22 de nov de 2014

A Conjectura de Beal - Casos Particulares

Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)  

É impressionante a quantidade de problemas na teoria dos números de fácil entendimento, mesmo para os não matemáticos, e de soluções extremamente complicadas, mesmo para os matemáticos. Isso quando elas existem. Não poderia deixar de citar dois dos mais conhecidos: o Último Teorema de Fermat e a Conjectura de Goldbach. O primeiro deles foi resolvido em $1994$, pelos matemáticos Andrew Wiles e Richard Taylor, e o segundo possui apenas soluções parciais.

É justamente sobre um problema de fácil entendimento e ainda sem solução que vamos falar nos próximos parágrafos. Em geral, esse tipo de problema é chamado de conjectura ou de problema em aberto.


Andrew Beal, banqueiro e entusiasta da teoria dos números, está oferecendo o prêmio de 1 milhão de dólares para quem provar ou apresentar um contra-exemplo para um problema que generaliza o Último Teorema de Fermat. Segundo as próprias palavras do banqueiro, em um comunicado à imprensa da American Mathmatical Society, o objetivo do prêmio milionário é "inspirar as mentes jovens a refletir sobre a questão e torná-las mais interessadas no estudo da matemática".

O problema foi proposto pelo próprio Beal em $1993$, mas só ficou bem conhecido mesmo pela comunidade matemática em $1997$ após R. D. Mauldin publicar o artigo A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem no periódico Notices of the American Mathematical Society. Daí o problema de Beal ficou conhecido como Conjectura de Beal. Afinal, o que diz a conjectura?

Conjectura de Beal:

Se $a^x + b^y = c^z$, onde $a$, $b$, $c$, $x$, $y$ e $z$ são inteiros positivos e $x, y, z \geq 3$, então $a$, $b$ e $c$ têm um fator primo comum - o que significa que $a$, $b$ e $c$ são divisíveis por um mesmo número primo.

Uma outra forma equivalente de enunciar a Conjectura de Beal seria:

A equação $a^x + b^y = c^z$ não tem solução para inteiros positivos com $x, y, z \geq 3$ e o $mdc(a,b,c)=1$.

Esse problema tem despertado a curiosidade de matemáticos nos últimos $17$ anos, inclusive do próprio Beal, que, como dito acima, é um apaixonado pela matemática.

Falaremos agora um pouco mais do problema em si. Primeiro, note que a igualdade $3^3 + 6^3 = 3^5$ não é um contra exemplo para a conjectura, visto que os números $a = 3$, $b = 6$ e $c = 3$ tem um fator primo comum, que é o primo $3$.

"[...] em $1995$, Darmon e Granville mostraram que os inteiros positivos $x$, $y$ e $z$ são tais que:
\begin{equation*}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} < 1
\end{equation*}
então existe somente uma quantidade finita de tripla $(a,b,c)$ de inteiros primos entre si que satisfazendo a equação $a^x+b^y=c^z$. Ora, dado que cada um dos inteiros $x$, $y$ e $z$ são maiores do que $2$, então:
\begin{equation*}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} < 1
\end{equation*}
a menos que $x=y=z=3$. Mas Euler, e possivelmente Fermat, sabia(m) que não há soluções neste caso. Assim, para cada tripla $x$, $y$ e $z$ de inteiros, todos maiores do que $2$, só pode haver apenas uma quantidade finita de soluções para a equação diofantina  $a^x + b^y = c^z$. –  R. D. Mauldin. A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem. Notices of the American Mathematical Society. $44$, $1436-1437$, $1997$."

Um contra exemplo à conjectura de Beal, seria encontrar uma solução em inteiros da equação $a^x + b^y = c^z$ com todos os expoentes maiores que dois, sem existir um fator primo comum à $a$, $b$ e $c$. Por exemplo, a equação $2^5 + 7^2 = 3^4$ não é um contra exemplo, mesmo sendo $mdc(2, 7, 3) = 1$, haja vista que os expoentes de $a$, $b$ e $c$ não são todos maiores que $2$.

A equação $27^2 + 18^3 = 81^2$ também não é um contra exemplo, haja vista que o $mdc(27, 18, 81) = 3 > 1$, além de os expoentes de $a$, $b$ e $c$ não são todos maiores que $2$.

A seguir vamos mostrar, por meio do teorema de Sebá, os dois casos particulares para os quais a conjectura de Beal é verdadeira.

Teorema de Sebá:

A equação $a^n+b^n = c^m$ tem solução em inteiros positivos para $n$ e $m$ primos entre si.

Demonstração:

Seja $a^n+b^n=c^m$, com $a$, $b$, $c$, $n$ e $m$ inteiros positivos. Multiplicando ambos os membros de $a^n+b^n=c^m$ por $(a^n+b^n)^m$, obtém-se:
\begin{equation}
(a^n+b^n)(a^n+b^n)^m = (a^n+b^n)^m c^m
\end{equation}
Como $c^m=a^n+b^n$, logo, substituindo o valor de $c^m$ na relação $(1)$, obtém-se:
\begin{equation*}
(a^n+b^n)(a^n+b^n)^m = (a^n+b^n)^{m+1}
\end{equation*}
ou
\begin{equation}
a^n( a^n+b^n)^m + b^n(a^n+b^n)^m = (a^n + b^n)^{m+1}
\end{equation}
Na relação $(2)$, $a^n+b^n$ é o fator primo comum a $a$, $b$ e $c$. Se escolhermos valores para $a$ e $b$ tal que $a \leq b$ ou $a \geq b$, e substituirmos na $(2)$, obtém-se infinitas soluções em inteiros positivos com fator primo comum a $a$, $b$ e $c$.

Façamos os mesmo para a Conjectura de Beal: multiplicando ambos os membros da equação de Beal por $(a^x+b^y)^m$, obtém-se:
\begin{equation}
(a^x+b^y)^m (a^x+b^y) = c^z(a^x+b^y)^m
\end{equation}
Como $c^z = a^x+b^y$, logo, substituindo em $(3)$, vem que:
\begin{equation*}
(a^x+b^y)^m (a^x+b^y)=(a^x+b^y)^m(a^x+b^y)
\end{equation*}
ou
\begin{equation}
(a^x+b^y)^m (a^x+b^y)^m=(a^x+b^y){m+1}
\end{equation}
Na $(4)$, $a^x+b^y$ é o fator primo comum à $a$, $b$ e $c$, haja vista que $a^x+b^y$ divide $(a^x+b^y)^m$.

Segundo Euler, "se temos um problema e se não for possível resolvê-lo imediatamente, é prudente estimar sua dificuldade analisando alguns casos particulares". É o que veremos a seguir.

Dois casos particulares para a veracidade da Conjectura de Beal

Caso $1$: Se $x=y$ e $mdc(x,y,z)=1$

Exemplos:

$\bullet$  $a^3  +  b^3  =  c^{4,5,7,8,10,11,\cdots}$

$\bullet$  $a^4  +  b^4 =  c^{3,5,7,9,11,13, \cdots}$

$\bullet$  $a^5  +  b^5 =  c^{2,3,4,6,7,8,\cdots}$


Caso $2$: se $x \neq y$ e $mdc(x,y,z)=1$

Exemplos:

$\bullet$ $a^3+b^4=c^{5,7,11,13, 17,19,\cdots}$ ou $a^{12}+b^{12}=c^{5,7,11,13, 17,19,\cdots}$ ou $(a^4)^3+(b^3)^4=c^{5,7,1,13,17,19,\cdots}$

$\bullet$ $a^3+b^5=c^{4,7,8,10, 11,13,\cdots}$ ou $a^{15}+b^{15}=c^{4,7,8,10,11,13,\cdots}$ ou  $(a^5)^3+(b^3)^5=c^{4,7,8,10,11,13,\cdots}$

$\bullet$ $a^3+b^6=c^{5,7,8,10,11,12,\cdots}$ ou $a^{18}+b^{18}=c^{5,7,8,10,11,12,\cdots}$ ou $(a^6)^3+(b^3)^6=c^{5,7,8,10,11,13,\cdots}$

Método de resolução da Equação de Beal para os dois casos

Caso $1$: $a^3+b^3=c^4$

Como o expoente de $a$ e $b$ é $3$, logo, substituindo na $(4)$ $x$ e $y$ por $3$, obtém-se:
\begin{equation}
a^3(a^3+b^3)^m + b^3(a^3+b^3)^m=(a^3+b^3)^{m+1}
\end{equation}
Como na equação, $a^3 + b^3 = c^4$, o membro da esquerda tem expoente $3$ e o da direita,  expoente $4$, logo, temos que encontrar dois números $m$ e $m + 1$ que seja possível decompor m em potência de $3$ e $m + 1$ em potência de $4$. Isso só será possível se $m$ e $m + 1$ forem, respectivamente, múltiplo de $3$ e $4$. Logo, $m = 12k – 9$ e $m + 1 = 12k – 8$.

Substituindo os valores de $m$ e $m + 1$ na $(5)$, vem:
\begin{equation}
a^3(a^3+b^3)^{12k-9} + b^3(a^3+b^3)^{12k-9} = (a^3+b^3)^{12k-8}
\end{equation}
Seja $k=a=b=1$. Substituindo os valores de $k$, $a$ e $b$ na $(6)$, vem que:
\begin{equation*}
1^3(1^3+1^3)^3 + 1^3(1^3+1^3)^3 = (1^3+1^3)^4\\
2^3+2^3=2^4\\
8+8=16
\end{equation*}
Solução: $a=b=c=2$ (fator primo comum: $2$).

Se escolhermos, por exemplo, $k=a=1$ e $b=2$, e substituirmos na $(6)$, obteremos:
\begin{equation*}
1^3(1^3+2^3)^3 + 2^3(1^3+2^3)^3 = (1^3+2^3)^4\\
9^3+2^3(9^3)=9^4\\
9^3+18^3=6561
\end{equation*}
Solução: $a=c=9$ e $b=18$ (fator primo comum: $3$).

Conclusão: Qualquer que seja o valor de $k \neq 0$, $a$, $b$ e $c$ terão sempre um fator primo comum à $a$, $b$ e $c$.

Caso $2$: $a^3+b^4=c^5$

Note que o $mdc(3, 4, 5) = 1$, só que o teorema de Sebá exige que os expoentes de $a$ e $b$ sejam iguais. A fim de que os expoentes de $a$ e $b$ sejam iguais, basta que os expoentes de $a$ e $b$ sejam iguais a $12$, ou seja, $3 \times 4$.

Encontrar solução em inteiros para a equação $a^3 + b^4 = c^5$, é o mesmo que encontrar solução em inteiros para a equação $a^{12} + b^{12} = c^5$, haja vista que podemos escrever $a^{12} + b^{12} = c^5$ como: $(a^4)^3 + (b^3)^4 = c^5$. Como o expoente de $a$ e $b$ é $12$, logo, substituindo na $(4)$ os valores de $x$, $y$ e $z$ por $12$, obtém-se:
\begin{equation}
a^{12}(a^{12}+b^{12})^m + b^{12}(a^{12}+b^{12})^m=(a^{12}+b^{12})^{m+1}
\end{equation}
Como na equação $a^{12}+b^{12}=c^5$, o membro da esquerda tem expoente $12$ e o da direita tem expoente $5$, logo, temos que encontrar dois números $m$ e $m+1$ que seja possível decompor $m$ em potência de $12$ e $m+1$ em potência de $5$. Isso só será possível se $m$ e $m+1$ forem respectivamente múltiplos de $12$ e $5$. Logo, $m=60k-36$ e $m+1=60k-35$. Substituindo os valores de $m$ e $m+1$ na relaçao $(7)$, vem que:
\begin{equation}
a^{12}(a^{12}+b^{12})^{60k-36} + b^{12}(a^{12}+b^{12})^{60k-36} = (a^{12}+b^{12})^{60k-35}
\end{equation}
Seja $k=a=b=1$. Substituindo os valores de $k$, $a$ e $b$ na relação $(8)$, vem que:
\begin{equation*}
2^{24} + 2^{24} = 2^{25}\\
(2^8)^3 + (2^6)^4 = (2^6)^4\\
256^3 + 64^4 = 32^5
\end{equation*}
Solução: $a=256$, $b=64$ e $c=32$ (fator primo comum: $2$).

Se escolhermos, por exemplo, $k=a=1$ e $b=2$, e substituirmos na $(8)$, obteremos:
\begin{equation*}
(4097^8)^3 + (2 (4097^6))^4 = (4097^5)^5
\end{equation*}
Solução: $a=4097^8$, $b=2(4097)^6$ e $c=4097^5$ (fator primo comum: $241$).

Outros dois casos particulares para os quais a Conjectura de Beal é verdadeira

Caso 1:

Se $A=B=C=2$, $x=y=2n > 2$ e $z=2n+1 \geq 2$, então a equação de Beal tem solução.

Demonstração:

\begin{equation*}
2^{2n} + 2^{2n} = 2^{2n+1}\\
2^{2n} (1+1) = 2^{2n+1}\\
2 = 2^{2n+1} \cdot 2^{-2n}\\
2 = 2^{2n+1+(-2n)}\\
2=2
\end{equation*}

Exemplos:

$\bullet$ $2^4+2^4 = 2^5$ (O número $2$ é um fator primo comum a $A$, $B$ e $C$)

$\bullet$ $2^6+2^6 = 2^7$ (O número $2$ é um fator primo comum a $A$, $B$ e $C$)

$\bullet$ $2^8+2^8=2^9$ (O número $2$ é um fator primo comum a $A$, $B$ e $C$)

E assim por diante.

Caso $2$:

Se $A=B=C=2$, $x=y=2n+1>2$ e $z=2n+2>2$, então a equação de Beal tem solução.

Demonstração:

\begin{equation*}
2^{2n+1} + 2^{2n+1} = 2^{2n+2}\\
2^{2n+1}(1+1) = 2^{2n+2}\\
2=2^{2n+2}\cdot 2^{-(2n+1)}\\
2=2^{2n+2-2n-1}\\
2=2
\end{equation*}

Exemplos:


$\bullet$ $2^3+2^3 = 2^4$ (O número $2$ é um fator primo comum a $A$, $B$ e $C$)

$\bullet$ $2^5+2^5 = 2^6$ (O número $2$ é um fator primo comum a $A$, $B$ e $C$)

$\bullet$ $2^7+2^7=2^8$ (O número $2$ é um fator primo comum a $A$, $B$ e $C$

E assim por diante.

Quatro casos particulares para os quais a equação de Beal não tem solução

Se $x,y,z >2$ e $mdc(x,y,z)>1$, então a equação de Beal não tem solução. Se não, vejamos:

Caso $1$: $x=y=2n+1$ e $z$ é múltiplo de $2n+1$

Exemplos:

$\bullet$ $A^3+B^3=C^6$ ou $A^3+B^3=(C^2)^3$ (Equação de Fermat)

$\bullet$ $A^5+B^5=C^{10}$ ou $A^5+B^5=(C^2)^5$ (Equação de Fermat)

E assim por diante.

Caso $2$: $x=y=2n$ e $z$ múltiplo de $x$ e $y$

Exemplos:

$\bullet$ $A^4+B^4=C^8$ ou $A^4+B^4=(C^2)^4$ (Equação de Fermat)

$\bullet$ $A^6+B^6=C^{12}$ ou $A^6+B^6=(C^2)^6$ (Equação de Fermat)

E assim por diante.

Caso $3$: $x=2n+1$, $y=2x$ e $z=3x$

Exemplos:

$\bullet$ $A^3+B^6=C^9$ ou $A^3+(B^2)^3=(C^3)^3$ (Equação de Fermat)

$\bullet$ $A^5+b^{10}=C^{15}$ ou $A^5+(B^2)^5=(C^3)^5$ (Equação de Fermat)

E assim por diante.

Caso $4$: $x=2n$, $y=2x$ e $z=3x$

Exemplos:

$\bullet$ $A^4+B^8=C^{12}$ ou $A^4+(B^2)^4=(C^3)^4$ (Equação de Fermat)

$\bullet$ $A^6+B^{12}=C^{18}$ ou $A^6+(B^2)^6=(C^3)^6$ (Equação de Fermat)

E assim por diante.

Conclusão:

Segundo R. D. Mauldin, A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem. Notices of the American Mathematical Society. $44$, $1436-1437$, $1997$ para cada tripla $x$, $y$ e $z$ de inteiros, todos maiores do que $2$, só pode haver apenas uma quantidade finita de soluções para a equação diofantina  $a^x + b^y = c^z$; mas, por meio do teorema de Sebá, $1^\circ$ e $2^\circ$ casos, para cada tripla $x$, $y$ e $z$ de inteiros primos entre si, todos maiores do que $2$, há infinitas soluções para a equação diofantina  $a^x + b^y = c^z$, para $k$ inteiro, no intervalo: $1 \leq  k < \infty$.

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

Veja mais:


$\bullet$ Método de Sebá para Resolução Alguns Casos Particulares Nas Equações Diofantinas Lineares
$\bullet$ Conjecturas de Sebá Sobre a Distância Entre Dois Números Primos Consecutivos
$\bullet$ Como Construir uma Espiral Pitagórica

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15 de nov de 2014

Emmy Noether e a Álgebra Moderna

Até o primeiro quartel do século $XIX$ a álgebra ainda praticamente se restringia à teoria clássica das equações. Daí que não se cogitasse de sistemas algébricos além dos usuais. Mas mesmo estes careciam de uma fundamentação lógica. Por exemplo, não havia uma definição precisa de número real e, portanto, as propriedades das operações com esses números eram simplesmente admitidas com base na intuição (e, por que não dizer, na fé).


A questão da resolubilidade (por radicais) das equações de grau $\geq 5$ foi um dos fatores que contribuíram para iniciar uma mudança nesse panorama. Joseph-Louis Lagrange $(1736-1818)$, um dos primeiros a examiná-la com profundidade, concluiu que a teoria das permutações era "a verdadeira filosofia da questão". E acertou porque as condições de resolubilidade, estabelecidas por Evariste Galois $(1811-1832)$, envolvem a noção de grupo de permutações (criada por Galois, assim como o termo grupo). Essas condições não se verificam para equações de grau $\geq 5$ que, portanto, não são resolúveis por radicais. Mas a noção de grupo abstrato só surgiria em $1854$ com Arthur Cayley. Começavam assim a surgir as estruturas algébricas. Mais algum tempo e surgiria a de anel, a que está intimamente ligado o nome de Amalie Emmy Noether $(1882-1935)$.

Emmy Noether nasceu na cidade de Erlanger, sul da Alemanha, em cuja universidade seu pai era professor. Em Erlanger mesmo, de $1900$ a $1903$, frequentou cursos de línguas e matemática nos moldes então impostos às mulheres: com a aquiescência dos professores responsáveis (o que muitas vezes não se conseguiam) mas com direito a obter a graduação mediante exames finais (uma avanço em relação a outros tempos). Depois de graduada prosseguiu seus estudos e em $1907$ obteve seu doutoramento em matemática com uma tese de valor mas que, com certeza, não prenunciava até onde ela poderia chegar.

Nos anos seguintes permaneceu em Erlanger trabalhando em suas pesquisas (das quais resultaram vários artigos) e, eventualmente, substituindo seu pai na universidade. Em $1916$, a convite de Hilbert, vai para Göttingen. Mas, apesar de seus méritos científicos cada vez mais evidentes, por ser mulher praticamente as portas lhe eram fechadas de uma carreira universitária  plena. Assim, somente em $1922$ passou a ser remunerada pela universidade, em nível bastante modesto, apesar das instâncias de hilbert. Mas sempre se dedicou ao trabalho com extrema dedicação e brilho, sobressaindo-se em alto grau na orientação de alunos. Dentre estes, um dos mais talentosos foi B. L. van der Waerden, autos do clássico Álgebra moderna $(1930)$. Esta obra, baseada em grande parte em cursos ministrados por Emmy, levou a todos os cantos do mundo a nova álgebra, a álgebra moderna ou abstrata, cuja ideia central é a de estrutura algébrica.

O nome de Emmy, sem dúvida uma das principais fundadoras desse novo campo, está ligado mais diretamente a dois conceitos fundamentais: o de anel noetheriano (em sua homenagem) e o de anel de Dedekind, de muita utilidade na geometria algébrica. O conceito de anel foi introduzido por Richard Dedekind $(1831-1916)$ e basicamente se compõe de um conjunto não vazio e duas operações sobre este conjunto: uma "adição" (com as quatro propriedades usuais) e uma "multiplicação" (associativa e distributiva em relação à adição). São exemplos de anéis: o sistema dos números inteiros, o dos racionais, o dos reais, o dos complexos e o dos polinômios (inteiros, racionais, reais ou complexos). Cada um deles, obviamente, tem suas particularidades, são apenas modelos de anéis. Mas a teoria geral dos anéis vale para todos eles, assim como para qualquer sistema que se enquadrar na definição (inclusive os que venham a ser criados). Nessa generalidade reside a grande vantagem de se trabalhar com estruturas algébricas.

Em $1933$, com os nazistas já dominando a Alemanha, Emmy, que era de origem judia, teve sua licença para lecionar suspensa por tempo indeterminado. Nesse mesmo ano mudou-se para os Estados Unidos, contratada pelo Bryn Mawr College, perto de Filadélfia. Mas em $1935$ morreu de maneira inesperada devido a complicações decorrentes de uma cirurgia aparentemente bem-sucedida. Nunca uma mulher, até sua época, levara tão alto a matemática.

Texto de Hygino H. Domingues

Veja mais:

• Florence Nightingale e os Gráficos Estatísticos
• Lagrange: A Grande Pirâmide Da Matemática
• Cayley e a Teoria das Matrizes

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