4 de mar de 2014

Sequências de Raízes do tipo $\sqrt{3R^2}$

Esta é uma construção geométrica simples, utilizando apenas duas circunferências e um segmento de reta, que relaciona raízes quadradas do tipo $\displaystyle \sqrt{3R^2}$.

Teorema $1$: Seja  a circunferência $C_1$ de raio $R$ de centro $A$. Seja a circunferência $C_2$ de raio $R$ que passe por $A$ centrada em $B$. Marque as intersecções entre as circunferências como $C$ e $D$. Então o segmento $\displaystyle \overline{CD}=\sqrt{3R^2}$.

Demonstração: Por construção o triângulo $ABC$ é equilátero, cujos lados medem $R$. Seja $M$ o ponto médio entre os centros das circunferências e seja $h$ o segmento $\overline{CM}$. Pelo teorema pitagórico, temos que:
\begin{equation*}
R^2=h^2+\left( \frac{R}{2}\right)^2 \Rightarrow h=\frac{\sqrt{3R^2}}{2}
\end{equation*}
Mas $\overline{CD}=2h$, logo:
\begin{equation*}
\overline{CD}=\sqrt{3R^2}
\end{equation*}
Considerando raios de valores inteiros, podemos construir uma tabela:
Corolário $1$: A área do quadrado construído sobre o segmento $\overline{CD}$ vale $A=3R^2$.


Demonstração: Sendo $R=\overline{AB}$, $\overline{CD}=\sqrt{3R^2}$, que é um dos lados do quadrado, sua área é dada por:
\begin{equation*}
A=\overline{CD}^2=\left(\sqrt{3R^2} \right)^2=3R^2
\end{equation*}
Podemos montar uma tabela:
Vejam que para $R\in \mathbb{N}$, temos uma sequência numérica para a área do quadrado construído. Para valores de $R$ até $100$, temos:
$$3, 12, 27, 48, 75, 108, 147, 192, 243, 300, 363, 432, 507, 588, 675, 768, 867, 972, 1083, 1200, 1323, 1452, 1587, 1728, 1875, 2028, 2187, 2352, 2523, 2700, 2883, 3072, 3267, 3468, 3675, 3888, 4107, 4332, 4563, 4800, 5043, 5292, 5547, 5808, 6075, 6348, 6627, 6912, 7203, 7500, 7803, 8112, 8427, 8748, 9075, 9408, 9747, 10092, 10443, 10800, 11163, 11532, 11907, 12288, 12675, 13068, 13467, 13872, 14283, 14700, 15123, 15552, 15987, 16428, 16875, 17328, 17787, 18252, 18723, 19200, 19683, 20172, 20667, 21168, 21675, 22188, 22707, 23232, 23763, 24300, 24843, 25392, 25947, 26508, 27075, 27648, 28227, 28812, 29403, 30000$$
Vejam que a sequência acima é uma P.A. de segunda ordem, pois:
\begin{equation*}
a_{N-1}-a_N=b_N \qquad \text{onde} \qquad b_N=b_1+(N-1)r
\end{equation*}
Montemos uma tabela com os $10$ primeiros termos da sequência para uma análise:
A P.A. definida pelos termos $b_N$ tem razão aritmética $r=6$. Por definição, numa P.A., a diferença entre um termo e seu antecessor é uma constante denominada $r$, o que justifica na tabela acima $N>1$.


Veja mais:

Construindo Raízes de Números Naturais
Área de Intersecção Circular no blog Elementos de Teixeira
P.A. de Segunda Ordem  no blog Fatos Matemáticos

Imprimir

2 de mar de 2014

Fatoração de Expressões Algébricas


Fatorar uma expressão algébrica significa decompô-la em um produto de fatores. Uma expressão é chamada de prima quando seus divisores são ela própria e a unidade.

Podemos dividir o estudo de fatoração de expressões em alguns casos particulares:

Caso $1$: Fator Comum em Evidência

Neste caso, temos que observar se há fatores comuns a todos os termos da expressão em questão. Se houver, tomamos o maior divisor comum dos termos, colocando-o em evidência e dividimos cada termo por este fator comum.

Exemplo $1$: Fatorar a expressão $4x+6y+10z$.

Primeiramente observamos que, para os coeficientes $4$, $6$ e $10$, o maior divisor comum é o número $2$; já para as incógnitas, ou variáveis, $x$, $y$ e $z$, não há fator comum.

Colocamos os divisor comum em evidência e dividimos a expressão por este fator. Assim:
$$2(2x+3y+5z)$$
Notem que esse processo é o inverso da propriedade distributiva, pois:
$$2(2x+3y+5z)=4x+6y+10z$$

Exemplo $2$: Fatorar a expressão $3x^3y+9x^2y^2-24xyz$.

Vejam que neste caso, temos constantes e variáveis comuns aos termos. Observem que para as constantes $3$, $9$ e $24$, o maior divisor comum é o número $3$, já para as vaiáveis $x^3y$, $x^2y^2$ e $xyz$, o maior divisor comum é $xy$. Fazemos:
$$3xy(x^2+3xy-8z)$$
Para a verificação, basta aplicar a propriedade distributiva e comparar o resultado obtido com a expressão original:
$$3xy(x^2+3xy-8z)=3x^3y+9x^2y^2-24xyz$$

Caso $2$: Agrupamento

Quando  não tivermos um fator comum a todos os termos, mas apenas a grupos de termos, separamos esses grupos e fatoramos cada grupo individualmente, como feito no caso $1$, colocando em evidência os fatores comuns.

Exemplo $3$: Fatorar a expressão $x^2+ax+bx+ab$.

Vejam que não há um fator comum a todos os termos desta expressão, mas se a separamos em dois grupos, conseguiremos fatorá-la:
$$\boxed{x^2+ax}+ \boxed{bx+ab}$$
No primeiro grupo, o fator comum é o $x$; já no segundo grupo, o fator comum é o $b$. Então reescrevemos a expressão colocando os fatores comuns em evidência:
$$x(x+a)+b(x+a)$$
Notem que a expressão acima ainda possui fatores comuns, que é o $x+a$. Continuamos a fatorar esta expressão colocando o fator $x+a$ em evidência:
$$(x+a)(x+b)$$
Para verificarmos este resultado, basta aplicarmos a propriedade distributiva e comparar o resultado obtido com a expressão original:
$$(x+a)(x+b)=x^2+bx+ax+ab$$

Exemplo $4$: Fatorar a expressão $6x^2-9ax+4bx-6ab$.

Primeiramente localizamos os grupos que possuem fatores comuns e colocamo-os em evidência:
$$\boxed{6x^2-9ax}+\boxed{4bx-6ab}$$
E agora fazemos:
$$3x(2x-3a)+2b(2x-3a)$$
Como a expressão ainda possui fatores comuns, fazemos:
$$(2x-3a)(3x+2b)$$
Para verificarmos este resultado, aplicamos a propriedade distributiva e comparamos com a expressão original:
$$(2x-3a)(3x+2b)=6x^2+4bx-9ax-6ab$$

Caso $3$: Trinômio Quadrado Perfeito

Um trinômio é chamado de trinômio quadrado perfeito quando dois de seus termos possuem raiz quadrada exata e o terceiro termo for duas vezes o produto dessas raízes.

Para o caso do trinômio $x^2+2xy+y^2$, temos que os termos $x^2$ e $y^2$ possuem raiz quadrada exata: $\sqrt{x^2}=x$ e $\sqrt{y^2}=y$ e o terceiro termo $2xy$ é igual a duas vezes o produto das raízes quadradas dos outros dois termos.

Um trinômio quadrado perfeito pode ser decomposto na soma ou na diferença das raízes quadradas dos termos que possuem raiz quadrada exata:

$i)$ $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$

Para verificarmos esta igualdade, basta percebermos que $(x+y)^2=(x+y)(x+y)$. Desta forma, aplicando a propriedade distributiva, obtemos:
$$(x+y)(x+y)=x^2+xy+xy+y^2=x^2+2xy+y^2$$
$ii)$ $x^2-2xy+y^2$

Analogamente ao item $i)$, fazemos:
$$(x-y)(x-y)=x^2-xy-xy+y^2=x^2-2xy+y^2$$
Observando os itens $i)$ e $ii)$, podemos resumir como:

O quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro pelo segundo termos, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplo $5$: Fatorar a expressão $9x^2+6x+1$.

Primeiramente temos que localizar os termos que possuem raiz quadrada exata, que neste exemplo são os termos $9x^2$ e $1$, pois $\sqrt{9x^2}=3x$ e $\sqrt{1}=1$. Vejam que o segundo termo $6x$ é duas vezes o produto das raízes quadradas dos outros dois termos. Temos que:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
\sqrt{9x^2}=3x\\
\sqrt{1}=1
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Assim:
$$9x^2+6x+1=(3x+1)^2$$

Exemplo $6$: Fatorar a expressão $4x^2-12xy+9y^2$.

Vemos claramente que o primeiro e o terceiro termos possuem raízes quadradas exatas: $\sqrt{4x^2}=2x$ e $\sqrt{9y^2}=3y$. Já o segundo termo é o duplo produto das raízes quadradas dos outros dois termos:
$$4x^2-12xy+9y^2=(2x-3y)^2$$

Observações: Quando fatoramos um trinômio quadrado perfeito, este é transformado no quadrado de uma soma ou no quadrado de uma diferença:
\begin{matrix}
\bullet \: x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\\
\bullet \: x^2-2xy+y^2 =(x-y)^2
\end{matrix}

Caso $4$: Trinômio do Segundo Grau da Forma $x^2+Sx+P$.

Esse tipo de fatoração é conhecido como fatoração por Soma e Produto. Num trinômio de segundo grau da forma $x^2+Sx+P$, assumindo que $S=u+v$ e $P=u \cdot v$, podemos decompô-lo num produto de binômios do primeiro grau:
$$x^2+Sx+P=(x+u)(x+v)$$
Talvez se pensarmos do modo inverso, facilite o entendimento. Vamos considerar o produto entre dois binômios do primeiro grau:
$$(x+u)(x+v)$$
Aplicando a propriedade distributiva, obtemos:
$$x^2+ux+vx+uv=x^2+x(u+v)+uv$$
sendo $x$ a incógnita e $u$ e $v$ constantes quaisquer. Sendo assim:
$\bullet \: x^2$ é o primeiro termo;
$\bullet \: x(u+v)$ é o segundo termo;
$\bullet \: v$ é o terceiro termo.

Se fizermos $S=u+v$ e $P=uv$, a expressão assume a forma $x^2 + Sx +P$.

Exemplo $7$: Fatorar a expressão $x^2+8x+15$.

Nesta expressão, $8x$ é o segundo termo e $15$ é o terceiro termo. Então, temos que:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
S=u+v=8\\
P=uv=15
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Para fatorar a expressão, temos que encontrar dois números cujas soma seja igual a $8$ e cujo produto seja igual a $15$.

Com a prática, identificamos estes números rapidamente, mas se não soubermos, podemos montar uma tabela com as possibilidades. Devemos observar que:

$1)$ O produto $P=uv=15$ é um número positivo; logo, os números devem possuir o mesmo sinal, ambos positivos ou ambos negativos;
$2)$ A soma $S=u+v=8$ é positiva. Logo, os dois números são positivos.

Montemos uma tabela com produto entre dois números positivos que resulte em $15$ e suas respectivas somas, a fim de checar qual dessas somas resulta em $8$:
Vemos que os números procurados são $3$ e $5$, pois o produto entre eles é $15$ e a soma é $8$. Logo:
$$x^2+8x+15=(x+3)(x+5)$$

Exemplo $8$: Fatorar a expressão $x^2-9x+20$.

Temos que:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
S=u+v=-9\\
P=uv=20
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Temos que encontrar dois números cuja soma seja $-9$ e cujo produto seja $20$. Devemos observar que:

$1)$ O produto $P=uv=20$ é positivo, logo os números possuem o mesmo sinal;
$2)$ A soma $S=u+v=-9$ é negativa. Logo os números são negativos.

Mantemos uma tabela com o produtos entre dois números negativos que resultem em $20$ e suas respectivas somas, a fim de checar qual dessas somas resulta em $-9$:

Os números procurados são $-4$ e $-5$, pois o produto entre eles é $20$ e a soma $-9$. Logo:
$$x^2-9x+20=(x-4)(x-5)$$

Exemplo $9$: Fatorar a expressão $x^2+3x-28$.

Temos que:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
S=u+v=3\\
P=uv=-28
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Devemos observar que:

$1)$ O produto $P=uv=-28$ é negativo, sugerindo que os números possuem sinais contrários;
$2)$ Como a soma $S=u+v=3$ é positiva, concluímos que o maior número em valor absoluto é positivo.

Montamos uma tabela com o produto entre os números, sendo o maior em valor absoluto positivo e o menor, negativo, com suas respectivas somas:

Os números procurados são $-4$ e $7$, pois o produto entre eles vale $-28$ e a soma é $3$. Assim:
$$x^2+3x-28=(x-4)(x+7)$$

Exemplo $10$: Fatorar a expressão $x^2-2x+15$.

Temos que:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
S=u+v=-2\\
P=uv=-15
\end{matrix}\right.
\end{equation*} 
Observemos que:

$1)$ O produto $P=uv=-15$; logo os números possuem sinais contrários;
$2$ Como a soma $S=u+v=-2$, concluímos que o maior número em valor absoluto é negativo. Montemos uma tabela:

Os números procurados são $3$ e $-5$, pois o produto entre eles vale $-15$ e a soma vale $-2$. Logo:
$$x^2-2x-15=(x+3)(x-5)$$

Caso $5$: Diferença de Quadrados

Quando um binômio é a diferença de dois quadrados perfeitos, podemos decompô-lo em dois fatores, sendo um a soma e o outro a diferença das raízes quadradas dos termos do binômio:
$$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$$
Esta igualdade é fácil de verificar aplicando a propriedade distributiva:
$$(x+y)(x-y)=x^2-xy+xy-y^2=x^2-y^2$$

Exemplo $11$: Fatorar o binômio $x^2-25$.

Olhando individualmente cada termo do binômio temos que $\sqrt{x^2}=x$ e $\sqrt{25}=5$, logo:
$$x^2-25=(x+5)(x-5)$$

Exemplo $12$: Fatorar o binômio $36x^4-144y^2$.

Para cada termo do binômio, temos que $\sqrt{36x^2}=6x^2$ e $\sqrt{144y^2}=12y$. Assim:
$$36x^4-144y=(6x^2+12y)(6x^2-12y)$$

Caso $6$: Soma e Diferença de Cubos

Quando um binômio é uma soma ou diferença de cubos, podemos decompô-lo num produto de dois fatores, sendo o primeiro um binômio e o segundo um trinômio:
$$x^3\pm y^3=(x \pm y)(x^2 \mp xy+y^2)$$
Podemos verificar esta igualdade aplicando a propriedade distributiva:
$$(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3-x^2y+xy^2+x^2y-xy^2+y^3=x^3+y^3$$
Para a diferença de cubos $x^3-y^3$, procedemos de modo análogo, mas fica a cargo do leitor a verificação.

Exemplo $13$: Fatorar a expressão $64+x^6$.

Podemos reescrever a expressão como $4^3+(x^2)^3$. Agora temos:
$$64+x^6=(4+x^2)(16-4x^2+x^4)$$

Exemplo $14$: Fatorar a expressão $x^6y^3-27z^9$.

Primeiramente reescrevemos a expressão como:
$$(x^2)^3y^3-3^3(z^3)^3=(x^2y)^3-(3z^3)^3$$
Assim:
$$x^6y^3-27z^9=(x^2y-3z^3)(x^4y^2+3x^2yz^3+9z^6)$$


Caso $7$: Polinômio Cubo Perfeito

Um polinômio é um cubo perfeito quando dois de seus quatro termos possuem raiz cúbica exata e os outros dois são o triplo produto do quadrado da primeira raiz pela segunda e o triplo produto do quadrado da segunda raiz pela primeira.

Um polinômio cubo perfeito pode ser decomposto no cubo da soma ou no cubo da diferença das raízes cúbicas dos termos que possuem raiz cúbica exata:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\\
(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3
\end{matrix}\right.
\end{equation*}

Exemplo $15$: Fatorar a expressão $8x^3+36x^2y+54xy^2+27y^3$.

Os termos que possuem raiz cúbica exata são $8x^3$ e $27y^3$, pois $\sqrt[3]{8x^3}=2x$ e $\sqrt[3]{27y^3}=3y$; Já os dois termos restantes são o triplo produto do quadrado de uma raiz pela outra, pois $36x^2y=3\cdot (2x)^2\cdot (3y)$ e $54xy^2=3\cdot (2x)\cdot (3y)^2$. Assim:
$$8x^3+36x^2y+54xy^2+27y^3=(2x+3y)^3$$
Vejam que a fatoração nos leva ao cubo da soma. Observem que os sinais são todos positivos.

Exemplo $16$: Fatorar a expressão $x^3-6x^2+12x-8$.

As raízes cúbicas exatas são $x^3$ e $8$, pois $\sqrt[3]{x^3}=x$ e $\sqrt[3]{8}=2$; Já ps odis termos restantes são o triplo produto de uma raiz pelo quadrado da outra, pois $6x^2=3\cdot x^2 \cdot 2$ e $12x=3\cdot x \cdot 2^2$. Assim:
$$x^3-6x^2+12x-8=(x-2)^3$$
Vejam que a fatoração nos leva a um cubo da diferença. Observem que os sinais são alternados.

Exercícios: Fatorar as expressões abaixo.

$1) \: a^3-ax \qquad 2)\: 6x^3+2x^4+4x^5$

$3)\: 10a^2b^3c^4-15a^3b^2c^4+30a^4b^3c^2 \qquad 4) \: 2x+cx+2c+c^2$

$5) \: 6x^2+3xy-2ax-ay \qquad 6) \: x^2+mxy-4xy-4my^2$

$7) \: 4x^2+4x+1 \qquad 8) \: \displaystyle \frac{9}{25}x^6+\frac{12}{5}x^3y+4y^2$

$9)\: x^2+y^8-2y^4x \qquad 10) \: x^2+7x+10$

$11) \: x^2+x-12 \qquad 12)\: y^2-2y-15$

$13) \: a^2-2a-8 \qquad 14) \: 121x^4-64y^6$

$15)\: \displaystyle x^4 -\frac{9}{16} \qquad 16)\: (3a+2b)^2-(3a-2b)^2$

$17) \: x^9+y^6 \qquad 18)\:125x^6-1$

$19)\: \displaystyle \frac{a^3m^{15}}{125}-1 \qquad 20)  \:b^6-9b^4+27b^2-27$

$21)\:a^3x^6+3a^2x^4y^2+3ax^2y^4+y^6 \qquad 22) \: 4x^3-16x$

$23)\: x^4+x \qquad 24)\: 3ax^2-3ay^2+6x^2-6ay^2$

Referências:

[1] Fundamentos da Matemática - 7ª Série - Ismael Reis


Veja mais: 

Completando Quadrados
Fatoração do Trinômio Quadrático em Z no blog Fatos Matemáticos
O Uso de Figuras Geométricas em Questões Algébricas no blog Vivendo Entre Símbolos

Imprimir

Redes Sociais

Arquivo do Blog