26 de abr de 2015

Relações métricas no triângulo retângulo

O triângulo retângulo possui diversas relações interessantes. Neste artigo veremos algumas relações métricas utilizando semelhança de triângulos.



Primeiramente, vamos relembrar algumas definições que serão importantes nas deduções que seguem:

Definição $1$: Triângulo retângulo

Um triângulo é chamado de triângulo retângulo se possuir um ângulo interno reto. O lado oposto ao ângulo reto recebe o nome de hipotenusa e os outros dois lados que formam o ângulo reto são chamados de catetos.


Definição $2$: Semelhança de triângulos

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, existe uma correspondência biunívuca, que associa os três vértices de um triângulo aos três vértices do outro triângulo, tais que:

$a)$ ângulos com vértices correspondentes são congruentes;
$b)$ Lados opostos a vértices correspondentes são iguais.



\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DEF \Longleftrightarrow \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF} ~~\text{e} ~\left\{\begin{matrix}
\hat{A} & \cong  & \hat{D}\\
\hat{B} & \cong & \hat{E}\\
\hat{C} & \cong & \hat{F}
\end{matrix}\right.
\end{equation*}

Seja o triângulo $ABC$, reto em $\hat{A}$:


Temos que:

$\bullet$ $a$ é a hipotenusa;
$\bullet$ $b$ e $c$ são os catetos;
$\bullet$ $h$ é a altura do triângulo relativa à hipotenusa;
$\bullet$ $m$ é a projeção ortogonal do cateto $c$ sobre a hipotenusa;
$\bullet$ $n$ é a projeção ortogonal do cateto $b$ sobre a hipotenusa.

Demonstrações:

Para as demonstrações que seguem, vamos separar o triângulo $ABC$ em dois triângulos. Assim, teremos três triângulos semelhantes:



de modo que:
\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DAB \sim \triangle DAC
\end{equation*}

$\bullet$ O triângulo $ABC$ é semelhante ao triângulo $DBA$:
\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DBA \Longleftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{h} = \frac{c}{m}
\end{equation*}
Assim:
\begin{gather}
ah = bc \\
c^2 = am \\
bm = ch
\end{gather}

$\bullet$ O triângulo $ABC$ é semelhante ao triângulo $DAC$:
\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DAC \Longleftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{b}{n} = \frac{c}{h}
\end{equation*}
Assim:
\begin{gather}
ah = bc \\
b^2 = an \\
bh = cn
\end{gather}

$\bullet$ O triângulo $DAB$ é semelhante ao triângulo $DAC$:
\begin{equation*}
\triangle DAB \sim \triangle DAC \Longleftrightarrow \frac{c}{b} = \frac{h}{n} = \frac{m}{h}
\end{equation*}
Assim:
\begin{gather}
cn = bh \\
bm = ch\\
h^2 = mn
\end{gather}

Somando membro a membro as relações $(2)$ e $(5)$ obtemos:
\begin{equation*}
b^2 +c^2 = an+am \\
b^2+c^2 = a(m+n)
\end{equation*}
No entanto,as projeções ortogonais $m$ e $n$ dos catetos $b$ e $c$ sobre a hipotenusa $a$, tem comprimento igual a $m+n=a$. Assim, chegamos ao Teorema de Pitágoras:
\begin{equation}
b^2+c^2 = a^2
\end{equation}

Exemplo $1$:

Determinar as medidas $a$, $h$, $m$ e $n$ no triângulo $ABC$ abaixo:



Da relação $(10)$, temos que:
\begin{equation*}
a^2=b^2+c^2 \Rightarrow a^2=3^2+4^2 \Rightarrow a^2=25 \Rightarrow a=5
\end{equation*}
Da relação $(4)$, temos que:
\begin{equation*}
ah=bc \Rightarrow 5h=3\cdot 4 \Rightarrow h = \frac{12}{5}
\end{equation*}
Da relação $(2)$, temos que:
\begin{equation*}
c^2=am \Rightarrow 3^2 = 5m \Rightarrow m=\frac{9}{5}
\end{equation*}
Da relação $(5)$, temos que:
\begin{equation*}
b^2=an \Rightarrow 4^2=5n \Rightarrow n=\frac{16}{5}
\end{equation*}
Assim, os valores procurados são: $a=5$, $\displaystyle \frac{12}{5}$, $\displaystyle m=\frac{9}{5}$ e $\displaystyle n=\frac{16}{5}$.

Exemplo $2$:

Calcular a altura relativa à base $\overline{BC}$ do triângulo isósceles abaixo:



Como o triângulo é isósceles,  altura $h$ divide o segmento $\overline{BC}$ em duas partes iguais. Assim, $\overline{BD}=\overline{CD}=4$. Aplicamos, então, o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo $DAC$:
\begin{equation*}
5^2=4^2+h^2 \Rightarrow h^2=9 \Rightarrow h=3
\end{equation*}
A medida procurada é $h=3$.

Exemplo $3$:

Num triângulo isósceles $ABC$, de lados iguais a $\overline{AB}=\overline{AC}=5$ e $\overline{BC}=8$, calcular a distância entre o ponto médio $M$ do segmento $\overline{BC}$ e um dos catetos.

Podemos representar o problema como a imagem abaixo:


Lembrando que a distância de um ponto a uma reta é o segmento que une o ponto à reta sendo perpendicular a ela. Na figura está representada pelo segmento $d=\overline{MN}$.

Primeiramente, vamos encontrar a medida $h$, utilizando-se do fato do triângulo ser isósceles. Assim, o segmento $\overline{CM}=4$. Aplicamos o teorema de Pitágoras:
\begin{equation*}
5^2 = 4^2 + h^2 \Rightarrow h^2 = 9 \Rightarrow h = 3
\end{equation*}
Agora, podemos aplicar a relação $(1)$ no triângulo $ACM$ para encontrarmos o segmento $d$:
\begin{equation*}
5d=3\cdot 4 \Rightarrow 5d = 12 \Rightarrow d = \frac{12}{5}
\end{equation*}
Assim, a medida procurada é $d=12/5$.

Referências:

[1] Matemática Volume Único - Manoel Paiva - Ed. Moderna

Veja mais:

Pontos notáveis de um triângulo
Teorema da base média de um triângulo
O Teorema de Pitágoras, segundo Euclides


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3 comentários:

  1. Parabéns. Muito bacana este trabalho.

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  2. Se eu for colocar referência no meu trabalho, eu tenho que colocar também a referência que foi usada pelo site?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Gustavo.

      Em tese não precisaria, pois se vierem conferir aqui no blog, veriam as referencias deste artigo. Por outro lado, nem tudo das referências estão no artigo e nem tudo do artigo se encontra nas referências. Beja o que ache melhor. Obrigado pelo comentário. Abs.

      Excluir

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$$a^2+b^2=c^2$$
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