30 de dez de 2013

Christiaan Huygens e o Relógio de Pêndulo

Christiaan Huygens nasceu a $14$ de abril de $1629$ em Haia, Países Baixos e faleceu em $8$ de julho de $1695$ no mesmo local.

Em física, Huygens é bastante lembrado por seus estudos sobre luz e cores, percepção do som, estudo da força centrífuga, o entendimento das leis de conservação em dinâmica equivalentes ao moderno conceito de conservação de energia, o estudo da dupla refração no cristal da Islândia, e a teoria ondulatória da luz baseada na concepção de que a luz seria um pulso não periódico propagado pelo éter. Através dela, explicou satisfatoriamente fenômenos como a propagação retilínea da luz, a refração e a reflexão. Também procurou explicar o então recém descoberto fenômeno da dupla refração. Seus estudos podem ser consultados em seu mais conhecido trabalho sobre o assunto, o "Tratado sobre a luz".

Já na matemática, é bastante lembrado por seus estudos e escritos no campo da teoria das probabilidades, estudo de curvas e inícios do cálculo diferencial (interpretação geométrica), o conceito de evolvente foi introduzido por Huygens. Também descobriu que a ciclóide é uma curva isocrônica. Huygens sabia por meio de Mersenne que, apesar das afirmações de Galileu, o período de um pêndulo circular depende de sua amplitude. Então, Huygens demonstrou matematicamente que, para pequenas amplitudes, um pêndulo circular é aproximadamente isócrono e que o real isocronismo é obtido por meio de um pêndulo cicloidal.

[Figura 1 - Christiaan Huygens] 
Em astronomia, descobriu os anéis de Saturno e sua lua Titã. Em homenagem ao seu trabalho, a sonda Cassini-Huygens foi batizada com o seu nome.

Discordava de vários aspectos da teoria sobre luz e cores de Isaac Newton (1643-1727), que era baseada implicitamente numa concepção corpuscular para a luz. Discutiu com ele durante muitos anos, mas, ao contrário do que geralmente se acredita, suas teorias nunca tiveram uma disputa em grandes proporções. 

Galileu Galilei foi o primeiro a observar os anéis de Saturno, porém seu instrumento (telescópio) não lhe permitiu identificar com clareza os anéis. Galileu acreditava, pelas imagens obtidas, que Saturno era um sistema planetário triplo. Huygens, com um telescópio mais poderoso, pôde identificar os anéis e descobrir Titã, a maior lua de Saturno e a segunda maior do sistema solar, em 1655.

Huygens foi membro de uma proeminente família holandesa e filho do diplomata Constantin Huygens, foi encorajado em suas atividades matemáticas, quando jovem, tanto por Descartes quanto por Mersene, que eram associados de seu pai. Christiaan se tornou um cientista de reputação internacional, que é lembrado pelo princípio que leva seu nome na teoria ondulatória da luz, pela observação dos anéis de Saturno e pela real invenção do relógio de pêndulo. Foi em conexão com uma busca de melhoramentos em horologia que fez sua descoberta matemática mais importante.

 
[Figura 2 - Horologium oscillatorium - 
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Imagem: Wikipédia]

Huygens sabia que as oscilações de um pêndulo simples não são estritamente isócronas, mas dependem da amplitude da oscilação. Em outras palavras, se um objeto é colocado sobre o lado de uma superfície hemisférica lisa, e é largado, o tempo que leva para chegar ao ponto mais baixo será quase, mas não exatamente, independente da altura em que foi largado. Aconteceu que Huygens inventou o relógio de pêndulo quase ao mesmo tempo em que se realizava o concurso de Pascal sobre a ciclóide, em $1658$, e ocorreu-lhe considerar o que aconteceria se a superfície hemisférica fosse substituída por outra, cuja secção fosse um arco de ciclóide invertido. Huygens ficou satisfeitíssimo ao observar que em tal caso, o objeto chegara ao ponto mais baixo exatamente no mesmo tempo, qualquer que seja a altura sobre a superfície interna em que o objeto seja colocado na partida.

A ciclóide é verdadeiramente uma tautócrona, isto é, sobre um arco de ciclóide invertido, um objeto escorregará de um ponto qualquer até o fundo exatamente no mesmo tempo, qualquer que seja o ponto de partida.
[Modelo de pendulo cicloidal de Huygens -
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Imagem: Museo Galileo]

Mas uma grande questão permanecia. Como fazer com que um pêndulo oscile em um arco de ciclóide em vez de um arco circular? Neste ponto, Huygens fez mais uma bela descoberta. Se suspendermos de um ponto $P$ na cúspide entre dois semiarcos de ciclóide invertidos, $PQ$ e $PR$, de um pêndulo cujo comprimento seja igual ao comprimento de qualquer dos semiarcos, a extremidade do pêndulo descreverá um arco que é um arco de ciclóide $QSR$ exatamente do mesmo tamanho e forma que os arcos de que $PQ$ e $PR$ são partes. Em outras palavras, se o pêndulo do relógio oscila em uma cunha cicloidal, ele será verdadeiramente isócrono.
[Figura 3]

Huygens fez alguns relógio de pêndulo assim, mas verificou que, ao funcionar, eles não eram mais precisos que os que dependiam das oscilações de um pêndulo ordinário simples, que são praticamente isócronos para oscilações muito pequenas. No entanto, Huygens, nessa investigação, tinha feito uma descoberta de importância matemática capital: a involuta de uma ciclóide é uma ciclóide semelhante, ou inversamente, a evoluta de uma ciclóide é uma ciclóide semelhante. Esse teorema e outros resultados sobre involutas e evolutas de outras curvas foram demonstrados por Huygens de modo essencialmente arquimediano e fermatiano, tomando pontos próximos e observando o resultado quando o intervalo desaparece. Descartes e Fermat tinham usado esse artifício para normais e tangentes a uma curva, e agora Huygens aplicou-o para achar o que chamamos de raio de curvatura de uma curva plana.  Se em pontos próximos $P$ e $Q$ sobre uma curva acharmos as normais e seu ponto de intersecção $I$, então, quando $Q$ tende a $P$ ao longo da curva, o ponto variável $I$ tende a um ponto fixo $O$, que é chamado centro de curvatura da curva para o ponto $P$, e a distância $OP$ é chamada de raio de curvatura.
[Figura 4]

O lugar geométrico dos centros de curvatura $O$ para os pontos $P_N$ de uma curva dada $C_i$ é uma segunda curva $C_e$ chamada evoluta da curva $C_i$. E toda curva $C_i$ de que $C_e$ seja evoluta, chama-se involuta de $C_e$. É claro que a envoltória das normais a $C_i$ será $C_e$, a curva tangente a cada uma das normais.

Na figura $3$, a curva $QPR$ é a evoluta da curva $QSR$ e tangentes a $QSP$. Quando a ponta do pêndulo se afasta mais para um lado, a corda se enrola cada vez mais ao longo da cunha cicloidal, e quando a ponta chega ao ponto mais baixo $S$, a corda se desenrola. Por isso, Huygens descreveu a ciclóide $QSR$ como ex evolutione descripta, a ciclóide $QSR$ sendo a evoluta. Em francês, usa-se développante e développée.

Referências:

[1] História da Matemática - Carl Boyer - 3ª ed. - Ed. Blucher
[2] Wikipédia - Christian Huygens

Veja mais: 

Panorama da História do Cálculo
A Curva Tautócrona no blog Fatos Matemáticos
Fatos Históricos da Ciclóide no blog Fatos Matemáticos
Algumas Propriedades Geométricas da Ciclóide no blog Fatos Matemáticos

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3 de dez de 2013

Projeção Ortogonal de um Segmento de Reta Sobre um Plano

$1)$ Projeção de um ponto

Definição $1$: Chama-se projeção ortogonal de um ponto $P$ sobre um plano $\alpha$ o pé da perpendicular ao plano conduzida pelo ponto. O plano $\alpha$ é chamado de plano de projeção e a reta perpendicular é chamada de projetante do ponto.
[Figura 1]

Assim, representamos a projeção no ponto $P$ como $P'$ contida no plano de projeção, simbolizada por $P'=\text{proj}_\alpha P$.

$2)$ Projeção de figuras

Definição $2$: Chama-se projeção ortogonal de uma figura $F$ sobre um plano $\alpha$ o cpnjunto das projeções ortogonais dos pontos que compõem esta figura.

[Figura 2]

Assim, simbolizamos a figura projetada por $F'=\text{proj}_\alpha F$.

$3)$ Projeção de uma reta

De acordo com as duas definições anteriores, temos que:

$a)$ Se a reta $r$ é perpendicular ao plano $\alpha$, sua projeção ortogonal sobre o plano é o traço da reta no plano.

[Figura 3]

Assim, $P=\text{proj}_\alpha r$.

$b)$ Se a reta for não-perpendicular ao plano $\alpha$, temos a particular definição:

Definição $3$: Chama-se projeção ortogonal de uma reta $r$ não-perpendicular ao plano $\alpha$, o traço em $\alpha$ do plano $\beta$ que contém $r$, perpendicular a $\alpha$, conduzida por $r$.

[Figura 4]

Assim, temos que $r'=\text{proj}_\alpha r$, de modo que $\alpha$ é o plano de projeção e $\beta$ é o plano projetantes de $r$.

$4)$ Projeção de um Segmento de Reta

Definição $4$: Chama-se projeção ortogonal sobre um plano $\alpha$ de um segmento $\overline{AB}$, contido numa reta não-perpendicular a $\alpha$, o segmento $\overline{A'B'}$, onde $A'=\text{proj}_\alpha$ e $B'=\text{proj}_\beta$.

[Figura 5]

Teorema $1$: A projeção ortogonal de um segmento oblíquo a um plano, sobre esse plano, é menor que o segmento.

Por hipótese, temos que o segmento $\overline{AB}$ é oblíquo ao plano $\alpha$. Logo, sua projeção $\overline{A'B'}=\text{proj}_\alpha \overline{AB}$. Em tese, temos que a projeção $\overline{A'B'}$ é menor que o segmento $\overline{AB}$.

[Figura 6]

Demonstração: Conduzimos por $A$ uma reta paralela ao segmento $\overline{A'B'}$, interceptando a reta projetante de $B$ em $B''$

Temos que $AA'B'B''$ é um retângulo. Então, $\overline{A'B'}=\overline{AB''}$. Já o triângulo $AB''B$ é retângulo em $B''$, então $\overline{AB''}<\overline{AB}$, já que $\overline{AB}$ é a hipotenusa deste triângulo. Assim, $\overline{A'B'}<\overline{AB}$.

[Figura 7]

Se uma das extremidades, por exemplo $A$, pertencer ao plano de projeção, temos que o triângulo $AB'B$ é retângulo em $B'$ e então $\overline{AB'}<\overline{AB} \Rightarrow \overline{A'B'}<\overline{AB}$.

O comprimento da projeção de um segmento não-perpendicular ao plano de projeção será sempre menor que o segmento dado e pode ser calculado se soubermos o comprimento do segmento e o ângulo de sua inclinação em relação ao plano de projeção.

[Figura 8]

Da trigonometria sabemos que:
\begin{equation*}
\cos(\theta)=\frac{\overline{AB'}}{\overline{AB}}=\frac{r'}{r}
\end{equation*}
Logo:
\begin{equation*}
r'=r\cos(\theta)
\end{equation*}

Exemplo $1$: Um segmento $\overline{AB}$ de comprimento igual a $2u.c.$ (unidades de comprimento), está iclinado a $30^\circ$ em relação ao plano de sua projeção, sendo que os pontos $A$ e $B$ não-pertencentes a este plano. Determinar o comprimento da projeção do segmento.

[Figura 9]

Aplicando a fórmula $r'=r\cos(\theta)$, obtemos:
\begin{matrix}
r'=2 \cdot(30^\circ)\\
r'=2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\
r'=\sqrt{3} u.c.
\end{matrix}
o que faz sentido, já que $r'<r$.

Podemos reunir algumas propriedades importantes:

$P_1-$ A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é um ponto.
$P_2-$ A projeção ortogonal de um segmento oblíquo a um plano, sobre o plano, é sempre menor que o segmento.
$P_3-$ A projeção ortogonal sobre um plano, de um segmento contido numa reta não-perpendicular ao plano é menor que o segmento ou congruente a ele.
$P_4-$ Se um segmento tem projeção ortogonal congruente a ele, então ele é paralelo ao plano de projeção ou está contido nele.
$P_5-$ Duas retas paralelas não-perpendiculares ao plano de projeção têm projeções paralelas.
$P_6-$ Se os planos projetantes de duas retas não-perpendiculares ao plano de projeção são paralelos, então as projeções dessas retas são paralelas.
$P_7-$ Se dois planos são perpendiculares entre si, as projeções dos pontos de um deles sobre o outro é o traço dos planos.

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V10 - Geometria Espacial - Posição e Métrica - Osvaldo Dolce & José Nicolau Pompeo

Veja mais: 

Dimensions: Um Passeio Matemático
Distância de um Ponto a uma Reta
A Prancha Trigonométrica
Torque

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17 de nov de 2013

O Problema Inverso

Em Física é comum problemas em que conhecemos a velocidade instantânea $v(t)$ entre um da instante de tempo $t_a$ e um instante final $t_b$ e termos que descobrir o espaço percorrido. Este problema é chamado de problema inverso ao estudarmos movimento unidimensional.

Para o cálculo da velocidade instantânea $v(t)$ em um trajeto, basta conhecermos a lei horária $x=x(t)$, o que nos leva à notação:
\begin{equation}
v(t)=\frac{dx}{dt}
\end{equation}
que é o limite da variação do espaço percorrido num espaço de tempo infinitesimal:
\begin{equation}
v=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \left [\frac{x(t_0+\Delta t)-x(t_0)}{\Delta t} \right ]=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\left (\frac{\Delta x}{\Delta t}\right )=\frac{dx}{dt}
\end{equation}
Se o movimento for uniforme, a velocidade instantânea se confunde com a velocidade média, sendo $v=\bar{v}=$constante, e podemos esboçar o gráfico como uma reta paralela ao eixo das abscissas:


Pela definição da velocidade média, temos que:
\begin{equation}
v=\bar{v}_{t_2 \rightarrow t_1}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\Rightarrow
\Delta x=v\cdot \Delta t\Rightarrow
\Delta x=v(t_2-t_1)
\end{equation}
Vejam que o espaço percorrido equivalente à área do retângulo hachurado no gráfico $(v \times t)$ da imagem acima, compreendida entre a curva da velocidade que corta o eixo das ordenadas em $v$ e o eixo das abscissas limitadas pelos limites $t_a$ e $t_b$.

Podemos notar ainda que o retângulo pode aparecer sob o eixo das abscissas, que nos leva a um valor negativo para a área, o que significa simplesmente que $x(t_b) < x(t_1)$, correspondendo a um movimento para trás.

Para um movimento não-uniforme, em que $v$ é uma função qualquer de $t$, temos que analisar um pouco mais de perto. Num intervalo de tempo $[t_a,t_b]$, subdividimos em uma infinidade de intervalos de larguras $\Delta t_1$, $\Delta t_2$, $\Delta t_3$, $\cdots$, $\Delta t_i$, para $i=1,2,3,\cdots$ por pontos de divisão $t_1$, $t_2$, $t_3$, $\cdots$, $t_i$. Vejam que se tomarmos intervalos cada vez menores, haverá uma variação muito pequena da velocidade em cada um desses intervalos e a velocidade média se confunde com a velocidade instantânea, e assim podemos calcular a distância percorrida em cada intervalo:

\begin{matrix}
\bullet \Delta x_{{t_1}\rightarrow t_a}=x(t_1)-x(t_a)=\bar{v}_{{t_1}\rightarrow t_a}\cdot \Delta t_1\approx v(t_1) \Delta t_1\\
\bullet \Delta x_{{t_2}\rightarrow t_1}=x(t_2)-x(t_1)=\bar{v}_{{t_2}\rightarrow t_1}\cdot \Delta t_2\approx v(t_2) \Delta t_2\\
\bullet\Delta x_{{t_3}\rightarrow t_2}=x(t_3)-x(t_2)=\bar{v}_{{t_3}\rightarrow t_2}\cdot \Delta t_3\approx v(t_3) \Delta t_2\\
\end{matrix}
Somando membro a membro as relações acima, obtemos o deslocamento entre os espaços de tempo $t_a$ e $t_3$:
\begin{equation}
x(t_3)-x(t_a)\approx v(t_1)\Delta t_1+v(t_2)\Delta t_2+v(t_3)\Delta t_3
\end{equation}
Se o intervalo $[t_a,t_b]$ for subdividido em uma quantidade grande de intervalos, obtemos:
\begin{equation}
x(t_b)-x(t_a)=\sum_i v(t_i)\Delta t_i
\end{equation}
Se analisarmos a figura acima, cada retângulo equivale a um termo da soma $(5)$, que por sua vez corresponde à área entre o eixo das abscissas e a poligonal em "escada" inscrita na curva de $v$, no intervalo $[t_a,t_b]$.

A soma $(5)$ se aproxima melhor do resultado exato quanto menores forem as subdivisões $\Delta t_i$. Logo, no limite em que as subdivisões tendem a zero, obtemos:
\begin{equation}
x(t_b)-x(t_a)=\lim_{\Delta t_i \rightarrow 0} \sum_i v(t_i)\Delta t_i=\int_a^b v(t)dt
\end{equation}
que é a área entre a curva $(v \times t)$ e o eixo $Ot$ entre os limites $t_a$ e $t_b$.

Exemplo: Considere um móvel que se desloca segundo a equação: $\displaystyle v(t)=\frac{1}{2}t+2$. Calcular o deslocamento efetuado durante o espaço de tempo de $0$ a $10$ segundos.

O deslocamento do móvel pode ser obtido calculando a área do trapézio, dada pela semi-soma das bases multiplicada pela altura do trapézio. Assim:
\begin{equation*}
\Delta x \approx \frac{1}{2}(v_1+v_2)(t_b-t_a)=\frac{1}{2}(2+7)(10-0)=\frac{90}{2}=45m
\end{equation*}
Podemos também verificar o resultado utilizando a integral dada em $(6)$:
\begin{matrix}
\Delta x=\int_a^b v(t)dt=\int_0^{10} \frac{1}{2}t+2 dt\\
=\left [\frac{1}{4}t^2+2t \right]_0^{10}=\frac{1}{4}\cdot 10^2+2\cdot 10=\frac{100}{4}+20=45m
\end{matrix}

Referências:
[1] Curso de Física Básica V1 - Moysés Nessenzveig

Veja mais: 

Movimento Unidimensional
Equação Horária da Velocidade
Equação de Torricelli

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13 de nov de 2013

Euclides e a Geometria Dedutiva

Derrotada a batalha de Queronéia pelas forças do rei Filipe, a Grécia torna-se parte do império macedônio no ano $338a.C.$. Dois anos depois, com a morte de Filipe, seu filho Alexandre assume o poder, então com $20$ anos de idade. Ao morrer, cerca de $13$ anos depois, Alexandre incorporara ao seu império grande parte do mundo civilizado de então. Dessa forma a cultura grega, adotada pelos macedônios (em cuja formação populacional predominava o elemento grego), foi estendida ao Oriente antigo. Em sua arrancada expansionista, Alexandre fundou muitas cidades. Uma delas, em especial, teria um papel extraordinário na história da Matemática: Alexandria, no Egito.

Com a morte de Alexandre, o domínio sobre o Egito passou às mãos de Ptolomeu, um de seus líderes militares. E uma das primeiras e talvez mais importante obra de Ptolomeu foi criar em Alexandria, junto ao museu (templo às musas), o primeiro modelo do que viriam a ser as universidades, séculos depois. Nesse centro, intelectuais do mundo inteiro, trabalhando ali em tempo integral, dedicavam-se às pesquisas e ao ensino às custas dos cofres do Estado. Ponto alto da instalação era uma biblioteca, que chegou a ter no auge de seu esplendor, perto de $700$ mil rolos de papiro. Muitos grandes matemáticos trabalharam ou se formaram no Museu. Dentre eles, o primeiro talvez, e um dos mais notáveis, foi Euclides $(c. 300 a.C.)$.

Quase nada se sabe sobre a vida de Euclides, salvo algumas poucas informações esparsas. Mesmo sobre sua formação matemática não há nenhuma certeza: é possível que tenha sido feita em Atenas, na Academia de Platão. Papus de Alexandria $(séc. IV)$ deixou registrados elogios à sua modéstia e consideração para com os outros. Mas sua presença de espírito talvez possa ser avaliada pela história segundo a qual, a uma indagação de Ptolomeu sobre se não haveria um caminho mais curto para a Geometria (que o proposto por Euclides), teria respondido: "Não há nenhum caminho real na Geometria". Ou seja, perante a Geometria todos são iguais, até reis poderosos como Ptolomeu.

Embora autor de outros trabalhos, a fama de Euclides praticamente repousa sobre seus Elementos, o mais antigo texto da Matemática grega a chegar completo a nossos dias. Obra em treze livros, apesar de na sua maior parte ser uma compilação e sistematização de trabalhos anteriores sobre a matemática elementar da época, seu êxito foi enorme. Haja vista suas mais de mil edições impressas em todo o mundo, desde a primeira em $1482$, um feito editorial talvez só superado pela Bíblia.

Os Elementos dedicam um bom espaço à teoria dos números (três livros), mas com o enfoque geométrico que permeia toda a obra. Euclides representava os números por segmentos de reta, assim como representava o produto de dois números por um retângulo. Contudo, a argumentação usada por ele independe da geometria. Há também no texto um pouco de álgebra geométrica, onde, por exemplo, algumas raízes dadas na forma de segmentos de retas.

Mas, sem dúvida, o forte dos Elementos é a Geometria. A partir de cinco noções comuns, cinco postulados específicos e algumas definições, centenas de teoremas ($467$ em toda a obra) são deduzidos, alguns de grande profundidade. Além de ser o mais antigo texto de matemática na forma axiomático-dedutiva a chegar a nossos dias, nele Euclides foi muito feliz na escolha e no enunciado de seus postulados básico. E soube usá-los com proficiência. Assim, não é sem motivo que os Elementos, por dois milênios, além de texto fundamental de Geometria, foi o modelo de boa matemática.

Falhas em suas estruturações lógica foram sendo achadas ao longo do tempo. Por exemplo, a questão da continuidade não foi focalizada, o que levava Euclides a usar pressupostos não explicitados sobre o assunto. Tudo isso porém chegar a ser irrelevante em face da grandiosidade da obra e de sua influência científica.

Texto de Hygino H. Domingues

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo

Veja mais: 

Quadriláteros Notáveis
Os Elementos de Euclides
O Algoritmo de Euclides para Determinação do MDC
O Teorema de Pitágoras Segundo Euclides - A Proposição I-47
Lobachevsky e as Geometrias Não-Euclidianas

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21 de out de 2013

A Mediana de Euler

Leonhard Euler $(1707-1783)$ foi um dos maiores matemáticos (ou o maior) do século $XVIII$, pois sua obra é impressionante, pela quantidade e pela diversidade. Dentre algumas áreas em que Euler contribuiu, podemos citar a Álgebra, Teoria dos Números, Trigonometria, Cálculo Infinitesimal, Óptica e Geometria. Desta última, especificamente em Geometria Plana, Euler também deixou sua marca num estudo sobre quadriláteros.

Definição $1$: Mediana de Euler é o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio e fica localizada sobre sua base média, expressa por:
\begin{equation}
m_E=\frac{b-b'}{2}
\end{equation}
onde $m_E$ é a Mediana de Euler e $b$ e $b'$ são as bases maior e menor, respectivamente, do trapézio.

Ao traçarmos as duas diagonais do trapézio, estas cortam a base média nos pontos $P$ e $Q$. A Mediana de Euler é o segmento $\overline{PQ}$.

A demonstração não é muito complicada, pois remete a temas já estudados, como a base média de um triângulo e a base média de um trapézio.

Do triângulo $ABD$, temos que sua base média é o segmento $\overline{MQ}$, dada por:
\begin{equation}
\overline{MQ}=\frac{\overline{AB}}{2}=\frac{b}{2}
\end{equation}
E do triângulo $ACD$, temos que sua base média é o segmento $\overline{MP}$, dada por:
\begin{equation}
\overline{MP}=\frac{\overline{CD}}{2}=\frac{b'}{2}
\end{equation}
A Mediana de Euler é o segmento $\overline{PQ}$, que pode ser expresso por:
\begin{equation}
\overline{PQ}=\overline{MQ}-\overline{MP}
\end{equation}
Substiruindo $(2)$ e $(3)$ em $(5)$, obtemos:
\begin{equation}
\overline{PQ}=m_E=\frac{b}{2}-\frac{b'}{2}=\frac{b-b'}{2}
\end{equation}

Exemplo $1$: Seja o trapézio $ABCD$ de bases $b=\overline{AB}=12cm$ e $b'=\overline{CD}=8cm$. Calcular a Mediana de Euler.

Aplicando a fórmula dada em $(5)$, temos que:
$$m_E=\frac{b-b'}{2}=\frac{12-8}{2}=2cm$$


Veja mais:

Base Média de um Trapézio
Base Média de um Triângulo
Demonstração da Identidade de Euler

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20 de out de 2013

Base Média de um Trapézio

O trapézio é um quadrilátero plano convexo e é considerado notável por possuir algumas propriedades interessantes. Uma delas é a propriedade da base média do trapézio, que é a semi-soma das bases do trapézio.
Definição $1$: Trapézio é todo quadrilátero que possui um par, e somente um par, de lados opostos paralelos.

Os lados opostos paralelos são denominados por bases e os lados opostos transversos são denominados apenas por lados.

Definição $2$: Base média de um trapézio é o segmento que une os pontos médios dos lados do trapézio.

Seja o trapézio $ABCD$, cujos segmentos $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$ são suas bases paralelas. Sejam $M$ e $N$ os pontos médios dos lados do trapézio. O segmento $\overline{MN}$ é a base média do trapézio e é expresso por:
\begin{equation}
\overline{MN}=b_M=\frac{b+b'}{2}=\frac{\overline{AB}+\overline{CD}}{2}
\end{equation}
Para demonstrar esta propriedade, vamos partir do pressuposto que os pontos $M$ e $N$ são os pontos médios do lados do trapézio.

Traçando a diagonal $\overline{AC}$, cortando o segmento $\overline{MN}$ em $P$, obtemos os triângulos $ABC$ e $ACD$. Do triângulo $ABC$, o segmento $\overline{PN}$ é paraleo à $\overline{AB}$. Sendo $N$ o ponto médio de $\overline{BC}$, $P$ é o ponto médio de $\overline{AC}$. Logo $\overline{PN}$ é a base média do triângulo $ABC$ e é dada por:
\begin{equation}
\overline{PN}=\frac{1}{2} \overline{AB}
\end{equation}
Analogamente, no triângulo $ACD$, temos que $\overline{MP}$ é sua base média, dada por:
\begin{equation}
\overline{MP}=\frac{1}{2} \overline{CD}
\end{equation}
Veja aqui a demonstração da base média de um triângulo.

Temos ainda que:
\begin{equation}
\overline{MN}=\overline{MP}+\overline{PN}
\end{equation}
Substituindo $(2)$ e $(3)$ em $(4)$, obtemos:
\begin{equation}
\overline{MN}=\frac{1}{2}\overline{AB}+\frac{1}{2}\overline{CD}=\frac{\overline{AB}+\overline{CD}}{2}
\end{equation}

Exemplo $1$: Em um trapézio de bases $\overline{AB}=12cm$ e $\overline{CD}=8cm$, calcule sua base média $\overline{MN}$, sendo $M$ e $N$ os pontos médis de seus lados.

Aplicando a fórmula da base média do trapézio, dada em $(5)$, temos:
$$\overline{MN}=\frac{12+8}{2}=10cm$$

Exemplo $2$: Uma aplicação interessante é em escadas. Considere a escada da imagem abaixo com $9$ degraus, sendo o primeiro degrau com $45cm$ de largura e o último degrau com $30cm$ de largura. Calcular as larguras dos demais degraus.

Uma escada pode ser considerada como um trapézio. Se esta contiver um número ímpar de degraus, basta sabermos quanto mede o primeiro e o último para calcularmos a medida do degrau médio (informação extremamente útil para os matemáticos!), desde que as distâncias entre os degraus sejam constantes. A escada que tenho em minha casa, tem $7$ degraus com $25cm$ de distância entre eles, mas vi na internet outras com $30cm$.

Vamos representar a escada com o diagrama simplificado abaixo:

Com os dados iniciais do problema, os segmentos $\overline{AA'}=45cm$ e $\overline{II'}=30cm$. Notem que o segmento $\overline{EE'}$ é a base média do trapézio $AA'I'I$. Assim:
$$\overline{EE'}=\frac{\overline{AA'}+\overline{II'}}{2}=\frac{45+30}{2}=37,5cm$$
Agora, vamos aplicar a fórmula para determinar as medidas dos demais degraus.
$$\overline{CC'}=\frac{\overline{AA'}+\overline{CC'}}{2}=\frac{45+37,5}{2}=41,25cm$$
$$\overline{BB'}=\frac{\overline{AA'}+\overline{CC'}}{2}=\frac{45+41,25}{2}=43,125cm$$
$$\overline{DD'}=\frac{\overline{CC'}+\overline{EE'}}{2}=\frac{41,25+37,5}{2}=39,375cm$$
$$\overline{GG'}=\frac{\overline{EE'}+\overline{II'}}{2}=\frac{37,5+30}{2}=33,75cm$$
$$\overline{FF'}=\frac{\overline{EE'}+\overline{GG'}}{2}=\frac{37,5+33,75}{2}=35,625cm$$
$$\overline{HH'}=\frac{\overline{GG'}+\overline{II'}}{2}=\frac{33,75+30}{2}=31,875cm$$

Referências:

[1] Geometria 1 - Morgado
[2] Elementos de Geometria e Desenho Geométrico V1 - Putnoki
[3] Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce & Nicolau Pompeo

Veja mais:

Organograma dos Quadriláteros Notáveis
Base Média de um Triângulo
Quadriláteros Notáveis

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11 de out de 2013

Construção de um Pentágono Regular com Régua e Compasso (Parte 4) - Método de Hirano

Esta é uma elegante construção do pentágono regular pelos métodos euclidianos, elaborado por Yoshifusa Hirano. A construção foi incluída num manuscrito Sanpo Jyojutu Kaigi, por Chorin Kawakita $(1840-1919)$ que escreveu:
"Hirano descobriu um método de construção do pentágono regular utilizando régua e compasso apenas. Descrevo esse método aqui por ser original, elementar e excelente."
A construção de Hirano é ilustrada pela imagem abaixo:


Construção Geométrica


$1)$ Descreva uma circunferência $C_1$ de centro $O$ com diâmetros horizontal $FG$ e vertical $DH$.

$2)$ Trace as mediatrizes dos segmentos $\overline{OF}$ e $\overline{OG}$ e marque-as como $P$ e $Q$, respectivamente.

$3)$ Com centro em $P$, descreva a circunferência $C_2$ de diâmetro $OF$ e com centro em $Q$ descreva a circunferência $C_3$ de diâmetro $OG$.

$4)$ Trace o segmento $\overline{HQ}$ e marque como $T$ a intersecção com a circunferência $C_3$.

$5)$  Com centro em $H$, descreva a circunferência $C_4$ de raio $HT$ e marque como $A$ e $B$ as intersecções com a circunferência $C_1$.

$6)$ O segmento $\overline{AB}$ fornece o comprimento dos lados do pentágono regular inscrito na circunferência $C_1$.


Demonstração


Consideremos a figura abaixo:




Seja $C_1$ a circunferência com raio unitário. Do triângulo $HOQ$, temos que:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\overline{HQ}^2=\overline{OH}^2+\overline{OQ}^2\\
\overline{HQ}^2=1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\\
\overline{HQ} ^2=1+\frac{1}{4}\\
\overline{HQ} ^2=\frac{5}{4}\\
\overline{HQ} =\frac{\sqrt{5}}{2}
\end{matrix}
\end{equation}
O segmento $\overline{QT}$ é o raio da circunferência $C_3$ e mede $1/2$. Assim:
\begin{equation}
\begin{matrix}
\overline{HT}=\overline{HQ}-\overline{QT}\\
\overline{HT}=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}
\end{matrix}
\end{equation}
O triângulo $HBD$ é retângulo em $B$, de modo que:
\begin{equation}
\text{sen}(H\hat{D}B)=\frac{HB}{DH}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}
\end{equation}
O ângulo cujo seno vale $\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ é $18°$, logo o ângulo $H\hat{D}B=18°$. Por simetria, o ângulo $H\hat{D}A=18°$ e por conseguinte $A\hat{D}B=H\hat{O}B=36°$. E daqui obtemos que $A\hat{O}B=72°$, que é o ângulo central do pentágono.

Veja mais:


Construção de um Pentágono Regular com Régua e Compasso - Partes 1, 2, 3
Uma Demonstração para a Área do Pentágono Regular
Como Determinar o ângulo Interno de um Polígono Regular

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29 de set de 2013

Lobachevsky e as Geometrias Não-Euclidianas


Tudo começou com Euclides, cerca de $300a.C.$, em sua obra-prima Os Elementos a geometria foi construída sobre cinco postulados:
$I-$ Fique postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto.
$II-$ Também prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta.
$III-$ E, com todo centro e distância, descrever um círculo.
$IV-$ E serem iguais entre si todos os ângulos retos.
$V-$ E, caso uma reta, caindo sobre duas retas, faça ângulos interiores e do mesmo lado menores que dois retos, sendo prolongados as duas retas, ilimitadamente, encontram-se no lado no qual estão os menores do que dois retos.
Este quinto postulado em especial, certamente não traduzia nenhuma experiência concreta. Além disso Euclides só o enunciou depois de provar o máximo possível de teoremas sem usá-lo. Hoje podemos escrevê-lo assim:

Postulado $V$: Se num plano duas retas $a$ e $b$ são interceptadas por uma transversal $c$ de modo a formar um par de ângulos colaterais internos de soma menor que $180°$, então essas retas, prolongadas indefinidamente, se cortam do lado em que estão os ângulos considerados.

Na verdade Euclides trabalhava, em sua geometria, como em particular no postulado $V$, com segmentos de reta que prolongava num ou noutro sentido, conforme necessitasse, ao invés de retas infinitas acabadas, como se faz hoje. E o que esse postulado afirma equivale, na versão moderna da geometria euclidiana, a admitir que por um ponto fora de uma reta não há mais que uma paralela à reta. Entre as implicações importantes do postulado $V$ está o teorema que assegura ser a soma dos ângulos internos de um triângulo igual a um ângulo raso.

Desde os tempos de Euclides dezenas de matemáticos tentaram provar esse postulado, a partir dos outros quatro, achando que se tratasse na verdade de mais um teorema. Um deles foi Nikolai Ivanovich Lobachevsky $(1792-1856)$, um russo natural da atual cidade de Gorki, cuja vida acadêmica sempre esteve vinculada à Universidade de Kazan, desde seu ingresso como aluno de $1827$ a $1846$. Diga-se de passagem que o fato de Lobachevsky ter alcançado a reitoria da Universidade de Kazan não foi um prêmio a seus méritos científicos. Estes jamais foram reconhecidos devidamente durante sua vida. Pelo contrário, uma versão de suas ideias geométricas, datando de $1829-30$, chegou a ser recusada para publicação pela Academia de Ciências de São Petersburgo.

Na mesma época, o matemático húngaro János Bolyai $(1802-1860)$ anunciou, de forma independente, a descoberta de geometrias não-euclidianas. O trabalho de Lobachevsky é de $1829$ e o de Bolyai nasceu como um apêndice de um livro publicado por seu pai em $1831$.

Quando jovem, o pai de Boylai havia sido colega de Gauss $(1777-1855)$ em Göttingen, e quando o filho pôs suas ideias por escrito, seu pai enviou um exemplar do manuscrito a Gauss, que não se sensibilizou ao entusiasmo do jovem János, escrevendo de volta: "Sim, mas isso que seu filho fez não é novidade para mim, que percebi essa possibilidade há muitos anos, em minha juventude". Hoje sabemos que foi Gauss mesmo o primeiro matemático a perceber a possibilidade das geometrias não-euclidianas.

Lobachevsky e Bolyai começaram negando o postulado das paralelas e procedendo a deduzir uma série de teoremas bem diferentes dos conhecidos teoremas da antiga geometria euclidiana. Afirmaram, então, terem descoberto uma geometria alternativa à geometria euclidiana, isto é, uma geometria sem contradições internas e de resultados surpreendentes e que hoje são considerados descobridores dessa geometria conhecida hoje como Geometria Hiperbólica. Por exemplo, nessa geometria, a soma dos ângulos internos de um triângulo vale menos que $180°$.

Cabe então a pergunta: tamanha liberdade é válida em matemática? Não é difícil nos convencermos que sim. Primeiro notemos que a geometria considerada por Euclides ao chegar ao postulado $V$ referia-se a um plano. Ademais, o conceito de reta é primitivo: não se define, não poderia haver nesta algum ente que fizesse o papel análogo ao da reta no plano, perante o mesmo conjunto de postulados?

Tanto isso é possível que em $1868$ o matemático italiano Eugênio Beltrami $(1835-1900)$ descobriu um modelo para a geometria hiperbólica, a pseudo-esfera, superfície que lembra uma corneta dupla.


Nessa superfície, por um ponto fora de uma "reta" há mais do que uma paralela a essa "reta". Claro que a "reta" nesse caso indica o ente da pseudo-esfera cuja ideia corresponde à da reta de um plano. Na figura acima podemos visualizar como ocorre, bem como que a soma dos ângulos internos de um "triângulo" vale menos que um ângulo raso. A partir desse modelo, a geometria que o próprio Lobachevsky chamava de imaginária passou a ser matematicamente real.

 As geometrias não-euclidianas, objeto das pesquisas de Lobachevsky, eram um verdadeiro tabu em sua época, daí a marginalização científica de que foi vítima o geômetra russo (agradava pelo fato de trabalhar num local muito distante dos grandes centros da Europa ocidental). Mas isso não impediu que se tornasse público que foi ele o primeiro a publicar um trabalho sobre geometrias não-euclidianas $(1826)$. E ganhou, assim, a primazia de ter acabado com o mito da verdade absoluta na matemática.

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V10 - Geometria Espacial, Posição e Métrica - Osvaldo Dolce & José Nicolau Pompeo
[2] Várias Faces da Matemática - Tópicos para Licenciatura e Leitura Geral - Geraldo Ávila
[3] Os Elementos de Euclides - Tradução e Introdução de Irineu Bicudo


Veja mais: 

Gauss e o Universal em Matemática
Integração por Substituição Trigonométrica

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22 de set de 2013

A Prancha Trigonométrica

A Prancha Trigonométrica é um aparato pedagógico desenvolvido pela empresa MMP Materiais Pedagógicos, para que o professor, ou aluno, possa desenvolver atividades no estudo do círculo trigonométrico, pois é possível observar os valores do seno, cosseno e tangente de um ângulo simultaneamente. Entretanto, não há precisão nas medições, exceto para os ângulos notáveis, pois os valores já estão impressos nos eixos.

A prancha trigonométrica é composta por duas partes: uma base branca fixa e uma transparente giratória. Na base branca encontra-se o círculo trigonométrico de raio $r=1$, dividido em ângulos, numerado internamente em graus e externamente em radianos. Há também os eixos dos senos, cossenos e tangentes, divididos em décimos e também os valores irracionais de ângulos notáveis.

Na parte transparente giratória, encontra-se uma reta em vermelho que passa pela origem, por onde se dá o giro, e uma circunferência de raio igual a $r/2$, com centro em uma dessas semirretas.

Quando giramos a parte transparente, a reta forma um ângulo $\theta$ com o eixo dos cossenos (eixo horizontal) e podemos verificar o valor do ângulo, do seno, do cosseno e da tangente simultaneamente, apenas observando os pontos de intersecção da circunferência com os eixos dos senos e dos cossenos e da reta com o eixo das tangentes.

Vejam que, ao girarmos a parte transparente formando um ângulo $\theta$ com o eixo dos cossenos, o ponto $P$ indica o ângulo em graus e em radianos, e as projeções do ponto $P$ nos eixos dos cossenos e dos senos, dão os pontos $x$ e $y$, que são os valores do cosseno e do seno do ângulo $\theta$, assim como o ponto $t$ é a intersecção da reta com o eixo das tangentes, o que nos dá o valor da tangente do ângulo $\theta$.

Vejamos alguns exemplos determinando os valores de seno, cosseno e tangente para os ângulos notáveis.

$1)$ $\theta = 0°$


Quando a reta está horizontal, temos um ângulo $\theta = 0°$ e podemos observar os valores:

Vejam que o diâmetro da circunferência de raio $r/2$ está sobre o eixo dos cossenos e a intersecção se dá no ponto $x=1$, que é o raio do círculo unitário.

$2)$ $\theta = 30°$



Girando a parte transparente no sentido anti-horário até que a reta forme um ângulo $\theta = 30°$ com o eixo dos cossenos, podemos observar os valores:

Aqui a projeção do ponto $P$, que é a intersecção da reta com a circunferência de raio unitário, sobre o eixo dos cossenos, recai sobre o ponto $x=\sqrt{3}/2$. A projeção do ponto $P$ sobre o eixo dos senos recai sobre o ponto $y=1/2$, ou seja, exatamente na metade do eixo. A tangente é definida pela razão entre o seno e o cosseno:
$$\text{tan}(30°)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$
Que é exatamente o ponto $t$ sobre o eixo das tangentes.

$3)$ $\theta = 45°$


Girando um pouco mais a parte transparente, paramos a reta sobre o ângulo de $45°$. Podemos observar os valores:

Fica fácil observar que o ângulo $\theta = 45°$ divide o $1º$ quadrante em partes iguais e que as projeções do ponto $P$ sobre os eixos dos cossenos e dos senos estão a uma mesma distância da origem, consequentemente, os valores do cosseno e do seno serão iguais, sendo $x=y=\sqrt{2}/2$. Podemos notar o quadrado $OxPy$. O eixo das tangentes está sendo cortado pela reta no ponto $t=1$:
$$\text{tan} (45°)=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}=1$$

$4)$ $\theta =60°$


Para o ângulo de $60°$, observamos os seguintes valores:

A projeção do ponto $P$ sobre o eixo dos cossenos recai sobre o ponto $x=1/2$ e a projeção do ponto $P$ sobre o eixo dos senos recai sobre o ponto $y=\sqrt{3}/{2}$. Observem a relação entre os ângulos de $30°$ e $60°$.

O eixo das tangentes está sendo cortado no ponto $t=\sqrt{3}$ pela reta. Pela definição:
$$\text{tan}(60°)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2=\sqrt{3}$$

$5)$ $\theta = 90°$


Se girarmos um pouco mais a parte transparente até que a reta forme um ângulo de $90°$ com o eixo dos cossenos, vemos que a reta se torna paralela ao eixo das tangentes, não tendo nenhum ponto em comum. Observamos os seguinte valores:

Vejam que aqui o diâmetro da circunferência de raio $r/2$ está sobre o eixo dos senos e a intersecção se dá no ponto $y=1$ que é o raio do círculo unitário. Observamos ainda que não existe um valor para a tangente de $90°$. Quando o ângulo $\theta$ se aproxima de $90°$, o valor do cosseno torna-se cada vez menor, aproximando-se de zero; já o seno fica cada vez mais próximo de $1$; a tangente cresce rapidamente, tendendo ao infinito. Poderíamos dizer então que, quando $\theta$ tende a $90°$, a tangente tende ao infinito. Até é verdade, mas num contexto geral não faz muito sentido dizer que a tangente de $90°$ é igual a $+\infty$, já que o infinito não é um número e faz mais sentido no Cálculo, quando é apresentado limites no infinito, que não é o foco deste aparato.

Para os demais quadrantes, obtemos valores para o seno, cosseno e tangente aplicando a redução ao primeiro quadrante.

Assim, podemos construir uma tabela mais elaborada para os ângulo notáveis:


Veja mais:

Demonstração dos Ângulos Notáveis
Demonstração da Relação Trigonométrica Fundamental
Tabela Trigonométrica dos Ângulos do Primeiro Quadrante

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