30 de ago de 2014

Como Construir uma Espiral Pitagórica

A Espiral Pitagórica é construída com triângulos retângulos cujas medidas dos lados são expressas por números inteiros.

Veremos neste post sua construção, assim como o desenvolvimento das fórmulas que geram os lados dos triângulos.


A Espiral Pitagórica é construída utilizando triângulos retângulos, onde a hipotenusa do primeiro triângulo retângulo é o menor cateto do segundo; e a hipotenusa do segundo triângulo retângulo é o menor cateto do terceiro; e assim por diante. Faz-se necessário encontrarmos um algoritmo que nos dê as medidas desses triângulos para que possamos sem dificuldades, construir a espiral.

Dentre as formas analisadas para a construção, podemos encontrar $4$ possibilidades que nos levam a quatro teoremas que nos dão as fórmulas para calcularmos os lados dos triângulos retângulos que compõem a Espiral Pitagórica.

Teorema 1: Se $a<b<c$ forem inteiros, então a equação $a^2+b^2=c^2$ tem apenas uma solução se $a$ for um primo ímpar;


Demonstração:

A equação $a^2+b^2=c^2$ pode ser escrita como:
\begin{equation}
c+b=\frac{a^2}{c-b}
\end{equation}
Uma vez que $b$ e $c$ são inteiros, logo $c-b$ tem que dividir $a^2$ sem deixar resto. Logo, $c-b$ são os divisores positivos de $a^2$. Se $a^2$ é o quadrado de um primo ímpar, os divisores de $a^2$ são: $a^2$, $a$ e $1$. Substituindo estes divisores na relação $(1)$, obtemos os seguintes sistemas lineares:
\begin{equation}
S_1: \left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&a^2\\
c & +&b & =&1
\end{matrix}\right.
\qquad
S_2:\left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&a\\
c & +&b & =&a
\end{matrix}\right.
\qquad
S_3:\left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&1\\
c & +&b & =&a^2
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Dos três sistemas de equação acima, apenas a solução $S_3$ é compatível. Resolvendo o sistema, obtemos:
\begin{equation}
c=\frac{a^2+1}{2} \qquad \text{,}\qquad b=c-1
\end{equation}

Exemplos:

$1)$ Se $a=3$, $\displaystyle c=\frac{3^2+1}{2}=5$ e $b=c-1=5-1=4$

O terno pitagórico é: $(a,b,c)=(3,4,5)$.

$2)$ Se $a=5$, $\displaystyle c=\frac{5^2+1}{2}=13$ e $b=13-1=12$.

O terno pitagórico é: $(a,b,c)=(5,12,13)$.

$3)$ Se $a=13$, $\displaystyle c=\frac{13^2+1}{2}=85$ e $b=85-1=84$.

O terno pitagórico é: $(a,b,c)=(13,84,85)$.

 Como $c=85$ é um ímpar composto, o teorema $1$ falha e este caso será analisado no teorema $4$.


Teorema $2$: Se $a<b<c$ forem inteiros, então a equação $a^2+b^2=c^2$ tem apenas uma solução se $a$ for um par da forma $2p$, onde $p$ é um primo ímpar;

Demonstração:

Substituindo $a$ por $2p$ na equação $(1)$, obtemos:
\begin{equation}
c+b=\frac{4p^2}{c-b}
\end{equation}
Como $c$ e $b$ são inteiros, $c-b$ tem que dividir $4p^2$ sem deixar resto; logo, $c-b$ são os divisores positivos de $4p^2$ menores que $4p$. Os divisores pares de $4p^2$ menores que $4p$ são: $2$ e $4$. Substituindo $2$ e $4$ por $c-b$ em $\displaystyle c+b=\frac{4p^2}{c-b}$, obtemos os seguintes sistemas lineares:

\begin{equation}
S_1: \left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&2\\
c & +&b & =&2p^2
\end{matrix}\right.
\qquad
S_2:\left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&4\\
c & +&b & =&p^2
\end{matrix}\right.
\end{equation}


Já que $c$ é inteiro, dos sistemas de equações acima somente $S_1$ é compatível. Resolvendo $S_1$, obtemos:
\begin{equation}
c=p^2+1
\end{equation}
Como $a=2p$, logo $\displaystyle p=\frac{a}{2}$. Substituindo $p$ por $\displaystyle \frac{a}{2}$ na relação $(6)$, obtemos que:
\begin{equation}
c=\frac{a^2}{4}+1 \qquad \text{,} \qquad b=c-2
\end{equation}

Exemplos:

$4)$ Se $a=2p=2\cdot 3=6$, $\displaystyle c=\frac{6^2}{4}+1=10$ e $b=10-2=8$.
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(6,8,10)$.

$5)$ Se $a=2p=2\cdot 5=10$, $\displaystyle c=\frac{10^2}{4}+1=26$ e $b=26-2=24$.
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(10, 24, 26)$.

$6)$ Se $a=2p=2\cdot13=26$, $\displaystyle c=\frac{26^2}{4}+1=170$ e $b=170-2=168$.
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(26, 168, 170)$.

Como $c=170$ não é um par da forma $2p$, o teorema $2$ falha e este caso será analisado no teorema $3$.

Teorema $3$: Se $a<b<c$ forem inteiros, então a equação $a^2+b^2=c^2$, possui um número de soluções inteiras igual ao número de divisores pares $(k)$ de $a^2$ menores que $a$ tal que $a^2$ divida $2k$ sem deixar resto, se $a$ for um par diferente de $2p$.

Demonstração:

Seja $c-b=k$ os divisores de $a^2$. Substituindo $c-b$ por $k$ na equação $(1)$, obtemos o seguinte sistema de equações:
\begin{equation}
S_1: \left\{\begin{matrix}
c & -&b & =&k\\
c & +&b & =&\frac{a^2}{k}
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Resolvendo o sistema de equações acima, obtemos a seguinte solução:
\begin{equation}
2c=k+\frac{a^2}{k}\qquad \text{ou}\qquad c=\frac{a^2+k^2}{2k}
\end{equation}
Como $c-b=k$, logo $b=c-k$. Como $2c$ e $k$ são sempre pares, a fim de que $c$ seja inteiro, $\displaystyle \frac{a^2}{k}$ tem que ser par. Como $2k$ e $a^2$ são pares, e além disso, $k$ são os divisores de $a^2$, se incluirmos os divisores ímpares de $a^2$, a soma $a^2+k^2$ vai ser ímpar, e, consequentemente, $a^2+k^2$ dividido por $2k$ vai ser fracionário. Foi por isso que consideramos somente os divisores pares de $a^2$.

Se $k=a$, então $\displaystyle c=\frac{a^2+a^2}{2a}=a$. Como $b=c-k$, então $b=a-a=0$. Logo, os divisores pares de $a^2$ devem ser menores que $a$.

Portanto, se $a$ for par diferente de $2p$, o número de soluções em inteiros é igual ao número de divisores pares de $a^2$ menores que $a$, que divide $\displaystyle \frac{a^2}{2k}$.

Exemplos:

$7)$ Os divisores pares de $170^2$ menores que $170$ são: $k=2$, $4$, $10$, $20$, $34$, $50$ e $68$.

Para $a=170$ e $k=2$, temos:$\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 1}=7225$;

Para $a=170$ e $k=4$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 4}=3612,5$;

Para $a=170$ e $k=10$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 10}=1445$;

Para $a=170$ e $k=20$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2 \cdot 20}=722,5$;

Para $a=170$ e $k=34$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 34}=425$;

Para $=170$ e $k=50$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 50}=289$;

Para $a=170$ e $k=64$, temos: $\displaystyle \frac{170^2}{2\cdot 64}=212,5$.

Como para $k=4$, $k=20$ e $k=68$, $\displaystyle \frac{a^2}{2k}$ não é inteiro, logo, só existem quatro ternos pitagóricos com $a=170$, os quais são:

$(170, 7224, 7226)$, $(170, 1440, 1450)$, $(170, 408, 442)$ e $(170, 264, 314)$.

Vamos escolher a hipotenusa com menor valor como cateto menor do próximo triângulo pitagórico. Escolhemos a hipotenusa com menor valor para evitar que não trabalhemos com números muito grandes para hipotenusas.

Os divisores pares de $314^2 < 314$ são $k=2$ e $k=4$.

Para $a=314$ e $k=2$, temos: $\displaystyle \frac{314^2}{2\cdot 2}=24649$;

Para $a=314$ e $k=4$, temos: $\displaystyle \frac{314^2}{2\cdot 4}=12324,5$.

Só existe um terno pitagórico com $a=314$. Para $a=314$ e $k=2$, o terno pitagórico é:
\begin{equation*}
c=\frac{314^2+2^2}{2\cdot 2}=24650 \qquad \text{e} \qquad b=24650-2-25648
\end{equation*}
O triângulo pitagórico é $(a,b,c)=(314, 24648, 24650)$.

Como o valor da hipotenusa $(24650)$ é muito grande, paremos por aqui.

Teorema $4$: Se $a<b<c$ forem inteiros, então a equação $a^2+b^2=c^2$ possui um número de soluções igual ao número de divisores de $k$ de $a^2$ menores que $a$.

Demonstração:

Pelo Teorema $3$, já que um número ímpar composto tem apenas divisores ímpares, então se $a$ for ímpar, o número de soluções inteiras é igual ao número de divisores de $a^2$ menores que $a$.

Exemplos:

$8)$ Os divisores de $85^2<85$ são: $k=1$, $k=5$, $k=17$ e $k=25$.

Para $k=1$:
\begin{equation*}
c=\frac{85^2+1^1}{2\cdot 1}=3613 \qquad \text{e} \qquad b=3613-1=3612
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(85, 3612,3613)$.

Para $k=5$:
\begin{equation*}
c=\frac{85^2+5^2}{2\cdot 5}=725 \qquad \text{e} \qquad b=725-5=720
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(85, 720,725)$.

Para $k=17$:
\begin{equation*}
c=\frac{85^2+17^2}{2\cdot 17}=221 \qquad \text{2} \qquad b=221-17=204
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(85, 204, 221)$.

Para $k=25$:
\begin{equation*}
c=\frac{85^2+25^2}{2\cdot 25}=157 \qquad \text{e} \qquad b=157-25=132
\end{equation*}
O triângulo pitagórico $(a,b,c)=(85, 132, 157)$.

Já que na espiral pitagórica, a partir do segundo triângulo pitagórico, o cateto menor é sempre a hipotenusa do triângulo anterior, das quatro hipotenusas $(3613, 725, 221, 157)$, vamos escolher a hipotenusa com menor valor como cateto menor do próximo triângulo pitagórico. Escolhemos a hipotenusa com menor valor para evitar que trabalhemos com números muito grandes para a hipotenusa.

O divisor de $157^2 < 157$ é: $k=1$

Para $k=1$:
\begin{equation*}
c=\frac{157^2+1^2}{2\cdot 1}=12325 \qquad \text{e} \qquad b=12325-1=12324
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(157, 12324, 12325)$.

Os divisores de $12325^2 < 12325$ são:
$k=1, 5, 17, 25, 29, 85, 125, 289, 425, 493, 625, 725, 841, 1445, 2125, 2465, 3625, 7225 \: \text{e}\: 10625$.

Quanto maior o valor de $k$, menor será a medida da hipotenusa. Para evitar cálculos desnecessário, tomemos o maior valor de $k$:

Para $k=10625$:
\begin{equation*}
c=\frac{12325^2+10625^2}{2\cdot 10625}=12461 \qquad \text{e} \qquad b=12461-10625=1836
\end{equation*}
O terno pitagórico: $(a,b,c)=(12325, 1836, 12461)$. Como $b<a$, logo $(12325,1836,12461)$ é um terno pitagórico, mas não são medidas de um triângulo pitagórico.

Como para $k=10625$ não é compatível com as medidas de um triângulo pitagórico, então vamos escolher $k=7225$:
\begin{equation*}
c=\frac{12325^2+7225^2}{2\cdot 7225}=14125 \qquad \text{e} \qquad b=14125-7225=6900
\end{equation*}
O terno pitagórico: $(a,b,c)=(12325, 6900, 14125)$. Como $b<a$, logo $(12325, 6900, 14125)$ é um terno pitagórico, mas não são medidas de um triângulo pitagórico.

Como para $k=7225$ não é compatível com as medidas de um triângulo pitagórico, então vamos escolher $k=3625$:
\begin{equation*}
c=\frac{12325^2+3625^2}{2\cdot 3625}=22765 \qquad \text{e} \qquad b=22765-3625=19140
\end{equation*}
O triângulo pitagórico: $(a,b,c)=(12325, 19140, 22765)$. 

Como o valor da hipotenusa $(22765)$ é muito grande, paramos por aqui.

Com posse dos valores encontrados nos exemplos dos teoremas $1$ a $4$ acima, podemos construir duas espirais distintas:

A primeira espiral será construída com triângulos pitagóricos, cujas hipotenusas são número ímpares, encontradas nos Teoremas $1$ e $4$:
\begin{equation*}
(3,4,5),(5,12,13),(13,84,85),(85,132,157),(157,12324,12325),(12325,19140,22765)
\end{equation*}

[Espiral Pitagórica Ímpar]

A segunda espiral será construída com triângulos pitagóricos, cujas hipotenusas são pares, encontradas nos Teoremas $2$ e $3$:
\begin{equation*}
(6,8,10), (10,24,26), (26,168,170), (170, 264, 314), (314, 24648, 24650)
\end{equation*}

[Espiral Pitagórica Par]

Como as medidas dos lados dos triângulos retângulos crescem rapidamente, fica difícil fazer uma espiral como vários triângulos. Portanto, os desenhos acima servem apenas para ilustrar a formação da espiral. Numericamente, podemos observar que a espiral pitagórica par cresce mais rápido que a espiral ímpar.

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB, além de colaborador deste blog. Foram feitas algumas alterações do manuscrito original para melhor exposição.

Veja mais


Construindo Raízes de Números Naturais
Construção da Espiral de Arquimedes com Régua e Compasso
Ternos Pitagóricos: A Tábua de Plimpton 322

Imprimir

9 de ago de 2014

A Notação Sigma Para Somas

A definição formal de integral definida envolve a soma de uma quantidade muito grande de termos, tornando-se necessária uma notação especial.

No simbolismo matemático usamos a letra grega maiúscula Sigma, representada pelo glifo $\displaystyle \Sigma$, correspondente à letra latina $S$, e é chamada de Notação Sigma. Não por acaso é a primeira letra da palavra soma, que ajuda a lembrar o propósito da notação sigma, designando a ideia de somatório ou adição.

Quando usamos o símbolo $\displaystyle \sum$, queremos representar a soma de todos os termos que obedecem a uma forma geral. Assim:
\begin{equation*}
\sum _{k=m}^n a_k=a_m+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_n
\end{equation*}
Lê-se: A soma de $a_k$, com $k$ assumindo valores que variam de $m$ a $n$.

A variável $k$ é o índice do somatório e designa uma valor inicial chamado limite inferior igual a $m$, assumindo valores inteiros até alcançar o limite superior igual a $n$.

Não necessariamente o índice é representado pela letra $k$. Podemos usar as letras $i$, $j$, $k$, ou outra qualquer dependendo da necessidade, servindo ao mesmo propósito. Então:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N a_k = \sum_{i=1}^N a_i = \sum_{j=1}^N a_j
\end{equation*}
Se quisermos somar os números naturais de $2$ a $6$, por exemplo, escrevemos na notação de somatório:
\begin{equation*}
\sum_{k=2}^6 k = 2+3+4+5+6
\end{equation*}
Vejamos outros exemplos específicos na notação sigma:

Exemplo $1$:

\begin{aligned}
\sum_{k=1}^5 k^2& = 1^2 + 2^2 +3^2+4^2+5^2\\
&=1+4+9+16+25\\
&=55
\end{aligned}
Esta é a soma dos quadrados dos cinco primeiros números naturais.

Exemplo $2$:

\begin{aligned}
\sum_{k=1}^4 2^k &=2^1+2^2+2^3+2^4\\
&=2+4+8+16\\
&=30
\end{aligned}
Esta é a soma das quatro primeiras potências de $2$.

Exemplo $3$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N 2k =2+4+6+\cdots+2N
\end{aligned}
Esta é a soma dos $N$ primeiros números pares.

Exemplo $4$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N (2k-1)=1+3+5+\cdots+(2N-1)
\end{aligned}
Esta é a soma dos $N$ primeiros números ímpares.

Exemplo $5$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N (3^k-3^{k-1})&=(3^1-3^0)+(3^2-3^1)+\cdots+(3^N-3^{N-1})
\end{aligned}
Aqui fazemos uma pequena manipulação:

\begin{aligned}
&=-3^0+(3^1-3^1)+(3^2-3^2)+\cdots +(3^{N-1}-3^{N-1})+3^N\\
&=3^N-3^0=3^N-1
\end{aligned}


Exemplo $6$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N k &=1+2+3+\cdots+N\\
&= \frac{N(N+1)}{2}
\end{aligned}
Esta é a fórmula para a soma dos $N$ termos de uma $P.A.$ finita.

Podemos ainda fazer o processo inverso: dada uma sequência, vamos encontrar a notação sigma:

Exemplo $7$:
\begin{aligned}
3+9+27+81 = 3^1+3^2+3^3+3^4= \sum_{k=1}^4 3^k
\end{aligned}


Exemplo $8$:
\begin{aligned}
&5+9+13+17+21+15\\
&= 5+(5+4)+(5+8)+(5+12)+(5+16)+(5+20)\\
&= 5+(5+4)+(5+4\cdot 2)+(5+4\cdot 3)+(5+4\cdot 4)+(5+4\cdot 5)\\
&= \sum_{k=0}^5 (5+4k)
\end{aligned}
A Notação Sigma é essencialmente útil para indicar a soma dos termos de uma sequência numérica. Normalmente, quando trabalhamos com sequências, é conveniente começar com um termo de ordem zero: $a_0$. Assim, o segundo termos é $a_1$, o terceiro é $a_2$, e assim por diante. Podemos escrevê-la como $a_0, a_1, a_2, \cdots $. Assim, o k-ésimo termo da sequência é $a_k$ e a soma dos $N$ termos pode ser escrita como:
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^N a_k=a_0+a_1+a_2+\cdots + a_N
\end{equation*}
Se quisermos somar apenas o terceiro, o quarto e o quinto termos, escrevemos:
\begin{equation*}
\sum_{k=2}^4 a_k=a_2+a_3+a_4
\end{equation*}

Propriedades Básicas dos Somatórios

Algumas propriedades básicas dos somat´rios podem ser estabelecidas. Consideremos que $a_0, a_1, a_2, \cdots, a_N$ e $b_0, b_1, b_2, \cdots , b_N$, representam sequências de números e seja $A, B,C$ números constantes.

$P1)$ Propriedade da Constante
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N C= NC
\end{equation*}

$P2)$ Propriedade da Homogenidade
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N Ca_k = C\sum_{k=1}^N a_k
\end{equation*}

$P3)$ Propriedade Aditiva
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \left(a_k+b_k\right)=\sum_{k=1}^N a_k + \sum_{k=1}^N b_k
\end{equation*}

$P4)$ Propriedade Linear
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \left(Aa_k + Bb_k\right) = A\sum_{k=1}^N a_k + B\sum_{k=1}^N b_k
\end{equation*}

$P5)$ Desigualdade Triangular Generalizada
\begin{equation*}
\left| \sum_{k=1}^N a_k \right|  \leq \sum_{k=1}^N \left| a_k \right|
\end{equation*}

$P6)$ Propriedade Telescópica
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \left(b_k - b_{k-1}\right) = b_N - b_0
\end{equation*}

$P7)$ Soma de uma Sequência Aritmética
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^N \left(A+Ck\right) = \left(N+1\right)\left(A+\frac{NC}{2}\right)
\end{equation*}

$P8)$ Soma de uma Sequência Geométrica
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^N AC^k = A\left(\frac{1-C^{N+1}}{1-C}\right), \qquad C\neq 1
\end{equation*}

$P9)$ Soma dos Inteiros Sucessivos
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k = \frac{N(N+1)}{2}
\end{equation*}

$P10)$ Soma dos Quadrados Sucessivos
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}
\end{equation*}

$P11)$ Soma dos Cubos Sucessivos
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k^3 = \frac{N^2(N+1)^2}{4}
\end{equation*}

Exemplos usando as propriedades básicas dos somatórios:

Exemplo $9$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{20} \left(2k^2-3k+1\right)
\end{aligned}
Usamos a propriedade $P4)$:
\begin{equation*}
= \sum_{k=1}^{20} 2k^2+\sum_{k=1}^{20}(-3k)+\sum_{k=1}^{20} 1
\end{equation*}
Agora, usamos as propriedades $P1)$ e $P1)$:
\begin{equation*}
2\sum_{k=1}^{20} -3\sum_{k=1}^{20}k + 20
\end{equation*}
Agora usamos a propriedade $P10)$ no primeiro somatório e a $P9)$ no segundo:
\begin{matrix}
=\frac{2(20)(21)(41)}{6}-\frac{3(20)(21)}{2}+20\\
=5740-630+20\\
=5130
\end{matrix}

Exemplo $10$:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k^2(5k+1)
\end{equation*}
\begin{matrix}

=\sum_{k=1}^N5k^3+\sum_{k=1}^N k^2\\
=5\left(\frac{N^2(N+1)^2}{4}\right) + \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\\
= \frac{5N^2(N+1)^2}{4} + \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\\
=N(N+1)\left(\frac{5N(N+1)}{4}+\frac{(2N+1}{6}\right)\\
=N(N+1)\left(\frac{15N(N+1)+2(2N+1)}{12}\right)\\
=\frac{N(N+1)(15N^2+15N)+2N+2}{12}\\
=\frac{(N^2+N)(15N^2+15N)+2N+2}{12}\\
=\frac{15N^4+15N^3+15N^3+15N^2+2N+2}{12}\\
=\frac{15N^4+30N^3+15N^2+2N+2}{12}\\
=\frac{15N^2(N^2+2N+1)+2(N+1)}{12}
\end{matrix}
Exemplo $11$:
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^N \frac{1}{2^k}
\end{equation*}
Usando a propriedade $P8)$:
\begin{equation*}
=\sum_{k=0}^N \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{N+1}}{1-\frac{1}{2}} = 2-\frac{1}{2^N}
\end{equation*}

Exemplo $12$: Encontre a soma dos $100$ primeiros inteiros ímpares.

Pela propriedade $P7)$, fazemos $A=1$, $C=2$, $N=99$:
\begin{matrix}
\sum_{k=0}^{99} (1+2k)=1+3+5+\cdots +199\\
=100\left(1+\frac{99(2)}{2}\right)\\
=10.000
\end{matrix}

A Área sob uma Parábola

Este é um bom exemplo para aplicarmos a notação sigma. Calculemos a área $A$ sob a parábola $y=x^2$ entre $x=0$ e $x=1$.

Usando o conceito de integral definida, obtemos:
\begin{equation*}
A=\int_0^1 x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3} u.a.
\end{equation*}
Agora, usemos a notação sigma. Considere a figura abaixo:
O intervalo $[0,1]$ foi subdividido em sub intervalos iguais:\begin{equation*}
\left[0,\frac{1}{N}\right] ,\left[\frac{1}{N},\frac{2}{N}\right] , \left[\frac{2}{N},\frac{3}{N}\right],\cdots ,\left[\frac{N-1}{N},\frac{N}{N}\right]
\end{equation*}
Vejam que o k-ésimo intervalo é:
\begin{equation*}
\left[\frac{k-1}{N},\frac{k}{N}\right]
\end{equation*}
Em cada subintervalo, podemos formar um retângulo circunscrito à curva, cuja altura do k-ésimo retângulo é $\displaystyle \left(\frac{k}{N}\right)^2$ e sua área é $\displaystyle \frac{1}{N}\cdot \left(\frac{k}{N}\right)^2$.

Podemos obter uma estimativa para a área $A$ somando as áreas dos $N$ retângulos circunscritos:
\begin{equation*}
A\approx \sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k}{N}\right)^2
\end{equation*}
E pela fórmula para a soma dos quadrados sucessivos:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k}{N}\right)^2 = \sum_{k=1}^N \left(\frac{1}{N^3}\right)k^2 = \left(\frac{1}{N}\right)^3 \sum_{k=1}^N k^2 = \frac{1}{N^3} \left( \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\right) = \frac{(N+1)(2N+1)}{6N^2}
\end{equation*}
Aplicando a distributiva no numerador, segue que:
\begin{equation*}
A\approx \frac{1}{3}+\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Como os retângulos são circunscritos à curva e somente aproximam a área, então:
\begin{equation*}
A \leq \frac{1}{3} + \frac{1}{2N} + \frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Utilizemos agora, retângulos inscritos à mesma curva no mesmo intervalo, com os mesmos $N$ subintervalos:

Notamos que a altura do k-ésimo retângulo inscrito é $\displaystyle \left(\frac{k-1}{N}\right)^2$ e sua área é $\displaystyle \frac{1}{N}\left(\frac{k-1}{N}\right)^2$.

Novamente podemos obter uma estimativa para a área $A$, somando asáreas dos $N$ retângulos inscritos:
\begin{matrix}
A\approx \sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k-1}{N}\right)^2\\
=\frac{1}{N^3}\sum_{k=1}^N (k^2-2k+2)\\
=\frac{1}{N^3}\left(\sum_{k=1}^N k^2-2\sum_{k=1}^Nk+\sum_{k=1}^N\right)\\
=\frac{1}{N^3}\left(\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}-\frac{2N(N+1)}{2}+N\right)\\
=\frac{2N^2-3N+1}{6N^2}
\end{matrix}
Então, a área vale aproximadamente:
\begin{equation*}
A\approx \frac{1}{3}-\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Como os retângulos são inscritos à curva e somente aproxima a área, então:
\begin{equation*}
A\geq \frac{1}{3}-\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Deste modo, a área $A$ sob a curva, tem que estar entre as duas estimativas encontradas, de modo que:
\begin{matrix}
\frac{1}{3}-\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}\leq A \leq \frac{1}{3}+\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}\\
\sum_{k=1}^N\frac{1}{N}\left(\frac{k-1}{N}\right)^2 \leq A \leq \sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k}{N}\right)^2
\end{matrix}
À medida que $N$ aumenta, ambas as estimativas se aproximam de um valor, tendo $1/3$ como limite. Como a área $A$ está entre as duas estimativas, podemos nos aproximar o quanto desejarmos do valor limite $1/3$, tomando cada vez mais subintervalos. Quando o número de subintervalos tende ao infinito, a área $A$ sob a curva $f(x)=x^2$, no intervalo $[0,1]$ tende a ser igual a $1/3$.

Exercícios: Desenvolva os somatórios

\begin{aligned}
&a) \: \sum_{k=1}^6 (2k+1)\\
&b) \: \sum_{k=3}^7 \frac{k}{k-2}\\
&c) \: \sum_{k=-1}^3 3^k\\
&d) \: \sum_{k=1}^{50}(2k+3)\\
&e) \: \sum_{k=1}^N k(k+1)\\
&f) \: \sum_{k=6}^{100}k^2\\
&g) \: \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}
\end{aligned}

Referências:

$[1]$ Cálculo V1 - Munem-Foulis
$[2]$ Cálculo com Geometria Anaçítica V1 - Simmons


Veja mais: 

A Soma de Gauss
O Cálculo Integral: O Cálculo das Áreas
A Notação Sigma para Somatórios no blog Fatos Matemáticos

Imprimir

Redes Sociais

Arquivo do Blog