13 de set de 2015

Fórmulas para a área de um triângulo

Veremos neste post $4$ fórmulas para calcular a área de um triângulo. Todas elas dependem de pelo menos um dos lados do triângulo.



Primeiramente, determinaremos a área do paralelogramo, que servirá como base para as demonstrações subsequentes.

Seja o paralelogramo $ABDC$ representado pela figura abaixo, onde $b$ e $h$ são as medidas da base e da altura, respectivamente.



Projetando os pontos $B$ e $D$ sobre a reta $\overleftrightarrow{AC}$, obtemos os pontos $P$ e $Q$, determinando o retângulo $PBDQ$:



Note que os triângulos $APB$ e $CQD$ são congruentes e suas áreas são iguais. Assim, a área do paralelogramo $ABDC$ é igual à área do retângulo $PBDQ$ e é dada pelo produto da base pela altura:
\begin{equation}
A = b \cdot h
\end{equation}

Agora, tomemos um triângulo  $ABC$, cuja base $\overline{AC}$ mede $b$ e sua altura relativa à esta base me $h$:



Se traçarmos as respectivas paralelas aos lados $\overline{AC}$ e $\overline{AB}$ a partir de $B$ e $C$, estas interceptam-se no ponto $D$, determinando o paralelogramo $ABDC$, onde $b$ e $h$ são as medidas da base e altura, respectivamente.



Como $AB=CD$, $m(B\hat{A}C) = m(B\hat{D}C)=\alpha$ e $AC=BD$, os triângulos $ABC$ e $DCB$ são congruentes e, portanto, suas áreas são iguais. Logo, a área do triângulo $ABC$ é igual à metade da área do paralelogramo $ABD$, ou seja:
\begin{equation}
A = \frac{b \cdot h}{2}
\end{equation}

Área de um triângulo em função de dois lados e do seno do ângulo compreendido entre eles

Seja o triângulo $ABC$, representado na figura $6$, onde $\alpha$ é o ângulo interno do vértice $A$, $h$ é a altura relativa ao lado $\overline{AC}$ e $c$ é o lado oposto ao vértice $C$.



Do triângulo $AHB$, temos que:
\begin{equation}
\text{sen}(\alpha) = \frac{h}{c}
\end{equation}
Substituindo $(3)$ na relação $(2)$, obteremos que a área do triângulo $ABC$ será dada por:
\begin{equation}
A = \frac{b \cdot c \cdot \text{sen}(\alpha)}{2}
\end{equation}
Analogamente obtemos:
\begin{equation}
A=\frac{a \cdot c \cdot \text{sen}(\beta)}{2} \qquad \text{e} \qquad A=\frac{a \cdot b \cdot \text{sen}(\gamma)}{2}
\end{equation}

Área de um triângulo em função das medidas de seus lados e da medida do raio da circunferência inscrita

Seja o triângulo $ABC$, representado na figura abaixo, onde $a$, $b$ e $c$ são as respectivas medidas dos lados opostos aos vértices $A$, $B$ e $C$ e seja $r$ a medida do raio da circunferência de centro $O$, inscrita nesse triângulo.



Como a circunferência é inscrita ao triângulo $ABC$, os segmentos $\overline{OP}$, $\overline{OQ}$ e $\overline{OR}$ são as respectivas alturas dos triângulos $AOB$, $BOC$ e $AOC$ e medem $r$.

A área do triângulo $ABC$ é a soma das áreas $A_1$, $A_s$ e $A_3$ dos triângulos $AOB$, $BOC$ e $AOC$, respectivamente.
\begin{equation*}
A = A_1 + A_2 + A_3
\end{equation*}
Utilizando a relação $(2)$, obtemos:
\begin{equation}
A = \frac{c \cdot r}{2} + \frac{a \cdot r}{2} + \frac{b \cdot r}{2}\\
\ \\
A = \frac{r(a+b+c)}{2}
\end{equation}
No entanto, o semiperímetro $p$ do triângulo é dado por:
\begin{equation}
p = \frac{a+b+c}{2}
\end{equation}
Substituindo $(7)$ em $(6)$, obtemos:
\begin{equation}
A = r \cdot p
\end{equation}

Área de um triângulo em função das medidas dos lados e da medida do raio da circunferência circunscrita

Seja o triângulo $ABC$ inscrito à circunferência de centro $O$ e raio $R$, conforme representa a imagem abaixo:



Considerando a relação $(2)$, podemos escrever a área do triângulo $ABC$ como:
\begin{equation}
A = \frac{b \cdot h}{2}
\end{equation}
Para calcularmos a medida da altura $h$, construímos o triângulo $BCD$, onde $\overline{BD}=2R$. Assim:
\begin{equation*}
m(B \hat{H} A) = m(B \hat{C} D) = 90^\circ
\end{equation*}
Como os ângulos $\alpha$ são inscritos na circunferência e possuem o mesmo correspondente ângulo central $B\hat{O}C$, então:
\begin{equation*}
m(B\hat{A}C) = m(B\hat{D}C) = \frac{m(B\hat{O}C)}{2}
\end{equation*}
Como $\triangle AHB \sim \triangle BCD$, logo:
\begin{equation}
\frac{BH}{BC} = \frac{AB}{BD} \Longrightarrow \frac{h}{a} = \frac{c}{2R} \Longrightarrow h = \frac{a\cdot c}{2R}
\end{equation}
Substituindo $(10)$ em $(9)$, obtemos:
\begin{equation}
A = \frac{a\cdot b \cdot c}{4R}
\end{equation}

Exemplo $1$:

Dado um triângulo $ABC$, onde $\overline{BC} = 12\ cm$, $\overline{AC}=18\ cm$ e $m(A\hat{C}B)=30^\circ$, determinar a sua área.



Usaremos a fórmula dada em $(4)$:
\begin{equation*}
A = \frac{a \cdot b \cdot \text{sen}(\alpha)}{2}\\
\ \\
A = \frac{12 \cdot 18 \cdot \text{sen}(30^\circ)}{2}\\
\ \\
A = \frac{12 \cdot 18}{4}\\
\ \\
A = 54\ cm^2
\end{equation*}

Exemplo $2$:

A área de um triângulo $ABC$ é igual a $180\ cm^2$ e dois de seus lados medem $15\ cm$ e $21\ cm$. Determinar a medida do terceiro lado desse triângulo, sabendo que a medida do raio da circunferência inscrita a ele é de $6\ cm$.

Seja $x$ a medida do terceiro lado. Usemos a fórmula dada em $(8)$:
\begin{equation*}
A = r\cdot p
\end{equation*}
O semiperímetro $p$ do triângulo é dado por:
\begin{equation*}
p = \frac{x + 15 + 21}{2} = \frac{x + 36}{2}
\end{equation*}
Substituindo $p$, a área $A$ e o raio $r$ da circunferência inscrita, na relação anterior, obtemos:
\begin{equation*}
180 = 6\cdot \frac{x+36}{2}\\
\ \\
x = 24\ cm
\end{equation*}

Exemplo $3$:

Dado um triângulo $ABC$ inscrito a uma circunferência de centro $O$ e raio $R=4\ cm$, cujas medidas de seus lados medem $a=4\sqrt{2}\ cm$, $b=2(\sqrt{6}+\sqrt{2})$e $c=4\sqrt{3}$. Determinar a área do triângulo $ABC$.



Como temos as medidas dos lados e do raio da circunferência circunscrita ao triângulo, aplicams a fórmula dada em $(11)$:
\begin{equation*}
A = \frac{a\cdot b\cdot c}{4R}\\
\ \\
A = \frac{4\sqrt{2} \cdot 4 \sqrt{3} \cdot 2(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{16}\\
\ \\
A = 2(\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{2})\\
\ \\
A = 2(\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} + \sqrt{6}\cdot \sqrt{2})\\
\ \\
A = 2(6+\sqrt{12})\\
\ \\
A = 12+4\sqrt{3}\\
\ \\
A \approx 18,93\ cm^2
\end{equation*}

Referências:

[1] Matemática - Ciência e Aplicações - V2 - Gelson Iezzi et al. - Ed. Saraiva

Veja mais:

Teorema do ângulo inscrito
Pontos notáveis de um triângulo
O teorema de Pitágoras, segundo Euclides

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2 de set de 2015

Resolução da integral $\displaystyle \int \frac{x \pm 1}{x \mp 1}\ dx$

Nesta postagem, vamos provar que:
\begin{equation*}
\int \frac{x \pm 1}{x \mp 1}\ dx = x \pm \ln |x \mp 1 |+C
\end{equation*}
onde $x \in \mathbb{R}$ tal que $x \neq \pm 1$.



Vamos separar o integrando em duas funções distintas e mostrar o processo de integração de cada uma delas separadamente e no fim, podemos unir os resultados. Temos então que:
\begin{equation*}
f(x) = \frac{x+1}{x-1} \qquad \text{e} \qquad g(x)=\frac{x-1}{x+1}
\end{equation*}

Resolução da integral de $f(x)$


Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{x+1}{x-1}\ dx
\end{equation*}
Para o integrando, expandimos a divisão como:
\begin{equation*}
I = \int \left( \frac{2}{x-1}+1\right)\ dx
\end{equation*}
Integrando termo a termo:
\begin{equation*}
I = \int \frac{2}{x-1}\ dx + \int dx \\
\ \\
I = 2 \int \frac{1}{x-1}\ dx + \int dx
\end{equation*}
Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{x-1}$, fazemos a substituição $u=x-1$ e $du=dx$:
\begin{equation*}
I = 2\int \frac{1}{u}\ du + x
\end{equation*}
A integral de $1/u$ é $\ln(u)$:
\begin{equation*}
I = 2\ln(u) + x + C
\end{equation*}
Mas $u=x-1$, logo:
\begin{equation*}
I = x+2\ln |x-1|+C
\end{equation*}

Resolução da integral de $g(x)$


Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{x-1}{x+1}\ dx
\end{equation*}
Para o integrando, expandimos a divisão como:
\begin{equation*}
I = \int \left(1 - \frac{2}{x+1}\right)\ dx
\end{equation*}
Integrando termo a termo:
\begin{equation*}
I = \int dx -2\int \frac{1}{x+1}\ dx
\end{equation*}Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{x+1}$, fazemos a substituição $u=x+1$ e $du=dx$:
\begin{equation*}
I = x - 2\int \frac{1}{u}\ du
\end{equation*}
A integral de $1/u$ é $\ln(u)$:
\begin{equation*}
I = x - 2\ln(u) + C
\end{equation*}
Mas $u=x+1$, logo:
\begin{equation*}
I = x-2\ln |x+1|+C
\end{equation*}

Analisando os dois resultados obtidos, podemos escrever:
\begin{equation*}
\int \frac{x \pm 1}{x \mp 1}\ dx = x \pm 2 \ln|x\mp 1|+C
\end{equation*}

Exemplo

Calcular a área hachurada entre as curvas $\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ e $\displaystyle g(x)=\frac{x-1}{x+1}$.


Para sabermos os limites de integração, primeiramente devemos analisar as curvas para determinarmos em quais pontos elas cortam os eixos dos $x$ e dos $y$.

O ponto em que a curva corta o eixo dos $x$ é a raiz da função e para determinarmos esse ponto, basta igualarmos a função a zero, ou seja, fazemos $y=0$. Assim:
\begin{equation*}
f(x)=\frac{x+1}{x-1}\ \Longrightarrow \ 0=\frac{x+1}{x-1}\ \Longrightarrow x=-1
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
g(x)=\frac{x-1}{x+1}\ \Longrightarrow \ 0=\frac{x-1}{x+1}\ \Longrightarrow x=1
\end{equation*}
Estas são as raízes. Para sabermos o ponto em que as curvas cortam o eixo dos $y$, basta fazermos $x=0$:
\begin{equation*}
f(x) = \frac{1}{-1}\ \Longrightarrow \ y=-1
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
g(x)=\frac{-1}{1}\ \Longrightarrow \ y=-1
\end{equation*}
As duas funções cortam o eixo dos $y$ no ponto $y=-1$.

A área procurada é dada pela soma das áreas sobre as curvas $f(x)$ no intervalo $[-1,0]$ e $g(x)$ no intervalo $[0,1]$. Desta forma, vamos calcular cada uma das áreas separadamente e somá-las para obter a área total.

Vamos calcular primeiro a área sobre a curva $f(x)$:
\begin{equation*}
A_{f(x)} = \int _{-1}^{0} \frac{x+1}{x-1}\ dx\\
\ \\
A_{f(x)} =\left[ x+2\ln |x-1| \right]_{-1}^0\\
\ \\
A_{f(x)} =2\ln (-1)-2\ln (-2)+1\\
\ \\
A_{f(x)} =2\ln \left( \frac{1}{2} \right)+ 1\\
\ \\
A_{f(x)} =\ln \left(\frac{1}{4}\right)+1\\
\ \\
A_{f(x)} \approx -0,38629
\end{equation*}

Agora, vamos calcular a área sobre a curva $g(x)$:
\begin{equation*}
A_{g(x)} = \int _{0}^{1} \frac{x-1}{x+1}\ dx\\
\ \\
A_{g(x)} =\left[ x-2\ln |x+1| \right]_0^1\\
\ \\
A_{g(x)} =1 - 2\ln (2)-2\ln (1)\\
\ \\
A_{g(x)} =1+2\ln \left( \frac{1}{2} \right)\\
\ \\
A_{g(x)} =1+\ln(2^{-1}) \\
\ \\
A_{g(x)} = 1-\ln(2)\\
\ \\
A_{g(x)} \approx -0,38629
\end{equation*}

A área total é dada pela soma:
\begin{equation*}
A = A_{f(x)}+A_{g(x)}\\
A= -0,38629-0,39629\\
A=-0,772588
\end{equation*}

Não existe área negativa. Este sinal de negativo que encontramos após a integração, quer dizer apenas que a área encontrada localiza-se abaixo do eixo dos $x$. Assim, a área procurada é:
\begin{equation*}
A=0,772588\ u.a.
\end{equation*}

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Veja mais:

Lista de resolução de integrais
Integração por substituição
Integração por partes

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