29 de set de 2013

Lobachevsky e as Geometrias Não-Euclidianas


Tudo começou com Euclides, cerca de $300a.C.$, em sua obra-prima Os Elementos a geometria foi construída sobre cinco postulados:
$I-$ Fique postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto.
$II-$ Também prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta.
$III-$ E, com todo centro e distância, descrever um círculo.
$IV-$ E serem iguais entre si todos os ângulos retos.
$V-$ E, caso uma reta, caindo sobre duas retas, faça ângulos interiores e do mesmo lado menores que dois retos, sendo prolongados as duas retas, ilimitadamente, encontram-se no lado no qual estão os menores do que dois retos.
Este quinto postulado em especial, certamente não traduzia nenhuma experiência concreta. Além disso Euclides só o enunciou depois de provar o máximo possível de teoremas sem usá-lo. Hoje podemos escrevê-lo assim:

Postulado $V$: Se num plano duas retas $a$ e $b$ são interceptadas por uma transversal $c$ de modo a formar um par de ângulos colaterais internos de soma menor que $180°$, então essas retas, prolongadas indefinidamente, se cortam do lado em que estão os ângulos considerados.

Na verdade Euclides trabalhava, em sua geometria, como em particular no postulado $V$, com segmentos de reta que prolongava num ou noutro sentido, conforme necessitasse, ao invés de retas infinitas acabadas, como se faz hoje. E o que esse postulado afirma equivale, na versão moderna da geometria euclidiana, a admitir que por um ponto fora de uma reta não há mais que uma paralela à reta. Entre as implicações importantes do postulado $V$ está o teorema que assegura ser a soma dos ângulos internos de um triângulo igual a um ângulo raso.

Desde os tempos de Euclides dezenas de matemáticos tentaram provar esse postulado, a partir dos outros quatro, achando que se tratasse na verdade de mais um teorema. Um deles foi Nikolai Ivanovich Lobachevsky $(1792-1856)$, um russo natural da atual cidade de Gorki, cuja vida acadêmica sempre esteve vinculada à Universidade de Kazan, desde seu ingresso como aluno de $1827$ a $1846$. Diga-se de passagem que o fato de Lobachevsky ter alcançado a reitoria da Universidade de Kazan não foi um prêmio a seus méritos científicos. Estes jamais foram reconhecidos devidamente durante sua vida. Pelo contrário, uma versão de suas ideias geométricas, datando de $1829-30$, chegou a ser recusada para publicação pela Academia de Ciências de São Petersburgo.

Na mesma época, o matemático húngaro János Bolyai $(1802-1860)$ anunciou, de forma independente, a descoberta de geometrias não-euclidianas. O trabalho de Lobachevsky é de $1829$ e o de Bolyai nasceu como um apêndice de um livro publicado por seu pai em $1831$.

Quando jovem, o pai de Boylai havia sido colega de Gauss $(1777-1855)$ em Göttingen, e quando o filho pôs suas ideias por escrito, seu pai enviou um exemplar do manuscrito a Gauss, que não se sensibilizou ao entusiasmo do jovem János, escrevendo de volta: "Sim, mas isso que seu filho fez não é novidade para mim, que percebi essa possibilidade há muitos anos, em minha juventude". Hoje sabemos que foi Gauss mesmo o primeiro matemático a perceber a possibilidade das geometrias não-euclidianas.

Lobachevsky e Bolyai começaram negando o postulado das paralelas e procedendo a deduzir uma série de teoremas bem diferentes dos conhecidos teoremas da antiga geometria euclidiana. Afirmaram, então, terem descoberto uma geometria alternativa à geometria euclidiana, isto é, uma geometria sem contradições internas e de resultados surpreendentes e que hoje são considerados descobridores dessa geometria conhecida hoje como Geometria Hiperbólica. Por exemplo, nessa geometria, a soma dos ângulos internos de um triângulo vale menos que $180°$.

Cabe então a pergunta: tamanha liberdade é válida em matemática? Não é difícil nos convencermos que sim. Primeiro notemos que a geometria considerada por Euclides ao chegar ao postulado $V$ referia-se a um plano. Ademais, o conceito de reta é primitivo: não se define, não poderia haver nesta algum ente que fizesse o papel análogo ao da reta no plano, perante o mesmo conjunto de postulados?

Tanto isso é possível que em $1868$ o matemático italiano Eugênio Beltrami $(1835-1900)$ descobriu um modelo para a geometria hiperbólica, a pseudo-esfera, superfície que lembra uma corneta dupla.


Nessa superfície, por um ponto fora de uma "reta" há mais do que uma paralela a essa "reta". Claro que a "reta" nesse caso indica o ente da pseudo-esfera cuja ideia corresponde à da reta de um plano. Na figura acima podemos visualizar como ocorre, bem como que a soma dos ângulos internos de um "triângulo" vale menos que um ângulo raso. A partir desse modelo, a geometria que o próprio Lobachevsky chamava de imaginária passou a ser matematicamente real.

 As geometrias não-euclidianas, objeto das pesquisas de Lobachevsky, eram um verdadeiro tabu em sua época, daí a marginalização científica de que foi vítima o geômetra russo (agradava pelo fato de trabalhar num local muito distante dos grandes centros da Europa ocidental). Mas isso não impediu que se tornasse público que foi ele o primeiro a publicar um trabalho sobre geometrias não-euclidianas $(1826)$. E ganhou, assim, a primazia de ter acabado com o mito da verdade absoluta na matemática.

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V10 - Geometria Espacial, Posição e Métrica - Osvaldo Dolce & José Nicolau Pompeo
[2] Várias Faces da Matemática - Tópicos para Licenciatura e Leitura Geral - Geraldo Ávila
[3] Os Elementos de Euclides - Tradução e Introdução de Irineu Bicudo


Veja mais: 

Gauss e o Universal em Matemática
Integração por Substituição Trigonométrica

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22 de set de 2013

A Prancha Trigonométrica

A Prancha Trigonométrica é um aparato pedagógico desenvolvido pela empresa MMP Materiais Pedagógicos, para que o professor, ou aluno, possa desenvolver atividades no estudo do círculo trigonométrico, pois é possível observar os valores do seno, cosseno e tangente de um ângulo simultaneamente. Entretanto, não há precisão nas medições, exceto para os ângulos notáveis, pois os valores já estão impressos nos eixos.

A prancha trigonométrica é composta por duas partes: uma base branca fixa e uma transparente giratória. Na base branca encontra-se o círculo trigonométrico de raio $r=1$, dividido em ângulos, numerado internamente em graus e externamente em radianos. Há também os eixos dos senos, cossenos e tangentes, divididos em décimos e também os valores irracionais de ângulos notáveis.

Na parte transparente giratória, encontra-se uma reta em vermelho que passa pela origem, por onde se dá o giro, e uma circunferência de raio igual a $r/2$, com centro em uma dessas semirretas.

Quando giramos a parte transparente, a reta forma um ângulo $\theta$ com o eixo dos cossenos (eixo horizontal) e podemos verificar o valor do ângulo, do seno, do cosseno e da tangente simultaneamente, apenas observando os pontos de intersecção da circunferência com os eixos dos senos e dos cossenos e da reta com o eixo das tangentes.

Vejam que, ao girarmos a parte transparente formando um ângulo $\theta$ com o eixo dos cossenos, o ponto $P$ indica o ângulo em graus e em radianos, e as projeções do ponto $P$ nos eixos dos cossenos e dos senos, dão os pontos $x$ e $y$, que são os valores do cosseno e do seno do ângulo $\theta$, assim como o ponto $t$ é a intersecção da reta com o eixo das tangentes, o que nos dá o valor da tangente do ângulo $\theta$.

Vejamos alguns exemplos determinando os valores de seno, cosseno e tangente para os ângulos notáveis.

$1)$ $\theta = 0°$


Quando a reta está horizontal, temos um ângulo $\theta = 0°$ e podemos observar os valores:

Vejam que o diâmetro da circunferência de raio $r/2$ está sobre o eixo dos cossenos e a intersecção se dá no ponto $x=1$, que é o raio do círculo unitário.

$2)$ $\theta = 30°$



Girando a parte transparente no sentido anti-horário até que a reta forme um ângulo $\theta = 30°$ com o eixo dos cossenos, podemos observar os valores:

Aqui a projeção do ponto $P$, que é a intersecção da reta com a circunferência de raio unitário, sobre o eixo dos cossenos, recai sobre o ponto $x=\sqrt{3}/2$. A projeção do ponto $P$ sobre o eixo dos senos recai sobre o ponto $y=1/2$, ou seja, exatamente na metade do eixo. A tangente é definida pela razão entre o seno e o cosseno:
$$\text{tan}(30°)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$
Que é exatamente o ponto $t$ sobre o eixo das tangentes.

$3)$ $\theta = 45°$


Girando um pouco mais a parte transparente, paramos a reta sobre o ângulo de $45°$. Podemos observar os valores:

Fica fácil observar que o ângulo $\theta = 45°$ divide o $1º$ quadrante em partes iguais e que as projeções do ponto $P$ sobre os eixos dos cossenos e dos senos estão a uma mesma distância da origem, consequentemente, os valores do cosseno e do seno serão iguais, sendo $x=y=\sqrt{2}/2$. Podemos notar o quadrado $OxPy$. O eixo das tangentes está sendo cortado pela reta no ponto $t=1$:
$$\text{tan} (45°)=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}=1$$

$4)$ $\theta =60°$


Para o ângulo de $60°$, observamos os seguintes valores:

A projeção do ponto $P$ sobre o eixo dos cossenos recai sobre o ponto $x=1/2$ e a projeção do ponto $P$ sobre o eixo dos senos recai sobre o ponto $y=\sqrt{3}/{2}$. Observem a relação entre os ângulos de $30°$ e $60°$.

O eixo das tangentes está sendo cortado no ponto $t=\sqrt{3}$ pela reta. Pela definição:
$$\text{tan}(60°)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2=\sqrt{3}$$

$5)$ $\theta = 90°$


Se girarmos um pouco mais a parte transparente até que a reta forme um ângulo de $90°$ com o eixo dos cossenos, vemos que a reta se torna paralela ao eixo das tangentes, não tendo nenhum ponto em comum. Observamos os seguinte valores:

Vejam que aqui o diâmetro da circunferência de raio $r/2$ está sobre o eixo dos senos e a intersecção se dá no ponto $y=1$ que é o raio do círculo unitário. Observamos ainda que não existe um valor para a tangente de $90°$. Quando o ângulo $\theta$ se aproxima de $90°$, o valor do cosseno torna-se cada vez menor, aproximando-se de zero; já o seno fica cada vez mais próximo de $1$; a tangente cresce rapidamente, tendendo ao infinito. Poderíamos dizer então que, quando $\theta$ tende a $90°$, a tangente tende ao infinito. Até é verdade, mas num contexto geral não faz muito sentido dizer que a tangente de $90°$ é igual a $+\infty$, já que o infinito não é um número e faz mais sentido no Cálculo, quando é apresentado limites no infinito, que não é o foco deste aparato.

Para os demais quadrantes, obtemos valores para o seno, cosseno e tangente aplicando a redução ao primeiro quadrante.

Assim, podemos construir uma tabela mais elaborada para os ângulo notáveis:


Veja mais:

Demonstração dos Ângulos Notáveis
Demonstração da Relação Trigonométrica Fundamental
Tabela Trigonométrica dos Ângulos do Primeiro Quadrante

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14 de set de 2013

Para Que Serve a Física?

A Ciência desempenha um papel muito importante no mundo contemporâneo. Não era assim há poucas gerações atrás: o desenvolvimento científico tem-se acelerado enormemente. Tornou-se lugar comum dizer-se que vivemos numa sociedade tecnológica e medir o progresso pelo grau de desenvolvimento tecnológico. A tecnologia depende crucialmente da ciência para provar-se e também contribui para ela, mas não devem ser confundidas.

Sem dúvida, nossas vidas são profundamente afetadas pela tecnologia, e de forma que muitas vezes está longe de ser benéfica. Basta lembrar os problemas da poluição, do suposto aquecimento global, das guerras,... Os cientistas são frequentemente responsabilizados pelos aspectos negativos decorrentes de suas descobertas. A Ciência não é boa nem má, embora o uso que delas se faz dependa de fatores políticos e econômicos alheios a sua vontade. Por isso mesmo os cientistas devem ter consciência de sua responsabilidade.

Vários problemas cruciais de nossa época dependem para sua solução de avanços científicos e tecnológicos, inclusive aqueles que originam direta ou indiretamente desses avanços. Os problemas de energia e do meio ambiente adquiriram importância vital.

A reação anticientífica existiu desde os primórdios da história da Física. Basta lembrar o exemplo de Galileu. Goethe atacou Newton por sua Teoria das Cores, dizendo que a essência das cores se percebe num por do sol e não fazendo experiências com um prisma. É preciso reconhecer que a visão científica do mundo não exclui nem invalida outras variedades da experiência. Podemos aplicar a acústica, a neurofisiologia e a psicologia ao estudo das sensações provocadas pela audição de uma sonata de Mozart, mas ainda estaríamos omitindo provavelmente o aspecto mais importante.

A consciência das limitações do método científico não nos deve impedir de apreciar sua imensa contribuição ao conhecimento da natureza. A motivação básica da ciência sempre tem sido a de entender o mundo. É a mesma curiosidade que leva uma criança a desmontar um relógio para saber como ele funciona. De que são feitas estas coisas? Como e por que se movem os corpos celestes? Qual é a natureza da eletricidade e do magnetismo? O que é a luz? Qual a origem do Universo? Estas são algumas das grandes questões que têm sido abordadas pelos físicos.

A experiência tem demonstrado que o trabalho de pesquisa básica, motivado exclusivamente pela curiosidade, leva com frequência a aplicações inesperadas de grande importância prática. O grande experimentador Michael Faraday, logo após uma conferência em que havia explicado seu recente descobrimento do fenômeno da indução eletromagnética, foi questionado por alguém da audiência, que queria saber para que servia o efeito. A resposta foi "Para que serve um bebê recém-nascido?". Quase todas as aplicações que fazemos hoje em dia da energia elétrica decorrem do efeito descoberto por Faraday. O transistor, o laser, os computadores, todos resultam de pesquisas básicas defísica.

O trabalho de muitas gerações demonstrou a existência de ordem e regularidade nos fenômenos naturais, daquilo que chamamos Leis da Natureza. O estudo que ora iniciamos pode ser empreendido pelos mais diversos motivos, mas uma de suas maiores recompensas é uma melhor apreciação da simplicidade, beleza e harmonia dessas leis. É uma espécie de milagre, como disse Einstein: "O que a natureza tem de mais incompreensível é o fato de ser compreensível".

A Física é em muitos sentidos a mais fundamental das ciências naturais e é também aquela cuja formulação atingiu o maior grau de refinamento.

Com a explicação da estrutura atômica fornecida pela mecânica quântica, a Química pode ser considerada, de certa forma, como sendo um ramo da Física. A Física forneceu a explicação da ligação química e a estrutura e propriedades das moléculas podem ser calculadas, em princípio, resolvendo problemas de física. Isto não significa que o sejam na prática, exceto em alguns casos extremamente simples. De fato, na imensa maioria dos casos, os sistemas químicos são demasiado complexos para serem tratáveis fisicamente, mesmo com auxílio dos computadores mais poderosos disponíveis, o que significa que os métodos específicos extremamente engenhosos elaborados pelos químicos para tratar estes problemas continuam sendo indispensáveis. Entretanto, não temos razões para duvidar de que as interações básicas responsáveis pelos processos químicos sejam já conhecidas e reduzidas a termos físicos.

A situação com respeito à Biologia é até certo ponto análoga, se bem que a compreensão em termos de leis físicas se encontre ainda num estágio muito mais primitivo. Muitas das peculiaridades dos sistemas biológicos resultam de serem eles fruto de uma evolução histórica (a teoria de Darwin da evolução das espécies é fundamental na Biologia), fator este que não é usualmente considerado para sistemas físicos. Entretanto, os avanços recentes da biologia molecular têm atuado no sentido de estabelecer uma maior aproximação entre a Biologia e a Física, e a evolução do Universo é o tema central da Cosmologia.

A Física deve grande parte de seu sucesso como modelo de ciência natural ao fato de que sua formulação utiliza uma linguagem que é ao mesmo tempo uma ferramenta muito poderosa: a Matemática. Na expressão de Galileu: "A Ciência está escrita neste grande livro colocado sempre diante de nossos olhos - O Universo - mas não podemos lê-lo sem aprender a linguagem e entender os símbolos em termos dos quais está escrito. Este livro está escrito na linguagem matemática".

É importante compreender bem as relações entre Física e Matemática. Bertrand Russel definiu a matemática como: "A ciência onde nunca se sabe de que se está falando nem se o que se está dizendo é verdade" para caracterizar o método axiomático: tudo é deduzido de um conjunto de axiomas, mas a questão da "validade" desses axiomas no mundo real não se coloca. Hilbert, ao axiomatizar a geometria disse que nada deveria se alterar se as palavras "ponto, reta, plano" fossem substituídas por "mesa, cadeira, copo". Conforme o conjunto de axiomas adotado, obtém-se a geometria euclidiana ou uma das geometrias não-euclidianas, mas não tem sentido perguntar, do ponto de vista da matemática, qual delas é "verdadeira".

Na Física, como ciência natural, essa pergunta faz sentido: qual é a geometria do mundo real? A experiência mostra que, na escala astronômica, aparecem desvios da geometria euclidiana.

A Física é muitas vezes classificadas como "ciência exata", para ressaltar seus aspectos quantitativos. Já no século $VIa.C.$, a descoberta pela Escola Pitagórica de algumas das leis das cordas vibrantes, estabelecendo uma relação entre sons musicais harmoniosos e números inteiros (proporção entre comprimentos de cordas que emitem tons musicais) levou à convicção de que "todas as coisas são números".

Embora a formulação em termos quantitativos seja muito importante, a Física também lida com muitos problemas interessantes de natureza qualitativa. Isto não significa que não requerem tratamento matemático: algumas das teorias mais difíceis e elaboradas da Matemática moderna dizem respeito a métodos qualitativos.

A observação e a experimentação são o ponto de partida e ao mesmo tempo o teste crucial na formulação das leis naturais. A Física, como ciência natural, parte de dados experimentais. Por outro lado, o bom acordo com a experiência é o juiz supremo da validade de qualquer teoria científica. Assim, o diálogo Hegeliano: "Só pode haver sete planetas. Mas isso contradiz os fatos! Tanto pior para os fatos!", representa o oposto da atitude científica. A única autoridade reconhecida como árbitro decisivo da validade de uma teoria é a verificação experimental de suas consequências.

Entretanto, "embora a ciência se construa com dados experimentais, da mesma forma que uma casa se constrói com tijolos, uma coleção de dados experimentais ainda não é ciência, da mesma forma que uma coleção de tijolos não é uma casa" (Poincaré).

A Primeira Lei da Ecologia é: "Tudo depende de tudo". É por isso que problemas ecológicos são tão complexos. Em certa medida, o mesmo vale para a Física ou qualquer outra ciência natural. Quando uma maçã cai da árvore, o movimento da Terra sofre uma perturbação, infinitesimal, mas sofre, e ele também é afetado pelo que acontece em galáxias extremamente distantes. Entretanto, seria impossível chegar à formulação de leis naturais se procurássemos levar em conta desde o início, no estudo de cada fenômeno, todos os fatores que possam influenciá-lo, por menor que seja a influência.

O primeiro passo no estudo de um fenômeno natural consiste em fazer abstração de grande número de fatores considerados inessenciais, concentrando a atenção apenas nos aspectos mais importantes. O julgamento sobre o que é ou não importante já envolve a formulação de modelos e conceitos teóricos, que representam, segundo Einstein, uma "livre criação da mente humana".

Um bom exemplo é o conceito de "partícula" na mecânica. Na Geografia, em que o globo terrestre é o principal objeto de estudo, é preciso, para muitos fins, levar em conta as irregularidades da crosta terrestre. Ao estudar o movimento de rotação da Terra em torno de seu eixo, podemos considerá-la, em primeira aproximação, como uma esfera rígida uniforme. Já quando estudamos o movimento de translação da Terra em torno do Sol, considerando que o diâmetro da Terra é menor que um décimo-milésimo de sua distância ao Sol, podemos desprezar sua dimensões, tratando-a como uma partícula ou um ponto material. Temos assim estágios sucessivos de abstração na representação de nosso planeta:

A arte do teórico está em julgar o que e como abstrair, o que é essencial e o que é acessório. O experimentador enfrenta  problemas análogos: eliminar "efeitos espúrios" e medir apenas o efeito desejado é extremamente difícil. Só recentemente se descobriu que o Universo inteiro é atravessado por radiação eletromagnética, proveniente da Grande Explosão da qual se teria originado, e que pode produzir efeitos importantes na escala quântica.

Uma vez atingido certo estágio no desenvolvimento de conceitos e modelos, pode-se procurar, através de um processo indutivo, formular leis fenomenológicas, ou seja, obtidas diretamente a partir dos fenômenos observados, como forma sintética e mais econômica que têm sido empregados na formulação de leis físicas.

Um exemplo clássico deste processo foi a formulação das Leis de Kepler do movimento planetário a partir das observações feitas por Tycho Brahe. Neste caso, a etapa ulterior que culminou na obra de Newton, foi a formulação das Leis Gerais do Movimento e da Lei da Gravitação Universal. O resultado foi a elaboração de uma nova teoria física, a teoria da gravitação, situada dentro de uma teoria mais ampla, a mecânica clássica.

Esse exemplo ilustra algumas características importantes de uma boa teoria:
  • Deve ser capaz de reduzir grande número de fenômenos diversos a um pequeno número de leis simples, mostrando que podem ser deduzidos matematicamente a partir dessas leis básicas.
  • Deve ter poder preditivo: a partir das leis básicas, deve ser possível predizer fenômenos novos que possam ser comparados com a experiência.

Uma teoria deve ser sempre explorada em todas as direções possíveis, no sentido de verificação de sua previsões. Um dos maiores triunfos da teoria da gravitação universal foi a predição da existência de Netuno, feita por Adams e Le Verrier em $1846$.

Todas as teorias físicas conhecidas sempre têm representado aproximações aplicáveis num certo domínio da experiência. Assim, por exemplo, as leis da mecânica clássica são aplicáveis aos movimentos usuais de objetos macroscópicos, mas deixam de valer:
  • Para velocidades comparáveis com a velocidade da luz, quando aparecem efeitos relativísticos.
  • Para objetos na escala atômica, quando temos de empregar a mecânica quântica.
Entretanto, uma revolução científica raramente inutiliza por completo as teorias precedentes. A validade aproximada dessas teorias no domínio em que já haviam sido testadas experimentalmente garante, em geral, sua sobrevivência nesse domínio. Assim, a mecânica clássica continua sendo aplicável a uma grande variedade de movimentos macroscópicos.

Uma nova teoria representa em regra uma generalização da antiga, estendendo-a a um domínio mais amplo, mas contendo-a muitas vezes como caso particular ou caso limite, válido aproximadamente no domínio anterior. Isto não impede que os conceitos básicos da nova teoria possam diferir radicalmente dos anteriores.

O processo de seleção natural pelo qual passam as teorias científicas exige que sejam sempre submetidas a uma ampla crítica pela comunidade científica internacional e ao maior número de testes experimentais. Por isso, o segredo e o dogma são inimigos da ciência e a liberdade de comunicação e da pesquisa são vitais para o seu florescimento.
Texto de:
H. Moysés Nussenzveig

Referências:

[1] Curso de Física Básica V1 - Mecânica - H. Moysés Nussenzveig - Ed. Blucher


Veja mais: 

Correções e Extensões ao Longo da História
Como Faraday se Tornou Autodidata
Bertrand Russell e o Logicismo


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