tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post7998222740268891314..comments2024-03-17T06:54:54.756-03:00Comments on O Baricentro da Mente: Resolução da Integral $\int \frac{1}{(x^2-1)^2}dx$Kleber Kilhianhttp://www.blogger.com/profile/03468998713588880084noreply@blogger.comBlogger3125tag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-43793111151343158012014-07-27T16:22:00.724-03:002014-07-27T16:22:00.724-03:00Aqui estão dois métodos que preferiria utilizar ne...Aqui estão dois métodos que preferiria utilizar nesta integral:<br /><br />A primeira seria aplicar integração por partes na integral<br /><br />$$ \int \frac{1}{1 - x^2} \, \mathrm{d}x, $$<br />cuja resolução é bem mais simples, bastando notar que<br />$$ \frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} \right ), $$<br />resultando que<br />$$ \int \frac{1}{1 - x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\ln \left| \frac{1+x}{1-x}\right| + C. $$<br /><br />Sendo<br />$$ I = \int \frac{1}{1 - x^2} \, \mathrm{d}x $$<br />e integrando por partes com<br />$$ v = x \qquad u = \frac{1}{1 - x^2} \qquad \mathrm{d}u = \frac{2x}{\left( 1 - x^2 \right)^2} \, \mathrm{d}x, $$<br /><br />vem que<br /><br />$$ \begin{aligned}I & =\frac{x}{1-x^{2}}-\int\frac{2x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}\,\mathrm{d}x\\<br /> & =\frac{x}{1-x^{2}}-2\int\frac{x^{2}-1+1}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}\,\mathrm{d}x\\<br /> & =\frac{x}{1-x^{2}}+2\int\frac{1-x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}\,\mathrm{d}x-2\int\frac{1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}\,\mathrm{d}x\\<br /> & =\frac{x}{1-x^{2}}+2\int\frac{1}{1-x^{2}}\,\mathrm{d}x-2\int\frac{1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}\,\mathrm{d}x.<br />\end{aligned} $$<br /><br />Ou seja,<br /><br />$$ \begin{aligned}\int\frac{1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}\,\mathrm{d}x & =\frac{1}{2}I+\frac{1}{2}\frac{x}{1-x^{2}}+C\\<br /> & =\frac{1}{4}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+\frac{1}{2}\frac{x}{1-x^{2}}+C.<br />\end{aligned} $$<br /><br />O segundo método, bem mais elegante, é este:<br /><br />$$ \begin{aligned}\int\frac{1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}\,\mathrm{d}x & =\frac{1}{2}\int\frac{x^{2}+1-\left(x^{2}-1\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}\,\mathrm{d}x\\<br /> & =\frac{1}{2}\int\frac{x^{2}+1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}\,\mathrm{d}x+\frac{1}{2}\int\frac{1}{1-x^{2}}\,\mathrm{d}x\\<br /> & =\frac{1}{2}\int\frac{x^{2}\left({\displaystyle 1+\frac{1}{x^{2}}}\right)}{\left[x\left({\displaystyle x-\frac{1}{x}}\right)\right]^{2}}\,\mathrm{d}x+\frac{1}{4}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|\\<br /> & =\frac{1}{2}\int\frac{{\displaystyle 1+\frac{1}{x^{2}}}}{\left({\displaystyle x-\frac{1}{x}}\right)^{2}}\,\mathrm{d}x+\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\\<br /> & =\frac{1}{2}\int\frac{\left({\displaystyle x-\frac{1}{x}}\right)^{\!\prime}\mathrm{d}x}{\left({\displaystyle x-\frac{1}{x}}\right)^{2}}\,\mathrm{d}x+\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\\<br /> & =-\frac{1}{2}\frac{1}{{\displaystyle x-\frac{1}{x}}}+\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|+C\\<br /> & =\frac{1}{2}\frac{x}{1-x^{2}}++\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|+C.<br />\end{aligned} $$Mateus Honórionoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-27593257195421898572014-07-27T15:38:14.107-03:002014-07-27T15:38:14.107-03:00Olá Chacon, preciso como sempre. Vacilo meu. Já es...Olá Chacon, preciso como sempre. Vacilo meu. Já está corrigido. Obrigado pela leitura atenta e por reportar o erro.<br /><br />Um abraço!Kleber Kilhianhttps://www.blogger.com/profile/13835181979253405169noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-1327318402767136411.post-56306035811170436232014-07-27T15:30:47.613-03:002014-07-27T15:30:47.613-03:00Eu acho que houve um erro ortográfico. A parte ond...Eu acho que houve um erro ortográfico. A parte onde tá <br />"Eliminando o denominador, obtemos:<br /><br />1=A(x+1)(x-1)²+B(x-1)²+C(x-1)(x+1)²+D(x-1)²"<br /><br />ao invés de termos D(x-1)² não seria D(x+1)² ?<br /><br />porque se dividirmos (x+1)²(x-1)² por (x-1)² teríamos (x+1)²..<br />gostaria que conferisse. <br /><br />Sempre leio o site. Valeu ! \o<br /><br />Alex ChaconAnonymousnoreply@blogger.com