2 de out de 2014

Teorema do Quadrilátero Inscritível

Um quadrilátero está inscrito numa circunferência se seus vértices são pontos desta circunferência.

Teorema:

Se um quadrilátero é inscritível numa circunferência, então os ângulos opostos são suplementares.

Por hipóteses temos que o quadrilátero $ABCD$ está inscrito na circunferência $\lambda$. Em tese temos que:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
\alpha & + & \gamma & = & 180^\circ\\
\beta & + & \delta & = & 180^\circ
\end{matrix}\right.
\end{equation}

Demonstração:

Pelo teorema do ângulo inscrito, temos que o ângulo $\alpha$ é igual à metade do arco $\widehat{BCD}$:
\begin{equation}
\alpha=\frac{\widehat{BCD}}{2}
\end{equation}

Analogamente temos que o ângulo $\gamma$ é igual à metade do arco $\widehat{DAB}$:
\begin{equation}
\gamma = \frac{\widehat{DAB}}{2}
\end{equation}
Assim:
\begin{equation}
\left.\begin{matrix}
\alpha & = & \frac{\widehat{BCD}}{2}\\
\gamma& = & \frac{\widehat{DAB}}{2}
\end{matrix}\right\}
\Rightarrow \alpha + \gamma = \frac{\widehat{BCD}+\widehat{DAB}}{2}=\frac{360^\circ}{2}=180^\circ
\end{equation}Analogamente provamos que $\beta + \delta = 180^\circ$, ou ainda observando que como a soma dos ângulos internos de uma quadrilátero é igual a $360^\circ$, segue que $\beta + \delta = 180^\circ$.

Exemplos:

$a)$ Calcule o valor de $\alpha$:

Sabemos que $\alpha + 72^\circ = 180^\circ$. Então $\alpha = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

$b)$ Calcule o valor de $\alpha$:


 Como $\alpha + 110^\circ = 180^\circ$, então $\alpha = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

$c)$ Calcule o valor de $\alpha$:


Sabemos que $112^\circ + \gamma = 180^\circ$. Então, $\gamma = 68^\circ$. Por outro lado, $\alpha + \gamma = 180^\circ$. Substituindo o valor de $\gamma$, obtemos: $\alpha = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$.

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce & Nicolau Pompeo

Veja mais:

➊ Organograma dos Quadriláteros Notáveis
➋ Teorema do Ângulo Inscrito
➌ Quadriláteros Notáveis


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6 comentários:

  1. Os quadriláteros com lados de medida inteira inscritíveis numa circunferência. Assim, os lados 49, 47, 26 e 22 formam um desses quadriláteros.

    Se duas diferenças são iguais, como 192 = 49^2 – 47^2 = 26^2 – 22^2, também se verificará que 492 + 222 = 262 + 472, que se pode interpretar como dois triângulos retângulos que tem um mesmo diâmetro, portanto formarão um quadrilátero inscritível.

    Abraços

    Prof. Sebá

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  2. Muito bom esse estudo. Gostei bastante :D

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  3. vlw deu pra entender tudo e vlw pelos exemplo

    ResponderExcluir
  4. No quadro de ANÓNIMO não entendo a razão de ser da igualdade 492 + 222 = 262 + 472.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Na verdade, faltou indicar o expoente 2:

      49^2 + 22^2 = 26^2 + 47^2

      Excluir

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