31 de jan de 2015

Área de Polígonos Regulares

Um polígono é dito regular se tiver todos os seus lados e ângulos iguais, sejam eles internos ou externos.

Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência, sendo o centro da circunferência, o centro do polígono. Unindo o centro do polígono a cada um de seus vértices, decompomos o polígono em triângulos isósceles.

O segmento que une o centro do polígono ao ponto médio de seus lados é chamado de apótema.

A partir dessas informações, podemos encontrar a fórmula para a área de qualquer polígono regular.

Vamos considerar um polígono regular qualquer:


[Figura 1]

Sejam $\ell$ a medida do lado, $m$ a medida do apótema, $n$ o número de lados do polígono e seja $p$ o semiperímetro .

Podemos decompor um polígono regular em $n$ triângulos de base $\ell$ e altura $m$. Desta forma, a área de cada triângulo será:
\begin{equation}
A_T=\frac{\ell \cdot m}{2}
\end{equation}
e a área do polígono será o produto da área do triângulo $A_T$ pelo número $n$ de lados:
\begin{equation}
A_{pol}=n \cdot A_T = \frac{n \cdot \ell \cdot m}{2}
\end{equation}
No entanto, o semiperímetro $p$ do polígono é dado por:
\begin{equation}
p=\frac{n \cdot \ell}{2}
\end{equation}
Substituindo $(3)$ em $(2)$, obtemos:
\begin{equation}
A_{pol}=\frac{2\cdot p \cdot m}{2}
\end{equation}
Assim, a área de um polígono regular é dado pelo produto entre seu semiperímetro $p$ pelo seu apótema $m$:
\begin{equation}
A_{pol}=p\cdot m
\end{equation}

Exemplo $1$:

Determinar a área de um hexágono cujo apótema mede $\displaystyle 2\sqrt{3} \: cm$.


[Figura 2]

Como o hexágono pode ser dividido em seis triângulos equiláteros, para calcularmos a medida $\ell$ de seus lados, aplicamos o teorema de Pitágoras no triângulo $BOC$:


[Figura 3]

\begin{equation*}
\ell ^2 = \frac{\ell ^2}{4} + m^2\\
\ell^2 - \frac{\ell ^2}{4} = m^2\\
\frac{3\ell ^2}{4} = m^2\\
\ell^2 = \frac{4m^2}{3}\\
\ell = \sqrt{\frac{4m^2}{3}}
\end{equation*}
Substituindo o apótema $m=2\sqrt{3}$:
\begin{equation*}
\ell = \sqrt{\frac{4(2\sqrt{3})^2}{3}}\\
\ell = \sqrt{\frac{4\cdot 4 \cdot 3}{3}}\\
\ell = 4 \:cm
\end{equation*}
Assim, o semiperímetro será:
\begin{equation*}
p=\frac{6\ell}{2} = \frac{6\cdot 4}{2} = 12 \: cm
\end{equation*}
e a área do hexágono será:
\begin{equation*}
A_{pol} = p\cdot m = 12 \cdot 2\sqrt{3}=24\sqrt{3}\approx 41,57\:cm
\end{equation*}

Fórmula para a área de alguns polígonos regulares

A partir da relação $(5)$, podemos determinar a fórmula para a área de alguns polígonos regulares. Veremos apenas alguns, mas o raciocínio segue para os demais.

Triângulo equilátero

A área do triângulo é dada pelo semiproduto da base por sua altura: $\displaystyle A_{pol}=\frac{\ell h}{2}$.


[Figura 4]

O ponto $O$ é o baricentro do triângulo $\triangle ABC$, de modo que:
\begin{equation*}
m=\frac{1}{3} \overline{DA} = \frac{1}{3} h
\end{equation*}
Sendo o semiperímetro $\displaystyle p=\frac{3\ell}{2}$, temos que:
\begin{equation*}
A_{pol} = p\cdot m = \frac{3\ell}{2} \cdot \frac{1}{3}h = \frac{\ell h}{2}
\end{equation*}

Quadrado

A área do quadrado é dada pelo produto de dois de seus lados adjacentes: $\displaystyle A_{pol}=\ell^2$.


[Figura 5]

O ponto $O$ é o centro do quadrado $ABCD$ de lados $\ell$. Decompondo em triângulos isósceles, tomamos o triângulo $\triangle AOB$. Assim:
\begin{equation*}
m=\overline{OE} = \frac{\ell}{2}
\end{equation*}
O semiperímetro é $p=2\ell$ e a área do polígono será:
\begin{equation*}
A_{pol}=p\cdot m=2\ell \cdot \frac{\ell}{2}=\ell ^2
\end{equation*}

Hexágono

A área do hexágono é dada por $\displaystyle A_{pol}=\frac{3\ell ^2 \sqrt{3}}{2}$.


[Figura 6]

O ponto $O$ é o centro do hexágono $ABCDEF$, por onde o decompomos em seis triângulos equiláteros. Tomando o triângulo $\triangle AOB$ temos que:
\begin{equation*}
m=\overline{OG}=\frac{\ell \sqrt{3}}{2}
\end{equation*}
e o semiperímetro será $p=3\ell$. Assim:
\begin{equation*}
A_{pol} = p\cdot m = 3\ell \cdot \frac{\ell \sqrt{3}}{2} = \frac{3\ell ^2 \sqrt{3}}{2}
\end{equation*}

Octógono

A área do octógono regular é dada por $\displaystyle 2\ell^2 (1+\sqrt{2})$.


[Figura 7]

O ponto $O$ é o centro do octógono, por onde o decompomos em $8$ triângulos isósceles. O semiperímetro será $p=4\ell$.

O prolongamento dos lados não adjacentes do octógono forma um quadrado $DEFG$ .Vamos agora escrever os lados dos triângulos formados nos vértices desse quadrado, denotados por $a$, em função do lado $\ell$ do octógono.



[Figura 8]

Aplicando o teorema de Pitágoras:
\begin{equation*}
\ell^2 = 2a^2 \Longrightarrow a=\frac{\ell \sqrt{2}}{2}
\end{equation*}
Vejam que $\displaystyle m=\frac{\overline{EF}}{2}$ e $\overline{EF}=\ell +2a$. Assim:
\begin{equation*}
m=\frac{\ell + 2a}{2} = \frac{\ell}{2}+a = \frac{\ell}{2} + \frac{\ell \sqrt{2}}{2} = \frac{\ell (1+\sqrt{2})}{2}
\end{equation*}
A área do octógono será:
\begin{equation*}
A_{pol} = p\cdot m = 4\ell \cdot \frac{\ell(1+\sqrt{2})}{2} = 2\ell^2 (1+\sqrt{2})
\end{equation*}

Apesar de obtermos qualquer área de um polígono regular com a fórmula geral $A_{pol} = p\cdot m$, as deduções acima nos fornecem as áreas dos polígono somente em função de seu lado, o que por vezes pode ser muito mais útil.

Referências

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce & Nicolau Pompeo

Veja mais

Como determinar o ângulo interno de um polígono regular
Soma dos ângulos internos e externos de um polígono convexo
Como determinar o número de diagonais de um polígono convexo de $N$ lados

Imprimir

22 de jan de 2015

Teorema do Quadrilátero Circunscritível

Este artigo trata do quadrilátero circunscrito a uma circunferência. Veremos a condição necessária e suficiente, algumas propriedades e teoremas interessantes e alguns exercícios resolvidos.


Teorema $1$:

Se conduzirmos por um ponto $P$ os segmentos $\overline{PA}$ e $\overline{PB}$, ambos tangentes a uma circunferência $\lambda$, em $A$ e $B$ respectivamente, então $\overline{PA}$ é congruente a $\overline{PB}$:
\begin{equation}
\overline{PA} \equiv \overline{PB}
\end{equation}
Por hipótese temos que $\overline{PA}$ e $\overline{PB}$ são tangentes a $\lambda$, sendo $A$ e $B$ $\in$ $\lambda$. De modo que temos $\overline{PA} \equiv \overline{PB}$.


[Figura 1]

Observando a figura acima, nota-se que os triângulos $\triangle PAO$ e $\triangle PBO$ são congruente, já que compartilham a mesma hipotenusa e um de seus catetos possuem a mesma medida, que são iguais ao raio da circunferência $\lambda$. Assim, $\overline{OP}$ é a hipotenusa de cada triângulo e $\overline{OA} \equiv \overline{OB}$ são os catetos:
\begin{equation}
\triangle PAO \equiv \triangle PBO \Longrightarrow \overline{PA} \equiv \overline{PB}
\end{equation}
Esta demonstração é importante para o que veremos a seguir.

Definição $1$: Quadrilátero circunscrito

Um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência se, e somente se, seus quatro lados são tangentes à circunferência.


[Figura 2]

Na figura acima, o quadrilátero $ABCD$ está circunscrito à circunferência $\lambda$ e cada segmento que constituem seus lados são tangentes nos pontos $X$, $Y$, $Z$ e $W$.

Teorema $2$:

Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois.

Esse teorema nos diz que se, por hipótese, o quadrilátero $ABCD$ é circunscrito à circunferência $\lambda$, então temos que:
\begin{equation}
\overline{AB}+\overline{CD} = \overline{AD}+\overline{BC}
\end{equation}
Utilizando os dados obtidos no teorema $1$, sobre a propriedade dos segmentos tangentes, podemos utilizar o raciocínio no quadrilátero circunscrito representado na figura acima, de modo que $X$, $Y$, $Z$ e $W$ são os pontos de tangência dos segmentos $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ e $\overline{DA}$, respectivamente. Assim, temos:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
\overline{AX} & \equiv & \overline{AW}  \\
\overline{BY} & \equiv & \overline{BX} \\
\overline{CZ} & \equiv & \overline{CY} \\
\overline{DW} & \equiv & \overline{DZ}
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Somando membro a membro, obtemos:
\begin{equation}
\overline{AX} + \overline{BX} +\overline{CZ}+\overline{DZ} = \overline{AW}+\overline{BY}+\overline{CY}+\overline{DW}
\end{equation}No entanto:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
\overline{AX}& + & \overline{BX} &=& \overline{AB}\\
\overline{CZ}& + & \overline{DZ} &=& \overline{CD}\\
\overline{AW}& + & \overline{DW} &=& \overline{AD}\\
\overline{BY}& + & \overline{CY} &=& \overline{BC}
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Fazendo as devidas substituições, chega-se a:
\begin{equation}
\overline{AB}+\overline{CD}=\overline{AD}+\overline{BC}
\end{equation}

Exercício $1$:

Determinar o perímetro do quadrilátero $ABCD$, circunscrito:


[Figura 3]

Temos que:
\begin{equation*}
(3p+1) + (p+1) = 3p + 2p\\
4p+2 = 5p\\
p=2
\end{equation*}
Assim, cada lado medirá:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
\overline{AB}& + & 3p+1 &=& 7\\
\overline{BC}& + & 2p &=& 4\\
\overline{CD}& + & p+1 &=& 3\\
\overline{DA}& + & 3p &=& 6
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
E o perímetro será:
\begin{equation*}
\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA}=7+4+3+6=20
\end{equation*}

Exercício $2$:

O quadrilátero $ABCD$ é circunscritível e seus lados medem $\overline{DA}=12cm$, $\overline{CD}=9cm$, $\overline{BC}=x+7$ e $\overline{AB}=2x+1$. Determine seu perímetro.


[Figura 4]

Fazemos:
\begin{equation*}
2x+1+9=x+7+12\\
2x+10=x+19\\
x=9
\end{equation*}
O perímetro será:
\begin{equation*}
\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA}=19+16+9+12=56cm
\end{equation*}

Exercício $3$:

Calcular o valor do raio da circunferência inscrita no trapézio retângulo.


[Figura 5]

Temos que $\overline{AB}=2r$, Assim:
\begin{equation*}
2r+13=10+15\\
2r=12\\
r=6 u.m.
\end{equation*}

Exercício $4$:

A diferença de dois lados opostos de um quadrilátero circunscritível é igual a $8cm$ e a diferença dos outros dois lados é $4cm$. Determine os lados do quadrilátero sendo $56cm$ a sua soma.

Analisando o problema, podemos construir a imagem abaixo, utilizando da propriedade dos segmentos tangentes, podemos subdividir cada lado do quadrilátero em duas partes, como segue:


[Figura 6]

Da figura acima, obtemos:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
(x+y)-(z+w)&=&8&\quad (1)\\
(y+z)-(w+x)&=&4& \quad (2)\\
x+y+z+w &=&28&\quad (3)
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
De $(1)$, temos que:
\begin{equation*}
x+y=8+z+w
\end{equation*}
Substituindo em $(3)$, obtemos:
\begin{equation*}
8+z+w+z+w=28\\
z+w=10 = \overline{CD}
\end{equation*}
substituindo em $(1)$, obtemos:
\begin{equation*}
x+y=18 = \overline{AB}
\end{equation*}
De $(2)$, temos que:
\begin{equation*}
y+z=4+x+w
\end{equation*}
Substituindo em $(3)$, obtemos:
\begin{equation*}
4+x+w+x+w=28\\
x+w=12 = \overline{DA}
\end{equation*}
Substituindo em $(2)$, obtemos:
\begin{equation*}
y+z-12=4\\
y+z=16=\overline{BC}
\end{equation*}
Portanto, as medidas dos segmentos do quadrilátero são:
\begin{equation*}
\overline{AB}=18cm\\
\overline{BC}=16cm\\
\overline{CD}=10cm\\
\overline{DA}=12cm
\end{equation*}
Podemos verificar o resultado:
\begin{equation*}
18+10=16+12\\
28=28
\end{equation*}

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce & Nicolau Pompeo

Veja mais:

Teorema do quadrilátero inscritível
Teorema do Ângulo Inscrito
Quadriláteros Notáveis

Imprimir

1 de jan de 2015

Retrospectiva: Os $10$ posts mais acessados em $2014$

Neste findado ano de $2014$ o blog O Baricentro da Mente teve um pouco mais de $574.000$ acessos. Dentre os $421$ posts, destaco os $10$ mais acessados. Aproveito para agradecer a todos que prestigiam meu trabalho, seja acessando o blog, comentando, curtindo ou compartilhando os posts aqui e no Facebook. Isso é o que me faz manter as publicações. Obrigado!






1º Lugar: Escalonamento ou método de eliminação de Gauss

Total de acessos: $27.281$
Link do artigo: http://goo.gl/fqmZYm


2º Lugar: Integração por frações parciais - Fatores lineares

Total de acessos: $24.760$
Link do artigo: http://goo.gl/o2eFyM

Lugar: Como determinar o Ângulo interno de um polígono regular

Total de acessos: $21.460$ 
Link do artigo: http://goo.gl/me1glj

Lugar: Aplicação de derivadas para determinação de máximos e mínimos

Total de acessos: $16.720$ 
Link do artigo: http://goo.gl/m63iyp

Lugar: Soma dos ângulos internos e externos de um polígono convexo

Total de acessos: $15.210$
 Link: http://goo.gl/hEvPwH

Lugar: Como determinar o número de diagonais de um polígono convexo de $N$ lados

Total de acessos: $12.438$ 
Link: http://goo.gl/1C1h2L

Lugar: Fórmula para calcular o tamanho do sapato

Total de acessos: $12.394$
Link: http://goo.gl/gFsRXn

8º Lugar: Demonstração da derivada da função logarítmica

Total de acessos: $11.836$ 
Link: http://goo.gl/yNcjur

Lugar: Demonstração da fórmula do volume da esfera

Total de acessos: $8.990$ 
Link: http://goo.gl/emiSUH

10º Lugar: Como calcular o comprimento de um segmento de curva

Total de acessos: $8.503$ 
Link: http://goo.gl/PYQ6VD 

Vejam a lista de todos os artigos publicados: http://goo.gl/f1sOLi


Redes Sociais

Arquivo do Blog