11 de jan de 2014

Construção Geométrica da Parábola pelo Método de Werner

No século $XVI$, as contribuições em Geometria foram menos espetaculares do que em Álgebra ou em Trigonometria, mas alguns nomes como Francesco Maurolico e Pacioli, na Itália, e Albrecht Dürer e Johannes Werner, na Alemanha, tiveram destaque nessa época.


Werner produziu uma obra importante para a Geometria sobre Elementos de Cônicas, em latim, dividida em $22$ volumes, impressa em Nüremberg em $1522$.

Werner estava preocupado com o problema da duplicação do cubo e, então, concentrou-se muito com curvas como a parábola e a hipérbole. Ele dá uma construção interessante, utilizando apenas régua e compasso:

$1)$ Num eixo horizontal, descrevemos um feixe de circunferências tangentes entre si no ponto $a$, cortando o eixo normal nos pontos $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $\cdots$, de modo que as distâncias $\overline{bc}=\overline{cd}=\overline{de}=\cdots$.


$2)$ Marcamos uma distância $\overline{aV}$ igual a um parâmetro desejado sobre a normal e por $V$ traçamos uma perpendicular, cortando as circunferências nos pontos $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $\cdots$, respectivamente.

$3)$ Por $b$, traçamos os segmentos $\overline{bB'}$ e $\overline{bB''}$, perpendiculares à normal e de comprimento igual à $\overline{VB}$. Obtemos facilmente traçando paralelas à normal no ponto $B$. Por $c$, traçamos os segmentos $\overline{cC'}$ e $\overline{cC''}$, perpendiculares à normal e de comprimento igual à $\overline{VC}$. Procedemos analogamente para os pontos $d$, $e$, $f$, $\cdots$

$4)$ Os pontos $B'$, $B''$, $C'$, $C''$, $D'$, $D''$, $\cdots$ estão sobre a parábola de vértice $V$, cujo eixo de simetria é a normal.

Referências:

[1] História da Matemática - Carl Boyer


Veja mais:

Construção Geométrica da Parábola com Régua e Compasso
Construção Geométrica da Parábola pelo Método de Ibn Sinan
Construção Geométrica da Hipérbole com Régua e Compasso

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8 comentários:

  1. Interessante a construção da parábola por este método. Como sempre, este blog é especialista nesses tipos de construções.

    É possível, com régua e compasso extrair a raiz cúbica de um número com um número desejável de casas decimais, que nem vi uma vez para aproximar o pi?

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    Respostas
    1. Acredito que a extração de uma cúbica recaia no problema da duplicação do cubo, que já foi provado a impossibilidade utilizando régua e compasso. O que conseguimos é aproximações, como a do pi, da quadratura do círculo, apesar de não ter tentado isso ainda. Acho que seria bem interessante. Vou tentar alguma coisa.

      Obrigado pela visita e comentário.

      Um abraço!

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  2. boa noite, como demostrar q essa construção realmente da uma parabola?

    Att,
    Bruno

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    Respostas
    1. Não sei dizer no momento. Penso que uma forma seria encontrar o foco ou a diretriz. Mas dada uma parábola com traçar sua diretriz usando apenas regua e compasso?

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    2. Olá Kleber, pensei na sua pergunta e consegui uma maneira de achar o foco só com régua e compasso. Vê se procede, os passos são os seguintes:

      1 - escolha um ponto da parábola e faço um circunferência com centro nesse ponto que tangencia o eixo vertical (para parábolas deitadas)

      2- repita o mesmo procedimento para outro ponto

      3 - liga os dois pontos em que as circunferências se cruzam. Essa reta vai cortar o eixo no foco

      Obs 1: Sempre que a circunferência aumenta, o ponto em que ela corta o eixo x (para parabolas deitadas) se aproxima do foco

      Obs 2: Fiz algumas montagens do que estou falando no geogebra e bateu, se quiser posso te passar.

      Abraço,

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    3. Olá Bruno. Ou eu não entendi ou não deu certo. Teria como me enviar um print da construção? Não uso o geogebra. Envie no meu e-mail:
      kleberkilhian@gmail.com

      Abraços.

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    4. Bruno, nesta página, o autor ensina a encontrar o foco, dada uma parábola: http://whistleralley.com/conics/conic_construction/parabola_parts/

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    5. Obrigado Kleber pela resposta e pelo link, acabei de enviar o email
      abraço

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