25 de jan de 2014

Conjecturas de Sebá Sobre a Distância Entre Dois Números Primos Consecutivos

Depois que Euclides provou, usando a matemática de sua época, que existem infinitos números primos, outros matemáticos também demonstraram, mas usando uma matemática muito mais avançada daquela que Euclides usou na sua demonstração.
Que existem infinitos números primos, não há mais dúvida após a demonstração dada por Euclides, mas e a distância entre dois números primos consecutivos, por que nenhum autor de livros de teoria dos números ainda não se pronunciou? É claro, que à medida que os números primos crescem, a distância entre dois números primos consecutivos cresce enormemente, haja vista que existem desertos de primos, com lacunas preenchidas por números compostos, de comprimentos tão grande quanto se queira,.

Será que existe algum caso particular no qual os números primos apresentem algum padrão na sua distribuição? Sim! É o que  veremos a seguir.
  
Conjectura (Sebá $1$): Se escolhermos uma sequência de  n primos consecutivos $p_1$, $p_2$, $p_3$, $\cdots$, $p_{n-2}$, $p_{n-1}$, $p_n$, e subtrairmos $(p_2 – p_1)$, $(p_3 – p_2)$, $\cdots$ , $(p_{n-1} – p_{n-2})$  e  $(p_n – p_{n-1})$, a soma das diferenças é igual a $p_n – p_1$, ou seja, $p_n – p_1 =$ $(p_2 – p_1)$ $+ (p_3 – p_2)$ $+ \cdots + (p_{n-1} – p_{n-2})$  $+ ( p_n – p_{n-1})$.

Exemplo $1$: $2,3,5,7,11,13,17$
\begin{matrix}
17–2= (3–2)+(5–3)+(7–5)+(11–7)+(13–11)+(17–13)
\\15=1+2+2+4+2+4
\end{matrix}

Exemplo $2$: $31, 37, 41, 43, 47, 53$
\begin{matrix}
53–31=(37–31)+(41–37)+(43–41)+(47–43)+(53–47)
\\22=6+4+2+4+6
\end{matrix}

Exemplo $3$: $127, 131, 137, 139, 149$
\begin{matrix}
149–127=(131–127)+(137–131)+(139–137)+(149–139)
\\22=4+6+2+10
\end{matrix}

Exemplo $4$: $1901, 1907, 1913, 1931$
\begin{matrix}
1931–1901=(1907–1901)+(1913–1907)+(1931–1913)
\\30=6+6+18
\end{matrix}

Exemplo $5$: $2689, 2693, 2699, 2707$
\begin{matrix}
2707-2689=(2693–2689)+(2699–2693)+(2707–2699)
\\18=4+6+8
\end{matrix}

E assim por diante.

Por meio dos exemplos da conjectura (Sebá 1), elaborou-se a seguinte conjectura:

Conjectura (Sebá $2$): Se $p_1$ e $p_n$ forem dois primos consecutivos e $p_n–p_1=k$, então $k–1$ é a quantidade de números compostos entre  $p_1$ e $p_n$. 

Exemplo $6$: Sejam $p_1$ e $p_n$ dois primos consecutivos $p_1=3$ e $p_n=5$, então $p_n–p_1=2$. Logo, $k=2$ e $k–1=2–1=1$. Portanto, existe um número composto entre os dois primos consecutivos $3$ e $5$.


Exemplo $7$: Sejam $p_1$ e $p_n$ dois primos consecutivos $p_1=7$ e $p_n=11$, então $p_n–p_1=4$. Logo $k=4$ e $k–1=4–1=3$. Portanto, existem $3$ números compostos entre os dois primos consecutivos $7$ e $11$.

Exemplo $8$: Sejam $p_1$ e $p_n$ dois primos consecutivos $p_1=23$ e $p_n=29$, então $p_n–p_1=6$. Logo $k=6$ e $k–1=6–1=5$. Portanto, existem $5$ números compostos entre os dois primos consecutivos $23$ e $29$.

Exemplo $9$: Sejam $p_1$ e $p_n$ dois primos consecutivos $p_1=89$ e $p_n=97$, então $p_n–p_1=8$. Logo $k=8$ e $k–1=8–1=7$. Portanto, existem $7$ números compostos entre os dois primos consecutivos $89$ e $97$.

Exemplo $10$: Sejam $p_1$ e $p_n$ dois primos consecutivos $p_1=139$ e $p_n=149$, então $p_n–p_1=10$. Logo $k=10$ e $k–1=10–1=9$. Portanto, existem $9$ números compostos entre os dois primos consecutivos $139$ e $149$.

Exemplo $11$: Sejam $p_1$ e $p_n$ dois primos consecutivos $p_1=75042769$ e $p_n=75042917$, então $p_n–p_1=148$. Logo $k=148$ e $k–1=148–1=147$. Portanto, existem $147$ números compostos entre os dois primos consecutivos $75042769$ e $75042917$.

E assim por diante.

Já que à medida que os números primos crescem, a distância entre dois números primos consecutivos também cresce. Vamos analisar o comprimento da distância entre dois números primos consecutivos por meio da diferença entre as suas  raízes quadradas.

Conjectura (Sebá $3$): Se $p_1$ e $p_2$ forem dois primos consecutivos e $p_2-p_1=2n$ então as diferenças $\sqrt{p_2}-\sqrt{p_1}$ decrescem à medida que $p_1$ e $p_2$ crescem.

Tabela $1$: A diferença $\sqrt{p_2}-\sqrt{p_1}$, para $p_2-p_1=2$

Tabela $2$: A diferença $\sqrt{p_2}-\sqrt{p_1}$, para $p_2-p_1=4$

Tabela $3$: A diferença $\sqrt{p_2}-\sqrt{p_1}$, para $p_2-p_1=6$

Tabela $4$: A diferença $\sqrt{p_2}-\sqrt{p_1}$, para $p_2-p_1=8$

Tabela $5$: A diferença $\sqrt{p_2}-\sqrt{p_1}$, para $p_2-p_1=10$

E assim por diante.

Nota-se pelas tabelas acima que para $p_2-p_1=2$, $4$, $6$, $8$ ou $10$, as diferenças $\sqrt{p_2}-\sqrt{p_1}$ decrescem à medida que $p_1$ e $p_2$

Será que a diferença $\sqrt{p_2}-\sqrt{p_1}$  é menor que a unidade porque as diferenças $2$, $4$, $6$, $8$ ou $10$ são pequenas entre os dois primos consecutivos $p_1$ e $p_2$?  Tendo em vista que à medida que os números primos crescem eles vão ficando mais escassos, será que se aumentarmos $p_1$ e $p_2$ para a ordem de centenas de milhares  ou milhões, as diferenças $\sqrt{p_2}-\sqrt{p_1}$  continuarão menores que a unidade? É o que veremos a seguir.

Tabela $6$: A diferença $\sqrt{p_2}-\sqrt{p_1}$, para $22 \leq p_2 - p_1 \leq 148$

Para a tabela $6$, nota-se que para $p_1$ e$ p_2$ na ordem de milhões, as diferenças $\sqrt{p_2}-\sqrt{p_1}$ ainda continuam menores que $0,5$.

Conjectura (Sebá $4$): Se $p_1$ e $p_2$ forem dois números primos consecutivos, então $\sqrt{p_2}-\sqrt{p_1}<1$.

Qual será o comportamento da diferença $\sqrt{p_2}-\sqrt{p1}$ se $p_1$ e $p_2$ nao forem consecutivos? Sempre que $p_2-p_1=2$, $p_1$ e $p_2$ são consecutivos, mas se $p_2-p_1=4$, $6$, $8$, $10$, $\cdots$ $p_1$ e $p_2$ podem ser consecutivos ou não. Se não, vejamos:

Para $p_1 = 3$ e $p_2 = 7$, temos que $p_2 – p_1 = 4$. Assim,  $p_1$ e $p_2$ não são consecutivos porque existe o primo $5$ entre os primos $3$ e $7$.

Para $p_1 = 7$ e $p_2 = 11$, temos que  $p_2 – p_1 = 4$. Assim, $p_1$ e $p_2$ são consecutivos porque não existe nenhum  primo entre os primos $7$ e $11$.

Para $p_1 = 7$ e $p_2 = 13$, temos que $p_2 – p1 = 6$. Assim, $p_1$ e $p_2$ não são consecutivos porque existe o primo $11$ entre os primos $7$ e $13$.

Para $p_1 = 23$ e $p_2 = 29$, temos que $p_2 – p1 = 6$. Assim, $p_1$ e $p_2$ são consecutivos porque não existe nenhum primo  entre os primos $23$ e $29$.

Para $p_1 = 11$ e $p_2 = 19$, temos que $p_2 – p1 = 8$. Assim, $p_1$ e $p_2$ não são consecutivos porque existem os primos $13$ e $17$  entre os primos $11$ e $19$.

Para $p_1 = 89$ e $p_2 = 97$, temos que $p_2 – p1 = 8$. Assim, $p_1$ e $p_n$ são consecutivos porque não existe nenhum primo  entre os primos $89$ e $97$.

Para $p_1 = 13$ e $p_2 = 23$, temos que $p_2 – p1 = 10$. Assim, $p_1$ e $p_2$ não são consecutivos porque existem os primos $17$ e $19$ entre os primos $13$ e $23$.
.
Para $p_1 = 139$ e $p_2 = 149$, temos que $p_2 – p_1 = 10$. Assim, $p_1$ e $p_2$ são consecutivos porque não existe nenhum primo entre os primos $139$ e $149$.

Vejamos o comportamento da diferença $\sqrt{p_2}-\sqrt{p_1}$ se $p_1$ e $p_2$ não forem consecutivos:

Tabela $7$: A diferença $\sqrt{p_2}-\sqrt{p_1}$ para $p_1$ e $p_2$ não-consecutivos

Nota-se pela tabela $7$ que para $p_2-p_1=4$, $6$, $8$ ou $10$, as diferenças $\sqrt{p_2}-\sqrt{p_1}$ aumentam à medida que $p_1$ e $p_2$ aumentam, chegando a serem próximas ou maiores que a unidade.

Conjectura (Sebá $5$): Se $p_1$ e $p_2$ não forem consecutivos, então $0<\sqrt{p_2}-\sqrt{p_1}<1$ ou $\sqrt{p_2}-\sqrt{p_1}>1$.

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB, além de colaborador deste blog.

Veja mais: 

Sobre os Primos Gêmeos
Deserto Entre Números Primos
Critérios de Divisibilidade por Qualquer Número Primo Maior que Onze

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12 de jan de 2014

Construção Geométrica da Parábola pelo Método das Mediatrizes

Este método, permite a construção de uma parábola a partir de seu foco $F$ e da reta diretriz $d$. Quando traçamos as mediatrizes do ponto $F$ e dos pontos $P_N$ sobre a diretriz, a envoltória criada pelas mediatrizes gera a parábola.

Dado um foco $F$ e uma reta diretriz $d$, podemos construir uma parábola como se segue:

$1)$ Trace o eixo de simetria da parábola, que passa pelo foco $F$ e é perpendicular à diretriz.

$2)$ Trace a mediatriz dos pontos $F$ e $P_0$, marcando o ponto $V$ na intersecção com o eixo de simetria. Este ponto é o vértice da parábola.

$3)$ Marque $P_1$ sobre qualquer ponto da diretriz, trace a mediatriz $M_1$ dos pontos $F$ e $P_1$ e trace a perpendicular $t_1$ por $P_1$. Marque o ponto $P'_1$ na intersecção da mediatriz $M_1$ com a perpendicular $t_1$.

$4)$ Marque quantos pontos $P_N$  desejar sobre a diretriz e proceda analogamente ao descrito no passo anterior para determinar os pontos $P'_N$.

$5)$ A reunião dos pontos $P'_N$ define uma parábola. Vejam que as mediatrizes $M_N$ são tangentes à parábola.

Este método pode ser obtido através da dobradura de um papel. Para ilustrar, sugiro que assistam este vídeo muito interessante:


Veja mais:

Construção Geométrica da Parábola pelo Método de Werner
Construção Geométrica da Parábola com Régua e Compasso
Construção Geométrica da Parábola pelo Método de Ibn Sinan

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11 de jan de 2014

Construção Geométrica da Parábola pelo Método de Werner

No século $XVI$, as contribuições em Geometria foram menos espetaculares do que em Álgebra ou em Trigonometria, mas alguns nomes como Francesco Maurolico e Pacioli, na Itália, e Albrecht Dürer e Johannes Werner, na Alemanha, tiveram destaque nessa época.


Werner produziu uma obra importante para a Geometria sobre Elementos de Cônicas, em latim, dividida em $22$ volumes, impressa em Nüremberg em $1522$.

Werner estava preocupado com o problema da duplicação do cubo e, então, concentrou-se muito com curvas como a parábola e a hipérbole. Ele dá uma construção interessante, utilizando apenas régua e compasso:

$1)$ Num eixo horizontal, descrevemos um feixe de circunferências tangentes entre si no ponto $a$, cortando o eixo normal nos pontos $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $\cdots$, de modo que as distâncias $\overline{bc}=\overline{cd}=\overline{de}=\cdots$.


$2)$ Marcamos uma distância $\overline{aV}$ igual a um parâmetro desejado sobre a normal e por $V$ traçamos uma perpendicular, cortando as circunferências nos pontos $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $\cdots$, respectivamente.

$3)$ Por $b$, traçamos os segmentos $\overline{bB'}$ e $\overline{bB''}$, perpendiculares à normal e de comprimento igual à $\overline{VB}$. Obtemos facilmente traçando paralelas à normal no ponto $B$. Por $c$, traçamos os segmentos $\overline{cC'}$ e $\overline{cC''}$, perpendiculares à normal e de comprimento igual à $\overline{VC}$. Procedemos analogamente para os pontos $d$, $e$, $f$, $\cdots$

$4)$ Os pontos $B'$, $B''$, $C'$, $C''$, $D'$, $D''$, $\cdots$ estão sobre a parábola de vértice $V$, cujo eixo de simetria é a normal.

Referências:

[1] História da Matemática - Carl Boyer


Veja mais:

Construção Geométrica da Parábola com Régua e Compasso
Construção Geométrica da Parábola pelo Método de Ibn Sinan
Construção Geométrica da Hipérbole com Régua e Compasso

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