29 de jun de 2013

Gauss e o Universal em Matemática

Novos ventos começaram a soprar na virada do século $XVIII$ para o $XIX$ sobre a pesquisa matemática. De um lado verificou-se um abandono progressivo da ideia de que essa pesquisa devesse vincular-se necessariamente a problemas práticos. Do outro, com o crescimento enorme e a diversificação do campo da Matemática, começa a surgir a figura do especialista. Mas o espaço para o universalismo em Matemática ainda não estava totalmente esgotado, como o mostra a brilhante obra de Carl F. Gauss $(1777-1855)$.

 
Gauss nasceu em Brunswick, Alemanha, sendo seus pais pessoas bastante simples e pobres. Porém, desde muito cedo ele se revelou uma notável criança prodígio, especialmente quanto à Matemática. Quando adulto costumava brincar dizendo que aprendera a calcular sozinho, antes de saber falar. Dentre suas proezas matemáticas infantis, conta-se que aos $10$ anos de idade surpreendeu seu professor ao fazer rapidamente (e com acerto) uma tarefa supostamente difícil e trabalhos: efetuar a adição $1+2+\cdots +99+100$. Posteriormente Gauss explicou o raciocínio que usara. Observando de pronto que
$$1+100=2+99=3+98=\cdots =101$$
não teve dificuldades em obter a soma fazendo $50 \times 101=5.050$.

A brilhante inteligência de Gauss chamou a atenção do duque Ferdinand de Brunswick, que se propôs a custear seus estudos, primeiro numa escola preparatória local e depois na Universidade de Göttingen $(1795$ a $1798)$. Durante sua passagem pela escola preparatória o adolescente Gauss formulou, independentemente, o método dos mínimos quadrados para estimar o valor mais provável de uma variável a partir de um conjunto de observações aleatórias. Gauss divide a primazia da criação desse métodp com Legendre, que foi o primeiro a publicá-lo em $1806$.

Nos primeiros tempos em Göttingen, Gauss estava indeciso entre a Matemática e a Filosofia, um campo para o qual demonstrava , também, grande aptidão. Mas uma descoberta extraordinária feita por ele em março de $1796$ inclinou-o de vez para a Matemática. Com efeito, com menos de $20$ anos de idade conseguiu provar que o polígono regular de $17$ lados é construtível com régua e compasso, resolvendo um problema que estava em aberto desde os tempos de Euclides.

Concluída a graduação, voltou para Brunswick e, ainda com assistência financeira de seu patrono, prosseguiu com suas pesquisas matemáticas. Aos $21$ anos de idade, dispensado do exame habitual, obteve o doutorado na Universidade de Helmstädt. Sua tese fornece a primeira demonstração satisfatória do Teorema Fundamental da Álgebra. Esse teorema garante que toda equação polinomial:
$$x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n=0$$
em que os coeficientes são reais ou complexos, tem pelo menos uma raiz no corpo dos complexos. Posteriormente Gauss daria mais três demonstrações desse teorema.

Talvez o campo da Matemática em que a genialidade de Gauss tenha brilhado mais seja a Teoria dos Números, pela qual sempre teve inclinação especial. E sua obra-prima, Disquisitiones Arithmeticae $(1801)$, pelo seu alto grau de originalidade, é considerada um marco fundamental da moderna teoria dos números. Resumidamente, essa obra trata da teoria das congruências (criada por Gauss), da teoria dos restos quadráticos (incluindo a lei da reciprocidade quadrada, para qual Gauss já tinha uma demonstração em $1795$) e do estudo das equações binomiais $x^n=1$ e suas ligações com a construção de polígonos regulares.

Mas, se os feitos de Gauss na Matemática pura eram extraordinários, na Astronomia não ficavam atrás. O primeiro envolve o planeta menor Ceres, descoberto a $1º$ de janeiro de $1801$ pelo astrônomo Giuseppe Piazzi $(1746-1826)$. Ocorre que, depois de $41$ dias de observação, período em que sua órbita descreveu um ângulo de apenas $9º$, Ceres, ao passar pelo Sol, desapareceu do foco dos telescópios de Piazzi e outros astrônomos. Com os poucos dados disponíveis, Gauss calculou a órbita de Ceres com tal precisão, que foi possível localizar o planeta desaparecido, ao final de $1801$, praticamente na mesma posição em que fora perdido de vista. No anos seguinte Gauss desenvolveu um trabalho semelhante com o planeta menos Pallas. Assim, não é de surpreender que Gauss tenha sido nomeado professor de Astronomia e diretor do observatório astronômico de Göttingen em $1807$. Isso obviamente fez com que, daí para a frente, apesar do ecletismo de seu talento e de seu gosto pela Matemática, dirigisse suas pesquisas mais para a Física e a Astronomia. Diga-se de passagem que uma das suas grandes obras é Theoria Motus Corporum Coelestium $(1809)$, no campo da Astronomia Teórica.

Para Gauss (como para Newton), teoria e prática eram duas faces da mesma moeda. Assim é que em $1812$ publicou um conjunto de tábuas cujo objetivo era fornecer $\log {(a\pm b)}$ conhecidos os valores de $\log a$ e $\log b$. Essas tábuas foram amplamente utilizadas por marinheiros para resolver problemas de navegação. Ou seja, mesmo trabalhos que para outros seriam considerados praticamente "braçais" e portanto "menores", mereciam sua atenção, em face da importância prática que podia ter.

Porém, seja por excesso de zelo, seja para evitar polêmicas, Gauss publicava relativamente pouco. Foi preciso que se descobrisse em $1898$ um diário deixado por ele, contendo $148$ breves enunciados, para que se tivesse um ideia mais precisa de quanto ele era incansável e do alcance de sua genialidade. Por exemplo, embora tenha descoberto a geometria não-euclidiana hiperbólica em $1824$ (como prova carta ao amigo F. A. Taurinos), nada publicou a respeito, perdendo assim a primazia desse grande avanço matemático para Lobachevski, cuja primeira publicação a respeito é de $1829$.

O selo usado por Gauss revela essa faceta de sua personalidade: era uma árvore com poucos frutos e a divisa pauca sed matura (poucos, porém maduros).

Texto de: Hygino H. Domingues
 

Veja mais:


Números Complexos
Escalonamento ou Método de Eliminação de Gauss
Grandes Matemáticos: Carl F. Gauss no blog Fatos Matemáticos
Disquisitiones Arithmeticae no blog Elementos
O Teorema da Divergência de Gauss  no blog Nerdyard

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28 de jun de 2013

Lagrange: A Grande Pirâmide Da Matemática

Em $1766$, quando Euler deixou o lugar de diretor da seção de Matemática da Academia de Berlim, Frederico, o Grande, foi convencido por D'Alembert que o substituto ideal seria Joseph-Louis Lagrange $(1736-1813)$. E Frederico, do alto de sua presunção, formulou um convite em que fazia constar que "o maior dos matemáticos deveria viver perto do maior dos reis". Esse "argumento" sem dúvida era muito fraco para convencer alguém tão modesto quanto Lagrange. Mas fatores de ordem científico-profissional devem ter pesado decisivamente e lá se foi Lagrange para a capital da Prússia, onde viveu por cerca de $20$ anos, até a morte de Frederico. E durante esse período o monarca jamais teve dúvidas de que fizera a melhor escolha possível.

Lagrange nasceu em Turim, mas tinha ascendência francesa, além de italiana. Era o mais novo (e único sobrevivente) de uma prole de onze filhos. Seus pais. que eram ricos ao se casarem, perderam tudo e não deixaram bens ao filho, um fato que Lagrange serenamente assim comentou: "Se houvesse herdado uma fortuna, provavelmente não me teria dedicado à Matemática".

Mas a Matemática não foi a primeira predileção de Lagrange em seus estudos. Inicialmente inclinou-se para as línguas clássicas; depois, ja na Universidade de Turim, seu interesse voltou-se para a física; por fim, influenciado por um texto de E. Halley $(1656-1742)$, cuja finalidade era por em evidência as vantagens do cálculo newtoniano, abraçou a Matemática, que tanto iria engrandecer. E já aos $18$ anos de idade, mercê de seu talento e seu empenho, era indicado professor de Geometria da Escola Real de Artilharia de Turim. Por essa época começou a concorrer aos cobiçados prêmios bienais oferecidos pela Academia de Ciências de Paris. E levaria a palma em cinco, até $1788$, com trabalhos de aplicação da Matemática à Astronomia.

Após a morte de Frederico, Lagrange fixou-se em Paris, a convite de Luís $XVI$. Pouco depois, um esgotamento nervoso roubou-lhe todo o interesse pela Matemática. Curiosamente, o tumulto da Revolução Francesa o tirou desse estado. E nos anos seguintes, em meio a tantas crises e reviravoltas. conseguiu manter-se sempre ativo e produtivo. E o fez com tanta dignidade que, a despeito de jamais ter feito concessões, ganhou o respeito das sucessivas facções que ocuparam o poder.

Lagrange deixou contribuições de monta em campos diversos como Álgebra, a Teoria dos Números e a Análise. Neste último tentou algo praticamente impossível para a época: aclarar o conceito de derivada. E como sua abordagem foi essencialmente algébrica, visando controlar as ideias de limite, segundo Newton, e diferencial, segundo Leibniz, na época ainda mal alicerçadas, não poderia mesmo ter sucesso. Mas, apesar dos lapsos que cometeu, deu um passo à frente com seu enfoque abstrato. De seu esforço ficou contudo a ideia de função derivada e a notação correspondente $f'(x)$, aidna em uso.

Dentre as obras de Lagrange, a que mais marcou época foi sua Mecânica Analítica $(1788)$, na qual começou a pensar ainda em Turim e que, no dizer de Hamilton, é "uma espécie de poema científico". Em seu prefácio Lagrange gaba-se de não usar um diagrama sequer no texto, salientando dessa forma o tratamento postulacional-analítico que deu ao assunto, considerando a mecânica mais uma geometria em quatro dimensões (a quarta dimensão é o tempo) do que um ramo das ciências naturais. A Mecânica Analítica é um coroamento da obra de Newton, de quem certa vez Lagrange disse: "foi o mais feliz dos homens, pois não há senão um Universo e coube a ele a honra de descobrir suas lei matemáticas".

Napoleão, que nomeou senador, conde e grão-oficial da Legião de Honra, melhor do que ninguém soube sintetizar seu perfil científico: "Lagrange é a grande pirâmide da Matemática".

Texto de: Hygino H. Domingues

Veja mais:

O Polinômio Interpolador de Lagrange
Nomes de Matemáticos nas Ruas Parisienses
A Descoberta de Outros Planetas e a Lei de Titius-Bode

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22 de jun de 2013

Distância De Um Ponto A Uma Reta

Veremos nesta postagem como determinar a fórmula para calcular a distância entre um ponto e uma reta.

Seja $P$ um ponto qualquer e seja $r$ uma reta dada. A distância entre o ponto $P$ e a reta $r$ é a distância entre $P$ e sua projeção ortogonal $P'$ sobre a reta $r$, ou seja, é a distância entre $P$ e o ponto $P'$ pertencente a $r$ de modo que o segmento $\overline{PP'}$ seja perpendicular à $r$.
Deste modo, se $P \in r$, então $d_{Pr}=0$ e se $\notin r$, então $d_{Pr}>0$.

Seja um ponto genérico $P(x_0,y_0)$ e a equação geral da reta:
\begin{equation}
r:ax+by+c=0
\end{equation}
Desta, podemos deduzir sua equação reduzida isolando $y$:
\begin{equation}
\begin{matrix}
y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\\
y=mx+q\\
\end{matrix}
\end{equation}
onde $m=-a/b$ e $q=-c/b$.

Agora, determinemos a equação da reta $s$, perpendicular à reta $r$ que passa por $P$.


Para que a reta $s$ seja perpendicular à reta $r$, o coeficiente angular de uma delas deve ser igual ao oposto do inverso da outra, ou seja:
\begin{equation}
m_s=-\frac{1}{m_r}
\end{equation}
Dos resultados obtidos em $(2)$, temos:
\begin{equation}
m_s=-\frac{1}{\left(-\dfrac{a}{b}\right)}=\frac{b}{a}
\end{equation}
A equação fundamental da reta é dada por:
\begin{equation}
y-y_0=m(x-x_0)
\end{equation}
Se a reta $s$ passa pelo ponto $P(x_0,y_0)$ então temos:
\begin{matrix}
y-y_0=m_s(x-x_0)\\
y-y_0=\left(\frac{b}{a}\right)(x-x_0)\\
\end{matrix}
Expandindo a equação acima obtemos:
\begin{equation}
s:bx-ay+ay_0-bx_0=0
\end{equation}
Agora que já temos as equações das retas $r$ e $s$, podemos determinar as coordenadas do ponto $P'$, que é a projeção ortogonal de $P$ sobre a reta $r$. Para isso, resolvemos o sistema formado pelas equações $(1)$ e $(6)$, cuja solução ser´as coordenadas do ponto $P'$, que é o ponto de intersecção das retas.
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
ax+by+c&=&0\\
bx-ay+ay_0-bx_0&=&0
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Para resolver este sistema há técnicas diversas, mas usando o escalonamento parece ser neste caso o mais prático. Multiplicamos a primeira equação por $b$ e a segunda por $-a$:
$$\left\{\begin{matrix}
abx+b^2y+bc&=&0\\
-abx+a^2y-a(ay_0-bx_0)&=&0
\end{matrix}\right.$$Agora, somamos as duas equações:
\begin{matrix}
a^2y+b^2y+bc-a(ay_0-bx_0)=0\\
a^2y+b^2y+bc-a^2y_0+abx_0=0\\
y(a^2+b^2)=a^2y_0-abx_0-bc\\
y=\frac{a^2y_0-abx_0-bc}{a^2+b^2}
\end{matrix}
Substituímos o valor de $y$ em qualquer uma das equações para encontrarmos o valor de $x$, por exemplo na segunda equação:
\begin{matrix}
bx-ay+ay_0-bx_0=0\\
bx-a\left(\frac{a^2y_0-abx_0-bc}{a^2+b^2}\right)+ay_0-bx_0=0\\
bx-\left(\frac{a^3y_0-a^2bx_0-abc}{a^2+b}2\right)+ay_0-bx_0=0\\
bx=bx_0-ay_0+\left(\frac{a^3y_0-a^2bx_0-abc}{a^2+b^2}\right)\\
x=\frac{(bx_0-ay_0)(a^2+b^2)+a^3y_0-a^2bx_0-abc}{b(a^2+b^2)}\\
x=\frac{a^2bx_0+b^3x_0-a^3y_0-ab^2y_0+a^3y_0-a^2bx_0=abc}{b(a^2+b^2)}\\
x=\frac{b^3x_0 -aby_0-abc}{b(a^2+b^2)}\\
x=\frac{b^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2}
\end{matrix}
Pronto. Já temos as coordenadas do ponto $P$ e $P'$, dadas por:
$$P(x_0,y_0)\text{ e }P'\left(\dfrac{b^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2},\dfrac{a^2y_0-abx_0-bc}{a^2+b^2}\right )$$
Agora, basta determinarmos a distância entre os pontos $P$ e $P'$. Vimos na postagem Distância Entre Dois Pontos No Plano que a distância entre dois pontos é dada por:
$$d=\sqrt{\left(\Delta x\right)^2+\left(\Delta y\right)^2}$$
Deste modo, fazemos:
$d_{PP'}=\sqrt{\left(\frac{b^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2}-x_0\right)^2+\left(\frac{a^2y_0-abx_0-bc}{a^2+b^2}-y_0\right)^2}$

$d_{PP'}=\sqrt{\left(\frac{b^2x_0-aby_0-ac-x_0(a^2+b^2)}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\frac{a^2y_0-abx_0-bc-y_0(a^2+b^2}{a^2+b^2}\right)^2}$

$d_{PP'}=\sqrt{\left(\frac{b^2x_0-aby_0-ac-a^2x_0-b^2x_0}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\frac{a^2y_0-abx_0-bc-a^2y_0-b^2y_0}{a^2+b^2}\right)^2}$
$$d_{PP'}=\sqrt{\left(\frac{-aby_0-ac-a^2x_0}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\frac{-abx_0-bc-b^2y_0}{a^2+b^2}\right)^2}$$
$$d_{PP'}=\sqrt{\left[\frac{a(-ax_0-by_0-c}{a^2+b^2}\right]^2+\left[\frac{b(-ax_0-bt_0-c)}{a^2+b^2}\right]^2}$$
$$d_{PP'}=\sqrt{\frac{a^2(-ax_0-by_0-c)^2}{(a^2+b^2)}+\frac{b^2(-ax_0-by_0-c)^2}{(a^2+b^2)^2}}$$
$$d_{PP'}=\sqrt{\frac{(a^2+b^2)(-ax_0-by_0-c)^2}{(a^2+b^2)^2}}$$
$$d_{PP'}=\sqrt{\frac{(-ax_0-by_0-c)^2}{a^2+b^2}}$$
Como$\forall$ $t \in \mathbb{R}, (-t)^2=t^2$, vem que:
$$d_{PP'}=\sqrt{\frac{(ax_0+by_0+c)^2}{a^2+b^2}}$$
\begin{equation}
d_{PP'}=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{equation}

Veremos outra forma de encontrar a equação $(8)$. Sejam os pontos $A(x_A,y_A)$ e $B(x_B,y_B)$ distintos e pertencentes a uma reta $r$. Para qualquer ponto $P \in r$ existe o triângulo $PAB$, onde sua área é dada por:
\begin{equation}
A_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}\cdot \mid D \mid
\end{equation}


No entanto, da geometria plana sabemos que a área do triângulo é dada pelo semiproduto da base pela altura:
\begin{equation}
A_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}\cdot d_{AB}\cdot d_{PP'}
\end{equation}
Então fazemos:
$$\frac{1}{2}\cdot d_{AB}\cdot d_{PP'}=\frac{1}{2}\cdot \mid D \mid$$
\begin{equation}
d_{PP'}=\frac{\mid D \mid}{d_{AB}}
\end{equation}
Para a equação da reta $r$, temos:
$$\begin{vmatrix}
x & y & 1\\
x_A & y_A & 1\\
x_B & y_B & 1
\end{vmatrix}=0$$
$$(y_A-y_B)x-(x_A-x_B)y+x_Ay_B-x_By_A=0$$
Se fizermos $a=y_A-y_B$, $b=x_B-x_A$ e $c=x_Ay_B-x_By_A$, obtemos:
\begin{equation}
ax+by+c=0
\end{equation}
Para calcularmos $d_{AB}$, usamos a fórmula para distância entre dois pontos no plano, dada por:
$$d_{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
\begin{equation}
d_{AB}=\sqrt{a^2+b^2}
\end{equation}
E para o cálculo do determinante $D$, fazemos:
$$\begin{vmatrix}
x_0 & y_0 & 1\\
x_A & y_A & 1\\
x_B & y_B & 1
\end{vmatrix}=0$$
$$D=(y_A-y_B)x_0-(x_A-x_B)y_0+x_Ay_B-x_By_A$$
$$D=ax_0+by_0+c$$
Como $\displaystyle d_{PP'}=\frac{\mid D \mid}{d_AB}$, vem que:
\begin{equation}
d_{PP'}=\frac{\mid ax_0+by_0+c \mid}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{equation}
Vejam que é a mesma equação encontrada em $(8)$, mas com menos esforço.

Exemplo $1$: Seja a reta $r:2x-y-4=0$. Determinar a distância da reta à origem.


Neste caso, $P=0$. Assim:
$$d_{Pr}=\frac{\mid ax_0+by_0+c \mid}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
$$d_{Pr}=\frac{\mid 2\cdot 0+(-1)\cdot 0+(-4) \mid}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}$$
$$d_{Pr}=\frac{\mid -4 \mid}{\sqrt{4+1}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$$

Exemplo $2$: Seja o triângulo $ABC$ de vértices $A(-2,-4)$, $B(1,-2)$ e $C(2,5)$. Determinar a medida da altura relativa ao lado $\overline {AB}$.

Vejam que o ponto $H$ é a projeção ortogonal do ponto $C$ sobre a reta $r$ definida pelos pontos $A$ e $B$. Sendo assim, $h=\overline {CH}$ é a altura procurada. 

Fazemos:
$$\overline{AB}: \begin{vmatrix}
-2 & -4 & 1\\
1 & -2 & 1\\
x & y & 1
\end{vmatrix}=0$$
$$2x-3y-8=0$$
$$d_{CH}=\frac{\mid 2\cdot 2-3\cdot 5-8 \mid}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\frac{\mid-19\mid}{\sqrt{13}}=\frac{19\sqrt{13}}{13}$$


Referências:

[1] Matemática - Ciência e Aplicações V3 - Gelson Iezzi
[2] Matemática Ensino Médio V3 - Katia Stocco Smole

Veja mais:

Distância Entre Dois Pontos No Plano
Distância de um Ponto a uma Reta no blog Elementos
Distância de um Ponto a uma Reta Através do Vetor Projeção no blog Fatos Matemáticos

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15 de jun de 2013

A Geometria Analítica, Fermat e Descartes

A Geometria, como ciência dedutiva, foi criada pelos gregos, mas apesar do seu brilhantismo faltava operacionabilidade. Infelizmente isto só foi conseguido mediante a Álgebra como princípio unificador. Os gregos, porém, não eram muito bons em álgebra. Mais do que isso, somente no século $XVII$ a álgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão criativa com a geometria.
Ocorre porém que o fato de haver condições para uma descoberta não exclui o toque de genialidade de alguém. E no caso da geometria analítica, fruto dessa fusão, o mérito não foi de uma só pessoa. Dois franceses, Pierre de Fermat $(1601-1665)$ e René Descartes $(1596-1650)$, curiosamente ambos graduados em Direito, nenhum deles matemático profissional, são os responsáveis por esse grande avanço científico: o primeiro movido basicamente por seu grande amor, a matemática e o segundo por razões filosóficas. E, diga-se de passagem, não trabalharam juntos: a geometria analítica é um dos muitos casos, em ciência, de descobertas simultâneas e independentes.

Se o bem-sucedido Pierre de Fermat zeloso e competente conselheiro junto ao Parlamento de Toulouse dedicava muitas de suas melhores horas de lazer à matemática, certamente não era porque faltasse outra maneira de preencher o seu tempo disponível. Na verdade Fermat simplesmente não conseguia fugir à sua verdadeira vocação e, apesar de praticar matemática como hobby, nenhum de seus contemporâneos contribuiu tanto para o avanço desta ciência quanto ele. Além da geometria analítica, Fermat teve papel fundamental na criação do Cálculo Diferencial, do Cálculo de Probabilidades e, especialmente, da Teoria dos Números, ramo da matemática que estuda as propriedades dos números inteiros.

A contribuição de Fermat à geometria analítica encontra-se num pequeno texto intitulado Introdução aos Lugares Planos e Sólidos (de $1636$, no máximo) que só foi publicado em $1679$, postumamente, junto com sua obra completa. É que Fermat, bastante modesto, era avesso a publicar seus trabalhos. Disso resulta, em parte, o fato de Descartes comumente ser mais lembrado como criador da Geometria Analítica. 

O interesse de Descartes pela matemática surgiu cedo, no “College de la Fleche”, escola do mais alto padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressara aos oito anos de idade. Mas por uma razão muito especial e que já revelava seus pendores filosóficos: a certeza que as demonstrações ou justificativas matemáticas proporcionam. Aos vinte e um anos de idade, depois de frequentar rodas matemáticas em Paris (além de outras) já graduado em Direito, ingressa voluntariamente na carreira das armas, uma das poucas opções “dignas” que se ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da França. Durante os quase nove anos que serviu em vários exércitos, não se sabe de nenhuma proeza militar realizada por Descartes. É que as batalhas que ocupavam seus pensamentos e seus sonhos travavam-se no campo da ciência e da filosofia. 

A Geometria Analítica de Descartes apareceu em $1637$ no pequeno texto chamado A Geometria como um dos três apêndices do Discurso do Método, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna. Nela, em resumo, Descartes defende o método matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos e todos os campos.

A Geometria Analítica, como é hoje, pouco se assemelha às contribuições deixadas por Fermat e Descartes. Inclusive sua marca mais característica, um par de eixos ortogonais, não usada por nenhum deles. Mais, cada um a seu modo, sabia que a ideia central era associar equações a curvas e superfícies. Neste particular, Fermat foi mais feliz. Descartes superou Fermat na notação algébrica. 

Texto de Hygino H. Domingues

Veja mais: 

Bertrand Russell e o Logicismo
A Computação e o Sonho de Babbage
Dirichlet e os Números Primos de uma Progressão Aritmética 

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11 de jun de 2013

Distância Entre Dois Pontos No Plano

Nesta postagem, veremos como determinar a distância entre dois pontos distintos no plano cartesiano.

Definição: Sejam dois pontos distintos $A(x_A,y_A)$ e $B(x_B,y_B)$ no plano cartesiano. Distância é a medida do segmento de reta que tem os pontos $A$ e $B$ como extremidades.
No plano, dado dois ponto, o segmento formado por eles pode ser paralelo ao eixo dos $x$ ou ao eixo dos $y$, ou mesmo oblíquo a eles.

$1^{\circ}$ caso: O segmento $\overline{AB}$ é paralelo ao eixo dos $x$
Neste caso, as ordenadas dos pontos $A$ e $B$ são iguais, ou seja, $y_A=y_B$. A distância entre os pontos $A$ e $B$, ou o comprimento do segmento $\overline{AB}$, é dada pelo módulo da diferença entre as abscissas de $A$ e $B$, de modo que:
\begin{equation}
d_{AB}=\mid x_A-x_B \mid
\end{equation}

Exemplo $1$: Determinar a distância entre os pontos $A(-3,2)$ e $B(4,2)$.

\begin{aligned}
d_{AB}=\mid x_A-x_B \mid=\mid -3-4\mid=\mid -7\mid=7
\end{aligned}

$2^{\circ}$ caso: O segmento $\overline{AB}$ é paralelo ao eixo dos $y$

Neste caso, as abscissas dos pontos $A$ e $B$ são iguais, ou seja, $x_A=x_B$. A distância entre os pontos $A$ e $B$, ou o comprimento do segmento $\overline{AB}$, é dada pelo módulo da diferença das ordenadas de $A$ e $B$, de modo que:
\begin{equation}
d_{AB}=\mid y_A-y_B \mid
\end{equation}

Exemplo $2$: Determinar a distância entre os pontos $A(3,-2)$ e $B(3,3)$.

\begin{aligned}
d_{AB}=\mid y_A-y_B \mid=\mid -2-3\mid=\mid -5\mid=5
\end{aligned}

$3^{\circ}$ caso: O segmento $\overline{AB}$ é oblíquo aos eixos

Este é o caso geral, pois a fórmula que encontraremos também resolve os dois casos anteriores. Vejam que as retas que passam pelo ponto $x_B$ paralela ao eixo dos $y$ e pelo ponto $y_A$ paralela ao eixo dos $x$, definem um triângulo retângulo com hipotenusa $\overline{AB}$. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $ABC$, obtemos:
\begin{equation}
\overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2
\end{equation}
No entanto, temos que $\overline{BC}=\mid y_A-y_B\mid$ e $\overline{AC}=\mid x_A-x_B\mid$. Se substituirmos em $(3)$, vem que:
\begin{equation}
\overline{AB}^2=\mid x_A-x_B\mid ^2+\mid y_A-y_B\mid ^2
\end{equation}
Como para todo $a \in \mathbb {R}$, então $\mid a \mid ^2=a^2$, reescrevemos a equação $(4)$: 
\begin{aligned}
(d_{AB})^2=(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2
\end{aligned}
Agora, basta extrairmos as raízes de ambos os lados da equação acima:
\begin{equation}
d_{AB}=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}
\end{equation}
Vejam ainda que $(x_A-x_B)^2=(x_B-x_A)^2$ do mesmo modo que $(y_A-y_B)^2=(y_B-y_A)^2$. Assim, ainda podemos reescrever a equação $(5)$ como:
\begin{equation}
d_{AB}=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}
\end{equation}

Exemplo $3$: Determine a distância entre os pontos $A(1,-1)$ e $B(4,-5)$.

\begin{aligned}
d_{AB}=\sqrt{(1-4)^2+(-1-(-5))^2}=\sqrt{(-3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
\end{aligned}

Exemplo $4$: Mostrar que os pontos $A(2,2)$, $B(-4,-6)$ e $C(4,-12)$ formam um triângulo retângulo e isósceles e calcule seu perímetro.

Primeiramente vamos calcular as medidas dos lados do triângulo $ABC$ e ver se formam uma terna pitagórica.
\begin{matrix}
d_{AB}=\sqrt{(2+4)^2+(2+6)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\\
d_{BC}=\sqrt{(-4-4)^2+(-6+12)^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\\
d_{AC}=\sqrt{(2-4)^2+(2+12)^2}=\sqrt{4+196}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\\
\end{matrix}
Agora, aplicamos os valores encontrados acima no Teorema de Pitágoras e verificamos se o satisfaz. Como a maior distância é do segmento $\overline{AC}=10\sqrt{2}$, concluímos que a hipotenusa é o segmento $\overline{AC}$.
\begin{matrix}
(d_{AC})^2=(d_{AB})^2+(d_{BC})^2\\
(10\sqrt{2})^2=10^2+10^2\\
200=100+100
\end{matrix}
Logo, o triângulo $ABC$ é retângulo e é isósceles, pois ambos os catetos são iguais. O perímetro do triângulo é dado pela soma dos lados:
\begin{aligned}
P=d_{AB}+d_{BC}+d_{AC}=10+10+10\sqrt{2}=10(2+\sqrt{2})
\end{aligned}
Exemplo $5$: Dados os pontos $A(2,4)$ e $B(7,3)$, determinar o ponto $P$ sobre o eixo dos $x$ de modo que seja equidistante a $A$ e a $B$.

Como o ponto $P \in Ox \Rightarrow P(x,0)$ e como $P$ é equidistante a $A$ e $B$, então $d_{AP}=d_{BP}$. Então:
\begin{matrix}
d_{AP}=\sqrt{(x_A-x_P)^2+(y_A-y_P)^2}=\sqrt{(2-x_P)^2+(4-0)^2}=\sqrt{(2-x_P)^2+16}\\
d_{BP}=\sqrt{x_B-x_P)^2+(y_B-y_P)^2}=\sqrt{(7-x_P)^2+(3-0)^2}=\sqrt{(7-x_P)^2+9}
\end{matrix}
Fazendo $d_{AP}=d_{BP}$, vem que:
\begin{matrix}
\sqrt{(2-x_P)^2+16}=\sqrt{(7-x_P)+9}\\
(2-x_P)^2+16=(7-x_P)^2+9\\
4-4x_P+x_P^2+16=49-14x_P+x_P^2+9\\
x_P=\frac{38}{10}=\frac{19}{5}=3 \frac{4}{5}
\end{matrix}Logo, $\displaystyle P \left ( \frac{19}{5},0\right )$.

Veja mais: 

Retas Perpendiculares
Reta Tangente a uma Curva
Distância entre Dois Pontos na Superfície Terrestre no blog Fatos Matemáticos

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2 de jun de 2013

Os $10$ Problemas de Apolônio: Problema $1:[PPP]$ Problema dos Três Pontos

Este é o mais simples dos problemas sobre tangências de Apolônio, que se resume em descrever uma circunferência que passa por três pontos dados não-colineares.

Sejam três pontos não-colineares quaisquer $A$, $B$ e $C$ no plano. Para descrevermos uma circunferência que passe por estes pontos, devemos encontrar o centro da circunferência.

Construção Geométrica

O ponto de intersecção das mediatrizes dos segmentos $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ determinam o centro $O$ da circunferência $\lambda$ que passa pelos pontos $A$, $B$ e $C$, resolvendo o problema.
[Figura 1]

Vejam neste link a construção geométrica completa: Como Encontrar o Centro de uma Circunferência.

Demonstração Analítica

O centro da circunferência $\lambda$ que passa pelos pontos não-colineares $A(x_A, y_A)$, $B(x_B,y_B)$ e $C(x_C,y_C)$ é o ponto $O(x_O,y_O)$.
[Figura 2]

O ponto médio $M_1$ do segmento $\overline{AB}$ é dado por:
$$M_1\left (\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$$
E o ponto médio $M_2$ do segmento $\overline{BC}$ é dado por:
$$M_2\left (\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)$$
A equação de uma reta genérica que passa por um ponto $P(x_P,y_P)$ é dada por:
$$y-y_P=m(x-x_P)$$
onde $m$ é o coeficiente angular da reta. Sendo assim, a equação da reta $r$ que passa pelo ponto médio $M_1$ é dada por:
\begin{equation}
r:y-\left (\frac{y_A+y_B}{2}\right)=m_r\left(x-\frac{x_A+x_B}{2}\right)
\end{equation}
Mas como $r \perp \overline{AB}$, temos que:
$$m_r \cdot m_{AB}=-1$$
Esta é a condição de perpendicularidade entre duas retas, dado seus coeficientes angulares, de modo que:
\begin{equation}
\begin{matrix}
m_r \cdot \left(\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \right)=-1\\
m_r=-\left(\frac{x_B-x_A}{y_B=y_A}\right)\\
\end{matrix}
\end{equation}
Substituindo $(2)$ em $(1)$, obtemos:
\begin{equation}
r:y-\left(\frac{y_A+y_B}{2}\right)=-\left(\frac{x_B-x_A}{y_B-y_A}\right)\left(x-\frac{x_A+x_B}{2}\right)
\end{equation}
Analogamente, a equação da reta $s$ é dada por:
\begin{equation}
s:y-\left(\frac{y_B+y_C}{2}\right)=-\left(\frac{x_C-x_B}{y_C-y_B}\right)\left(x-\frac{x_B+x_C}{2}\right)
\end{equation}
As coordenadas do ponto $O(x_O,y_O)$ são obtidas resolvendo o sistema linear formado pelas expressões $(3)$ e $(4)$. Fazendo $(3)-(4)$, obtemos:
$$\left(\frac{y_C+y_B}{2}\right)-\left(\frac{y_B-y_A}{2}\right)=-\left(\frac{x_B-x_A}{y_B-y_A}\right)\left(x-\frac{x_B+x_A}{2}\right)+\left(\frac{x_C-x_B}{y_C-y_B}\right)\left(x-\frac{x_C+x_B}{2}\right)$$
$$\left(\frac{y_C-y_A}{2}\right)=-x\left(\frac{x_B-x_A}{y_B-y_A}\right)+\left(\frac{x_B-x_A}{y_B-y_A}\right)\left(\frac{x_B+x_A}{2}\right)+x\left(\frac{x_C-x_B}{y_C-y_B}\right)-\left(\frac{x_C-x_B}{y_C-y_B}\right)\left(\frac{x_C+x_B}{2}\right)$$
$$\left(\frac{y_C-y_A}{2}\right)=x\left[\left(\frac{x_C-x_B}{y_C-y_B}\right)-\left(\frac{x_B-x_A}{y_B-y_A}\right)\right]+\left(\frac{x_B^2-x_A^2}{2(y_B-y_A)}\right)-\left(\frac{x_C^-x_B^2}{2(y_C-y_B)}\right)$$
$$\left(\frac{y_C-y_A}{2}\right)=x\left[\frac{(y_B-y_A)(x_C-x_B)-(y_C-y_B)(y_B-y_A)}{(y_C-y_A)(x_B-x_A)}\right]+\left(\frac{x_B^2-x_A^2}{2(y_B-y_A)}\right)-\left(\frac{x_C^2-x_B^2}{2(y_C-y_B)}\right)$$
$$\left(\frac{y_C-y_A}{2}\right)+\left(\frac{x_C^2-x_B^2}{2(y_C-y_B)}\right)-\left(\frac{x_B^2-x_A^2}{2(y_B-y_A)}\right)=x\left[\frac{(y_B-y_A)(x_C-x_B)-(y_C-y_B)(x_B-x_A)}{(y_C-y_B)(y_B-y_A)}\right]$$
\begin{equation}
x=\left[\left(\frac{y_C-y_B}{2}\right)+\left(\frac{x_C^2-x_B^2}{2(y_C-y_B)}\right)-\left(\frac{x_B^2-x_A^2}{2(y_B-y_A)}\right)\right]\cdot \left[\frac{(y_C-y_B)(y_B-y_A)}{(y_B-y_A)(x_C-x_B)-(y_C-y_B)(x_B-x_A)}\right]
\end{equation}


Exemplo $1$: Dados três pontos não-colineares $A(5,3)$, $B(6,2)$ e $C(3,-1)$, encontre as coordenadas do centro $O(x_O,y_O)$ e o raio da circunferência que passa por estes pontos.

Utilizando a expressão $(5)$, temos:
$$x=\left[\left(\frac{-1-3}{2}\right)+\left(\frac{3^2-6^2}{2(-1-2)}\right)-\left(\frac{6^2-5^2}{2(2-3)}\right)\right]\cdot \left[\frac{(-1-2)(2-3)}{(2-3)(3-6)-(-1-2)(6-5)}\right]$$
$$x=4$$
Substituindo o valor de $x$ na equação da reta $r$ ou $s$, encontramos o valor de $y$. Vamos tomar a equação $(3)$:
$$y-\left(\frac{3+2}{2}\right)=-\left(\frac{6-5}{2-3}\right)\left(4-\frac{5+6}{2}\right)$$
$$y=1$$
Logo, o centro da circunferência é dado por $O(4,1)$.

Para determinarmos o raio, tomamos a distância do centro $O$ a quaquer um dos pontos da circunferência. Tomemos, por exemplo, o ponto $A$:
\begin{matrix}
r^2=(5-4)^2+(3-1)^2\\
r=\sqrt{5}\\
\end{matrix}
Veremos a seguir um outro método que permite deduzir as expressões para as coordenadas do centro da circunferência de forma simples.

Da equação geral da reta temos:
\begin{equation}
x^2+y^2+Ex+Fy+G=0
\end{equation}
Se uma circunferência $\lambda$ passa por três pontos não-colineares $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$ e $C(x_C,y_C)$, então temos o sistema:
$$\left\{\begin{matrix}
x_A^2+y_A^2+Ex_A+Fy_A+G=0\\
x_B^2+y_B^2+Ex_B+Fy_B+G=0\\
x_C^2+y_C^2+Ex_C+Fy_C+G=0
\end{matrix}\right.$$
Esse sistema possui três equações e três incógnitas $A$, $B$ e $C$, que podem ser obtidas através da Regra de Cramer:
$$E=\frac{D_A}{D},\qquad F=\frac{D_B}{D}, \qquad G=\frac{D_C}{D}$$
onde:
$$D=\begin{vmatrix}
x_A&y_A&1\\
x_B&y_B&1\\
x_C&y_C&1
\end{vmatrix},

D_A=\begin{vmatrix}
-x_A^2-y_A^2&y_A&1\\
-x_B^2-y_B^2&y_B&1\\
-x_C-y_C^2&y_C&1
\end{vmatrix},
\qquad
D_B=\begin{vmatrix}
x_A&-x_A^2-y_A^2&1\\
x_B&-x_B^2-y_B^2&1\\
x_C&-x_C^2-y_C^2&1
\end{vmatrix},

D_C=\begin{vmatrix}
x_A&y_A&-x_A^2-y_A^2\\
x_B&y_B&-x_B^2-y_B^2\\
x_C&y_C&-x_C^2-y_C^2
\end{vmatrix}$$
Substituindo na equação $(6)$:
$$x^2+\frac{D_A}{D}x+y^2+\frac{D_B}{D}y=-\frac{D_C}{D}$$
$$\left(x^2+\frac{2D_A}{2D}x+\frac{D^2_A}{4D^2}\right)+\left(y^2+\frac{2D_B}{2D}y+\frac{D^2_B}{4D^2}\right)=\frac{D^2_A}{4D^2}+\frac{D^2_B}{4D^2}-\frac{D_C}{D}$$
$$\left(x+\frac{D_A}{2D}\right)^2+\left(y+\frac{D_B}{2D}\right)^2=\frac{D^2_A+D^2_B-4DD_C}{4D^2}$$
De modo que as coordenadas $x_O$ e $y_O$ são:
\begin{equation}
x_O=-\frac{D_A}{2D} \qquad \text{e} \qquad y_O=-\frac{D_B}{2D}
\end{equation}
Vejam que o raio $r$ é dado pela expressão:
\begin{equation}
r=\sqrt{\frac{D_A^2+D_B^2-4DD_C}{4D^2}}
\end{equation}

Exemplo $2$: Dados três pontos não-colineares $A(5,3)$, $B(6,2)$ e $C(3,-1)$, encontre as coordenadas do centro $O(x_O,y_O)$ e o raio da circunferência que passa por estes pontos.
$$D=\begin{vmatrix}
5&3&1\\
6&2&1\\
3&-1&1
\end{vmatrix}
=-6$$
$$
D_A=\begin{vmatrix}
-5^2-6^2&3&1\\
-6^2-2^2&2&1\\
-3^2-(-1)^2&-1&1
\end{vmatrix}
=48$$
$$D_B=\begin{vmatrix}
5&-5^2-3^2&1\\
6&-6^2-2^2&1\\
3&-3^2-(-1)^2&1
\end{vmatrix}
=12$$
$$x_O=-\frac{D_A}{2D}=-\frac{48}{-12}=4 \qquad \text{e} \qquad y_O=-\frac{D_B}{2D}=-\frac{12}{-12}=1$$
Logo, o centro da circunferência é dado por $O(4,1)$, que é o mesmo valor encontrado no exemplo $1$.

Para o raio $r$, devemos calcular $D_C$:
$$D_C=\begin{vmatrix}
5&3&-5^2-3^2\\
6&2&-6^2-2^2\\
3&-1&-3^2-(-1)^2
\end{vmatrix}
=-72$$
Agora, usamos a expressão $(8)$:
$$r=\sqrt{\frac{48^2+12^2-4(-6)(-72)}{4(-6)^2}}=\sqrt{5}$$

Deixo meus agradecimentos ao Professor Paulo Sérgio, articulador do blog Fatos Matemáticos.

Veja mais: 

Os $10$ Problemas de Apolônio
Como Encontrar o Centro de uma Circunferência
A Equação da Circunferência Através de um Determinante 4x4 no blog Fatos Matemáticos

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