28 de nov de 2012

Sobre os Primos Gêmeos

A conjectura dos números primos gêmeos afirma que existem infinitos números primos gêmeos, mas até hoje tal afirmação ainda não foi provada. Matemáticos acreditam que esta conjectura é verdadeira, baseado apenas nas evidências numéricas e raciocínios heurísticos envolvendo a distribuição probabilística dos números primos.


Em $1919$, Brun mostrou que a série formada pela soma dos recíprocos dos primos gêmeos converge para uma soma chamada constante de Brun $(0,6601618158 \cdots)$ em sua homenagem.

Em janeiro de $2007$, o projeto computacional sobre a distribuição dos números primos gêmeos (Twin Prime Search and Prime Grid) encontrou os maiores primos gêmeos contendo $58.771$ dígitos:
\begin{equation*}
2.003.663.613 \times 2^{195.000} \pm 1
\end{equation*}
Em julho de 2009, foram encontrados primos gêmeos ainda maiores, com 100.355 dígitos:
\begin{equation*}
65.516468355 \times 2^{333.333} \pm 1
\end{equation*}

Definição $1$:

Um par de números primos $x$ e $y$ com $x > y$ é chamado de primos gêmeos se $x = y + 2$.

Teorema de Sebá $1$:

Se $x$ e $y$ são dois primos gêmeos maiores que três sob a forma $6n \pm 1$, então, temos que $x^2 – y^2$ é divisível por $24$, para todo $x > y$.

Demonstração:


Dados dois primos gêmeos $x$ e $y$, escritos sob a forma $x = 6n + 1$ e $y = 6n – 1$ para $n$ natural.

Assim:
\begin{equation*}
x^2 - y^2 = (6n+1)^2 - (6n-1)^2\\
x^2 - y^2 = 36n^2 + 12n + 1 - 36n^2 +12n -1\\
x^2 - y^2 = 24n
\end{equation*}
Por exemplo, podemos montar uma tabela e verificar os resultados:

Observando a tabela acima, podemos notar que, apesar de encontrarmos pares gêmeos, nem para todo n natural encontramos primos gêmeos do tipo $6n \pm 1$.
\begin{equation*}
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, 41, 43, 59, 61, 71, 73, 101, 103, 107, 109, 137, 139, 149, 151, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 227, 229, 239, 241, 269, 271, 281, 283, 311, 313, 347, 349, 419, 421, 431, 433, 461, 463, 521, 523, 569, 571, 599, 601, 617, 619, 641, 643,\cdots
\end{equation*}

Corolário $1$:

A soma de dois primos gêmeos maiores que três é divisível por $12$.

Demonstração:

Dados dois primos gêmeos $x$ e $y$ com $x – y = 2$. Pelo teorema anterior $x^2 – y^2 = 24n$, sendo n natural não nulo. Assim,
\begin{equation*}
(x-y)(x+y) = 24n\\
2(x+y) = 24n\\
x+y = 12
\end{equation*}
donde segue o resultado.

Definição $2$:

Uma terna de primos é uma terna da forma $(p, p+2, p+6)$ ou $(p, p+4, p+6)$. Com exceção trivial das ternas $(2,3,5)$ e $(3,5,7)$.

Note que uma terna de primos contém um par de primos gêmeos da forma $(p,p+2)$ ou $(p+4, p+6)$. Vejamos uma pequena tabela com cada um dos tipos:

Temos as seguintes primeiras ternas:
 \begin{equation*}
(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (37, 41, 43), (41, 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193, 197), 193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (227, 231, 233),  \cdots
\end{equation*}

Veja mais:

Quantos Números Primos Existem?
A Série dos Recíprocos dos Números Primos no blog Fatos Matemáticos
Teoremas Interessantes Sobre Números Primos no blog Fato Matemáticos
A Demonstração de Euclides Sobre a Existência de Infinitos Números Primos

Imprimir


21 de nov de 2012

Completando Quadrado

Quando estamos estudando equações, surgem em nossa frente as equações de segundo grau, também conhecidas como equações quadráticas. Matematicamente, essas equações são dadas por:

clip_image002

clip_image002[6]

Essas equações levam esse nome por possuir uma incógnita com expoente de grau 2 e podem ser completas ou incompletas.

As equações quadráticas incompletas são mais práticas de serem resolvidas, pois não apresentam o termo da incógnita x ou o termo independente.

clip_image010

A equação quadrática acima não possui o termo independente c, ou seja, c = 0. Para encontrarmos suas raízes, colocamos a incógnita x em evidência:

clip_image016

Daqui segue que:

clip_image018

Outra forma incompleta da equação quadrática:

clip_image020

Neste caso basta isolar a incógnita:

clip_image022

clip_image024

As duas raízes acima são reais se –c/a > 0. Para a equação completa (1), se a equação for um quadrado perfeito, conseguiremos fatorá-la de modo que se apresente como:

clip_image026

O que nos leva a raiz dupla:

clip_image028

Se a equação não for um quadrado perfeito, aplicamos a fórmula resolvente da equação de segundo grau, também conhecida como fórmula de Bháskara:

clip_image030

Vale ressaltar que existe uma lógica por trás da expressão (2). Mas em geral, é um assunto desconhecido para muitos professores, que infelizmente, apenas ensinam os alunos a substituir as constantes a, b e c nesta expressão. Neste post, usaremos um processo chamado Completar Quadrado, transformando o membro da esquerda em um quadrado perfeito.

Vamos considerar a equação quadrática completa:

clip_image032

Dividimos toda a equação pelo coeficiente a, pois a ≠ 0, para obter:

clip_image034

Isolamos o termo independente no lado direito da equação:

clip_image036

Queremos que o membro da esquerda seja um quadrado perfeito. Para isso, devemos completar o quadrado, que se dá somando uma quantidade Q ao membro da esquerda da equação. Consequentemente, também devemos somar o mesmo valor no membro da direita para que a igualdade continue verdadeira.

clip_image038

clip_image040

Da Álgebra Elementar temos que:

clip_image042

ou em forma de palavras podemos dizer que “o quadrado da soma é igual ao quadrado primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo”.

Comparando as expressões (3) e (4), vemos que o primeiro termo m é igual a x e o segundo termo n é igual b / 2a. Assim, para completar quadrados na expressão (3), o valor assumido por Q deverá ser:

clip_image044

Deste modo, obtemos:

clip_image046

O que nos leva a:

clip_image048

Notem que agora o membro da esquerda é um quadrado perfeito. Mas vejam que interessante: se extrairmos a raiz de ambos os lados da equação, obteremos:

clip_image050

clip_image052

clip_image054

Que é a fórmula para a equação de segundo grau.

Exemplo 1: Complete o quadrado na equação clip_image056 e ache suas raízes.

Etapa 1: Devemos garantir que o coeficiente de x2 seja igual a 1, dividindo toda a equação por 2:

clip_image058

Etapa 2: Isolamos o termo independente:

clip_image060

Etapa 3: Devemos adicionar um valor Q em ambos os lados da equação para obtermos um quadrado perfeito no membro da esquerda. Esse número é obtido tomando o quadrado da metade do coeficiente de x.

clip_image062

clip_image064

clip_image066

clip_image068

Etapa 4: Reescrevemos o membro da esquerda como quadrado perfeito:

clip_image070

Podemos encontrar as raízes da equação extraindo a raiz de ambos os lados da equação:

clip_image072

clip_image074

Exemplo 2: Complete quadrado da equação abaixo e ache suas raízes:

clip_image076

Devemos garantir que o coeficiente de x2 seja igual a 1, multiplicando toda a equação por 4:

clip_image078

a qual pode ser reescrita na forma:

clip_image080

Mas, a expressão clip_image082 é um quadrado perfeito, isto é:

clip_image084

Assim,

clip_image086

Logo, x = –2 é uma raiz dupla desta equação.

Comentário Final: A Matemática possui muitas regras, propriedades, fórmulas e teorias. Mesmo nos níveis elementares, os professores deveriam priorizar o ensino desta ciência apresentando o porquê de tais métodos funcionarem, ao invés de forçar os alunos a decorar fórmulas sem sentido. Buscamos neste post apresentar as equações quadráticas sem o uso discriminado da fórmula de Bháskara, usando apenas as técnicas de completar quadrados, mostrando desta forma a estreita ligação que existem entre vários assuntos, passando para os alunos a importância de conhecer em sua essência os vários tópicos da Matemática.


Veja mais:

Demonstração dos Pontos de Máximo e Mínimo de uma Equação Quadrática
Resolvendo Equações Quadráticas pelo Método Geométrico de Descartes
Regra de Descartes e a Equação Quadrática no blog Fatos Matemáticos
Fatoração do Trinômio Quadrático em Z no blog Fatos Matemáticos

17 de nov de 2012

Resultado da 2ª Promoção do Baricentro da Mente: Livro Os Fantásticos Números Primos

Primeiramente, gostaria de agradecer a todos que participaram desta segunda promoção realizada aqui no blog. Fiquei surpreso com pequena quantidade de inscrições. Acredito ser devido ao livro ser em formato digital. Uma pena, mas melhor para aqueles que participaram, pois suas chances aumentam.

O sorteio foi realizado hoje pela às 17h13, através da ferramenta on-line Sorteador, que gerou um protocolo, podendo ser visto neste link.

O ganhador da promoção foi o de número 10: Aloísio Teixeira.

Fiz também a gravação do sorteio que pode ser visto:

 

Entrarei em contato com o ganhador e caso não se apresente em 3 dias, farei novo sorteio.

O livro será enviado por e-mail pelo próprio autor.

Um abraço a todos!

Redes Sociais

Arquivo do Blog