24 de fev de 2013

Os Pontos de Brocard (Parte 1)


Nesta série de postagem, apresentaremos um estudo sobre os Pontos de Brocard, envolvendo definições, teoremas, corolários, demonstrações e construções geométricas. Resolvemos dividi-la para que não fique cansativo para o leitor acompanhar.

Por: 
Kleber Kilhian
Paulo Sérgio C. Lino

1 – Introdução 


Pierre René Jean Baptiste Henri Brocard nasceu a 12 de maio de 1845 em Vignot, França e morreu em 16 de janeiro de 1922 em Bar-le-Duc, França.

Brocard passou a maior parte de sua vida estudando meteorologia como um oficial da marinha francesa, mas suas contribuições notáveis são na matemática.

Suas descobertas mais conhecidas talvez tenham sido os pontos de Brocard, o triângulo de Brocard e o círculo de Brocard. Neste artigo, vamos nos limitar aos pontos de Brocard.

Durante uma reunião da Associação Francesa para Avanço da Ciência, Brocard apresentou um artigo intitulado "Etudes d’un nouveau cercle Du plan Du triangle", seu primeiro trabalho sobre o assunto.

2 – Definições 


Os Pontos de Brocard são pontos especiais dentro de um triângulo e podem ser definidos como:

Definição 1: Em um triângulo de vértices $A_1 A_2 A_3$, (rotulados no sentido anti-horário) denotado por $\left ( T \right )=A_1 A_2 A_3$, existe um ponto único $\Omega$ tal que os ângulos $\angle \Omega A_1 A_2=\angle \Omega A_2 A_3=\angle \Omega A_3 A_1$ são iguais. O ponto $\Omega$ é chamado de Ponto de Brocard.

Definição 2: Num mesmo triângulo de vértices $A_1 A_2 A_3$  (rotulados no sentido anti-horário) denotado por $\left ( T^\prime \right )=A_1 A_2 A_3$,  existe um ponto único $\Omega^ \prime$ tal que os ângulos $\angle \Omega^ \prime A_1 A_3=\angle \Omega^ \prime A_3 A_2=\angle \Omega^ \prime A_2 A_1$ são iguais. O ponto $\Omega^ \prime$ é chamado de Ponto de Brocard


[Figura 1]

Note que os ângulos $\omega = \angle \Omega A_1 A_2=\angle \Omega A_2 A_3=\angle \Omega A_3 A_1$ e $\omega^\prime = \angle \Omega^\prime A_1 A_2=\angle \Omega^\prime A_2 A_3=\angle \Omega^\prime A_3 A_1$ são iguais. Este ângulo em comum é chamado de Ângulo de Brocard.

Os dois Pontos de Brocard estão intimamente relacionados entre si. Na verdade, a única diferença entre $\Omega$ e $\Omega^\prime$ é que o segundo ponto de Brocard é obtido de $\left ( T \right )$ por uma mudança de orientação. Os Pontos de Brocard são conjugados isogonais um do outro.

3 – Construção Geométrica     


Uma construção elegante do 1º Ponto de Brocard pode ser descrita como: Num triângulo $\left(T\right)=A_1 A_2 A_3$ com lados opostos $a_1, a_2,a_3$ descreva uma circunferência que passe pelos pontos $A_1$ e $A_2$ que seja tangente ao lado $a_1$. Da mesma forma, descreva uma circunferência que passe por $A_2$ e $A_3$ que seja tangente ao lado $a_2$. Descreva uma terceira circunferência que passe por $A_3$ e $A_1$ que seja tangente ao lado $a_3$. A intersecção dessas três circunferências gera o 1º Ponto de Brocard denotado por $\Omega$.

Sua construção geométrica com régua e compasso por ser feita como se segue:

1) Construa um triângulo $\left(T\right)=A_1 A_2 A_3$ qualquer.


[Figura 2]

2) Descreva uma circunferência $C_1$ de centro $O_1$ que passe pelos pontos $A_1$ e $A_2$ e que seja tangente ao lado $a_1$ em $A_2$. Para isso, trace um segmento ortogonal ao lado $a_1$ por $A_2$. Em seguida, trace a mediatriz do lado $a_3$. A intersecção desses dois segmentos é o centro $O_1$ da circunferência $C_1$ de raio $O_1 A_1=O_1 A_2$.


[Figura 3]

3) Analogamente, construímos a circunferência $C_2$ de centro $O_2$ que passa pelos pontos $A_2$ e $A_3$, tangente ao lado $a_2$ em $A_3$ . Trace um segmento ortogonal ao lado $a_2$ por $A_3$ e trace a mediatriz do lado $a_1$, determinando o centro $O_2$ da circunferência $C_2$.


[Figura 4]

4) Da mesma forma construímos a circunferência $C_3$ de centro $O_3$ que passa pelos pontos $A_1$ e $A_3$, tangente ao lado $a_3$ por $A_1$. Trace um segmento ortogonal ao lado $a_3$ por $A_1$ e trace a mediatriz do lado $a_2$, determinando o centro $O_3$ da circunferência $C_3$.


[Figura 5]

5) O ponto triplo dado pela intersecção das três circunferências é o 1º Ponto de Brocard, designado por $\Omega$. Unindo o ponto $\Omega$ a cada um dos vértices do triângulo, determinamos o ângulo $\omega$, tal que:
$$\omega = \angle \Omega A_1 A_2=\angle \Omega A_2 A_3=\angle \Omega A_3 A_1$$

[Figura 6]

Para a construção do 2º Ponto de Brocard, basta seguir o mesmo procedimento descrito acima tomando a orientação inversa. Unindo o ponto $\Omega^\prime$ a cada vértice do triângulo, determinamos o ângulo $\omega^\prime$, tal que:
$$\omega^\prime = \angle \Omega^\prime A_1 A_2=\angle \Omega^\prime A_2 A_3=\angle \Omega^\prime A_3 A_1$$

[Figura 7]

Assim, temos que $\omega=\omega^\prime$.

Nas próximas postagens, apresentaremos alguns teoremas e suas demonstrações.

Veja mais:

Os Pontos de Brocard (Parte 2)
Os Pontos de Brocard (Parte 3)
Pontos Notáveis de um Triângulo
Teorema do Ângulo Inscrito

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23 de fev de 2013

Algumas Observações Sobre a Notação de Derivada

No Cálculo, notações diferentes para a derivada é um fato e cada uma delas é de uso comum e as utilizamos conforme as circunstâncias em que os símbolos estão sendo usados. Então o que nos importa quais símbolos utilizamos se todos servem para o mesma coisa? Essa é uma questão de grande importância. Pois boas notações podem suavizar o caminho e realizar boa parte de nosso trabalho, enquanto notações ruins imobilizam, sendo quase impossível uma movimentação fácil.

A derivada de uma função $f(x)$ pode ser denotada por $f \prime (x)$:

$\displaystyle f^ \prime (x)=\lim_{\Delta x \rightarrow0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $

Essa notação tem o mérito de enfatizar que a derivada $f(x)$ é uma outra função de $x$ que está associada de certa maneira com a função dada. Se a função é dada na forma $y=f(x)$, com a variável dependente explícita, então o símbolo $y^\prime$ é utilizado no lugar de $f^\prime (x)$.

A principal desvantagem da notação prima $ \left (^\prime \right )$ para derivadas é que ela não sugere a natureza do processo pelo qual $f^\prime (x)$ foi obtida de $f(x)$, A notação de Leibniz é melhor nesse aspecto bem como em outros.

Para explicar a notação de Leibniz, começamos com uma função $y=f(x)$ e escrevemos o quociente de diferenças

$\displaystyle \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

na forma

$\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}$

Onde $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$. Aqui $\Delta y$ não é simplesmente uma mudança qualquer em $y$; ela é a mudança específica que resulta quando a variável independente muda de $x$ para $x+\Delta x$. O quociente de diferenças $\Delta y / \Delta x$ pode ser interpretado como a razão da variação de $y$ pela variação de $x$ ao longo de uma curva $y=f(x)$, que representada o declive da secante.


[Figura 1]

Leibniz escreveu o limite desse quociente de diferenças, que naturalmente é a derivada $f^\prime (x)$, na forma $dy/dx$ (Leia “$dy$” sobre “$dx$” ou simplesmente “$dy,dx$”). Nesta notação, a definição de derivada assume a forma:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \qquad (1)$

e este é o coeficiente angular (declive) da tangente na figura 1. Outras duas formas equivalentes um pouco diferentes de $dy/dx$ são:

$\displaystyle \frac{df(x)}{dx}$    e    $\displaystyle \frac{d}{dx}f(x)$

O símbolo $d/dx$ pode ser lido como “a derivada em relação a $x$ de ...”, qualquer que seja a função $x$ que siga.

Devemos compreender que $dy/dx$ dado em (1) é um símbolo individual e não um quociente entre duas quantidades, porque $dy$ e $dx$ não foram definidas e não tem existência independente.

Na notação de Leibniz, a formação do limite à direita de (1) é simbolicamente expressa substituindo a letra $\Delta$ pela letra $d$. Desse ponto de vista, o símbolo $dy/dx$ para a derivada tem a vantagem psicológica de nos fazer lembrar rapidamente de todo o processo de se formar o quociente de diferenças $\Delta y/\Delta x$ e calcular seu limite quando $\Delta \rightarrow 0$. A vantagem prática da notação de Leibniz é que para certas fórmulas fundamentais são mais fáceis de serem lembradas.

Mas por melhor que seja esta notação, não é perfeita. Suponha que queiramos escrever o valor numérico da derivada num ponto específico, como por exemplo 1. Como a notação $dy/dx$ não mostra a variável $x$ de maneira conveniente, como acontece quando usamos a notação $f^\prime (x)$, como forçados a usar uma notação desajeitada, como:

$\displaystyle \left ( \frac{dy}{dx} \right )_{x=1}$    ou    $\displaystyle \frac{dy}{dx}\mid _{x=1}$

O símbolo ideal para esta representação é $f^\prime (1)$.

Cada notação é boa à sua maneira, dependendo do contexto na qual está inserida. Todas são amplamente utilizadas na Matemática e nas Ciências adjacentes.

Referências:

[1] Cálculo com Geometria Analítica V1 - Simmons - Editora McGraw Hill


Veja mais:

Os Mitos Leibzinianos a Respeito das Curvas Diferenciais
Leibniz e as Diferenciais
Curvas Contínuas Sem Derivadas

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9 de fev de 2013

Integrais Impróprias com Limites Finitos

Quando escrevemos uma integral definida como:
\begin{equation}
\int_a^b f(x)dx
\end{equation}
admitimos que o limite de integração são números finitos e que o integrando $f(x)$ é uma função contínua no intervalo limitado $a \leq x \leq b$. Sua representação gráfica é a área sob a curva:
Para calcularmos uma área de regiões ilimitadas, temos que utilizar as integrais impróprias. Considere, por exemplo, a região $R$ sob a curva da equação $\displaystyle y = \frac{1}{x^2}$:

Observe que a região $R$ se estende indefinidamente para a direita de $x=1$. Seja $R_u$ a região limitada sob a curva de $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2}$, entre $x=1$ e $x=u$:

A área da região $R_u$ é dada por:
\begin{equation}
\int_a^u \frac{1}{x^2}dx = \left[-\frac{1}{x} \right]_1^u=1-\frac{1}{u}
\end{equation}
Quando $u$ cresce, a região limitada $R_u$ pode ser considerada como uma boa aproximação da região ilimitada $R$. Isso no induz a escrever:
\begin{equation}
R=\lim _{u \rightarrow +\infty} R_u
\end{equation}
O que nos leva a:
\begin{equation}
R=\lim _{u \rightarrow +\infty} R_u = \lim_{u \rightarrow +\infty}\left(1-\frac{1}{u}\right) = 1\: \text{unidades de área}
\end{equation}
Geralmente, se $f$ é uma função definida num intervalo da forma $[a, +\infty)$ e se $f(x)\geq 0$ é válido quando $x \geq a$, definimos a área da região limitada sob a curva de $f$ e à direita de $x=a$ como:
\begin{equation*}
R=\lim_{u \rightarrow +\infty} \int_a^u f(x)dx
\end{equation*}
Frequentemente representamos esta área simplesmente por:
\begin{equation}
\int_a^{+\infty} f(x)dx
\end{equation}

Definição 1: Integrais impróprias com limite superior infinito

Seja $f$ uma função definida pelo menos no intervalo infinito $[a, +\infty)$. Suponha que $f$ seja integrável no intervalo fechado $[a, u]$ para todos os valores de $u$. Então definimos:
\begin{equation}
\int_a^{+\infty} f(x)dx=\lim_{u \rightarrow \infty} \int_a^u f(x)dx
\end{equation}
Se o limite existe e tem um valor finito, a integral imprópria diz-se convergente e esse valor é atribuído a ele. Caso contrário, a integral é chamada divergente.

Se $f(x)\geq 0$, então a expressão dada em $(5)$ pode ser tomada como a área da região ilimitada representada na figura 3.

Exemplo $1$: $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{dx}{x}$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u \rightarrow +\infty} \int_1^u \frac{dx}{x}=\lim_{u \rightarrow + \infty}\left[ \ln (x)\right]_1^u = \lim_{u \rightarrow +\infty} \ln (u) = +\infty
\end{equation*}
Esta integral diverge porque o limite é infinito.

Exemplo $2$: $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^3}$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u \rightarrow +\infty} \int_1^u \frac{dx}{x^3}=\lim_{u \rightarrow + \infty}\left[ -\frac{1}{2x^2}\right]_1^u = \lim_{u \rightarrow +\infty}\left[-\frac{1}{2u^2}+\frac{1}{2}\right]
\end{equation*}

Exemplo $3$: $\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-x}dx$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u \rightarrow +\infty}\int_0^{u} e^{-x}dx = \lim_{u \rightarrow +\infty} \left[-e^{-x}\right]_0^u=\lim_{u\rightarrow +\infty}\left(-\frac{1}{e^u}+1\right)=1
\end{equation*}
Esta integral imprópria é convergente porque o limite existe e é finito.

Exemplo $4$: $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u\rightarrow +\infty} \int_1^{u}\frac{dx}{1+x^2}=\lim_{u\rightarrow +\infty} \left[\arctan(x)\right]_0^u\\
I=\lim_{u\rightarrow +\infty} \left[\arctan(u)-\arctan(0)\right]=\lim_{u\rightarrow +\infty} \arctan(u)=\frac{\pi}{2}
\end{equation*}
Essa integral imprópria é convergente porque o limite existe e é finito.

Exemplo $5$: $\displaystyle \int_{-\infty}^0 e^{-x}dx$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u\rightarrow -\infty} \int_u^0 e^{-x}dx = \lim_{u\rightarrow -\infty} \left[-e^{-x}\right]_u^0 = \lim_{u\rightarrow -\infty}\left[e^{-u}-e^0\right]=+\infty
\end{equation*}
Essa integral imprópria diverge porque o limite é infinito.

Exemplo $6$: $\displaystyle \int_0^{+\infty} \cos(x)dx$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u\rightarrow +\infty}\int_0^u \cos(x)dx=\lim_{u\rightarrow +\infty} \text{sen}(u)
\end{equation*}
O limite não existe e a integral diverge.

Podemos generalizar os exemplos $1$ e $2$ de modo que a integral
\begin{equation*}
\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^p}
\end{equation*}
converge se $p>1$ e diverge se $p\leq 1$. Assim, temos:
\begin{equation*}
\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p} = \lim_{u\rightarrow +\infty} \int_1^u \frac{dx}{x^p} = \lim_{u \rightarrow +\infty} \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_1^u = \lim_{u \rightarrow +\infty}\left[\frac{u^{1-p}}{1-p}-\frac{1^{1-p}}{1-p}\right] =\\
=0-\frac{1}{1-p}= \left\{\begin{matrix}
\frac{1}{p-1} &\text{se }p>1 \\
+\infty & \text{se }p<1
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Note que para $p>1$ implica o limite:
\begin{equation*}
\lim_{u \rightarrow +\infty} u^{1-p} = \lim_{u \rightarrow +\infty} \frac{1}{u^{p-1}}=0
\end{equation*}

Exemplo $7$: $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt[3]{4}}$

Podemos reescrever esta integral como:
\begin{equation*}
\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^{4/3}}
\end{equation*}
Assim, temos que $p=4/3$. Fazemos:
\begin{equation*}
\int_1^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt[3]{4}} = \frac{1}{p-1}=\frac{1}{\frac{4}{3}-1}=3
\end{equation*}
Desta forma, a integral imprópria converge porque seu limite é finito.

Exercícios propostos: Verificar se as integrais impróprias são convergentes os divergentes.

$\displaystyle a) \: \int_0^{+\infty} e^{5x}dx$

$\displaystyle b) \: \int_0^{+\infty}\frac{1}{(x-3)^2}dx$

$\displaystyle c) \: \int_1^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt[3]{x+1}}$

$\displaystyle d) \: \int_0^{+\infty} 4e^{8x}dx$

$\displaystyle e)\: \int_0^{+\infty} e^{-x}\text{sen}(x)dx$


Referências:

[1] Cálculo V1 – Munem-Foulis – Ed. Guanabara Dois
[2] Cálculo com Geometria Analítica V1 – Simmons – Ed. McGraw-Hill
[3] Cálculo 1 – Luiz Mauro Rocha – Ed. Atlas


Veja mais:

➊ Teste da Integral para Convergência de Séries
➋ Transformada de Laplace e Integrais Impróprias no blog Fatos Matemáticos
➌ A Trombeta de Gabriel no blog Giga Matemática
 
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7 de fev de 2013

O Surgimento do Grau na Circunferência

Os povos antigos, milhares de anos antes de Cristo, viviam quase exclusivamente do cultivo da terra. Para determinar os melhores períodos de plantio e colheita, eles se guiavam pelo movimento dos astros no céu. Assim, da necessidade de estudar o movimento do Sol, da Lua, dos Planetas e das estrelas, surgiu uma das mais antigas ciências: a Astronomia.

Para o desenvolvimento da astronomia, os conhecimentos de Geometria eram essenciais. Assim, estudando o movimento dos corpos celestes, os sábios acabaram descobrindo muitas propriedades dos ângulos, dos triângulos e de outras figuras geométricas.

hiparcoUm desses sábios foi o grego Hiparco de Nicéia, que viveu por volta de 180 a.C. a 125 a.C.. É considerado o pai da trigonometria, pois na segunda metade do século II a.C. escreveu um tratado composto de doze livros, construindo talvez a primeira tabela trigonométrica, incluindo uma tábua de cordas. Hiparco desenvolveu estes cálculos para aplicá-los em seus estudos sobre Astronomia. Na época, acreditava-se que o Sol, a Lua e os planetas movimentavam-se sobre uma circunferência cujo centro era a Terra. Assim, percebendo a necessidade de medir uma circunferência e seus arcos, Hiparco dividiu-a em 360 partes iguais, criando a unidade que conhecemos até hoje como grau, simbolizado por °. Não se sabe com certeza se ele foi o primeiro a fazer isso, mas os registros históricos apontam que sim. Muito provavelmente ele foi influenciado pelos conhecimentos dos babilônios, que contavam o ano como um período de 360 dias (12 meses de 30 dias cada).

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Observando a figura acima, notamos que um arco de 1° já é bem pequeno. Porém, para a Astronomia, que trabalha com circunferências muito grandes e necessita de bastante precisão nas medidas, foi necessário criar unidades ainda menores que o grau.

Um arco de 1° foi dividido em 60 partes iguais, e cada parte passou a representar um arco de um minuto, simbolizado por 1'.

Por sua vez, cada arco de um minuto também foi dividido em 60 partes iguais, cada uma delas correspondendo a um arco de segundo, simbolizado por 1''. Em resumo, temos:

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Apesar de usarmos os mesmo nomes (minutos e segundos), as subdivisões do grau não tem nenhuma relação com as subdivisões da hora, utilizada para medir o tempo. Por isso seus símbolos são diferentes e não devem ser confundidos.

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Nas operações de adição, subtração, multiplicação e divisão envolvendo medidas de arcos em graus, procedemos como nas operações com medidas de tempo, já que ambas as duas medidas são feitas em base sexagesimal.

Exemplo 1: 63°38' + 22°52'

Primeiramente armamos a adição e somamos os graus e minutos:

imageComo 90' é maior que 1°, dividimos por 60, obtendo 1° e restando 30'. Logo, 90' equivale a 1°30'.

Desta forma, somamos 1°30' com 85°:

image

Assim, 63°38' + 22°52' = 86°30'.

Exemplo 2: 30°10' – 5°50'

Armando a subtração, vemos que não é possível subtrair 50' de 10'.

imageAssim, lembrando que 1° equivale a 60', reescrevemos a medida como:

imageAgora, subtraímos os minutos e, em seguida, os graus:

imageAssim, 30°10' – 5°50' = 24°20'.

 

Referências:

[1] Manual do Professor de Matemática – Anglo


Veja mais:

A Astronomia e os Astrônomos na Grécia Antiga
O Movimento de Precessão da Terra e Algumas Implicações
Nos Primórdios da Trigonometria no blog Fatos Matemáticos

4 de fev de 2013

Fórmula de Redução para Alguns Casos de Integrais

Quando escrevemos a fórmula da derivada de um produto na notação diferencial, temos:

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ou ainda:

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e por integração:

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Esta é a fórmula da integração por partes que, com frequência, funciona quando os outros métodos falham.

Em alguns casos é necessário efetuar duas ou mais integrações por partes sucessivamente, como no caso da integral:

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Pode ocorrer de a integral original aparecer uma segunda vez durante o processo de integração por partes e, neste caso, com frequência é possível isolar esta integral por álgebra elementar.

Exemplo 1: Seja a integral:

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Vamos chamar esta integral de J. Então:

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Assim, temos que:

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e

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Então, fazemos:

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Apesar das integrais dadas em (2) e (4) serem de mesma complexidade, aplicamos novamente o método de integração por partes. Assim, temos:

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e

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Fazemos:

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Vemos que a integral da direita da expressão (5) é a integral J dada em (3). Desta forma, temos:

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Substituindo (6) em (4) obtemos:

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Isolando J:

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Assim:

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Este método é muitas vezes utilizado para fazer uma integral depender de uma integral mais simples do mesmo tipo e assim obter uma fórmula de redução conveniente, cuja aplicação repetida leve ao cálculo da integral dada.

Exemplo 2: Vamos determinar agora uma fórmula de redução para a integral:

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Integrando por partes e desmembrando o integrando, obtemos:

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clip_image002[6]

Vejam que na expressão (8) temos a integral original dada em (7):

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Assim, substituindo (9) e (10) em (8), obtemos:

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De modo que:

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O que nos leva a:

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Analisando a fórmula de redução dada em (11), observamos que podemos reduzir de 2 o expoente de sen(x). Aplicando repetidamente esta fórmula, podemos reduzir Jn para J0 ou J1, conforme n seja par ou ímpar, mas ambas integrais fáceis de calcular.

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e

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Por exemplo, se n = 4, temos:

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Mas como para n = 2 temos:

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Portanto, substituindo (13) em (12):

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Exemplo 3: Vamos calcular agora, a integral definida:

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Escrevemos:

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Pela fórmula de redução dada em (11), fazemos:

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Aplicando a fórmula para n = 8:

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Assim,

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Portanto:

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Referências:

[1] Cálculo com Geometria Analítica V1 – Simmons – Editora McGraw Hill


Veja mais:

Integração por Partes
Integração por Substituição
Integração por Substituição Trigonométrica
Integração por Frações Parciais - Fatores Lineares
Integração por Frações Parciais - Fatores Quadráticos Irredutíveis
Algumas Fórmulas de Redução no Cálculo de Integrais no blog Fatos Matemáticos

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