20 de mai de 2017

O problema da Flor de Timaridas

O problema da Flor de Timarida, também conhecida como Epantema, aparece no livro de Howard Eves, Introdução à História da Matemática, página $224$, exercícios $6.12(a)$ e $6.14(c)$. Trata-se de resolver um problema de quantidade, quando uma quantidade particular aparece em mais de uma soma.


Timaridas de Paros $(400-350a.C.)$ foi um matemático grego do século $IV\ a.C.$ e um dos pitagóricos. Embora pouco se sabe sobre a vida de Timaridas, acredita-se que ele fora um homem rico e que caiu na pobreza. Diz-se que Thestor de Poseidonia viajou a Paros a fim ajudar a Timaridas com o dinheiro que foi coletado para ele.

Iamblichus $(245-325)$ afirma que Timaridas chamava os números primos de "retilíneo" uma vez que só pode ser representado em uma linha unidimensional. Os números não-primos, por outro lado, podem ser representados em um plano bidimensional como os lados de um retângulo que, quando multiplicados, produzem o número não-primo em questão. Ele também chamou o número $1$ de "quantidade limitante".

Iamblichus em seus comentários para Introductio arithmetica afirma que Timaridas deu uma regra muito interessante para resolver um caso particular de sistema de $n$ equações com $n$ incógnitas. A regra tornou-se muito conhecida em sua época e recebeu o nome de Flor de Timaridas. Vejamos como esta regra é descrita:

Seja dada uma soma de $n$ quantidades, bem como a soma dos pares que contém uma quantidade particular delas; então, essa quantidade particular é igual a $\displaystyle \frac{1}{n-2}$ vezes a diferença entre a soma de todos os pares e a primeira soma.

Em notação moderna, podemos escrever essa regra como:
\begin{equation*}
x + x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1} = S\\
\ \\
x + x_1 = m_1\\
\ \\
x + x_2 = m_2\\

\vdots
\ \\
x + x_{n-1} = m_{n-1}
\end{equation*}
e dado por:
\begin{equation*}
x = \frac{\left(m_1 + m_2+ \cdots + m_{n-1}\right)-S}{n-2}
\end{equation*}

Como forma de ilustrar a aplicação desta regra, tomemos o problema a seguir.

Problema $1$:

Problema $6.14(c)$, Eves. Faça uma coroa de ouro, cobre, estanho e ferro pesando $60\ minae$ de modo que o ouro e o cobre juntos constituam $23$ da coroa; o ouro e o estanho, $3/4$; e o ouro e o ferro, $3/5$. Encontre o peso de cada metal necessário para a produzir esta coroa.

Seja o ouro = $O$, o cobre = $C$, o estanho = $E$ e o ferro = $F$. Temos então que:
\begin{equation}
O+C+E+F=60\ minae
\end{equation}
O ouro e o cobre juntos devem constituir $2/3$ da coroa. Assim:
\begin{equation}
O+C = \frac{2}{3}\cdot 60 = 40\ minae
\end{equation}
O ouro e o estanho juntos devem constituir $3/4$ da coroa. Assim:
\begin{equation}
O+E=\frac{3}{4} \cdot 60 = 45\ minae
\end{equation}
O ouro e o ferro juntos devem constituir $3/5$ da coroa. Assim:
\begin{equation}
O+F=\frac{3}{5} \cdot 60 = 36\ minae
\end{equation}
Obtemos de $(1)$, $(2)$, $(3)$ e $(4)$ um sistema de $4$ equações e $4$ incógnitas:
\begin{cases}
O & + & C & + & E & + & F & = & 60\\
O & + & C & & & &&= & 40\\
O & & & + & E&&& = & 45\\
O &&&&&+&F&=&36
\end{cases}
Vamos, então, aplicar a regra da Flor de Timaridas a fim de encontrar a quantidade de ouro e dos outros metais utilizados na produção da coroa.

Primeiramente devemos identificar cada parte do problema e onde aplicar na regra.

O sistema de equações formado é dado por $4$ incógnitas e $4$ equações assim:
\begin{equation}
n= 4
\end{equation}
A primeira soma citada na regra é a soma dada em $(1)$:
\begin{equation}
O+C+E+F=60
\end{equation}
Os pares que contém uma quantidade particular são dados pelas somas $(2)$, $(3)$ e $(4)$, sendo o ouro esta quantidade de metal em comum. Somando todos estes pares, obtemos:
\begin{equation}
40 + 45 + 36 = 121
\end{equation}
Vamos aplicar na regra para obter primeiramente a quantidade de ouro:
\begin{equation*}
O = \frac{1}{n-2} \times \left[ (soma\ dos\ pares) - (primeira\ soma) \right]\\
\ \\
O = \frac{1}{4-2} \times \left[121 - 60 \right]\\
\ \\
O = \frac{1}{2} \times 61\\
\ \\
O = \frac{61}{2} = 30,5\ minae\ de\ ouro
\end{equation*}
Mas vamos manter esta quantidade em forma de fração para os próximos cálculos.

Tomando a equação $(2)$, encontramos a quantidade de cobre utilizada na coroa:
\begin{equation*}
O+C=40\\
\ \\
\frac{61}{2} + C = 40\\
\ \\
C=40 - \frac{61}{2}\\
\ \\
C=\frac{19}{2}\ minae\ de\ cobre
\end{equation*}
Tomando a equação $(3)$, encontramos a quantidade de estanho utilizada na coroa:
\begin{equation*}
O + E = 45\\
\ \\
\frac{61}{2} + E = 45\\
\ \\
E = 45 - \frac{61}{2}\\
\ \\
E = \frac{29}{2}\ minae\ de\ estanho
\end{equation*}
Tomando a equação $(4)$, encontramos a quantidade de ferro utiizado na coroa:
\begin{equation*}
O + F = 36\\
\ \\
\frac{61}{2} + F = 36\\
\ \\
F = 36 - \frac{61}{2}\\
\ \\
F = \frac{11}{2}\ minae\ de\ ferro
\end{equation*}
Se somarmos todas as quantidades, devemos obter o peso todal da coroa, que é de $60\ minae$:
\begin{equation*}
O + C + E + F = 60\\
\ \\
\frac{61}{2} + \frac{19}{2} + \frac{29}{2} + \frac{11}{2} = 60\\
\ \\
\frac{120}{2} = 60\\
\ \\
60 = 60
\end{equation*}
Como queríamos.

Problema $2$:

Newton $(N)$, Gauss $(G)$ e Euler $(E)$ pesam juntos $232\ kg$. Newton e Gaus pesam juntos $160\ kg$; já Newton e Euler pesam juntos $148\ kg$. Calcular o peso de cada um desses matemáticos.

A partir do enunciado, podemos montar um sistema de equações com $3$ equações e $3$ incógnitas:
\begin{cases}
N & + & G & + & E &  = & 232\\
N & + & G & & &= & 160\\
N & & & + & E& = & 148\\
\end{cases}
Neste caso, temos que $n=3$; a primeira soma é $232$ e a soma dos pares é dada por $160+148=308$. Assim, o peso de Newton será dado po:
\begin{equation*}
N = \frac{1}{3-2} \times (308 - 232)\\
\ \\
N = 76
\end{equation*}
O peso de Gauss será dado por:
\begin{equation*}
N + G = 160\\
\ \\
76 + G = 160\\
\ \\
G = 84
\end{equation*}
E o peso de Euler será dado por:
\begin{equation*}
N+E=148\\
\ \\
76+E=148\\
\ \\
E = 72
\end{equation*}
Assim, os pesos de Newton, Gauss e Euler são $76\ kg$, $84\ kg$ e $72\ kg$, respectivamente.

Referências:

[1] Introdução à História da Matemática - Howard Eves, Editora Unicamp

Veja mais:

A regra de sinais, segundo Diofanto
O método da Falsa Posição
Frações unitárias

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9 de mai de 2017

Elon Lages Lima - Nota de falecimento

Morre o matemático Elon Lages Lima, ex-diretor do IMPA, aos $87$ anos, no Rio de Janeiro.

Elon Lages Lima nasceu a $9$ de julho de $1929$ em Maceió, Alagoas, Brasil  e faleceu no Rio de Janeiro, no dia $7$ de maio de $2017$.


Elon Jages Lima foi um matemático, mestre e doutor (PhD) pela Universidade de Chicago, ganhador por duas vezes do Prêmio Jabuti da Câmara Brasileira do Livro e recebedor do Prêmio Anísio Teixeira do Ministério da Educação. Seus trabalhos de pesquisa envolvem topologia diferencial, topologia algébrica, e geometria diferencial. Seu estilo matemático foi fortemente influenciado pelo de Bourbaki.

Um dos mais importantes e prolíficos autores de livros de matemática no país, Elon Lages Lima, ex-diretor do IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada), morreu numa manhã de domingo, aos $87$ anos, no Rio de Janeiro.

Matemático de ponta, o alagoano Elon deu contribuição fundamental à literatura matemática brasileira, com mais de $40$ livros, e recebeu duas vezes o Prêmio Jabuti de Ciências Exatas, da Câmara Brasileira do Livro. Ele também desempenhou o papel de mentor e inspirador de jovens matemáticos de grande destaque no país, como o ganhador da Medalha Fields Artur Avila, Carlos Gustavo Moreira, o Gugu (ambos do IMPA), Ralph Teixeira (UFF) e Nicolau Saldanha (PUC-Rio), entre outros.

"Eu era aluno de graduação, em Portugal, quando ouvi falar de Elon pela primeira vez, por meio de seus livros. Ninguém, nos dois países, contribuiu como ele para a criação de uma literatura matemática em língua portuguesa", afirmou o diretor-geral do IMPA, Marcelo Viana. Para o ex-diretor do IMPA Jacob Palis, Elon "foi um excelente matemático, escritor e didata". "Ele deu uma contribuição muito grande ao IMPA, desde o início, integrando um grupo pequeno e de alta qualidade."

Membro titular da Academia Brasileira de Ciências desde 1963, foi diretor do IMPA em três períodos $(1969-71, 79-80$ e $1989-93)$, presidente da Sociedade Brasileira de Matemática $(1973-75)$ e integrou o Conselho Nacional de Educação e o Conselho Superior da Faperj. Recebeu a Ordem do Mérito Científico na Classe Grã-Cruz, da Presidência da República, e o Prêmio Anísio Teixeira, do MEC.

O jovem Elon fez sua formação inicial no Ceará e no Rio de Janeiro. Ao chegar ao Rio, presenciou a fundação do IMPA, por Leopoldo Nachbin e Maurício Matos Peixoto. Obteve os graus de mestrado e doutorado na prestigiosa Universidade de Chicago, onde especializou-se em Topologia Algébrica, entre $1954$ e $1958$, e recebeu o Prêmio Edna M. Allen.

Após voltar ao Brasil, tornou-se pesquisador do IMPA. Com uma bolsa Guggenheim, esteve em Princeton e Columbia e foi influenciado pelo norte-americano Stephen Smale, ganhador da medalha Fields. Nessa época, obteve resultados pioneiros no campo de vetores comutativos. Foi professor da UnB, de onde pediu demissão em $1965$, após o início do Regime Militar. Foi Elon que abriu o caminho para outros pesquisadores do IMPA, como Jacob Palis e César Camacho, serem orientados por Smale - hoje pesquisador honorário do IMPA.

Além de pesquisador de alto nível, Elon sempre compreendeu a importância da divulgação da Matemática e da formação de professores, áreas em que desempenhou um papel de protagonista nacional. Colaborou para estruturar os cursos de licenciatura, bacharelado e pós-graduação Universidade Federal do Ceará, de onde recebeu, em $89$, o título de Professor Honoris Causa. Ele também era doutor Honoris Causa da Universidade Federal de Alagoas.

Idealizou e dirigiu as coleções "Projeto Euclides" e "Coleção Matemática Universitária" e foi o criador, em $1990$, do PAPMEM (Programa de Formação e Aperfeiçoamento de Professores do Ensino Médio), que continua ativo e já beneficiou mais de $20$ mil professores do país. Talvez porque tenha sido justamente na Educação Básica o início de sua brilhante trajetória de matemático, como professor, aos $18$ anos, no Ginásio Farias Brito e no Colégio Estadual do Ceará.

Elon era casado com Carolina Celano e tinha cinco filhas da primeira união, com Valdece. Foi sepultado às 16h desta segunda-feira $(8)$, no Cemitério da Penitência, no Caju.

Livros:

Álgebra Exterior
Álgebra Linear
Análise Real, vols. 1, 2 e 3
Análise em Rn
Cálculo Tensorial
Coordenadas no Espaço
Coordenadas no Plano
Curso de Análise, vols. 1 e 2
Elementos de Topologia Geral
Introdução à Topologia Diferencial
Espaços Métricos
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento
Homologia Básica
Variedades Diferenciáveis
Isometrias
Logaritmos
Meu Professor de Matemática e Outras Histórias
Medida e Forma Em Geometria Comprimento, área, Volume e Semelhança
Temas e problemas
A Matemática do Ensino Médio
Matemática e Ensino

Notas:

▪ Uma nota de pesar pode ser lida no site do IMPA.

▪ Postagem sobre seu falecimento pode ser lida também no Facebook.

▪ A SMB publicou em sua página um depoimento do Professor Jonas Gomes.

Referências:

[1] IMPA - Nota de pesar
[2] SMB - Depoimento do Professor Jonas Gomes
[3] https://pt.wikipedia.org/wiki/Elon_Lages_Lima

6 de mai de 2017

06 de Maio - Dia Nacional da Matemática

O Dia Nacional da Matemática é comemorado hoje, dia $06$ de maio. A data foi escolhida para homenagear Malba Tahan, pseudônimo do professor de Matemática Julio César de Mello e Souza, que nasceu no Rio de Janeiro, em $1895$, e faleceu em $1974$, no Recife, aos $79$ anos.


Autor de mais de uma centena de livros, escreveu sobre Matemática Recreativa, Didática da Matemática, História da Matemática e Literatura Infanto-juvenil. Seus livros ensinam conceitos de Matemática e mostram que a disciplina pode ser uma divertida e desafiante aventura quando estudada de forma dinâmica e criativa. Daí ele ter recorrido a aventuras misteriosas, com beduínos, xeiques, vizires, magos, princesas e sultões. Sua obra mais famosa é "O Homem que Calculava", que foi traduzido para doze idiomas.

A data foi instituída em $2004$, pelo projeto de Lei nº $3.482/2004$, de autoria da deputada professora Raquel Teixeira e foi aprovada por unanimidade pela Comissão de Educação e Cultura. Desde $2008$ encontra-se na Comissão de Constituição e Justiça para homologação final que institui o dia $06$ de maio como o Dia Nacional da Matemática.

Veja mais:

O peso de uma distância
A pirâmide humana de Newton
As nove multiplicações com os 9 algarismos

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15 de abr de 2017

Caten, catenárias em movimento

Caten é uma escultura cinética do artista David Letellier, criada para a igreja de Vieux Saint-Sauveur (Caen, França), um marco do Festival Interstice de $2012$.


Caten é uma escultura em levitação, composta por $300$ finos fios que estão suspensos por meio de duas cordas que se estendem ao longo da nave principal da Igreja.

As cordas e fios são arqueados pela força da gravidade e são controlados por quatro motores que podem variar a configuração dos fios de forma intermitente.


Ao mesmo tempo, Caten toca uma melodia inspirada em salmos religiosos medievais, em particular os primeiros versos de Ut Queant Laxis, um Hino a San Juan Bautista, cujas letras servem ao monge Guido de Arezzo para nomear as notas musicais.

 


A instalação emite uma cadência das quatro primeiras notas da escala, criando uma série de intervalos determinados, mas constantemente reconfigurados de forma aleatória.


O nome desta escultura é inspirado na curva matemática de nome catenária, que é a curva gerada quando um fio homogêneo é suspenso por suas extremidades e submetido à ação da gravidade.



A equação da catenária é dada pela função hiperbólica e sua equivalente exponencial:
\begin{equation*}
y = a \cdot \cosh \left(\frac{x}{a} \right) = \frac{a}{2} \cdot \left( e^{x/a} + e^{-x/a} \right)
\end{equation*}
O problema de descrever matematicamente a forma da curva formada por um fio suspenso entre dois pontos e sob a ação exclusiva da gravidade foi proposto por Galileu Galilei, que propôs a conjectura de que a curva fosse uma parábola. Aos $17$ anos de idade, Huygens mostrou em $1646$ de que a conjectura era falsa. Em $1690$, Jakob Bernoulli relançou o problema à comunidade científica. A resolução do problema foi publicada independentemente em $1691$ por Leibniz, Huygens e o próprio Bernoulli.

Uma força aplicada em um ponto qualquer da curva a divide igualmente por todo material. Por isso é usada para a fabricação de materiais como o fundo das latas de refrigerante, iglus e túneis.

Referências:

[1] Caten, catenarias danzando autora: Dra. Marta Macho Stadler
[2] https://pt.wikipedia.org/wiki/Catenaria



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1 de abr de 2017

O número de Erdös-Bacon-Sabbath

Paul Erdös nasceu em $23$ de março de $1913$ em Budapeste, Hungria e faleceu a $20$ de setembro de $1996$ em Varsóvia, Polônia.


As contribuições de Erdös para a Matemática são numerosas e variadas. Mas não era um grande teórico, preferia resolver problemas. Acreditava que as sofisticadas teorias matemáticas não podem cobrir toda a matemática, e que há muitos problemas que não podem ser atacados por meio delas, mas que podem ser resolvidos por métodos elementares. Os problemas que mais o atraiam eram problemas de análise combinatória, teoria dos grafos e teoria dos números. Não resolvia problemas de qualquer maneira, queria resolvê-los de uma forma simples e elegante. Para Erdös, a prova tinha que explicar por que o resultado é verdadeiro, e não ser apenas uma sequência de passos sem ajudar a entender o resultado.

Erdös é mais conhecido pela sua capacidade de resolver problemas extraordinariamente difíceis. O seu estilo característico consistia em resolver problemas de uma forma elegante e visionária. Recebeu o Prêmio Cole da Sociedade Americana de Matemática em $1951$ pelos seus muitos artigos em teoria dos números, e em particular pelo artigo "On a new method in elementary number theory which leads to an elementary proof of the prime number theorem", publicado nos Proceedings of the National Academy of Sciences em $1949$.

Erdös, mais do que qualquer outro, foi creditado por "tornar a Matemática uma atividade social". Entre seus colaboradores mais frequentes estão Yousef Alavi, Béla Bollobás, Fan Chung, Ralph Faudree, Ronald Graham, András Gyárfás, András Hajnal, Eric Milner, János Pach, Carl Pomerance, Richard Rado (Um dos co-autores do famoso Teorema de Erdős-Ko-Rado), Alfréd Rényi, Vojtěch Rödl, Cecil Clyde Rousseau, András Sárközy, Richard Schelp, Miki Simonovitz, Vera Sós, Joel Spencer, Endre Szemerédi, Pál Turán e Peter Winkler.

Erdös era uma fonte constante de aforismos: "Another roof, another proof" ("Um outro teto, uma outra demonstração", tradução livre), "Um matemático é uma máquina para transformar café em teoremas", "Não precisa acreditar em Deus, mas precisa acreditar no Livro" (uma referência a um livro divino hipotético que supostamente contém as demonstrações mais sucintas, elegantes e esclarecedoras para todas as afirmativas matemáticas). Erdös usava o termo "partir" para pessoas que tinham morrido, e o termo "morrer" para pessoas que tinham parado de fazer Matemática. Ele chamava as crianças de "épsilons" e gostava delas.

Erdös recebeu muitos prêmios, incluindo o Prêmio Wolf de Matemática de $1983$. No entanto, devido ao seu estilo de vida, precisava de pouco dinheiro. Por isso ajudou estudantes talentosos e ofereceu prêmios pela resolução de problemas propostos por ele. Morreu em Varsóvia, Polônia a $20$ de setembro de $1996$ e foi sepultado no Cemitério judaico de Rákoskeresztúr.

O Número de Erdös

O Número de Erdös é uma homenagem prestada ao matemático húngaro Paul Erdös, que publicou em toda sua vida, cerca de $1475$ artigos sobre matemática, sendo cerca de $500$ destes em parcerias.



Esse número é recursivamente calculado da seguinte maneira:

▪ Erdös possui o número de Erdös igual a $0$.
▪ Um matemático $M$ possui esse número igual à soma de $1$ com o menor número de Erdös dos matemáticos que escreveram um artigo em parceria com $M$.

Existem $511$ matemáticos com número de Erdös igual a $1$, ou seja, que escreveram artigos em parceria com Erdös. Os matemáticos que escreveram artigos juntamente com estes, possuem esse número igual a $2$, os que escreveram artigos juntamente com estes últimos, possuem o número igual a $3$, e assim por diante.

Aquele(a) que nunca escreveu nenhum artigo com Erdös ou com algum matemático que possua um número de Erdös possui o número de Erdös infinito.

Arthur Avila, medalha Fields $2014$, possui o número de Erdös igual a $3$.

Na prática, o Número de Erdös informa para cada nó em um grafo qual a quantidade mínima de conexões (ou arestas) devem ser utilizadas para navegar de um nó a outro nó específico (chamado de Erdös ou Source).

Número de Erdös-Bacon

No cinema existe o chamado Número de Bacon, que é definido de maneira análoga, de modo a calcular a distância colaborativa no sentido de haver atuado em um filme com o ator Kevin Bacon, simplesmente porque Bacon já protagonizou um grande números de filmes em diferentes gêneros cinematográficos. Calcula-se que haja em torno de $800.000$ pessoas do mundo que tenham um número de Bacon.

O Número de Erdös-Bacon é definido como a soma dos anteriores. Por exemplo: o filosofo Noam Chomsky tem o número de Erdös-Bacon igual a $7$ e a matemática e atriz Danica McKellar tem um número de Erdös-Bacon igual a $6$ (a Winnie Cooper do seriado Anos Incríveis).

Número de Erdös-Bacon-Sabbath

Existe ainda o número de Sabbath, que é a distância colaborativa, de maneira similar aos anteriores, que separa alguém da banda Black Sabbath.

Alguém teve a feliz ideia de definir o Número de Erdös-Bacon-Sabbath, sendo a soma dos três números anteriores. Para ter um número desse tipo é necessário haver publicado um artigo científico, haver atuado em um filme e haver compartilhado um palco musical.

Como exemplo, podemos citar Albert Einstein:

▪ Possui número de Erdös igual a $2$.
▪ Atuou em World Leaders on Peace and Democracy $(1939)$, possuindo um número de Bacon igual a $4$.
▪ Dividiu o palco com o violinista Robert Mann em $1952$, tocando violino em um Quinteto de Mozart em Sol Menor, possuindo assim um número de Sabbath igual a $5$.

Deste modo, Einstein possui um número de Erdös-Bacon-Sabbath igual a $11$.

Outro exemplo é o guitarrista Brian May, possuindo o número de Erdös-Bacon-Sabbath igual a $9$.

Stephen Hawking possui o número de Erdös-Bacon-Sabbath igual a $8$.

Carl Sagan possui o número de Erdös-Bacon-Sabbath igual a $10$.

Richard Feynman possui o número de Erdös-Bacon-Sabbaht igual a $10$.

A Universidade de Oakland, EUA, possui um projeto chamado de Erdös Numer Project, onde podemos ver uma lista de alguns cientistas e matemáticos, laureados por Prêmios Nobels, Medalhas Fields, Prêmios Wolf, entre outros.

O site EBS Project é dedicado ao Número de Erdös-Bacon-Sabbath, contendo uma lista de pessoas e seus respectivos números.

Referências:

[1] https://pt.wikipedia.org/wiki/Numero_de_erdos
[2] https://pt.wikipedia.org/wiki/Paul_Erdos
[3] https://culturacientifica.com/.../el-numero-de-erdos-bacon-sabbath/
[4] http://erdosbaconsabbath.com/albert-einstein/
[5] http://www.nytimes.com/.../a-genius-finds-inspiration...

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10 de jan de 2017

O volume do dodecaedro regular

O dodecaedro é o único poliedro regular cujas faces são pentágonos regulares. É formado por $12$ faces, pentágonos regulares, e em cada vértice concorrem $3$ faces. O prefixo dodeca significa doze em grego. Este sólido representa o universo, porque para Platão o cosmos seria constituído por átomos com a forma de dodecaedros.


Primeiramente, vamos determinar a medida da diagonal do pentágono, que é a face do dodecaedro:



Usando semelhança de triângulos na imagem acima, obtemos:
\begin{equation*}
\frac{CD}{DF} = \frac{AD}{CF} \\
\ \\
\frac{a}{x} = \frac{a + x}{a}\\
\ \\
a^2 = a x + x^2\\
\ \\
x^2 + ax - a^2 = 0
\end{equation*}
Resolvendo esta equação com a fórmula de Bháskara:
\begin{equation*}
x = \frac{-a\pm \sqrt{a^2 + 4a^2}}{2} = \frac{-a\pm \sqrt{5 a^2}}{2} = \frac{-a\pm a\sqrt{5}}{2}\\
\ \\
x_1 = \frac{-a+ a\sqrt{5}}{2} \quad \text{ou} \quad x_2 = \frac{-a- a\sqrt{5}}{2}
\end{equation*}
A única resposta que nos interessa é a raiz $x_1$. Por outro lado, temos que $d=a+ x$, logo:
\begin{equation*}
d = a+ \left(\frac{- a+ a\sqrt{5}}{2}\right)\\
\ \\
d = \frac{2a- a+ a\sqrt{5}}{2}\\
\ \\
d = \frac{a+ a\sqrt{5}}{2}\\
\ \\
d = a\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)\\
\ \\
d = a\ \varphi
\end{equation*}
onde $\varphi$ é o número de ouro.

A decomposição do dodecaedro pode ser feita em um cubo, cujas arestas são as diagonais dos pentágonos das faces, e por outros $6$ sólidos, conforme a imagem abaixo:



Cada um desses $6$ sólidos são representados como:




Podemos decompor este sólido como mostrado abaixo:



Assim, obtemos um prisma de base triangular e uma pirâmide formada pela justaposição dos sólidos opostos:



Pelas imagens acima, obtemos as relações:
\begin{equation*}
d = a + 2x \Rightarrow 2x = d-a \Rightarrow x = \left(\frac{d-a}{2}\right)
\end{equation*}
Aplicando o teorema de Pitágoras no sólido, obtemos:
\begin{equation}
a^2 = x^2 + \ell ^2\\
\ \\
a^2 =\left(\frac{d-a}{2}\right)^2 + \ell^2
\end{equation}
e
\begin{equation}
\ell^2 = h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2\\
\ \\
\ell^2 = h^2+ \frac{d^2}{4}
\end{equation}
Substituindo $(2)$ em $(1)$:
\begin{equation*}
a^2 - \left(\frac{d-a}{2}\right)^2 = h^2 + \frac{d^2}{4}\\
\ \\
h^2 = a^2  - \left(\frac{d-a}{2}\right)^2 - \frac{d^2}{4}\\
\ \\
h^2= a^2 - \left( \frac{d^2-2ad + a^2}{4} \right) - \frac{d^2}{4}\\
\ \\
h^2 = \frac{4a^2 - d^2 + 2ad -a ^2 - d^2}{4}\\
\ \\
h^2 = \frac{3a^2 - 2d^2 + 2ad}{4}\\
\end{equation*}
\begin{equation}
h^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{d(d-a)}{2}
\end{equation}
Como $d=a\ \varphi$, fazemos:
\begin{equation*}
\frac{d(d-a)}{2} = \frac{a\ \varphi (a\ \varphi - 1)}{2} = \frac{a^2\ \varphi (\varphi - 1)}{2}
\end{equation*}
Como $\displaystyle \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, obtemos:
\begin{equation}
\frac{a^2}{2} \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} - a\right) = \frac{a^2}{2}
\end{equation}
Substituindo $(4)$ em $(3)$:
\begin{equation*}
h^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{2}\\
\ \\
h^2 = \frac{3a^2 - 2a^2}{4}\\
\ \\
h^2 = \frac{a^2}{4}
\end{equation*}
\begin{equation}
h = \frac{a}{2}
\end{equation}
Agora, podemos calcular os volumes dos sólidos. Vamos calcular o volume do prisma:
\begin{equation*}
V_{Prisma} = \frac{d \cdot h \cdot a}{2} = \frac{\displaystyle a\varphi \cdot \frac{a}{2} \cdot a}{2} = \frac{a^3\ \varphi}{4}
\end{equation*}

Agora, calculamos o volume da pirâmide:
\begin{equation*}
V_{Pirâmide} = \frac{2x \cdot d \cdot h}{3} = \frac{(d-a)\cdot d \cdot a}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{a^3}{6}
\end{equation*}

E por fim, calculamos o volume do cubo:
\begin{equation*}
V_{Cubo} = c^3 = a^3 \varphi^3
\end{equation*}

O volume do dodecaedro $(V_D)$ é dado pela soma do volume do cubo e seis vezes a soma do volume do prisma e da pirâmide:
\begin{equation*}
V_D = a^3 \varphi^3 + 6\left[ \frac{a^3\varphi}{4} + \frac{a^3}{6} \right]\\
\ \\
V_D = a^3\varphi ^3 + 6\left[ \frac{3a^3 \varphi + 2a^3}{12} \right]\\
\ \\
V_D = a^3 \varphi^3 + \frac{3a^3 \varphi + 2a^3}{2}\\
\ \\
V_D = \frac{2a^3\varphi^3 + 3a^3\varphi + 2a^3}{2}\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left(2\varphi^3 + 3\varphi + 2 \right)\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left[2 \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3 + 3 \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+2\right]\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left[ 2\left(\frac{16+8\sqrt{5}}{8}\right) + \frac{3+3\sqrt{5}}{2} + 2 \right]\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left[ 4+2\sqrt{5} + \frac{3+3\sqrt{5}}{2} + 2\right]\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{2} \left[ \frac{8+4\sqrt{5} + 3 + 3\sqrt{5} + 4}{2} \right]\\
\ \\
V_D = \frac{a^3}{4} \left( 15 + 7\sqrt{5} \right)
\end{equation*}

Exemplo:

Vamos calcular o volume do dodecaedro cuja aresta mede $1\ u.c.$. Aplicando na fórmula, fazemos $a=1$, obtendo:
\begin{equation*}
V_D = \frac{15 + 7\sqrt{5}}{4} \approx 7,663\ u.v.
\end{equation*}

Referências:

[1] O Volume do dodecaedro regular no blog Fatos Matemáticos, originalmente escrito pelo prof. Paulo Sérgio C. Lino, revisado e reestruturado por Kleber Kilhian

Veja mais:

A origem do termo Número de Ouro
Demonstração do volume de uma pirâmide
Demonstração do volume da esfera

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