30 de dez de 2013

Christiaan Huygens e o Relógio de Pêndulo

Christiaan Huygens nasceu a $14$ de abril de $1629$ em Haia, Países Baixos e faleceu em $8$ de julho de $1695$ no mesmo local.

Em física, Huygens é bastante lembrado por seus estudos sobre luz e cores, percepção do som, estudo da força centrífuga, o entendimento das leis de conservação em dinâmica equivalentes ao moderno conceito de conservação de energia, o estudo da dupla refração no cristal da Islândia, e a teoria ondulatória da luz baseada na concepção de que a luz seria um pulso não periódico propagado pelo éter. Através dela, explicou satisfatoriamente fenômenos como a propagação retilínea da luz, a refração e a reflexão. Também procurou explicar o então recém descoberto fenômeno da dupla refração. Seus estudos podem ser consultados em seu mais conhecido trabalho sobre o assunto, o "Tratado sobre a luz".

Já na matemática, é bastante lembrado por seus estudos e escritos no campo da teoria das probabilidades, estudo de curvas e inícios do cálculo diferencial (interpretação geométrica), o conceito de evolvente foi introduzido por Huygens. Também descobriu que a ciclóide é uma curva isocrônica. Huygens sabia por meio de Mersenne que, apesar das afirmações de Galileu, o período de um pêndulo circular depende de sua amplitude. Então, Huygens demonstrou matematicamente que, para pequenas amplitudes, um pêndulo circular é aproximadamente isócrono e que o real isocronismo é obtido por meio de um pêndulo cicloidal.

[Figura 1 - Christiaan Huygens] 
Em astronomia, descobriu os anéis de Saturno e sua lua Titã. Em homenagem ao seu trabalho, a sonda Cassini-Huygens foi batizada com o seu nome.

Discordava de vários aspectos da teoria sobre luz e cores de Isaac Newton (1643-1727), que era baseada implicitamente numa concepção corpuscular para a luz. Discutiu com ele durante muitos anos, mas, ao contrário do que geralmente se acredita, suas teorias nunca tiveram uma disputa em grandes proporções. 

Galileu Galilei foi o primeiro a observar os anéis de Saturno, porém seu instrumento (telescópio) não lhe permitiu identificar com clareza os anéis. Galileu acreditava, pelas imagens obtidas, que Saturno era um sistema planetário triplo. Huygens, com um telescópio mais poderoso, pôde identificar os anéis e descobrir Titã, a maior lua de Saturno e a segunda maior do sistema solar, em 1655.

Huygens foi membro de uma proeminente família holandesa e filho do diplomata Constantin Huygens, foi encorajado em suas atividades matemáticas, quando jovem, tanto por Descartes quanto por Mersene, que eram associados de seu pai. Christiaan se tornou um cientista de reputação internacional, que é lembrado pelo princípio que leva seu nome na teoria ondulatória da luz, pela observação dos anéis de Saturno e pela real invenção do relógio de pêndulo. Foi em conexão com uma busca de melhoramentos em horologia que fez sua descoberta matemática mais importante.

 
[Figura 2 - Horologium oscillatorium - 
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Imagem: Wikipédia]

Huygens sabia que as oscilações de um pêndulo simples não são estritamente isócronas, mas dependem da amplitude da oscilação. Em outras palavras, se um objeto é colocado sobre o lado de uma superfície hemisférica lisa, e é largado, o tempo que leva para chegar ao ponto mais baixo será quase, mas não exatamente, independente da altura em que foi largado. Aconteceu que Huygens inventou o relógio de pêndulo quase ao mesmo tempo em que se realizava o concurso de Pascal sobre a ciclóide, em $1658$, e ocorreu-lhe considerar o que aconteceria se a superfície hemisférica fosse substituída por outra, cuja secção fosse um arco de ciclóide invertido. Huygens ficou satisfeitíssimo ao observar que em tal caso, o objeto chegara ao ponto mais baixo exatamente no mesmo tempo, qualquer que seja a altura sobre a superfície interna em que o objeto seja colocado na partida.

A ciclóide é verdadeiramente uma tautócrona, isto é, sobre um arco de ciclóide invertido, um objeto escorregará de um ponto qualquer até o fundo exatamente no mesmo tempo, qualquer que seja o ponto de partida.
[Modelo de pendulo cicloidal de Huygens -
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Imagem: Museo Galileo]

Mas uma grande questão permanecia. Como fazer com que um pêndulo oscile em um arco de ciclóide em vez de um arco circular? Neste ponto, Huygens fez mais uma bela descoberta. Se suspendermos de um ponto $P$ na cúspide entre dois semiarcos de ciclóide invertidos, $PQ$ e $PR$, de um pêndulo cujo comprimento seja igual ao comprimento de qualquer dos semiarcos, a extremidade do pêndulo descreverá um arco que é um arco de ciclóide $QSR$ exatamente do mesmo tamanho e forma que os arcos de que $PQ$ e $PR$ são partes. Em outras palavras, se o pêndulo do relógio oscila em uma cunha cicloidal, ele será verdadeiramente isócrono.
[Figura 3]

Huygens fez alguns relógio de pêndulo assim, mas verificou que, ao funcionar, eles não eram mais precisos que os que dependiam das oscilações de um pêndulo ordinário simples, que são praticamente isócronos para oscilações muito pequenas. No entanto, Huygens, nessa investigação, tinha feito uma descoberta de importância matemática capital: a involuta de uma ciclóide é uma ciclóide semelhante, ou inversamente, a evoluta de uma ciclóide é uma ciclóide semelhante. Esse teorema e outros resultados sobre involutas e evolutas de outras curvas foram demonstrados por Huygens de modo essencialmente arquimediano e fermatiano, tomando pontos próximos e observando o resultado quando o intervalo desaparece. Descartes e Fermat tinham usado esse artifício para normais e tangentes a uma curva, e agora Huygens aplicou-o para achar o que chamamos de raio de curvatura de uma curva plana.  Se em pontos próximos $P$ e $Q$ sobre uma curva acharmos as normais e seu ponto de intersecção $I$, então, quando $Q$ tende a $P$ ao longo da curva, o ponto variável $I$ tende a um ponto fixo $O$, que é chamado centro de curvatura da curva para o ponto $P$, e a distância $OP$ é chamada de raio de curvatura.
[Figura 4]

O lugar geométrico dos centros de curvatura $O$ para os pontos $P_N$ de uma curva dada $C_i$ é uma segunda curva $C_e$ chamada evoluta da curva $C_i$. E toda curva $C_i$ de que $C_e$ seja evoluta, chama-se involuta de $C_e$. É claro que a envoltória das normais a $C_i$ será $C_e$, a curva tangente a cada uma das normais.

Na figura $3$, a curva $QPR$ é a evoluta da curva $QSR$ e tangentes a $QSP$. Quando a ponta do pêndulo se afasta mais para um lado, a corda se enrola cada vez mais ao longo da cunha cicloidal, e quando a ponta chega ao ponto mais baixo $S$, a corda se desenrola. Por isso, Huygens descreveu a ciclóide $QSR$ como ex evolutione descripta, a ciclóide $QSR$ sendo a evoluta. Em francês, usa-se développante e développée.

Referências:

[1] História da Matemática - Carl Boyer - 3ª ed. - Ed. Blucher
[2] Wikipédia - Christian Huygens

Veja mais: 

Panorama da História do Cálculo
A Curva Tautócrona no blog Fatos Matemáticos
Fatos Históricos da Ciclóide no blog Fatos Matemáticos
Algumas Propriedades Geométricas da Ciclóide no blog Fatos Matemáticos

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3 de dez de 2013

Projeção Ortogonal de um Segmento de Reta Sobre um Plano

$1)$ Projeção de um ponto

Definição $1$: Chama-se projeção ortogonal de um ponto $P$ sobre um plano $\alpha$ o pé da perpendicular ao plano conduzida pelo ponto. O plano $\alpha$ é chamado de plano de projeção e a reta perpendicular é chamada de projetante do ponto.
[Figura 1]

Assim, representamos a projeção no ponto $P$ como $P'$ contida no plano de projeção, simbolizada por $P'=\text{proj}_\alpha P$.

$2)$ Projeção de figuras

Definição $2$: Chama-se projeção ortogonal de uma figura $F$ sobre um plano $\alpha$ o cpnjunto das projeções ortogonais dos pontos que compõem esta figura.

[Figura 2]

Assim, simbolizamos a figura projetada por $F'=\text{proj}_\alpha F$.

$3)$ Projeção de uma reta

De acordo com as duas definições anteriores, temos que:

$a)$ Se a reta $r$ é perpendicular ao plano $\alpha$, sua projeção ortogonal sobre o plano é o traço da reta no plano.

[Figura 3]

Assim, $P=\text{proj}_\alpha r$.

$b)$ Se a reta for não-perpendicular ao plano $\alpha$, temos a particular definição:

Definição $3$: Chama-se projeção ortogonal de uma reta $r$ não-perpendicular ao plano $\alpha$, o traço em $\alpha$ do plano $\beta$ que contém $r$, perpendicular a $\alpha$, conduzida por $r$.

[Figura 4]

Assim, temos que $r'=\text{proj}_\alpha r$, de modo que $\alpha$ é o plano de projeção e $\beta$ é o plano projetantes de $r$.

$4)$ Projeção de um Segmento de Reta

Definição $4$: Chama-se projeção ortogonal sobre um plano $\alpha$ de um segmento $\overline{AB}$, contido numa reta não-perpendicular a $\alpha$, o segmento $\overline{A'B'}$, onde $A'=\text{proj}_\alpha$ e $B'=\text{proj}_\beta$.

[Figura 5]

Teorema $1$: A projeção ortogonal de um segmento oblíquo a um plano, sobre esse plano, é menor que o segmento.

Por hipótese, temos que o segmento $\overline{AB}$ é oblíquo ao plano $\alpha$. Logo, sua projeção $\overline{A'B'}=\text{proj}_\alpha \overline{AB}$. Em tese, temos que a projeção $\overline{A'B'}$ é menor que o segmento $\overline{AB}$.

[Figura 6]

Demonstração: Conduzimos por $A$ uma reta paralela ao segmento $\overline{A'B'}$, interceptando a reta projetante de $B$ em $B''$

Temos que $AA'B'B''$ é um retângulo. Então, $\overline{A'B'}=\overline{AB''}$. Já o triângulo $AB''B$ é retângulo em $B''$, então $\overline{AB''}<\overline{AB}$, já que $\overline{AB}$ é a hipotenusa deste triângulo. Assim, $\overline{A'B'}<\overline{AB}$.

[Figura 7]

Se uma das extremidades, por exemplo $A$, pertencer ao plano de projeção, temos que o triângulo $AB'B$ é retângulo em $B'$ e então $\overline{AB'}<\overline{AB} \Rightarrow \overline{A'B'}<\overline{AB}$.

O comprimento da projeção de um segmento não-perpendicular ao plano de projeção será sempre menor que o segmento dado e pode ser calculado se soubermos o comprimento do segmento e o ângulo de sua inclinação em relação ao plano de projeção.

[Figura 8]

Da trigonometria sabemos que:
\begin{equation*}
\cos(\theta)=\frac{\overline{AB'}}{\overline{AB}}=\frac{r'}{r}
\end{equation*}
Logo:
\begin{equation*}
r'=r\cos(\theta)
\end{equation*}

Exemplo $1$: Um segmento $\overline{AB}$ de comprimento igual a $2u.c.$ (unidades de comprimento), está iclinado a $30^\circ$ em relação ao plano de sua projeção, sendo que os pontos $A$ e $B$ não-pertencentes a este plano. Determinar o comprimento da projeção do segmento.

[Figura 9]

Aplicando a fórmula $r'=r\cos(\theta)$, obtemos:
\begin{matrix}
r'=2 \cdot(30^\circ)\\
r'=2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\
r'=\sqrt{3} u.c.
\end{matrix}
o que faz sentido, já que $r'<r$.

Podemos reunir algumas propriedades importantes:

$P_1-$ A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é um ponto.
$P_2-$ A projeção ortogonal de um segmento oblíquo a um plano, sobre o plano, é sempre menor que o segmento.
$P_3-$ A projeção ortogonal sobre um plano, de um segmento contido numa reta não-perpendicular ao plano é menor que o segmento ou congruente a ele.
$P_4-$ Se um segmento tem projeção ortogonal congruente a ele, então ele é paralelo ao plano de projeção ou está contido nele.
$P_5-$ Duas retas paralelas não-perpendiculares ao plano de projeção têm projeções paralelas.
$P_6-$ Se os planos projetantes de duas retas não-perpendiculares ao plano de projeção são paralelos, então as projeções dessas retas são paralelas.
$P_7-$ Se dois planos são perpendiculares entre si, as projeções dos pontos de um deles sobre o outro é o traço dos planos.

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V10 - Geometria Espacial - Posição e Métrica - Osvaldo Dolce & José Nicolau Pompeo

Veja mais: 

Dimensions: Um Passeio Matemático
Distância de um Ponto a uma Reta
A Prancha Trigonométrica
Torque

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