24 de jul de 2015

Resolução da integral $\displaystyle \int \text{sen}(ax)dx$

Nesta postagem, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int \text{sen}(ax)dx = - \frac{\cos(ax)}{a}+C
\end{equation*}
onde $a \in \mathbb{R}$ e $a\neq 0$.



Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \text{sen}(ax)dx
\end{equation*}
Para o integrando $\text{sen}(ax)$, fazemos a substituição $u=ax$. Assim, $du=a\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{a}du$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \int \text{sen}(u) du
\end{equation*}
A integral de $\text{sen}(u)$ é $-\cos(u)$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \left(-\cos(u)\right) + C
\end{equation*}
Mas $u=ax$. Logo:
\begin{equation*}
I = -\frac{\cos(ax)}{a} + C
\end{equation*}

Exemplo:

Calcular a área sob a curva $f(x)=\text{sen}(3x)$, no intervalo de $0$ a $\pi / 4$.


Resolução: Pela demonstração acima, sabemos que:
\begin{equation*}
\int \text{sen}(3x) dx = - \frac{\cos(3x)}{3}+C
\end{equation*}
Para obtermos a área sob a curva entre o limites de integração solicitados, fazemos:
\begin{equation*}
A = \int_0^{\pi/4} \text{sen}(3x)dx = - \left[ \frac{\cos(3x)}{3} \right]_0^{\pi /4} = -\left[ \frac{\cos \left(\frac{3\pi}{4}\right)}{3} - \frac{\cos(0)}{3} \right]
\end{equation*}
O cosseno de $\displaystyle \frac{3\pi}{4}$ é o cosseno do ângulo de $135^\circ$ que vale $\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2}$, e o cosseno de $0$ vale $1$. Assim:
\begin{equation*}
A = - \left[ -\frac{\sqrt{2}}{6}-\frac{1}{3} \right] = \frac{\sqrt{2}+2}{6} \approx 0,56904
\end{equation*}

Resposta: A área sob a curva $f(x)=\text{sen}(3x)$, no intervalo de $0$ a $\pi / 4$ vale aproximadamente $0,56904 \ u.a.$.

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Veja mais:

Lista de resolução de integrais
Integração por substituição
Integração por partes

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