;">Por substituição</span></a></li><li style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.25em 0px; vertical-align: baseline;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/06/integracao-por-fracoes-parciais-parte-1.html" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; color: #f1c232; font-weight: bold; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; text-decoration-line: none; transition: all 0.2s ease 0s; vertical-align: baseline;"><span style="font-family: inherit;">Por frações parciais</span></a></li><li style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.25em 0px; vertical-align: baseline;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/06/integracao-por-substituicao.html" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; color: #f1c232; font-weight: bold; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; text-decoration-line: none; transition: all 0.2s ease 0s; vertical-align: baseline;"><span style="font-family: inherit;">Por substituição trigonométrica</span></a></li><li style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.25em 0px; vertical-align: baseline;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/p/integrais.html" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; color: #f1c232; font-weight: bold; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; text-decoration-line: none; transition: all 0.2s ease 0s; vertical-align: baseline;"><span style="font-family: inherit;">Integrais literais resolvidas</span></a></li><li style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.25em 0px; vertical-align: baseline;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2013/02/formula-de-reducao-para-alguns-casos-de.html" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; color: #f1c232; font-weight: bold; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; text-decoration-line: none; transition: all 0.2s ease 0s; vertical-align: baseline;"><span style="font-family: inherit;">Fórmulas de redução</span></a></li></ul></div><div style="text-align: justify;"></div></div></div>Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-76957510045963891972023-07-01T08:38:00.000-03:002023-07-01T08:38:42.195-03:00Como dividir um segmento de reta em 3 partes iguais<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEis65rIrRR3127HYa63X8S7lmpZOIyXf9byDS_gH-dO4GBo0iPXHFMhX-hOavPehr2dqJLPSKBEZ4b8pqqTnfXEYPpBzZG8_iqm1ER6sUZe7Tbpa9TkGJ1fO-coar-mQpWIEP4RqUJmnFYT5irSwo2T3DDCIUmxQs6loAYLENWGLMi9HKeYAooMkvZM1WU/s752/como-dividir-um-segmento-de-reta-em-tres-partes-iguais-752px.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="752" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEis65rIrRR3127HYa63X8S7lmpZOIyXf9byDS_gH-dO4GBo0iPXHFMhX-hOavPehr2dqJLPSKBEZ4b8pqqTnfXEYPpBzZG8_iqm1ER6sUZe7Tbpa9TkGJ1fO-coar-mQpWIEP4RqUJmnFYT5irSwo2T3DDCIUmxQs6loAYLENWGLMi9HKeYAooMkvZM1WU/s16000/como-dividir-um-segmento-de-reta-em-tres-partes-iguais-752px.png" /></a></div><div style="text-align: justify;">Seja um segmento de reta $AB$. Para dividirmos em três segmentos congruentes, seguimos os passos:</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">1. Encontramos o ponto médio $M$ do segmento $\overline{AB}$. Para isso, descrevemos dois arcos de circunferências de raio iguais a $\overline{AB}$ e marcamos as intersecções como $C$ e $D$. A reta que passa por $C$ e $D$ intersecta $\overline{AB}$ em seu ponto médio.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">2. Descrevemos duas circunferências de raios iguais a $\overline{AM}$ com centros em $A$ e em $B$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">3. Com centro em $M$ e raio $\overline{AM}$, descrevemos outra circunferência e marcamos como $E$ e $F$ nas intersecções com as circunferências centradas em $A$ e $B$ de raios $\overline{AM}$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">4. Traçamos dois segmentos que passam por $\overline{CE}$ e $\overline{CF}$. As intersecções desses segmentos com o segmento $\overline{AB}$ geram os pontos $G$ e $H$, que o dividem em três segmentos congruentes.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">5. Assim, $\overline{AG}$, $\overline{GH}$ e $\overline{HB}$ valem $\displaystyle \frac{1}{3}\ \overline{AB}$.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><h3 style="text-align: left;">Demonstração:</h3><div style="text-align: justify;">Os triângulos $\triangle ABC$ e $\triangle AEM$ são equiláteros por construção. Leia o artigo <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2018/12/construcao-de-um-triangulo-equilatero-com-regua-e-compasso.html" target="_blank">Construção de um triângulo equilátero com régua e compasso</a>.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Por semelhança de triângulos, temos que:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1M4MwOJFTm31bnMn_L2Ucd_oaM8JL55VOaCYS6z67aFoED-qU9FG6mcle1CiDyKoeZLKxOQAHSesqHUted-n6RRRt23Qmq9Kj3Jwn3Ll0n0dd3MFnw8dqd0tGUPjWpq4E77_OppoYGQNuUU01enLEISCzqzSuUQ2z1RZes438Dof019Su4Q_4-hAyDIQ/s752/semelhanca-de-triangulos-como-dividir-um-segmento-de-reta-em-tres-partes-iguais.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="semelhanca-de-triangulos-como-dividir-um-segmento-de-reta-em-tres-partes-iguais" border="0" data-original-height="557" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1M4MwOJFTm31bnMn_L2Ucd_oaM8JL55VOaCYS6z67aFoED-qU9FG6mcle1CiDyKoeZLKxOQAHSesqHUted-n6RRRt23Qmq9Kj3Jwn3Ll0n0dd3MFnw8dqd0tGUPjWpq4E77_OppoYGQNuUU01enLEISCzqzSuUQ2z1RZes438Dof019Su4Q_4-hAyDIQ/s16000/semelhanca-de-triangulos-como-dividir-um-segmento-de-reta-em-tres-partes-iguais.png" title="Semelhança de trângulos" /></a></div>Assim:<br />$$<br />\frac{\overline{AB}}{\overline{AM}} = \frac{\overline{AG}}{\overline{GM}}<br />$$<div>Mas, como $\displaystyle \overline{AM} = \frac{\overline{AB}}{2}$, substituímos na relação acima:</div>$$<br />\frac{\overline{AB}}{\displaystyle \frac{\overline{AB}}{2}} = \frac{\overline{AG}}{\overline{GM}}\\<br />\ \\<br />\frac{2\ \overline{AB}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{AG}}{\overline{GM}}\\<br />\ \\<br />2=\frac{\overline{AG}}{\overline{GM}}\\<br />\ \\<br />2\ \overline{GM} = \overline{AG}<br />$$<div>Como $\triangle ABC$ e $\triangle AEM$ são semelhantes, logo:</div>$$<br />2\ \overline{AG} = \overline{GB}<br />$$<div>E, portanto:</div>$$<br />\overline{AG} = \frac{1}{3}\overline{AB}<br />$$<div>Por simetria, podemos demonstrar analogamente que:</div>$$<br />\overline{HB} = \frac{1}{3}\overline{AB}<br />$$<div>E, consequentemente:</div>$$<br />\overline{GH} = \frac{1}{3}\overline{AB}<br />$$<div style="text-align: left;">Assim::</div>$$<br />\overline{AG} \cong \overline{GH} \cong \overline{HB}<br />$$<h4 style="text-align: left;">Veja mais:</h4><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2018/12/construcao-de-um-triangulo-equilatero-com-regua-e-compasso.html" target="_blank">Construção geométrica de um triângulo equilátero</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2018/02/construcao-geometrica-de-perpendiculares.html" target="_blank">Construções geométricas de perpendiculares</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2014/05/como-achar-o-centro-do-circulo-por.html" target="_blank">Como encontrar o centro de um círculo, por Euclides</a></li></ul></div>Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-5449766100540242182023-06-20T22:45:00.010-03:002023-07-06T20:40:38.576-03:00Como transformar rpm em hertz<div style="text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOV5Mu93NFuKiCaxD2fxCgiU2cqqi0hoBiE6ICf1XDT0MggHZRbj2uTSK82egPBZlu8nALDS2r-K3aus9ZM64OnKY0oflI2bLFuWEJIO8Gfjk4ETkcAjvbdjUfTF6xiteeWSDa-xAlK1RUq3ju7eNqrqsy0QUxCXgOpYm_w18ryrjzuPDvOB9i3N9HuiY/s752/como-transformar-rpm-em-hertz.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="como-transformar-rpm-em-hertz-hz-como converter-como-calcular" border="0" data-original-height="450" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOV5Mu93NFuKiCaxD2fxCgiU2cqqi0hoBiE6ICf1XDT0MggHZRbj2uTSK82egPBZlu8nALDS2r-K3aus9ZM64OnKY0oflI2bLFuWEJIO8Gfjk4ETkcAjvbdjUfTF6xiteeWSDa-xAlK1RUq3ju7eNqrqsy0QUxCXgOpYm_w18ryrjzuPDvOB9i3N9HuiY/s16000/como-transformar-rpm-em-hertz.png" title="Como transformar rpm em hertz" /></a></div></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">A unidade de medida de <b>frequência </b>é definida como o número de voltas que um corpo realiza em um determinado espaço de tempo.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">De acordo com o <b>SI (Sistema Internacional)</b>, a unidade que define frequência é o <b>hertz </b>$(Hz)$ e expressa quantas <b>rotações por segundo</b> o evento ocorre.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Outra unidade de medida muito utilizada é o <b>rpm (rotações por minuto)</b>, no entanto, não é uma unidade pertencente ao SI e representa quantas <b>rotações por minuto</b> o evento ocorre.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Podemos transformar uma determinada frequência expressa em <b>rpm</b> para <b>hertz </b>utilizando o esquema:</span></div>$$<br />1\ \text{rpm} = \frac{1\ \text{rotação}}{1\ \text{min}} = \frac{1\ \text{rotação}}{60\ s} = \frac{1}{60}Hz<br />$$<div style="text-align: left;">Portanto:</div><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>De <b>rpm para hertz</b>, dividimos por 60.</li><li>De <b>hertz para rpm</b>, multiplicamos por 60.</li></ul></div><div style="text-align: left;"><br /></div><h3 style="text-align: left;">Exemplo 1:</h3><div style="text-align: justify;">Os discos de vinis de 12 polegadas são gravados para funcionar em aparelhos toca-discos em rotações de $33\frac{1}{3}$ rpm. Para descobrirmos qual sua frequência em hertz, fazemos:</div>$$<br />Hz = \frac{33 \frac{1}{3}}{60}<br />$$<div style="text-align: justify;">Lembrando que $33\frac{1}{3}$ é um <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2022/02/numero-misto-o-que-e-representacao-transformacao-exemplos.html" target="_blank">número misto</a>, de modo que podemos escrevê-la como $\displaystyle \frac{100}{3}$. Assim:</div>$$<br />\frac{\displaystyle \frac{100}{3}}{60} = \frac{100}{3} \cdot \frac{1}{60} = 0,555\cdots Hz<br />$$<div style="text-align: justify;">Ou seja, um toca-discos que funciona a $33\frac{1}{3}$ rpm, gira a $0,555\cdots Hz$.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><h3 style="text-align: left;">Exemplo 2:</h3><div style="text-align: justify;">O conta giros de um veículo indica a rotação do motor em rpm. Um determinado veículo esta ligado, parado e sem aceleração e o cota giros está indicando 600 rpm. Vamos calcular a frequência do motor em hertz. Fazemos:</div>$$<br />\frac{600\ \text{rpm}}{60\ s} = 10\ Hz<br />$$<div style="text-align: left;">Ou seja, o motor do veículo gira a 10 voltas por segundo.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><h3 style="text-align: left;">Exemplo 3:</h3><div style="text-align: justify;">A velocidade mínima de um determinado ventilador é de 90 rpm e velocidade máxima é de 280 rpm. Vamos calcular as frequências mínima e máxima em hertz.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Velocidade mínima: $\displaystyle \frac{90\ \text{rpm}}{60\ s} = 1,5\ Hz$</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Velocidade máxima: $\displaystyle \frac{280\ \text{rpm}}{60\ s} = 4,666\cdots Hz$</div><div style="text-align: left;"><br /></div><h4 style="text-align: left;">Veja mais:</h4><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2009/05/transformacao-de-kmh-em-ms.html" target="_blank">Como transformar km/h em m/s</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/02/como-saber-distancia-que-um-raio-caiu.html" target="_blank">Como saber a distância que um raio caiu</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/04/em-quanto-tempo-luz-do-sol-atinge-terra.html" target="_blank">Em quanto tempo a luz do Sol atinge a Terra</a><br /></li></ul></div>Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-8936746945860024352023-06-17T15:49:00.001-03:002023-06-17T15:49:38.087-03:00Fórmula de redução para a integral $\displaystyle \int \text{tg}^n(x)\ dx$<div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjMZkW0X7VNTiTcYyLDMi-1PnbQUoLzq-lpFd_jqe9sEp6-srYzbwMNTMJ0jrtkYmyGrK82_hNT9eFNf8V5XcR6Vje86gglAhU01UWvQIkFcGIAG1nuxDem7EVv0oCsMuyqbTC1w4_iYOWBtFhN5kt9ITIda3ksg8-pAgLfuprX-1FniGgPYu6oVjdg/s752/formula-de-reducao-para-a-integral-de-tangente-x-elevado-a-n.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="formula-de-reducao-para-a-integral-de-tangente-x-elevado-a-n" border="0" data-original-height="450" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjMZkW0X7VNTiTcYyLDMi-1PnbQUoLzq-lpFd_jqe9sEp6-srYzbwMNTMJ0jrtkYmyGrK82_hNT9eFNf8V5XcR6Vje86gglAhU01UWvQIkFcGIAG1nuxDem7EVv0oCsMuyqbTC1w4_iYOWBtFhN5kt9ITIda3ksg8-pAgLfuprX-1FniGgPYu6oVjdg/s16000/formula-de-reducao-para-a-integral-de-tangente-x-elevado-a-n.png" title="Fórmula de redução para a integral da enésima potência da tangente de x" /></a></div></div><div style="text-align: justify;"><b>Fórmulas de redução</b> são métodos baseados em relações de recorrência que nos permite reduzir a potência do integrando a fim de tornar mais fácil o processo de integração.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">A ideia é expressar um integrando que envolva uma potência inteira $n$ de uma função em termos de $n-1$ ou $n-2$. O processo de redução pode ser continuado até obtermos uma função que seja mais facilmente integrável.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>Veja também: Fórmulas de redução para as integrais:</b></div><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2023/06/formula-de-reducao-para-a-integral-de-seno-elevado-a-n.html" target="_blank">$\displaystyle \int \text{sen}^n(x)\ dx$</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2023/06/formula-de-reducao-para-a-integral-de-cosseno-elevado-a-n.html" target="_blank">$\displaystyle \int \cos^n(x)\ dx$</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2023/06/formula-de-reducao-para-a-integral-de-tangente-elevado-a-n.html" target="_blank">$\displaystyle \int \text{tg}(x)\ dx$</a><br /></li></ul><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Veremos neste artigo como encontrar uma fórmula de redução para a tangente elevada à enésima potência utilizando o<a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/10/metodo-de-integracao-por-substituicao.html" target="_blank"> método de integração por substituição</a>:</div><div>$$<br />\int \text{tg}^n(x)\ dx = <br /><br /> \frac{\text{tg}^{n-1}(x)}{n-1} - \int \text{tg}^{n-2}(x)\ dx<br />$$<br /><div><div style="text-align: left;"><br /></div></div><div style="text-align: left;">Seja a integral:</div>$$<br />I = \int \text{tg}^n(x)\ dx<br />$$<br /><div style="text-align: justify;">Reescrevemos o integrando como:</div>$$<br />I = \int \text{tg}^{n-2}(x) \cdot \text{tg}^2(x)\ dx<br />$$<br /><div style="text-align: justify;">Substituímos o segundo fator do integrando pela identidade trigonométrica $\text{tg}^2(x)=\text{sec}^2(x)-1$:</div>$$<br />I = \int \text{tg}^{n-2}(x)\ \left( \text{sec}^2(x)-1 \right)\ dx\\<br />\ \\<br />I = \int \left( \text{tg}^{n-2}(x)\ \text{sec}^2(x) - \text{tg}^{n-2}(x) \right)\ dx\\<br />\ \\<br />I = \int \text{tg}^{n-2}(x)\ \text{sec}^2(x)\ dx -\\<br />\int \text{tg}^{n-2}(x)\ dx<br />$$<div style="text-align: justify;">Fazemos a substituição $u=\text{tg}(x)$ e aplicamos ao primeiro integrando. Assim, $du=\text{sec}^2(x)\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{\text{sec}^2(x)}\ du$. Assim:</div>$$<br />I = \int u^{n-2} \cdot \text{sec}^2(x) \cdot \frac{1}{\text{sec}^2(x)} du - \\<br />\int \text{tg}^{n-2}(x)\ dx\\<br />\ \\<br />I = \int u^{n-2}\ du - \int \text{tg}^{n-2}(x)\ dx\\<br />\ \\<br />I = \frac{u^{n-1}}{n-1} - \int \text{tg}^{n-2}(x)\ dx<br />$$<div style="text-align: justify;">Mas, $u=\text{tg}(x)$, logo:</div>$$<br />I = \frac{\text{tg}^{n-1}(x)}{n-1} - \int \text{tg}^{n-2}(x)\ dx<br />$$<div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div><div>Para $n=2$, teremos:</div>$$<br />I_2 = \int \text{tg}^2(x)\ dx\\<br />\ \\<br />I_2 = \frac{\text{tg}^{2-1}(x)}{2-1} - \int \text{tg}^{2-2}(x)\ dx\\<br />\ \\<br />I_2 = \text{tg}(x) - \int dx\\<br />\ \\<br />I_2 = \text{tg}(x) - x +C<br />$$</div><div><div><br /></div><div style="text-align: left;">Para $n=3$, teremos:</div>$$<br />I_3 = \int \text{tg}^3(x)\ dx\\<br />\ \\<br />I_3 = \frac{\text{tg}^{3-1}(x)}{3-1} - \int \text{tg}^{3-2}(x)\ dx\\<br />\ \\<br />I_3 = \frac{\text{tg}^2(x)}{2} - \int \text{tg}(x)\ dx\\<br />\ \\<br />I_3 = \frac{\text{sec}^2(x)-1}{2} + \ln \left| \cos(x) \right| + C\\<br />\ \\<br />I_3 = \frac{\text{sec}^2(x)}{2} - \frac{1}{2} + \ln \left| \cos(x) \right| +C\\<br />\ \\<br />I_3 = \frac{\text{sec}^2(x)}{2} + \ln \left| \cos(x) \right| + C<br />$$</div><div><div style="text-align: left;"><br /></div><h4 style="text-align: left;">Métodos de integração:</h4><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/metodo-de-integracao-por-partes.html" target="_blank">Por partes</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2019/05/o-metodo-tabular-para-resolver-integrais-por-partes.html" target="_blank">Tabular</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/10/metodo-de-integracao-por-substituicao.html" target="_blank">Por substituição</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/06/integracao-por-fracoes-parciais-parte-1.html" target="_blank">Frações parciais</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/06/integracao-por-substituicao.html" target="_blank">Substituição trigonométrica</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/p/integrais.html" target="_blank">Integrais literais resolvidas</a></li></ul></div></div></div>Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-67577776449802087842023-06-17T12:34:00.008-03:002023-06-17T15:49:58.548-03:00Fórmula de redução para a integral $\displaystyle \int \cos^n(x)\ dx$<div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUSNcE5vFYAGOhdkrRQPGDE84QtplGtQkLDbwAMnkGeYzRiNbHVoWZkAmbHbu-DNPhFJGSQjU3tWN2RpwnuZPkNhIYrHOK_olJzDh-YfiI1iZ1FE4NtG1BPMExGRYRwmv_hA7U8Qd2GFu6P5U0E2GLn91PTtwfvfWVrlQjrGASVrcNVuarG9HeMrHV/s752/formula-de-reducao-para-a-integral-de-cosseno-x-elevado-a-n.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="formula-de-reducao-para-a-integral-de-cosseno-x-elevado-a-n" border="0" data-original-height="450" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUSNcE5vFYAGOhdkrRQPGDE84QtplGtQkLDbwAMnkGeYzRiNbHVoWZkAmbHbu-DNPhFJGSQjU3tWN2RpwnuZPkNhIYrHOK_olJzDh-YfiI1iZ1FE4NtG1BPMExGRYRwmv_hA7U8Qd2GFu6P5U0E2GLn91PTtwfvfWVrlQjrGASVrcNVuarG9HeMrHV/s16000/formula-de-reducao-para-a-integral-de-cosseno-x-elevado-a-n.png" title="Fórmula de redução para a integral da enésima potência de cosseno de x" /></a></div></div><div style="text-align: justify;"><b>Fórmulas de redução</b> são métodos baseados em relações de recorrência que nos permite reduzir a potência do integrando a fim de tornar mais fácil o processo de integração.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">A ideia é expressar um integrando que envolva uma potência inteira $n$ de uma função em termos de $n-1$ ou $n-2$. O processo de redução pode ser continuado até obtermos uma função que seja mais facilmente integrável.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><b>Veja também: Fórmulas de redução para as integrais:</b></div><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2023/06/formula-de-reducao-para-a-integral-de-seno-elevado-a-n.html" target="_blank">$\displaystyle \int \text{sen}^n(x)\ dx$</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2023/06/formula-de-reducao-para-a-integral-de-cosseno-elevado-a-n.html" target="_blank">$\displaystyle \int \cos^n(x)\ dx$</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2023/06/formula-de-reducao-para-a-integral-de-tangente-elevado-a-n.html" target="_blank">$\displaystyle \int \text{tg}(x)\ dx$</a></li></ul><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Veremos neste artigo como encontrar uma fórmula de redução para o cosseno elevado à enésima potência utilizando o<a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/metodo-de-integracao-por-partes.html" target="_blank"> método de integração por partes</a>:</div><div>$$<br />\int \text{cos}^n(x)\ dx = \\<br /><br /> \frac{1}{n}\cos^{n-1}(x) \text{sen}(x) + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}(x)\ dx<br />$$<br /><div><div style="text-align: left;"><br /></div></div><div style="text-align: left;">Seja a integral:</div>$$<br />I = \int \text{cos}^n(x)\ dx<br />$$<div style="text-align: justify;">Reescrevemos o integrando como:</div>$$<br />I = \int \text{cos}^{n-1}(x) \cdot \text{cos}(x)\ dx<br />$$<div style="text-align: justify;">Aplicando o <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/metodo-de-integracao-por-partes.html" target="_blank">método de integração por partes</a>, fazemos $u=\text{cos}^{n-1}$ e $dv=\text{cos}(x)\ dx$. Assim, $du = -(n-1)\ \text{cos}^{n-2}(x)\ \text{sen}(x)\ dx$ e $v=\text{sen}(x)$. Aplicamos os resultados obtidos na fórmula para integração por partes. Lembrando que $\displaystyle \int u\ dv = uv - \int v\ du$. Assim:</div><div>$$<br />I = \cos^{n-1}(x) \ \text{sen}(x) + \\<br />\int (n-1)\cos^{n-2}(x)\ \text{sen}^2(x) \ dx\\<br />\ \\<br />I = \cos^{n-1}(x)\ \text{sen}(x) + \\<br />(n-1)\int \cos^{n-2}(x)\ \text{sen}^2(x)\ dx<br />$$<br /><div style="text-align: justify;">Utilizando a <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2023/04/demonstracao-da-relacao-trigonometrica-fundamental.html" target="_blank">relação trigonométrica fundamental</a>, temos que $\text{sen}^2(x)=1-\cos^2(x)$. Assim:</div>$$<br />I = \cos^{n-1}(x)\ \text{sen}(x) + \\<br />(n-1)\int \cos^{n-2}(x) \left(1-\cos^2(x)\right) \ dx\\<br />\ \\<br />I = \cos^{n-1}(x)\ \text{sen}(x) + \\<br />(n-1)\int \left( \cos^{n-2}(x)-\cos^n(x) \right)\ dx\\<br />\ \\<br />I = \cos^{n-1}(x)\ \text{sen}(x) + \\<br />(n-1)\int \cos^{n-2}(x)\ dx - (n-1) \int \cos^n(x)\ dx<br />$$</div><div><div style="text-align: justify;">A segunda integral é a integral original, de modo que podemos substituí-la por $I$:</div>$$<br />I+(n-1)I = \cos^{n-1}(x)\ \text{sen}(x) + \\<br />(n-1)\int \cos^{n-2}(x)\ dx\\<br />\ \\<br />n\ I = \cos^{n-1}(x)\ \text{sen}(x) + \\<br />(n-1)\int \cos^{n-2}(x)\ dx\\<br />\ \\<br />I = \frac{1}{n}\cos^{n-1}(x)\ \text{sen}(x) + \\<br />\frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}(x)\ dx<br />$$<div><br /></div><div>Para $n=1$, teremos:</div>$$<br />I_1 = \int \cos(x)\ dx\\<br />\ \\<br />I_1 = \text{sen} + C<br />$$<div><br /></div><div>Para $n=2$, teremos:</div>$$<br />I_2 = \int \cos^2(x)\ dx\\<br />\ \\<br />I_2 = \frac{1}{2}\left( \cos(x)\ \text{sen}(x) + x \right) + C<br />$$<div><br /></div><div style="text-align: left;">Para $n=3$, teremos:</div>$$<br />I_3 = \int \cos^3(x)\ dx\\<br />\ \\<br />I_3 = \frac{1}{3} \cos^2(x)\ \text{sen}(x) + \frac{2}{3}\ I_1\\<br />\ \\<br /> I_3 = \frac{1}{3} \cos^2(x)\ \text{sen}(x) + \frac{2}{3} \text{sen}(x)+C<br />$$<div><div style="line-height: 100%; margin-bottom: 0cm;"><br /></div><div style="line-height: 100%; margin-bottom: 0cm;">Para $n=4$, teremos:<br /></div>$$<br />I_4 = \int \cos^4(x)\ dx\\<br />\ \\<br />I_4 = \frac{1}{4} \cos^3(x)\ \text{sen}(x) + \frac{3}{4}\ I_2\\<br />\ \\<br />I_4 = \frac{1}{8} \left( 2\cos^3(x)\ \text{sen}(x) + 3\cos(x)\ \text{sen}(x) + 3x \right)+C<br />$$</div><div style="text-align: left;"><br /></div><h4 style="text-align: left;">Métodos de integração:</h4><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/metodo-de-integracao-por-partes.html" target="_blank">Por partes</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2019/05/o-metodo-tabular-para-resolver-integrais-por-partes.html" target="_blank">Tabular</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/10/metodo-de-integracao-por-substituicao.html" target="_blank">Por substituição</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/06/integracao-por-fracoes-parciais-parte-1.html" target="_blank">Frações parciais</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/06/integracao-por-substituicao.html" target="_blank">Substituição trigonométrica</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/p/integrais.html" target="_blank">Integrais literais resolvidas</a></li></ul></div></div></div>Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-49888656338673271512023-06-17T08:58:00.007-03:002023-06-17T15:50:18.246-03:00Fórmula de redução para a integral $\displaystyle \int \text{sen}^n(x)\ dx$<div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYeDLRNLejMPI-RYtNZYwTwA6_bw2OhYvyzjt2JQ--aIWnnVkV7Q0wPJgqXlYlt0KbVQnawc88sZRzNqqKcUctxxMdNRsubTXVPO1MYOkCuUd_DDjbTPkkpioLNvObRx8sH2r6dDbw1NEHrTOlH41vVHrauU7HTwvkszgx8B1LREkG57Erwkg_dL-s/s752/formula-de-reducao-para-a-integral-de-seno-x-elevado-a-n.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="formula-de-reducao-para-a-integral-de-seno-x-elevado-a-n-enesima-potencia-de-seno-de-x-sen^n(x)" border="0" data-original-height="450" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYeDLRNLejMPI-RYtNZYwTwA6_bw2OhYvyzjt2JQ--aIWnnVkV7Q0wPJgqXlYlt0KbVQnawc88sZRzNqqKcUctxxMdNRsubTXVPO1MYOkCuUd_DDjbTPkkpioLNvObRx8sH2r6dDbw1NEHrTOlH41vVHrauU7HTwvkszgx8B1LREkG57Erwkg_dL-s/s16000/formula-de-reducao-para-a-integral-de-seno-x-elevado-a-n.png" title="Fórmula de redução para a integral da enésima potência de seno de x" /></a></div></div><div style="text-align: justify;"><b>Fórmulas de redução</b> são métodos baseados em relações de recorrência que nos permite reduzir a potência do integrando a fim de tornar mais fácil o processo de integração.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">A ideia é expressar um integrando que envolva uma potência inteira $n$ de uma função em termos de $n-1$ ou $n-2$. O processo de redução pode ser continuado até obtermos uma função que seja mais facilmente integrável.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><div><b>Veja também: Fórmulas de redução para as integrais:</b></div><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2023/06/formula-de-reducao-para-a-integral-de-seno-elevado-a-n.html" target="_blank">$\displaystyle \int \text{sen}^n(x)\ dx$</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2023/06/formula-de-reducao-para-a-integral-de-cosseno-elevado-a-n.html" target="_blank">$\displaystyle \int \cos^n(x)\ dx$</a></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2023/06/formula-de-reducao-para-a-integral-de-tangente-elevado-a-n.html" target="_blank">$\displaystyle \int \text{tg}(x)\ dx$</a></li></ul></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Veremos neste artigo como encontrar uma fórmula de redução para o seno elevado à enésima potência utilizando o<a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/metodo-de-integracao-por-partes.html" target="_blank"> método de integração por partes</a>:</div>$$<br />\int \text{sen}^n(x)\ dx = \\<br />-\frac{1}{n}\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \frac{n-1}{n}\int \text{sen}^{n-2}(x)\ dx<br />$$<br /><div><div style="text-align: left;"><br /></div></div><div style="text-align: left;">Seja a integral:</div>$$<br />I = \int \text{sen}^n(x)\ dx<br />$$<div style="text-align: justify;">Reescrevemos o integrando como:</div>$$<br />I = \int \text{sen}^{n-1}(x) \cdot \text{sen}(x)\ dx<br />$$<div style="text-align: justify;">Aplicando o <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/metodo-de-integracao-por-partes.html" target="_blank">método de integração por partes</a>, fazemos $u=\text{sen}^{n-1}$ e $dv=\text{sen}(x)\ dx$. Assim, $du = (n-1)\ \text{sen}^{n-2}(x)\ \cos(x)\ dx$ e $v=-\cos(x)$. Aplicamos os resultados obtidos na fórmula para integração por partes. Lembrando que $\displaystyle \int u\ dv = uv - \int v\ du$. Assim:</div><div>$$<br />I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\<br />\int \cos(x) (n-1)\ \text{sen}^{n-2}(x) \cos(x)\ dx\\<br />\ \\<br />I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\<br />(n-1)\int \cos^2(x)\ \text{sen}^{n-2}(x)\ dx<br />$$<br /><div style="text-align: justify;">Utilizando a <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2023/04/demonstracao-da-relacao-trigonometrica-fundamental.html" target="_blank">relação trigonométrica fundamental</a>, temos que $\cos^2(x) = 1 - \text{sen}^2(x)$. Assim:</div>$$<br />I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\<br />(n-1)\int \left( 1-\text{sen}^2(x) \right)\text{sen}^{n-2}(x)\ dx\\<br />\ \\<br />I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\<br />(n-1)\int \left( \text{sen}^{n-2}(x)-\text{sen}^n(x) \right)\ dx\\<br />\ \\<br />I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\<br />(n-1)\int \text{sen}^{n-2}(x)\ dx - (n-1) \int \text{sen}^n(x)\ dx<br />$$</div><div><div style="text-align: justify;">A segunda integral é a integral original, de modo que podemos substituí-la por $I$:</div>$$<br />I+(n-1)I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\<br />(n-1)\int \text{sen}^{n-2}(x)\ dx\\<br />\ \\<br />n\ I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\<br />(n-1)\int \text{sen}^{n-2}(x)\ dx\\<br />\ \\<br />I = -\frac{1}{n}\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\<br />\frac{n-1}{n}\int \text{sen}^{n-2}(x)\ dx<br />$$<div><br /></div><div>Para $n=1$, teremos:</div>$$<br />I_1 = \int \text{sen}(x)\ dx\\<br />\ \\<br />I_1 = -\cos(x) + C<br />$$<div><br /></div><div>Para $n=2$, teremos:</div>$$<br />I_2 = \int \text{sen}^2(x)\ dx\\<br />\ \\<br />I_2 = \frac{1}{2}\left( x - \text{sen}(x)\ \cos(x) \right) + C<br />$$<div><br /></div><div style="text-align: left;">Para $n=3$, teremos:</div>$$<br />I_3 = \int \text{sen}^3(x)\ dx\\<br />\ \\<br />I_3 = -\frac{1}{3} \text{sen}^2(x)\ \cos(x) + \frac{2}{3}\ I_1\\<br />\ \\<br /> I_3 = -\frac{1}{3} \text{sen}^2(x)\ \cos(x) - \frac{2}{3} \cos(x)+C<br />$$<div><div style="line-height: 100%; margin-bottom: 0cm;"><br /></div><div style="line-height: 100%; margin-bottom: 0cm;">Para $n=4$, teremos:<br /></div>$$<br />I_4 = \int \text{sen}^4(x)\ dx\\<br />\ \\<br />I_4 = -\frac{1}{4} \text{sen}^3(x)\ \cos(x) + \frac{3}{4}\ I_2\\<br />\ \\<br />I_4 = \frac{1}{8} \left( 3x-3\ \text{sen}(x)\ \cos(x) \right)-\\<br />2\ \text{sen}^3(x)\ \cos(x)+C<br />$$</div><div style="text-align: left;"><br /></div><h4 style="text-align: left;">Métodos de integração:</h4><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/metodo-de-integracao-por-partes.html" target="_blank">Por partes</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2019/05/o-metodo-tabular-para-resolver-integrais-por-partes.html" target="_blank">Tabular</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/10/metodo-de-integracao-por-substituicao.html" target="_blank">Por substituição</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/06/integracao-por-fracoes-parciais-parte-1.html" target="_blank">Frações parciais</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/06/integracao-por-substituicao.html" target="_blank">Substituição trigonométrica</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/p/integrais.html" target="_blank">Integrais literais resolvidas</a></li></ul></div></div>Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-75591968218626393612023-06-09T14:33:00.002-03:002023-06-09T14:34:33.756-03:00Fórmula para calcular as medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer em função de seus lados<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpD0IxHVTlhOPa7XUnSzfX9PxEDGclCi_liA-LGcF3y9JSksLmKWYK-uDnHGHwfpdvLiM22GKZ5FnMVlKEU4wdP4fHVqGGJF9ZOt5RL9ygKnArejwitZ8hgJ4Y7psrs6ueOhR9X-GxAZIsxckJdW05PH1BEGVWqwKmjDle8i1abtG0qJKhZ-4_wNub/s950/banner-formulas-para-calcular-as-medidas-dos-angulos-internos-de-um-triangulo-qualquer-em-funcao-de-seus-lados.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="formulas-para-calcular-as-medidas-dos-angulos-internos-de-um-triangulo-qualquer-em-funcao-de-seus-lados-formula-radicais-aninhados" border="0" data-original-height="950" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpD0IxHVTlhOPa7XUnSzfX9PxEDGclCi_liA-LGcF3y9JSksLmKWYK-uDnHGHwfpdvLiM22GKZ5FnMVlKEU4wdP4fHVqGGJF9ZOt5RL9ygKnArejwitZ8hgJ4Y7psrs6ueOhR9X-GxAZIsxckJdW05PH1BEGVWqwKmjDle8i1abtG0qJKhZ-4_wNub/s16000/banner-formulas-para-calcular-as-medidas-dos-angulos-internos-de-um-triangulo-qualquer-em-funcao-de-seus-lados.png" title="Fórmula para calcular as medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer em função de seus lados" /></a></div><br /><div style="text-align: justify;"><i><b>Este artigo é melhor visualizado em computadores, devido às fórmulas longas. Se estiver acessando pelo celular, ative o modo "para computador".</b></i></div><div><div><br /></div><div style="text-align: justify;">Veremos neste artigo como calcular as medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer em função de seus lados através de fórmulas de radicais aninhados.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCjO3Z15VBlWmDMGj3i3yGR5VaYd6aNt4Px5qsCAaDG_esl-OUpm72RWzyLwyvg-ajCjqZrL5PmMJQhNJDAFqtDu286lxaa1H0F3Q-aYFzZH8Rn5XWY46Fgdlz24CJnR7no0i487O1vJxtk1yxgJuNTk2hJKPupQedTrd4uLoFXWjRB8jLz6OfYBm7/s752/figura-1-os-tres-angulos-de-um-triangulo.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="figura-1-os-tres-angulos-de-um-triangulo" border="0" data-original-height="353" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCjO3Z15VBlWmDMGj3i3yGR5VaYd6aNt4Px5qsCAaDG_esl-OUpm72RWzyLwyvg-ajCjqZrL5PmMJQhNJDAFqtDu286lxaa1H0F3Q-aYFzZH8Rn5XWY46Fgdlz24CJnR7no0i487O1vJxtk1yxgJuNTk2hJKPupQedTrd4uLoFXWjRB8jLz6OfYBm7/s16000/figura-1-os-tres-angulos-de-um-triangulo.png" title="Figura 1: Os três ângulos de um triângulo" /></a></div><div style="text-align: justify;">Dado um triângulo $\triangle ABC$, de lados $a$, $b$, $c$. Os ângulos internos $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ podem ser calculados com ótima aproximação através das fórmulas:</div>$$<br />\alpha \approx \frac{180 \cdot 2^5}{\pi} \ \sqrt{2- \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{bc}}}}}}} \tag{1}<br />$$<br />$$<br />\beta \approx \frac{180 \cdot 2^5}{\pi} \ \sqrt{2- \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+c-b)}{ac}}}}}}} \tag{2}<br />$$<br />$$<br />\gamma \approx \frac{180 \cdot 2^5}{\pi} \ \sqrt{2- \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{ab}}}}}}} \tag{3}<br />$$<br /><div><div><br /></div><h3 style="text-align: left;">Demonstração</h3><div style="text-align: justify;">O método consiste em criar uma circunferência centrada em um dos vértices do triângulo $\triangle ABC$ com raio igual a um dos lados adjacentes ao ângulo. Na figura abaixo, o centro está localizado no vértice $A$ e o raio da circunferência é igual ao lado $b$.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwXEFJxghfSXPlGa5Ah8qY-cndzEoVPkstWZz3m8WYA-xrEmhZejduBGShT9p5uiBTeVBYOdqPsdng6E8aPZgnFLVQSxfKrAxnAmliF8BF6_yJOCWTlQ4ZeCUUbFIhXudOwSrwCZK0p0ZI24ZuyctWheymeQIgMhCaFimzisImKBqUIfmHkkKnCKsA/s752/figura-2-angulos-de-um-triangulo.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="figura-2-angulos-de-um-triangulo" border="0" data-original-height="600" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwXEFJxghfSXPlGa5Ah8qY-cndzEoVPkstWZz3m8WYA-xrEmhZejduBGShT9p5uiBTeVBYOdqPsdng6E8aPZgnFLVQSxfKrAxnAmliF8BF6_yJOCWTlQ4ZeCUUbFIhXudOwSrwCZK0p0ZI24ZuyctWheymeQIgMhCaFimzisImKBqUIfmHkkKnCKsA/s16000/figura-2-angulos-de-um-triangulo.png" title="Figura 2: Ângulos de um triângulo" /></a></div><div style="text-align: center;">[Figura 2: ângulos de um triângulo]</div><div><br /></div><div style="text-align: justify;">Aplicando a <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2019/09/demonstracao-da-lei-dos-cossenos-atraves-de-pitagoras.html" target="_blank">Lei dos Cossenos</a> no triângulo $\triangle ABC$, o $\cos (\alpha)$, em função dos lados $a$, $b$ e $c$, é dado por:</div>$$<br />\cos(\alpha) = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \tag{4}<br />$$<br /><div style="text-align: justify;">Se o comprimento do arco $\widehat{CP}$ for conhecido, poderemos encontrar $\alpha$ em graus utilizando a seguinte proporção: O produto do raio $b$ por $\pi$ está para $180^\circ$, assim como o arco $\widehat{CP}$ está para o ângulo $\alpha$:</div></div></div>$$<br />\frac{\pi b}{180^\circ} = \frac{\widehat{CP}}{\alpha} \tag{5}<br />$$<div style="text-align: justify;">Traçando um segmento de reta que inicia-se no vértice $C$ e prolonga-se até o ponto $P$, como mostrado na figura abaixo:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGLk9Fx9YKN56Gwba_9gVV0p4uxd3QIBtD6b2Cm0Zqsx6z8y0Yuo4nacHov54a_treJzRaQRCxp-0TOXAMk_IHJnqgsgDF0AwOM92qfV4zrWQvAUYtnKZtB57oNqLS_6xrsDNZYaKQV2b8KUalLVJs_4tmA82fc-AFHXceE1nsG2sjDX_s3DAPNGUR/s752/figura-3-angulos-de-um-triangulo.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="figura-3-angulos-de-um-triangulo" border="0" data-original-height="450" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGLk9Fx9YKN56Gwba_9gVV0p4uxd3QIBtD6b2Cm0Zqsx6z8y0Yuo4nacHov54a_treJzRaQRCxp-0TOXAMk_IHJnqgsgDF0AwOM92qfV4zrWQvAUYtnKZtB57oNqLS_6xrsDNZYaKQV2b8KUalLVJs_4tmA82fc-AFHXceE1nsG2sjDX_s3DAPNGUR/s16000/figura-3-angulos-de-um-triangulo.png" title="Figura 3: Ângulos de um triângulo" /></a></div><div style="text-align: center;">[Figura 3: Ângulos de um triângulo]</div><div><br /></div><div style="text-align: justify;">No triângulo $\triangle ACP$, o comprimento $x$ pode ser obtido pela <a href="https://www.obaricentrodamente.com/search?q=lei+dos+cossenos" target="_blank">Lei dos Cossenos</a>, sendo assim, podemos substituir $\widehat{CP}$ por $x$ na relação $(5)$. Portanto, agora somos capazes de calcular a medida de $\alpha$, embora seja uma aproximação ruim, uma vez que o arco $\widehat{CP}>x$:</div>$$<br />\frac{\pi b}{180^\circ} = \frac{x}{\alpha} \tag{6}<br />$$<div style="text-align: justify;">Isolando o ângulo $\alpha$:</div>$$<br />\alpha = \frac{180^\circ \cdot x}{\pi b} \tag{7}<br />$$<div style="text-align: justify;">A segunda parte do método consiste em reduzir o segmento $x$ até coincidir com uma pequena parte do arco $\widehat{CP}$. Desse modo, obteremos $\alpha$ com uma boa precisão. No entanto, para que o método funcione é necessário que o novo ângulo tenha relação direta com $\alpha$. Há uma identidade trigonométrica que relaciona o ângulo com a sua metade, conhecida como a <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/04/demonstracao-de-funcoes-trigonometricas_21.html" target="_blank">fórmula do cosseno do arco metade,</a> assim, poderemos reduzir o comprimento de $x$ ao mesmo tempo que dividimos ao meio o ângulo $\alpha$:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjducdANb1R3PEMFRx6EohOoKZz8EDJQKQjdSbgF3m8wsqfeBFXVxwoDOkr3YnYVa9oabYLqSjFxiOAsF-DlKtOzrvso8qGucNfvEqvUyKF3uajsltlbfZTeCSifTTcUGnalS5dIT_Ji8E5MCM-7_e37BNgKXqCW5fh3zvj8YUdBvLlnYJEUtSZLzh1/s752/figura-4-primeira-iteracao.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="figura-4-primeira-iteracao" border="0" data-original-height="410" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjducdANb1R3PEMFRx6EohOoKZz8EDJQKQjdSbgF3m8wsqfeBFXVxwoDOkr3YnYVa9oabYLqSjFxiOAsF-DlKtOzrvso8qGucNfvEqvUyKF3uajsltlbfZTeCSifTTcUGnalS5dIT_Ji8E5MCM-7_e37BNgKXqCW5fh3zvj8YUdBvLlnYJEUtSZLzh1/s16000/figura-4-primeira-iteracao.png" title="Figura 4: 1ª iteração" /></a></div><div style="text-align: center;"><span style="text-align: start;">[Figura 4: 1ª iteração]</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="text-align: start;"><br /></span></div>$$<br />\cos \left( \frac{\alpha}{2} \right) = \pm \sqrt{\frac{1+\cos (\alpha)}{2}} \tag{8}<br />$$<br />A relação $(8)$ fornece duas opções:<br />$$<br />\cos \left( \frac{\alpha}{2} \right) = \sqrt{\frac{1+\cos (\alpha)}{2}} \tag{9}<br />$$<br />$$<br />\cos \left( \frac{\alpha}{2} \right) = - \sqrt{\frac{1+\cos (\alpha)}{2}} \tag{10}<br />$$<div style="text-align: justify;">A relação $(10)$ não utilizaremos. Por que? A divisão ao meio de qualquer ângulo de um triângulo está limitado ao primeiro quadrante, de modo que $\displaystyle 0< \frac{\alpha}{2} < 90^{\circ}$, portanto, temos que $\displaystyle \cos \left( \frac{\alpha}{2}\right) > 0$. Como conhecemos o cosseno de $\alpha$ pela relação $(4)$, poderemos substituí-lo em $(9)$:</div>$$<br />\cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{1+\displaystyle \left( \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right)}{2}} \tag{11}<br />$$<div style="text-align: justify;">Simplificando o radicando:</div>$$<br />\cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{ \frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{4bc} }\tag{12}<br />$$<br />$$<br />\cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{(b+c)^2-a^2}{4bc}} \tag{13}<br />$$<br />$$<br />\cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}} \tag{14}<br />$$<div style="text-align: justify;">Dividindo o ângulo $\displaystyle \frac{\alpha}{2}$ ao meio, obtemos:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiveUWOpMrCOaFaLdOcSzz-xH6UQerhbtZyvVj96eTOCbfKiEXxP-1H6Fm6d2iRWZTqoeqQpxCMorrwax3kilSK5LCHt142pdzfbTg371HwEFFyEQup7KAGbgM14b6EDZD-H-U3CaSNuGkO64d8Ck6LPcNKgYu-ZnddOMKibCjFVtU96cFIKuDNPW1u/s752/figura-5-segunda-iteracao.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="figura-5-segunda-iteracao" border="0" data-original-height="410" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiveUWOpMrCOaFaLdOcSzz-xH6UQerhbtZyvVj96eTOCbfKiEXxP-1H6Fm6d2iRWZTqoeqQpxCMorrwax3kilSK5LCHt142pdzfbTg371HwEFFyEQup7KAGbgM14b6EDZD-H-U3CaSNuGkO64d8Ck6LPcNKgYu-ZnddOMKibCjFVtU96cFIKuDNPW1u/s16000/figura-5-segunda-iteracao.png" title="Figura 5: 2ªiteração" /></a></div><div style="text-align: center;">[Figura 5: 2ª iteração]</div><div><br /></div>$$<br />\cos \left(\frac{\alpha}{4}\right) = \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)}{2}} \tag{15}<br />$$<div style="text-align: justify;">Substituindo $(14)$ em $(15)$, obtemos:</div>$$<br />\cos \left(\frac{\alpha}{4}\right) = \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}{2}} \tag{16}<br />$$<div style="text-align: justify;">Dividindo o ângulo $\displaystyle \frac{\alpha}{4}$ ao meio:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEitbAqbBpR4KzczxbznIEFm6ExaiK2F1aNpdTHyIRJwblthKPXp8B7gfTC2bnOhUpl34E5DI1So59-bcgbOFtVqunexLFSGUHCNb7JUDZbb5RumBwscX0MU8G_KwQ4xOQOlGiizkUo5EeUEk8Buvht2J1CG9NwBJqxHnSotPJG665tBQXMcHPEARaja/s752/figura-6-terceira-iteracao.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="figura-6-terceira-iteracao" border="0" data-original-height="410" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEitbAqbBpR4KzczxbznIEFm6ExaiK2F1aNpdTHyIRJwblthKPXp8B7gfTC2bnOhUpl34E5DI1So59-bcgbOFtVqunexLFSGUHCNb7JUDZbb5RumBwscX0MU8G_KwQ4xOQOlGiizkUo5EeUEk8Buvht2J1CG9NwBJqxHnSotPJG665tBQXMcHPEARaja/s16000/figura-6-terceira-iteracao.png" title="Figura 6: 3ª iteração" /></a></div><div style="text-align: center;">[Figura 6: 3ª iteração]</div><div><br /></div><div>$$<br />\cos \left(\frac{\alpha}{8}\right) = \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\cos \left(\frac{\alpha}{4}\right)}{2}} \tag{17}<br />$$</div><div>Substituindo $(16)$ em $(17)$, obtemos:</div>$$<br />\cos \left(\frac{\alpha}{8}\right) = \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}{2}}}{2}} \tag{18}<br />$$<div style="text-align: justify;">Dividindo o ângulo $\displaystyle \frac{\alpha}{8}$ ao meio:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi2Eq5XeY97kB3foODaF0Np4UvHHHvz11YFnCjuzNLoE9YxITwu_FpJPo1fHVk6S-BaEcG3MvDdLUEDsI3PtnP0LDHSpFuChyTHnD1CBb8gPZ-b0LChi2x4eATXexldr-pQYz1RH7l7hEBHDR4IymorsDCRT3uoEO_hR_6d21hpCGnQQfeyvsx4ahns/s752/figura-7-quarta-iteracao.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="figura-7-quarta-iteracao" border="0" data-original-height="410" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi2Eq5XeY97kB3foODaF0Np4UvHHHvz11YFnCjuzNLoE9YxITwu_FpJPo1fHVk6S-BaEcG3MvDdLUEDsI3PtnP0LDHSpFuChyTHnD1CBb8gPZ-b0LChi2x4eATXexldr-pQYz1RH7l7hEBHDR4IymorsDCRT3uoEO_hR_6d21hpCGnQQfeyvsx4ahns/s16000/figura-7-quarta-iteracao.png" title="Figura 7: 4ª iteração" /></a></div><div style="text-align: center;">[Figura 7: 4ª iteração]</div><div><br /></div>$$<br />\cos \left(\frac{\alpha}{16}\right) = \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\cos \left(\frac{\alpha}{8}\right)}{2}} \tag{19}<br />$$<div>Substituindo $(18)$ em $(19)$, obtemos:</div>$$<br />\cos \left(\frac{\alpha}{16}\right) = \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}{2}}}{2}}}{2}} \tag{20}<br />$$<div style="text-align: justify;">Dividindo o ângulo $\displaystyle \frac{\alpha}{16}$ o meio:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgoxPshlpzf5UO1fv4xkFBIr2H5wB7I4rMQXU-pEB7y1pUqrO54tW_-EjMN1jCXMpH14LEzDuXI0PndKOUDEz5qLNDWhhPzQQpuhXgRuIV9taoiNjubVw7-J4nbvCcIlbQT6GH1UQ07v-LHdSdQL2dfrszP5y7b5SuRKHBrF_LLdknleJIZEF64RG9I/s752/figura-8-quinta-iteracao.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="figura-8-quinta-iteracao" border="0" data-original-height="410" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgoxPshlpzf5UO1fv4xkFBIr2H5wB7I4rMQXU-pEB7y1pUqrO54tW_-EjMN1jCXMpH14LEzDuXI0PndKOUDEz5qLNDWhhPzQQpuhXgRuIV9taoiNjubVw7-J4nbvCcIlbQT6GH1UQ07v-LHdSdQL2dfrszP5y7b5SuRKHBrF_LLdknleJIZEF64RG9I/s16000/figura-8-quinta-iteracao.png" title="Figura 8: 5 iteração" /></a></div><div style="text-align: center;">[Figura 8: 5º iteração]</div><div><br /></div><div style="text-align: justify;">Com $5$ iterações, o comprimento de $x_5 \approx \widehat{CQ}$. Vamos parar por aqui:</div>$$<br />\cos \left(\frac{\alpha}{32}\right) = \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\cos \left(\frac{\alpha}{16}\right)}{2}} \tag{21}<br />$$<div style="text-align: justify;">Substituindo $(20)$ em $(21)$, obtemos:</div>$$<br />\cos \left(\frac{\alpha}{32}\right) = \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}{2}}}{2}}}{2}}}{2}} \tag{22}<br />$$<div style="text-align: justify;">Pela lei dos cossenos, o comprimento de $x_5$ é igual a:</div>$$<br />x_5^2 = b^2+b^2-2\cdot b \cdot b \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{32}\right) \tag{23}<br />$$<br />$$<br />x_5^2 = 2b^2 - 2b^2\ \cos\left(\frac{\alpha}{32}\right) \tag{24}<br />$$<div>Substituindo $(22)$ em $(24)$:</div>$$<br />x_5^2 = 2b^2 - 2b^2 \cdot \left( \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}{2}}}{2}}}{2}}}{2}}\right) \tag{25}<br />$$<br />$$<br />x_5^2 = b^2 \left( 2-2\cdot\left( \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}{2}}}{2}}}{2}}}{2}}\right)\right) \tag{26}<br />$$<div style="text-align: justify;">Extraindo a raiz em ambos os membros da igualdade, obtemos:</div>$$<br />x_5 = \sqrt{ b^2 \left( 2-2\cdot\left( \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}{2}}}{2}}}{2}}}{2}}\right)\right)} \tag{27}<br />$$<br />$$<br />x_5 = b \cdot \sqrt{ 2-2\cdot \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}{2}}}{2}}}{2}}}{2}}} \tag{28}<br />$$<div>O número $2$ a direita do sinal de menos pode adentrar ao radical a sua direita como $4$, já que é uma raiz quadrada. Obtendo:</div>$$<br />x_5 = b \cdot \sqrt{ 2-\sqrt{\frac{\displaystyle 4+4\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}{2}}}{2}}}{2}}}{2}}} \tag{29}<br />$$<br />$$<br />x_5 = b \cdot \sqrt{ 2-\sqrt{\displaystyle 2+2\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}{2}}}{2}}}{2}}}} \tag{30}<br />$$<div>Vamos repetir esse processo até alcançar o último radical:</div>$$<br />x_5 = b \cdot \sqrt{ 2-\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\displaystyle \sqrt{\frac{4(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}}}}} \tag{31}<br />$$<br />$$<br />x_5 = b \cdot \sqrt{ 2-\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{bc}}}}}}} \tag{32}<br />$$<div style="text-align: justify;">Como $x_5 \approx \widehat{CQ}$, logo, o produto do raio $b$ por $\pi$ está para $180^\circ$, assim como o comprimento $x_5$ está para $\displaystyle \frac{\alpha}{32}$:</div>$$<br />\frac{\pi b}{180^\circ} = \frac{\widehat{CQ}}{\displaystyle \frac{\alpha}{32}} \approx \frac{x_5}{\displaystyle \frac{\alpha}{32}} \tag{33}<br />$$<br />$$<br />\frac{ \alpha}{32} \approx \frac{180^\circ}{\pi b} \cdot x_5 \tag{34}<br />$$<br />$$<br />\alpha \approx \frac{180^\circ \cdot 32}{\pi b} \cdot x_5 \tag{35}<br />$$<div>Como conhecemos $x_5$, dado em $(32)$, basta substituí-lo em $(35)$:</div>$$<br />\alpha \approx \frac{180^\circ\cdot 32 \cdot b \cdot \sqrt{ 2-\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{bc}}}}}}}}{\pi b} \tag{36}<br />$$<br />$$<br />\alpha \approx \frac{180^\circ\cdot 2^5}{\pi} \cdot \sqrt{ 2-\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{bc}}}}}}} \tag{37}<br />$$<div><br /></div><h3 style="text-align: left;">Exemplo 1:</h3><div style="text-align: justify;">O triângulo $\triangle ABC$ abaixo foi criado utilizando o software <a href="https://www.geogebra.org/" target="_blank">Geogebra</a>, cujos lados medem: $b=5$, $a=3,859578650443242$ e $c=3,296562835249749$, o ângulo formado entre os lados $b$ e $c$ é igual a $\alpha = 50,49490712462559^\circ$.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhtPAWZgcvt98HkeXvSYe0lYIvWEu0DSq2ygpCbZYDyLfdCc84IrPS9Ljd-cvQGiCiatLnVl5S8HXfjvOlogHBk7I5dHKq41LZOG_4g-7fx4rOINODZe0Ii1uvc80fkuBVjDXuhUBme9Qr-ZkJzkJhIHKp0rRYsXH82tfj1C-cEbq51t4CIxjLHVNqw/s752/figura-9-angulos-de-um-triangulo.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="figura-9-angulos-de-um-triangulo" border="0" data-original-height="353" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhtPAWZgcvt98HkeXvSYe0lYIvWEu0DSq2ygpCbZYDyLfdCc84IrPS9Ljd-cvQGiCiatLnVl5S8HXfjvOlogHBk7I5dHKq41LZOG_4g-7fx4rOINODZe0Ii1uvc80fkuBVjDXuhUBme9Qr-ZkJzkJhIHKp0rRYsXH82tfj1C-cEbq51t4CIxjLHVNqw/s16000/figura-9-angulos-de-um-triangulo.png" title="Figura 9: Ângulos de um triângulo" /></a></div><div style="text-align: center;">[Figura 9: ângulos de um triângulo]</div><div><br /></div><div style="text-align: justify;">Aplicando a fórmula dada em $(37)$, obtemos um valor com precisão de $2$ casas decimais:</div>$$<br />\alpha \approx \frac{180^\circ\cdot 2^5}{\pi} \cdot \sqrt{ 2-\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\displaystyle \sqrt{3,27229361103}}}}}} \tag{38}<br />$$<br />$$<br />\alpha \approx 50,49331131106^\circ \tag{39}<br />$$<div><br /></div><h3 style="text-align: left;">Exemplo 2:</h3><div style="text-align: justify;">O triângulo $\triangle ABC$ abaixo, possui lados medindo $a=3,051370289408014$, $b=3,517153011832249$ e $c=6,568523301240263$. O ângulo formado entre os lados $a$ e $b$ é igual a $179,99999998007129^\circ$.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEge57IAzSM4PJrQW646KdUEEXHrznIggCU_kQFx6MVzb2q7yYTTp5HrW5IcsWvU3VIuZSKlAR-BkPPDwDWk72hyOu6A6459fqJ4_-Ad6f3pdT3gtl5q-_-gU5GcQAqYuHHgP4RhY_gK2qVwXqWz55VYYV5zZqU6tmDDFotDsdLLkBWQtlxaNGKsHCfn/s752/figura-10-angulos-de-um-triangulo.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="figura-10-angulos-de-um-triangulo" border="0" data-original-height="410" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEge57IAzSM4PJrQW646KdUEEXHrznIggCU_kQFx6MVzb2q7yYTTp5HrW5IcsWvU3VIuZSKlAR-BkPPDwDWk72hyOu6A6459fqJ4_-Ad6f3pdT3gtl5q-_-gU5GcQAqYuHHgP4RhY_gK2qVwXqWz55VYYV5zZqU6tmDDFotDsdLLkBWQtlxaNGKsHCfn/s16000/figura-10-angulos-de-um-triangulo.png" title="Figura 10: Ângulos de um triângulo" /></a></div><div style="text-align: center;">[Figura 10: Ângulos de um triângulo]</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Aplicando a fórmula dos radicais aninhados para obter o ângulo $\gamma$, temos como resultado $179,92772156694144^\circ$. Quando o ângulo tende a $180^\circ$, a fórmula com apenas $5$ iterações retorna um valor com precisão de uma casa decimal. Sendo assim, quanto maior o expoente de $2$ e o número de radicais à direita do sinal de menos, podemos obter ângulos cada vez mais precisos. No triângulo acima, aplicando a fórmula para $7$ iterações, obtemos $\gamma=179,9954820876601^\circ$ e para $10$ iterações, obtemos $\gamma=179,99992940672044^\circ$.</div><div><br /></div><h3 style="text-align: left;">Generalização da fórmula</h3><div style="text-align: justify;">Note que a quantidade de radicais aninhados a direita do sinal de menos é exatamente o número de iterações que efetuamos.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhotaXj-0AiQSO87qBLCOO4hCnRdJ2RX7C4it8LVEKroGp9znAmNxizIADhYRiGq8q0neKt8FTbgree5yAihdNGN45PJXK3Mbvl6hs5VxfAZwX7iDXQkNSWu2ZCjOTYb3DpOIMGjOut-QjffD6xtGcykUfW5meUY0ZQMzHrEoCj4dpoCBHt4YVonrre/s752/figura-11-angulos-de-um-triangulo.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="figura-11-angulos-de-um-triangulo" border="0" data-original-height="410" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhotaXj-0AiQSO87qBLCOO4hCnRdJ2RX7C4it8LVEKroGp9znAmNxizIADhYRiGq8q0neKt8FTbgree5yAihdNGN45PJXK3Mbvl6hs5VxfAZwX7iDXQkNSWu2ZCjOTYb3DpOIMGjOut-QjffD6xtGcykUfW5meUY0ZQMzHrEoCj4dpoCBHt4YVonrre/s16000/figura-11-angulos-de-um-triangulo.png" title="Figura 11: Ângulos de um triângulo" /></a></div><div style="text-align: center;">[Figura 11: ângulo de um triângulo]</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">A cada iteração, fatiamos o ângulo $\alpha$ em $2$ elevado ao número de iterações que efetuamos.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhfEIWLgUAkiNo6AQcsOSHlf-UF1m_UyRarPYGYKFVzaX9IqDWolnfpEu8yW25eWgox7LukBjSgamSoofsm-eN0_n1nXtOU3TN6dRrqnTHlNx5iyq0WniS6TahEh_OD9pDrBJtYm_FUwZ_xtA_M-VFarFWA1UchP50oFTKbntJS4t53ull-HA54TIav/s752/figura-12-iteracoes.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="figura-12-iteracoes" border="0" data-original-height="400" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhfEIWLgUAkiNo6AQcsOSHlf-UF1m_UyRarPYGYKFVzaX9IqDWolnfpEu8yW25eWgox7LukBjSgamSoofsm-eN0_n1nXtOU3TN6dRrqnTHlNx5iyq0WniS6TahEh_OD9pDrBJtYm_FUwZ_xtA_M-VFarFWA1UchP50oFTKbntJS4t53ull-HA54TIav/s16000/figura-12-iteracoes.png" title="Figura 12: Iterações" /></a></div><div style="text-align: center;">[Figura 12: Iterações]</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Generalizando para uma quantidade $n$ de iterações:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhuN43WlGJ3qDTiHfiCSjakl9Zo2cLysNucLj0Xfd3jmSuM3rDR9lVngBoZdbR1g4pAERbJln6ObSBwIOD3JN4bzRvYbcdSTo1dKOYvxCHiPsu0MBX5W7eg1JSmGLpHVSUiW_75c0T09Vz634pU67yrFvnxS3ItMTWdk7k3Gmyumz6uWG74XFv7iDjK/s752/figura-13-o-angulo-alfa.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="figura-13-o-angulo-alfa" border="0" data-original-height="255" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhuN43WlGJ3qDTiHfiCSjakl9Zo2cLysNucLj0Xfd3jmSuM3rDR9lVngBoZdbR1g4pAERbJln6ObSBwIOD3JN4bzRvYbcdSTo1dKOYvxCHiPsu0MBX5W7eg1JSmGLpHVSUiW_75c0T09Vz634pU67yrFvnxS3ItMTWdk7k3Gmyumz6uWG74XFv7iDjK/s16000/figura-13-o-angulo-alfa.png" title="Figura 13: O ângulo alfa" /></a></div><div style="text-align: center;">[Figura 13: O ângulo $\alpha$]</div><div><br /></div><div>Analogamente, podemos repetir o procedimento acima para encontrarmos os ângulos $\beta$ e o ângulo $\gamma$.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBD6V679mSNzAZhdezp0Nv7dhXTz7ptKnwbMpDuDtu-DO6C-rWtDrX2bZIpIyFB73uy41t5KiJRBOTUAMLJ711LFvhW4IuKp8pmwA8JGKXZ70Kz0Q7sUEVGOGrutNhuql1a_WhWytfgawsnzQtiY2finsreFPAOiSjnRSGYBazehYRboDAsHiZh4Cb/s752/figura-14-o-angulo-beta.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="figura-14-o-angulo-beta" border="0" data-original-height="255" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBD6V679mSNzAZhdezp0Nv7dhXTz7ptKnwbMpDuDtu-DO6C-rWtDrX2bZIpIyFB73uy41t5KiJRBOTUAMLJ711LFvhW4IuKp8pmwA8JGKXZ70Kz0Q7sUEVGOGrutNhuql1a_WhWytfgawsnzQtiY2finsreFPAOiSjnRSGYBazehYRboDAsHiZh4Cb/s16000/figura-14-o-angulo-beta.png" title="Figura 14: O ângulo beta" /></a></div><div style="text-align: center;">[Figura 14: O ângulo $\beta$]</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-eVfhNeuT66OB-G_RDHil7oRQJ_E8kEBfKfDGcy9i9ufj7l97uoCjL-65snSqFN6UHmNx_ECxMVkw16ke9gHcsMhG3RRQ0Vmnyrv4pHK2gS6rMfSF0znGrS7yDO55yr_9J6O4ulmaea3C9gmtD4i88HQpF-6Q9EGNd-YT07hAqAnOrEsjDwLeZq1C/s752/figura-15-o-angulo-gama.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="figura-15-o-angulo-gama" border="0" data-original-height="255" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-eVfhNeuT66OB-G_RDHil7oRQJ_E8kEBfKfDGcy9i9ufj7l97uoCjL-65snSqFN6UHmNx_ECxMVkw16ke9gHcsMhG3RRQ0Vmnyrv4pHK2gS6rMfSF0znGrS7yDO55yr_9J6O4ulmaea3C9gmtD4i88HQpF-6Q9EGNd-YT07hAqAnOrEsjDwLeZq1C/s16000/figura-15-o-angulo-gama.png" title="Figura 15: O ângulo gama" /></a></div><div style="text-align: center;">[Figura 15: O ângulo $\gamma$]</div><div><br /></div><div>O radicando mais interno é a razão entre o produto do perímetro pela soma dos lados adjacentes ao ângulo menos o lado oposto ao ângulo, e o produto dos lados adjacentes ao ângulo.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBEGLsizFp0gu-xpIbnjp8_J3_mHprWx6-MfKg-enRotxsqPeAM7jqKN8_GuT1J5wdAW27xpXcIk4mDunF5yMC72MmwTtOsMJadv_l2EmORLNkQThjvzATwQfTHC9uWZeZexP5RUYYnMv5Gbi7_2sdxNU_TZ0F3VOUulXfhpWFj5xNsvXuFoZmksBN/s752/figura-16-angulos-de-um-triangulo.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="figura-16-angulos-de-um-triangulo" border="0" data-original-height="300" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBEGLsizFp0gu-xpIbnjp8_J3_mHprWx6-MfKg-enRotxsqPeAM7jqKN8_GuT1J5wdAW27xpXcIk4mDunF5yMC72MmwTtOsMJadv_l2EmORLNkQThjvzATwQfTHC9uWZeZexP5RUYYnMv5Gbi7_2sdxNU_TZ0F3VOUulXfhpWFj5xNsvXuFoZmksBN/s16000/figura-16-angulos-de-um-triangulo.png" title="Figura 16: Ângulos de um triângulo" /></a></div><div style="text-align: center;">[Figura 16: Ângulos de um triângulo]</div><div style="text-align: center;"><br /></div><h4 style="text-align: justify;">O autor</h4><div style="text-align: justify;"><ul><li>Este artigo foi elaborado por <b>Rodrigo da Costa Moreira</b>, licenciado em Matemática pelo Instituto Federal do Piauí - IFPI - Campus Uruçuí.</li><li>Contato: https://twitter.com/rodrigo_cstm</li></ul></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><h4 style="text-align: justify;">Links para este artigo:</h4><div style="text-align: justify;"><ul><li><a href="https://bit.ly/formula-radicais-aninhados" target="_blank">https://bit.ly/formula-radicais-aninhados</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2023/06/formula-para-calcular-as-medidas-dos-angulos-internos-de-um-triangulo-qualquer-em-funcao-de-seus-lados.html" target="_blank">https://www.obaricentrodamente.com/2023/06/formula-para-calcular-as-medidas-dos-angulos-internos-de-um-triangulo-qualquer-em-funcao-de-seus-lados.html</a><br /></li></ul><div><br /></div></div><h4 style="text-align: justify;">Veja mais:</h4><div style="text-align: justify;"><ul><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2009/08/pontos-notaveis-de-um-triangulo.html" target="_blank">Pontos notáveis de um triângulo</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2013/02/os-pontos-de-brocard-parte-1.html" target="_blank">Os pontos de Brocard</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2022/01/demonstracao-da-lei-dos-senos-e-algumas-aplicacoes.html" target="_blank">A Lei dos Senos</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2019/09/demonstracao-da-lei-dos-cossenos-atraves-de-pitagoras.html" target="_blank">A Lei dos Cossenos</a><br /></li></ul></div>Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-32797330895950657442023-05-01T10:07:00.001-03:002023-05-13T09:43:23.679-03:00Resolução da integral $\displaystyle \int x^n \ln|x^m|\ dx$<div style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?</span></div><div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Este artigo faz parte de uma série de <a href="https://www.obaricentrodamente.com/p/integrais.html" target="_blank">resoluções de integrais</a> que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/10/metodo-de-integracao-por-substituicao.html" rel="noopener" target="_blank">por substituição</a>, <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/metodo-de-integracao-por-partes.html" rel="noopener" target="_blank">por partes</a>, <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/06/integracao-por-fracoes-parciais-parte-1.html" rel="noopener" target="_blank">por frações parciais</a> ou <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/06/integracao-por-substituicao.html" rel="noopener" target="_blank">substituição trigonométrica</a> ou ainda uma combinação de métodos.</span></div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj34s_J1zhrlyegDJ-OM3G5r1QQYSaNHcaZX0ai_nGg7Yxp3B84cE5lQ3tyRZzsGCQoC40ZfJrUhxjFS8SOWLp1LNjIAWLVsnZS964eJLFlJBCAc9BOjrd2H8CxO9jNFj46dqQToB1t5Bcb1tdk_H8L_rr_No1LFSN_AGbAux7QdpSI0W9qE2eH3JKC/s752/resolucao-da-integral-xn-ln-xm-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="resolucao-da-integral-xn-ln-xm-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian" border="0" data-original-height="450" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj34s_J1zhrlyegDJ-OM3G5r1QQYSaNHcaZX0ai_nGg7Yxp3B84cE5lQ3tyRZzsGCQoC40ZfJrUhxjFS8SOWLp1LNjIAWLVsnZS964eJLFlJBCAc9BOjrd2H8CxO9jNFj46dqQToB1t5Bcb1tdk_H8L_rr_No1LFSN_AGbAux7QdpSI0W9qE2eH3JKC/s16000/resolucao-da-integral-xn-ln-xm-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian.png" title="Resolução da integral de x elevado a n multiplicado pelo ln de x elevado a m" /></a></div></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Calcular a integral:</span></div>$$<br />\int x^n \ln|x^m|\ dx<br />$$<br /><div style="text-align: justify;"><span style="font-family: inherit;">Para resolver esta integral, utilizamos o <a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/metodo-de-integracao-por-partes.html" target="_blank">método de integração por partes.</a></span></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Seja a integral:</div>$$<br />I = \int x^n \ln|x^m|\ dx<br />$$<div style="text-align: justify;">Fazemos $u=\ln |x^m|$ e $dv=x^n$. Em seguida, calculamos a derivada de $u$ e a integral de $dv:</div><div>\begin{matrix}<br />u=\ln|x^m| &\longrightarrow & \displaystyle du = \frac{m}{x}\ dx\\<br />dv=x^n \ dx & \longrightarrow & v=\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}<br />\end{matrix}<div>Substituindo os resultados obtidos na fórmula para integração por partes, obtemos:</div>$$<br />I= \int u\ dv = u\ v - \int v\ du\\<br />\ \\<br />I = \frac{x^{n+1}}{n+1} \ \ln|x^m| - \int \frac{x^{n+1}}{n+1}\ \frac{m}{x}\ dx\\<br />\ \\<br />I = \frac{x^{n+1}\ln|x^m|}{n+1} - \frac{m}{n+1} \int x^n\ dx<br />$$<div>A integral de $x^n$ é $\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Assim:</div>$$<br />I = \frac{x^{n+1}\ln|x^m|}{n+1} - \frac{m}{n+1} \ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\\<br />\ \\<br />I = \frac{x^{n+1}\ln|x^m|}{n+1} - \frac{m\ x^{n+1}}{(n+1)^2} + C\\<br />\ \\<br />I = \frac{x^{n+1} \big( (n+1)\ln|x^m| - m \big)}{(n+1)^2} + C<br />$$<div>Esta integral representa uma família de curvas que assumem configurações diferentes dependendo das constantes $n$ e $m$:</div><div><br /></div><div>Para $n=0$ e $m=1$, teremos:</div>$$<br />\int \ln|x|\ dx = x\big( \ln|x| - 1\big) + C<br />$$<div><br /></div><div>Para $n=0$, teremos:</div>$$<br />\int \ln |x^m|\ dx = x\big( \ln|x^m|-m\big) + C<br />$$<div><br /></div><div>Para $m=1$, teremos:</div>$$<br />\int x^n \ln|x|\ dx = \frac{x^{n+1}\big( (n+1) \ln|x| -1 \big)}{(n+1)^2}+C<br />$$<div><br /></div><div>Para constantes arbitrárias, por exemplo $n=3$ e $m=2$, teremos:</div>$$<br />\int x^3 \ln|x^2|\ dx = \frac{x^4 \big(2 \ln|x^2|-1\big)}{8}+C<br />$$<div><br /></div><h2 style="text-align: left;">Exemplo 1:</h2><div>Vamos calcular a área sombreada no gráfico abaixo gerado pela função $f(x)= x^3 \ln|x^2|$, compreendida entre o intervalo de $x=0$ a $x=1$.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2MLmDiw7_1q3IVW_ntnfjqLT2COZBYE2LDlQXZTEKmfyVo_hpeFuFgD_S07z1pSvGyJ_wIRMietK7P8wpkP9KZGGMFgTebWc0h2HpJDUqQAmUcYWzizQPHi_tw3fB77uV2ltmcrc01PuGQwJVQHrd-kEHBGk8RdFibra4cnNwXaBgVIgll9pw895s/s752/resolucao-da-integral-x3-ln-x2-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="resolucao-da-integral-x3-ln-x2-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian" border="0" data-original-height="450" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2MLmDiw7_1q3IVW_ntnfjqLT2COZBYE2LDlQXZTEKmfyVo_hpeFuFgD_S07z1pSvGyJ_wIRMietK7P8wpkP9KZGGMFgTebWc0h2HpJDUqQAmUcYWzizQPHi_tw3fB77uV2ltmcrc01PuGQwJVQHrd-kEHBGk8RdFibra4cnNwXaBgVIgll9pw895s/s16000/resolucao-da-integral-x3-ln-x2-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian.png" title="Resolução da integral definida de x elevado ao cubo multiplicado por ln de x elevado ao quadrado, nos limites de x=0 a x=1" /></a></div><div>Para encontrarmos a área desejada, utilizamos o conceito de integral definida. Fazemos:</div>$$<br />A = \int_0^1 x^3 \ln|x^2|\ dx<br />$$<div>Tomando os resultados obtidos acima, temos que:</div>$$<br />A = \left[ \frac{x^4 \big(2 \ln|x^2|-1\big)}{8}\right]_0^1\\<br />\ \\<br />A = \frac{1^4 (2\ln|1^2|-1)}{8} - \frac{0^4(2\ln|0^2|-1)}{8}\\<br />\ \\<br />A = \frac{2\ln(1)-1}{8}\\<br />\ \\<br />A=\frac{0-1}{8}\\<br />\ \\<br />A=-\frac{1}{8}\\<br />\ \\<br />A =-0,125<br />$$</div><div>O sinal de negativo no resultado acima indica apenas que a área que estamos calculado encontra-se abaixo do eixo dos $x$. Assim, a área desejada vale $0,125\ u.a.$.</div><div><br /></div><div><h4 style="text-align: left;"><span style="font-family: inherit;">Métodos de integração:</span></h4><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.25em 0px; vertical-align: baseline;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/metodo-de-integracao-por-partes.html" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; color: #f1c232; font-weight: bold; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; transition: all 0.2s ease 0s; vertical-align: baseline;"><span style="font-family: inherit;">Por partes</span></a></li><li style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.25em 0px; vertical-align: baseline;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2019/05/o-metodo-tabular-para-resolver-integrais-por-partes.html" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; color: #f1c232; font-weight: bold; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; text-decoration-line: none; transition: all 0.2s ease 0s; vertical-align: baseline;"><span style="font-family: inherit;">Método Tabular</span></a></li><li style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.25em 0px; vertical-align: baseline;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2010/10/metodo-de-integracao-por-substituicao.html" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; color: #f1c232; font-weight: bold; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; text-decoration-line: none; transition: all 0.2s ease 0s; vertical-align: baseline;"><span style="font-family: inherit;">Por substituição</span></a></li><li style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.25em 0px; vertical-align: baseline;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/06/integracao-por-fracoes-parciais-parte-1.html" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; color: #f1c232; font-weight: bold; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; text-decoration-line: none; transition: all 0.2s ease 0s; vertical-align: baseline;"><span style="font-family: inherit;">Por frações parciais</span></a></li><li style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.25em 0px; vertical-align: baseline;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2012/06/integracao-por-substituicao.html" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; color: #f1c232; font-weight: bold; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; text-decoration-line: none; transition: all 0.2s ease 0s; vertical-align: baseline;"><span style="font-family: inherit;">Por substituição trigonométrica</span></a></li><li style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.25em 0px; vertical-align: baseline;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/p/integrais.html" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; color: #f1c232; font-weight: bold; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; text-decoration-line: none; transition: all 0.2s ease 0s; vertical-align: baseline;"><span style="font-family: inherit;">Integrais literais resolvidas</span></a></li><li style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0.25em 0px; vertical-align: baseline;"><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2013/02/formula-de-reducao-para-alguns-casos-de.html" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; box-sizing: border-box; color: #f1c232; font-weight: bold; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; text-decoration-line: none; transition: all 0.2s ease 0s; vertical-align: baseline;"><span style="font-family: inherit;">Fórmula de redução</span></a></li></ul></div><div style="text-align: justify;"></div></div></div>Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-38733694723808020952023-04-23T19:49:00.005-03:002023-04-24T20:34:29.291-03:00Resolução do problema: Quantos triângulos tem na figura?<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyJYtXx_l5gqIw8nHlqlTlzkGex8lcjWDFqu7o9ciS8o_U3COsVstN4qLNyNmEaelRVzF8sdvCpQo6k5ozl-Q9aqOZH64pMfry4R6PNqaPKqdbSceS8AWPhffldVAoLOE3OHZ4_FPI5Gg-zm1IEUYUJ_nqfwS8RkRfoE68g6aTrX8TVLBfTpPSGGNf/s752/resolucao-do-problema-quantos-triangulos-tem-na-figura-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="resolucao-do-problema-quantos-triangulos-tem-na-figura-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian" border="0" data-original-height="530" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyJYtXx_l5gqIw8nHlqlTlzkGex8lcjWDFqu7o9ciS8o_U3COsVstN4qLNyNmEaelRVzF8sdvCpQo6k5ozl-Q9aqOZH64pMfry4R6PNqaPKqdbSceS8AWPhffldVAoLOE3OHZ4_FPI5Gg-zm1IEUYUJ_nqfwS8RkRfoE68g6aTrX8TVLBfTpPSGGNf/s16000/resolucao-do-problema-quantos-triangulos-tem-na-figura-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian.png" title="Resolução do problema: Quantos triângulos tem na figura?" /></a></div><div style="text-align: justify;">Um dos problemas que tomam o tempo de muitas pessoas e geram muitas discussões nas redes sociais é o de descobri quantos triângulos tem em uma determinada figura, que contém um triângulo com vários segmentos partindo do vértice e vários segmentos horizontais, como na figura acima.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Quando o número de segmentos é pequeno, podemos apenas contar manualmente os triângulos formados. Mas quando o número de segmentos cresce, fica cada vez mais trabalhoso esse processo, o que pode levar a erros de contagem. Fora o tempo gasto.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Mas existe uma fórmula que pode ser aplicada e, assim, resolver o problemas em segundos.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><h2 style="text-align: left;">O problema</h2><div style="text-align: justify;">Para este problema, existe uma variação infinita dependendo de quantos segmentos partem do vértice do triângulo dado e de quantos segmentos horizontais paralelos à base a figura possui. Sendo assim, podemos dividir a formação da imagem em duas partes:</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">1) Dado um triângulo, este possui um número $k \geq 1$, para $k \in \mathbb{N}$, de segmentos opostos ao vértice $V$, que formam um número $k$ de triângulos:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGCsH3etReysPcyYCsT4d8FfQdRCvIcMubKu1L6qQiovqZNSebvKoXWLw-vQFMx1Ncl6WkwNOwnN0atSY5qCaPww1nqT8gGa84RQJ3IGSpC2bqKabRBJu0OYvCaJrPMJj25b4PpP3kiLT5vzfWNaWr8CAne7kPKQUSJ0RXdEX40kC1PivRLmEEGRnf/s752/resolucao-do-problema-quantos-triangulos-tem-na-figura-k-o-baricentro-da-mente.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="resolucao-do-problema-quantos-triangulos-tem-na-figura-k-o-baricentro-da-mente" border="0" data-original-height="266" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGCsH3etReysPcyYCsT4d8FfQdRCvIcMubKu1L6qQiovqZNSebvKoXWLw-vQFMx1Ncl6WkwNOwnN0atSY5qCaPww1nqT8gGa84RQJ3IGSpC2bqKabRBJu0OYvCaJrPMJj25b4PpP3kiLT5vzfWNaWr8CAne7kPKQUSJ0RXdEX40kC1PivRLmEEGRnf/s16000/resolucao-do-problema-quantos-triangulos-tem-na-figura-k-o-baricentro-da-mente.png" title="Resolução do problema: Quantos triângulos tem na figura? - Número de triângulos em função da quantidade de bases" /></a></div><div style="text-align: center;">Imagem 1</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">2) Dado um triângulo, este possui um número $n \geq 2$, para $n \in \mathbb{N}$, de segmentos que partem do vértice $V$ e seguem até à base do triângulo dado, formando um número $t$ de triângulos:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiebh5sdBMXnlzYwS5R9_32fz_k1Pn3VNapOTUHafp5WhREFrwn0tAdJJOX3KK056iECvEfQ2ZRV-Vj7wNMOmtnI0HtZ2IZKPSbhOnjrhm7odTp8Mo7NlPtQEyL7QvoaZaX5eZyHEzhrVNIiRmP69v9xp5DzRN_yvxcXMUxrVX_T7W29WObMR_tF-3s/s752/resolucao-do-problema-quantos-triangulos-tem-na-figura-n-o-baricentro-da-mente.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="resolucao-do-problema-quantos-triangulos-tem-na-figura-n-o-baricentro-da-mente" border="0" data-original-height="266" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiebh5sdBMXnlzYwS5R9_32fz_k1Pn3VNapOTUHafp5WhREFrwn0tAdJJOX3KK056iECvEfQ2ZRV-Vj7wNMOmtnI0HtZ2IZKPSbhOnjrhm7odTp8Mo7NlPtQEyL7QvoaZaX5eZyHEzhrVNIiRmP69v9xp5DzRN_yvxcXMUxrVX_T7W29WObMR_tF-3s/s16000/resolucao-do-problema-quantos-triangulos-tem-na-figura-n-o-baricentro-da-mente.png" title="Resolução do problema: Quantos triângulos tem na figura? - Número de triângulos em função de segmentos que partem do vértice do triângulo" /></a></div><div style="text-align: center;">Imagem 2</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">O número $t$ de triângulos formados não cresce linearmente conforme o número $n$ de segmentos que partem do vértice cresce. Sendo assim, parte deste problema é determinar quantos triângulos são formados quando temos um número $n$ de segmentos.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">A partir da imagem acima, podemos contar os triângulos formados e criar uma tabela de modo empírico:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTPPiFoEm3DaiXkiEWigSmZCL4IeNGDtdK_Qydy8MMOMED014iDT9b9l-hZ6QiFrFFgwttTvhonetZgB3EujmBXuyTvHhKHR4V2nIJ-RclxmVUL3kpJxw7t_6K6jJ9FrrjwvhNfkp-9H2KGE_EsEvNlWLruaE7x82GF_z4twPsGGeva3gM32S4JnT3/s752/resolucao-do-problema-quantos-triangulos-tem-na-figura-tabela-com-quantidade%20de%20triangulos-o-baricentro-da-mente.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="resolucao-do-problema-quantos-triangulos-tem-na-figura-tabela-com-quantidade de triangulos-o-baricentro-da-mente" border="0" data-original-height="260" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTPPiFoEm3DaiXkiEWigSmZCL4IeNGDtdK_Qydy8MMOMED014iDT9b9l-hZ6QiFrFFgwttTvhonetZgB3EujmBXuyTvHhKHR4V2nIJ-RclxmVUL3kpJxw7t_6K6jJ9FrrjwvhNfkp-9H2KGE_EsEvNlWLruaE7x82GF_z4twPsGGeva3gM32S4JnT3/s16000/resolucao-do-problema-quantos-triangulos-tem-na-figura-tabela-com-quantidade%20de%20triangulos-o-baricentro-da-mente.png" title="Resolução do problema: Quantos triângulo tem na figura? - Tabela com quantidades em função do número de segmentos que partem do vértice" /></a></div><div style="text-align: center;">Tabela 1</div><div style="text-align: left;"><br /></div><h3 style="text-align: left;">Lei de formação</h3><div style="text-align: justify;">Analisando a tabela acima, podemos observar alguns padrões na formação do problema:</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">a) Dados $n$ segmentos, o número total de triângulos $t$ é o produto de $n$ por $n-1$ segmentos, dividido por $2$:</div>$$<br />t_n = \frac{n (n-1)}{2} \tag{1}<br />$$<div style="text-align: justify;">Se aplicarmos esta fórmula observando os triângulos da imagem 2, podemos verificar que os dados da tabela 1 são verdadeiros. Mas, a fórmula é válida para qualquer quantidade de segmentos que partem do vértice $V$?</div><div style="text-align: left;"><br /></div><h3 style="text-align: left;">Demonstração</h3><div style="text-align: justify;">Para que possamos validar a fórmula $(1)$ temos que demonstrá-la, provando que se a fórmula é válida para um número $n$ de segmentos, também será válida para um número $n+1$ de segmentos. </div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Podemos fazer isso através do princípio da indução matemática, que é uma ferramenta muito útil na demonstração de proposições sobre o conjunto dos números naturais.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Seja $n_0$ um número inteiro e positivo. Suponhamos que para cada $n \geq n_0$ seja dada uma proposição $P(n)$. Queremos verificar as propriedades:</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">$i)$ $P(n_0)$ é verdadeira;</div><div style="text-align: left;">$ii)$ Se $P(n)$ é verdadeira, então $P(n+1)$ também é verdadeira para todo $n \geq n_0$</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Então, $P(n)$ é verdadeira para qualquer $n \geq n_0$.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">Por hipótese, temos que:</div>$$<br />t_n = \frac{n(n-1)}{2} \tag{2}<br />$$<div style="text-align: justify;">É fácil ver que, para $n=2$, a fórmula acima é verdadeira, pois dois segmentos que partem de um vértice até à base forma apenas um triângulo, o que verifica a propriedade $i)$:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhstigs3msD47nYr91MyZeysLKryV1GUnT3909JqtHm23ZAcNYMfOdnoIxgBbgINe0RY1Jp2JZLZkV_mmuE8tiy2Acg9zGSazaZmoJ65GQihLC4q-kALNXZyeKzpLdWEnY_Em_vY8hwpj5kOPQ092ltP51gqDk4MZVQEEdryhaT_tfag5S4CWelhfz5/s752/resolucao-do-problema-quantos-triangulos-tem-na-figura-n-igual-a-2-o-baricentro-da-mente.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="resolucao-do-problema-quantos-triangulos-tem-na-figura-n-igual-a-2-o-baricentro-da-mente" border="0" data-original-height="266" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhstigs3msD47nYr91MyZeysLKryV1GUnT3909JqtHm23ZAcNYMfOdnoIxgBbgINe0RY1Jp2JZLZkV_mmuE8tiy2Acg9zGSazaZmoJ65GQihLC4q-kALNXZyeKzpLdWEnY_Em_vY8hwpj5kOPQ092ltP51gqDk4MZVQEEdryhaT_tfag5S4CWelhfz5/s16000/resolucao-do-problema-quantos-triangulos-tem-na-figura-n-igual-a-2-o-baricentro-da-mente.png" title="Resolução do problema: Quantos triângulos tem na imagem? - Quantidade de triângulos para n = 2" /></a></div><div style="text-align: center;">Imagem 3</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Se assumirmos que $P(n)$ é verdadeira, podemos mostrar que a fórmula também é válida para $n+1$ segmentos que partem de um vértice:</div>$$<br />t_{n+1} = \frac{(n+1)(n)}{2} \tag{3}<br />$$<div style="text-align: justify;">A tabela 1 foi criada por observação dos padrões de formação. Podemos ver que $t_{n+1}$ é formado pela soma de $t_n + n$. Assim:</div>$$<br />t_{n+1} = t_n + n \tag{4}<br />$$<div style="text-align: justify;">Substituindo a relação $(2)$ em $(4)$, obtemos:</div>$$<br />t_{n+1} = \frac{n(n-1)}{2} + n\\<br />\ \\<br />t_{n+1} = \frac{n^2-n+2n}{2}\\<br />\ \\<br />t_{n+1} = \frac{n^2+n}{2}\\<br />$$<div style="text-align: left;">Fatorando $n$, obtemos:</div>$$<br />t_{n+1} = \frac{n(n+1)}{2} \tag{5}<br />$$<div style="text-align: left;">Que é exatamente o que queríamos demonstrar.</div><div style="text-align: left;"><br /></div><h2 style="text-align: left;">Em busca de uma fórmula geral</h2><div style="text-align: justify;">Para um triângulo padrão, que possua apenas um segmento horizontal que une os lados do triângulo externo $(k=1)$, o padrão $\displaystyle t_n=\frac{n(n-1)}{2}$ aparece apenas uma vez:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgYA-7lS_FimYqfvL_04mOkVjFeftRbYAfaTeOnDxF97fcgQ1IxwD4NR0ti8qQN4fKoqKwg9AOt379sIAawY68rn8k05c2a9kmU366RYAs02_DY1s8sxWCw_EUl0gw_v8Qw_gxCqOqlTW0UG4TmZUotgWSyqvFLhTz7sgfteXGTv-amIg0U7nXTuI9m/s752/resolucao-do-problema-quantos-triangulos-tem-na-figura-k1-n-variavel-o-baricentro-da-mente.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="resolucao-do-problema-quantos-triangulos-tem-na-figura-k1-n-variavel-o-baricentro-da-mente" border="0" data-original-height="266" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgYA-7lS_FimYqfvL_04mOkVjFeftRbYAfaTeOnDxF97fcgQ1IxwD4NR0ti8qQN4fKoqKwg9AOt379sIAawY68rn8k05c2a9kmU366RYAs02_DY1s8sxWCw_EUl0gw_v8Qw_gxCqOqlTW0UG4TmZUotgWSyqvFLhTz7sgfteXGTv-amIg0U7nXTuI9m/s16000/resolucao-do-problema-quantos-triangulos-tem-na-figura-k1-n-variavel-o-baricentro-da-mente.png" title="Formação de triângulos para k = 1 e n variável" /></a></div><div style="text-align: center;">Imagem 4</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Se tivermos dois segmentos horizontais unindo os lados do triângulo externo $(k=2)$, o padrão $t_n$ aparecerá duas vezes:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJAk1ywrhE-YlZ92SzS5cigFdhOwW34duGTMr521axB8vsWAOEAt_-XZAv34Myo-nbD5wqCW1iE0LnV1u9GmhlZ6aP6R-i_-eBoYtL0KMhEK8wkBllqbZKrKeIMiyu40qTXO7fgY4iYgQj6nli2Zm6Bpd3gxyI4hg7o0opWBp3cRrCkcwdKnbzoUFV/s752/resolucao-do-problema-quantos-triangulos-tem-na-figura-k2-n-variavel-o-baricentro-da-mente.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="resolucao-do-problema-quantos-triangulos-tem-na-figura-k2-n-variavel-o-baricentro-da-mente" border="0" data-original-height="266" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJAk1ywrhE-YlZ92SzS5cigFdhOwW34duGTMr521axB8vsWAOEAt_-XZAv34Myo-nbD5wqCW1iE0LnV1u9GmhlZ6aP6R-i_-eBoYtL0KMhEK8wkBllqbZKrKeIMiyu40qTXO7fgY4iYgQj6nli2Zm6Bpd3gxyI4hg7o0opWBp3cRrCkcwdKnbzoUFV/s16000/resolucao-do-problema-quantos-triangulos-tem-na-figura-k2-n-variavel-o-baricentro-da-mente.png" title="Formação de triângulos para k = 2 e n variável" /></a></div><div style="text-align: center;">Imagem 5</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">O número de vezes em que o padrão $t_n$ aparece é igual ao número de segmentos horizontais $(k)$ que a imagem contiver.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Sendo assim, o número total $T$ de triângulos formados por $n$ segmentos que partem do vértice $V$ à base do triângulo dado, e que possua um número $k$ de segmentos horizontais, é dado pela fórmula:</div>$$<br />T_{n \triangle} = k \cdot \frac{n(n-1)}{2} \tag{6}<br />$$<div style="text-align: left;"><br /></div><h2 style="text-align: left;">Exemplo</h2><div style="text-align: justify;">A partir da fórmula $(6)$, podemos criar uma tabela contendo alguns triângulos, variando o número $k$ de segmentos horizontais e o número $n$ de segmentos que partem do vértice, e fazer algumas combinações:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgy8ZnLy-EgcK08u54hOuQ-DIuvmGV0f9hDwDdIJ45bsrPPmALSkEBjTtj3D16aRvB2Pz1JzDll1DRYRf07gkyEXPjjRMaIK_BXxZLDQz5h6wEGh5DHHhT8u2iEAGdiXdems_LWqNkoXnacpDdsBaexKpFGTkyvOIg64PyDQVMZOsJAF_TwKUG2qmQc/s1412/tabela-problema-dos-triangulos-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="tabela-problema-dos-triangulos-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian" border="0" data-original-height="1412" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgy8ZnLy-EgcK08u54hOuQ-DIuvmGV0f9hDwDdIJ45bsrPPmALSkEBjTtj3D16aRvB2Pz1JzDll1DRYRf07gkyEXPjjRMaIK_BXxZLDQz5h6wEGh5DHHhT8u2iEAGdiXdems_LWqNkoXnacpDdsBaexKpFGTkyvOIg64PyDQVMZOsJAF_TwKUG2qmQc/s16000/tabela-problema-dos-triangulos-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian.png" title="Tabela matriz de triângulos com combinações de segmentos horizontais e segmentos que partem do vértice" /></a></div><div style="text-align: center;">Imagem 6</div><div style="text-align: left;"><br /></div><h2 style="text-align: left;">Sequência</h2><div style="text-align: justify;">A partir da fórmula $(6)$, podemos criar uma sequência numérica infinita com as quantidades de triângulos formados. Abaixo seguem os 100 primeiros números da sequência, considerando $k=1$ e e $n \geq 2$ :</div><div style="text-align: justify;"><br />
</div><div style="text-align: left;">
<code>
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431, 1485, 1540, 1596, 1653, 1711, 1770, 1830, 1891, 1953, 2016, 2080, 2145, 2211, 2278, 2346, 2415, 2485, 2556, 2628, 2701, 2775, 2850, 2926, 3003, 3081, 3160, 3240, 3321, 3403, 3486, 3570, 3655, 3741, 3828, 3916, 4005, 4095, 4186, 4278, 4371, 4465, 4560, 4656, 4753, 4851, 4950, 5050
</code></div>
<div style="text-align: left;"><br />
</div><div style="text-align: justify;">Graficamente, podemos ver a evolução da quantidade de triângulos em relação ao número de segmentos que partem do vértice. O gráfico abaixo mostra uma curva para $n$ variando de $2$ a $1000$:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhouQ6vFW74Sj5I2dqu86neGIJalifckC5-OgbIg95o95kTa2AS2rJ0YKC4Ibias27TAFIaEhBylLIB5a0pmKcV2i9P3KoKC_fbl8H-n3y0q8F8Cvr_CPFgqQW-L72Y1IKDbQNd02gyBoyJjAZXosLCeZsP8JbDWSfRp13CRgOdh4UAheEqhZGIHwXO/s752/grafico-problema-dos-triangulos-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="grafico-problema-dos-triangulos-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian" border="0" data-original-height="512" data-original-width="752" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhouQ6vFW74Sj5I2dqu86neGIJalifckC5-OgbIg95o95kTa2AS2rJ0YKC4Ibias27TAFIaEhBylLIB5a0pmKcV2i9P3KoKC_fbl8H-n3y0q8F8Cvr_CPFgqQW-L72Y1IKDbQNd02gyBoyJjAZXosLCeZsP8JbDWSfRp13CRgOdh4UAheEqhZGIHwXO/s16000/grafico-problema-dos-triangulos-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian.png" title="Gráfico com o crescimento de triângulos em função do número de segmentos que partem do vértice do triângulo dado" /></a></div><div style="text-align: center;">Gráfico 1</div><div style="text-align: center;"><br /></div><h4 style="text-align: left;">Veja mais:</h4><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2011/11/numero-de-regioes-de-um-plano.html" target="_blank">Número de regiões de um plano determinado por retas</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2020/04/prova-de-que-soma-dos-primeiros-n-inteiros-impares-e-um-quadrado.html" target="_blank">Prova de que a soma dos primeiros n inteiros ímpares é um quadrado</a><br /></li><li><a href="https://www.obaricentrodamente.com/2014/05/a-soma-de-gauss.html" target="_blank">A soma de Gauss</a><br /></li></ul></div>Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.com2