29 de out de 2012

ENCERRADA - 2ª Promoção do Baricentro da Mente: e-Livro Os Fantásticos Números Primos de Ricardo José da Silva

Olá Caros Leitores. Esta é a segunda promoção do blog O Baricentro da Mente e desta vez trago a vocês um livro digital do autor Ricardo José da Silva sobre Os Fantásticos Números Primos!

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Sobre o Livro:

Os Fantásticos Números Primos, o livro que releva novos métodos e fórmulas para extração de números primos com o auxílio de tabelas, gráficos e planilhas. Apresenta também regularidades e sequências numéricas inéditas e fascinantes encontradas na Tabuada de Pitágoras.

O conteúdo do livro tem como diferencial novos métodos e fórmulas para extração de números primos com o auxílio de tabelas, gráficos e planilhas, tudo de forma didática.

Público Alvo:

Professores e profissionais que trabalham com matemática, estudantes e os apaixonados por matemática.

O Autor:

O Publicitário Ricardo José da Silva é um profissional apaixonado por desenhos desde criança. Seu talento na arte de desenhar sempre chamou atenção de familiares e amigos.  Profissionalmente atua há quase 30 anos nas áreas de planejamento, criação, desenvolvimento e finalização de lay-outs, marcas, desenhos técnicos, anúncios, folhetos, catálogos, revistas, peças promocionais e publicitárias e Web Sites.
Mas foi nos últimos anos, estudando para complementar as revisões dos conteúdos, exigidos nos editais para concursos públicos, encontrou na Internet uma reportagem na Revista Superinteressante “A Inesgotável fonte dos números primos”, escrita pelo  Professor da USP, Luiz Barco: no qual ele dizia: "quem ousar brincar com números descobrirá propriedades fascinantes". Esta frase o motivou a pesquisar e conhecer melhor os números primos e saber que tantos matemáticos e pessoas que gostam de matemática estão há séculos tentando encontrar “a fórmula mágica” e descobrir a sequência de números primos.

Mais informações:

Livro digital: Os Fantásticos Números Primos

Site Oficial - versão digital:

www.osfantatiscosnumerosprimos.com.br

Site Clube de Autores: versão digital e impressa:

www.clubedeautores.com.br/book/135526--Os_Fantasticos_Numeros_Primos

Fãpage:

www.facebook.com/osfantasticosnumerosprimos

Sobre o Sorteio:

Cada inscrito receberá um número que seguirá por ordem de inscrição.

O sorteio será realizado dia 17/11/2012 (sábado), independentemente da quantidade de pessoas inscritas na promoção. Serão aceitas inscrições até o dia anterior, 16/11/2012.

Será utilizada a ferramenta on-line Sorteador, que sorteia números aleatórios com base na quantidade de dados de entrada. Este gera um número de protocolo e uma URL com o resultado que será divulgado após resultado desta promoção para que todos tenham conhecimento. Se possível, farei um vídeo com o sorteio.

Para Concorrer:

Para concorrer a este livro, sigam as simples regras abaixo:

i) Seja um seguidor público deste blog;

ii) Deixe um comentário nesta postagem;

iii) Cada inscrito receberá um número seqüencial por ordem de inscrição que periodicamente atualizarei nos comentários desta postagem;

iv) Por ser um livro em formato digital, leitores de qualquer país poderá participar; 

v) Caso o sortudo não entrar em contato com O Baricentro da Mente num prazo de 3 dias após a divulgação do resultado, será realizado um novo sorteio. Por isso, fique de olho e acompanhe o blog para não perder.

Aqueles cumpridores dos requisitos acima considerem-se inscritos. Simples e indolor.


21 de out de 2012

As Figuras Kolam e o Bracelete de Krishna

Num vilarejo no sudeste da Índia, em Tamil Nadu (Terra dos Tâmiles), todas as manhãs as mulheres saem de suas casas e iniciam um ritual: varrem a soleira da porta, espirram uma mistura de esterco de vaca e água, depois cobrem a área com figuras complexas elaboradas com pó-de-arroz. Segundo a tradição, o esterco de vaca limpa e purifica o solo, enquanto o pó-de-arroz constitui uma oferenda, pois é apreciado pelas formigas e é bom começar o dia com um ato de bondade.

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As figuras desenhadas no solo são chamadas de Kolam e representa um sinal de graça e é prova de destreza, disciplina mental e capacidade de concentração. As figuras Kolam chamam a atenção em vários aspectos: é um exemplo incrível de expressão matemática num contexto cultural e vem cada vez mais chamando a atenção de profissionais em informática especializados na análise e descrição de imagens.

A tradição do Kolam perdura há séculos em Tamil Nadu, com uma literatura que remonta o século III a.C.. Passada de mãe para filha e é praticada por mulheres de todas as classes sociais, mas nos últimos anos, substituíram o arroz por pó-de-pedra, giz ou mesmo tinta.

Para fazer uma figura de Kolam, o ponto de partida é frequentemente uma tabela de pontos traçada no chão prevendo a forma e o tamanho do desenho, podendo ser uma rede retangular, triangular, ou mesmo hexagonal. A figura é então desenhada ligando os pontos ou contornando-os, de forma que os pontos guiem e determinem restrições do desenho.

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Algumas figuras são constituídas por apenas uma linha contínua, que termina no ponto onde começou. Essas figuras são fechadas e associadas ao ciclo infinito do nascimento, fertilidade e morte e aos conceitos de continuidade, totalidade e eternidade. Outras figuras são constituídas por múltiplas curvas.

Há também famílias de figuras que podem partilhar características. Em vários casos figuras maiores combinam várias cópias justapostas de menores. Em outros casos, os membros são derivados um dos outros de forma sutil.

A concepção e organização das famílias são ricas em ideias matemáticas. Esses agrupamentos tem chamado a atenção dos teóricos da informática que trabalham com a análise e a descrição de imagens como o uso de linguagens gráficas. Essas linguagens trabalham basicamente com regras formais específicas para combinar essas unidades. Esse trabalho é aparentado com a teoria formal da linguagem, que foi descoberta há cerca de 50 anos com o estudo de Noam Chomsky sobre linguagens naturais.

Uma linguagem determinista fora de contexto foi utilizada para descrever uma outra família de figuras do Kolam, chamada Os Braceletes de Krishna, cujos membros são derivados recursivamente uns dos outros. Para desenhar Os Braceletes de Krishna, três movimentos ou operações são suficientes:

L → Avança descrevendo um traço;

D Avança fazendo uma curva de 90° graus à direita;

A → Avança fazendo uma argola completa pela direita.

Segundo esses movimentos, cada um deles pode assumir as seguintes formas:

image L

image D

image A

A figura inicia com uma cadeia de comandos que obedece a seguinte regra:

DLALALALD

Esta é uma figura iterativa, ou seja, para cada etapa k, obtemos uma nova figura mais elaborada que partilha das mesmas características da figura original. Traduzindo para a linguagem gráfica, obtemos:

Etapa k = 0:

image

Para cada etapa k > 0, devemos aplicar uma regra de reescrita, definida por:

LL

DDLALD

ADLALALALD

O que fazemos na etapa k é reescrever a sequência k – 1 substituindo cada movimento seguindo as regras de reescrita. Assim, para a etapa seguinte, temos:

Etapa k = 1:

Substituímos as regras de reescrita na curva original, obtendo:

DLALD L

DLALALALD L DLALALALD L DLALALALD

L DLALD

Traduzindo para a linguagem gráfica, obtemos a figura:

image

Etapa k = 2:

Substituímos as regras de reescrita na curva de iteração k = 1:

DLALD L

DLALALALD L DLALD L DLALD L DLALALALD L DLALALALD L DLALALALD L DLALD L DLALD L DLALALALD L DLALALALD L DLALALALD L DLALD L DLALD L DLALALALD L DLALALALD L DLALALALD L DLALD L DLALD L DLALALALD

L DLALD

Traduzindo para a linguagem gráfica, obtemos a figura:

image

Etapa k = 3:

Substituímos as regras de reescrita na curva de iteração k = 2, encontraremos uma sequência de 681 operações.

Observando as etapas acima, podemos observar um padrão em relação à quantidade de operações. Para a etapa k = 0 temos 9 operações, que equivale à curva original; para a etapa k = 1, temos 41 operações; para a etapa k = 2, temos 169 operações; para a etapa k = 3, temos 681 operações. Podemos montar uma tabela comparativa:

imageA partir desses dados experimentais, podemos concluir que para a etapa k = n, vale o somatório:

clip_image002

Podemos provar este resultado por indução finita. Vejamos uma forma fechada para a expressão acima. Seja:

clip_image002[4]

Então:

clip_image002[6]

Fazemos agora uma substituição de variáveis. Seja i = j +1:

clip_image002[8]

clip_image002[10]

De modo que:

clip_image002[12]

clip_image002[14]

Segue de (1) e (2) que:

clip_image002[16]

clip_image002[18]

clip_image002[20]

A partir da fórmula dada em (3), podemos construir uma tabela de k iterações:

image

Vemos que o crescimento de operações é exponencial e cresce muito rápido. Na décima iteração temos um pouco mais de 11 milhões de operações!

Encontrei na internet um blog bem bacana dedicado inteiramente às figuras Kolam.

Como foi observado pelo Aloísio Teixeira, a série dos kn termos da operações, é uma sequência mista de razão geométrica q = 4 e razão aritmética r = 5. Para saber mais, veja o artigo Progressão Mista no blog Elementos de Teixeira.

Referências:

[1] Scientifc American – Edição Especial Nº 11 – Etnomatemática


Veja mais:

A Fórmula de Pick e a Aproximação de π
Método da Multiplicação dos Camponeses Russos
A Astronomia e os Astrônomos da Grécia Antiga

16 de out de 2012

Escalonamento ou o Método da Eliminação de Gauss

A teoria das equações lineares desempenha papel importante e motivador no campo da Álgebra Linear, onde muitos problemas são equivalentes ao estudo de um sistema de equações lineares.

Procurei neste artigo evitar todo o rigor matemático do método aplicado no Cálculo Numérico, sem abrir mão de um mínimo de formalismo necessário para o bom entendimento.
image

Os métodos diretos que aprendemos no ensino médio como por substituição só é prático para duas equações a duas incógnitas; para outros casos destaca-se a regra de Cramer. Esse método, se aplicado a um sistema de $n \times n$ envolve um cálculo de $n+1$ determinantes de ordem $n$. Se $n=20$, por exemplo, o total de operações efetuadas será de $21 \times 20! \times 19$ multiplicações mais um número semelhante de adições. Assim, se um computador que efetue cerca de cem milhões de multiplicações por segundo, levaria $3 \times 10^5$ anos para efetuar as operações necessárias.

Claro que na época de Gauss não existia computador. Imaginem como era para resolver sistemas com $n=4$, $n=5$, $n=10$.

O método de eliminação de Gauss consiste em transformar o sistema linear original num sistema linear equivalente com a matriz dos coeficientes triangular superior, pois estes são de resolução imediata.

Uma equação linear no campo dos números Reais pode ser representada como
\begin{equation}
a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 +\cdots + a_nx_n = b
\end{equation}
 onde $a_i, b \in \mathbb{R}$ e os $x_i$ são indeterminados, ou seja as incógnitas ou variáveis. Os escalares $a_i$ são chamados coeficientes de $x_i$ respectivamente, e $b$ é chamado de constante ou termo independente.

Um sistema de equações lineares é um conjunto de $m$ equações com $n$ incógnitas. Neste estudo, vamos nos concentrar em sistemas lineares do tipo $n \times n$, onde o número de equações é igual ao número de incógnitas.

Considere o sistema linear $Ax = b$:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n & = & b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n & = & b_2\\
\vdots \\
a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots +a_{nn}x_n & = & n_n
\end{matrix}\right.
\end{equation}
O método de eliminação de Gauss consiste em transformar convenientemente o sistema linear original para obter um sistema linear equivalente com matriz dos coeficientes triangular superior.

Para modificar convenientemente um sistema linear num equivalente, podemos fazer uso do teorema abaixo:

Teorema:

Seja $Ax = b$ um sistema linear $n \times n$. Aplicamos sobre as equações desse sistema uma sequência de operações elementares escolhidas entre:

$\bullet$ trocar duas equações ou duas colunas;
$\bullet$ multiplicar uma equação por uma constante não-nula;
$\bullet$ adicionar um múltiplo de uma equação a outra equação.

Assim, obteremos um novo sistema $A^\prime x = b^\prime$ de modo que os sistemas $Ax = b$ e $A^\prime x = b^\prime$ são equivalentes.

Considere o sistema de equações lineares dado em $(2)$. A triangularização do sistema é dada como segue:

$1)$ Transpomos linhas e/ou colunas de modo que o termo $a_{11}$ seja não-nulo;
$2)$ Para cada $i > 1$, aplicamos a operação:
\begin{equation}
L_i \longrightarrow -a_{ik}L_k+a_{kk}L_i
\end{equation}
onde $k$ é cada etapa da eliminação.

Para cada etapa $k$, sendo cada etapa a eliminação de uma variável das equações, substituímos a i-ésima equação linear $L_i$ pela equação equivalente resultante da multiplicação da equação $L_k$ por $-a_{ik}$ somada ao produto da equação $L_i$ por $a_{kk}$. Com isso eliminamos o termo $a_{ik}$ da equação $L_i$:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\cdots &+&a_{1n}x_n & = & b_1\\
&&a_{22}x_2&+&\cdots &+&a_{2n}x_n & = & b_2\\
&&&&\vdots \\
&&&&&&a_{nn}x_n & = & b_n
\end{matrix}\right.
\end{equation}
A cada etapa desse processo elimina uma incógnita de equações sucessivas até, por fim, encontrarmos somente:
\begin{equation}
a_{nn}x_n=b_n
\end{equation}
Que nos dá imediatamente o valor de $x_n$.

Substituindo $x_n$ na equação $L_{i-1}$, obteremos o valor de $x_{n-2}$ e assim sucessivamente.

Exemplo $1$:

Considere o sistema de equações abaixo. Encontre os valores de $x$, $y$ e $z$.
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
2x & + & y & - & 2z & = & 10\\
3x & + & 2y & + & 2z & = & 1\\
5x & + & 4y & + & 3z & = & 4
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Primeiramente, vemos que o termo $a_{11}$ é não-nulo e igual a $2$. Vamos identificar cada equação como:
\begin{matrix}
L_1 \longrightarrow & 2x & + & y & - & 2z & = & 10\\
L_2 \longrightarrow & 3x & + & 2y & + & 2z & = & 1\\
L_3 \longrightarrow & 5x & + & 4y & + & z & = & 4
\end{matrix} 

Etapa $k=1$: Eliminando a incógnita $x$ da segunda e terceira equações


Primeiramente vamos eliminar a incógnita $x$ da equação $L_2$. Assim, devemos aplicar a operação:
\begin{equation*}
L_i \longrightarrow -a_{ik}L_k + a_{kk}L_i
\end{equation*}
Então, fazemos:
\begin{equation*}
L_2 \longrightarrow  -a_{21}L_1  +  a_{11}L_2=-3L_1  +  2L_2
\end{equation*}
Desse modo:
\begin{matrix}
-3L_1&=&-3(2x+y-2z)&=&-3(10)\\
&=&-6x-3y+6z&=&-30
\end{matrix}
e
\begin{matrix}
2L_2&=&2(3x+2y+2z)&=&2(1)\\
&=&6x+4y+4z&=&2
\end{matrix}
Somando termo a termo:
\begin{matrix}
-3L_1 + 2L_2&=&-6x-3y+6z+6x+4y+4z&=&-30+2\\
&=&y+10z&=&-28
\end{matrix}
Assim, a equação $L_2$ será equivalente a $L_2 \longrightarrow y+10z=-28$

Eliminemos agora a incógnita $x$ da terceira equação:

\begin{equation*}
L_3 \longrightarrow  -a_{31}L_1  +  a_{11}L_3=-5L_1  +  2L_3
\end{equation*}
Desse modo:
\begin{matrix}
-5L_1&=&-5(2x+y-2z)&=&-5(10)\\
&=&-10x-5y+10z&=&-50
\end{matrix}
e
\begin{matrix}
2L_3&=&2(5x+4y+3z)&=&2(4)\\
&=&10x+8y+6z&=&8
\end{matrix}
Somando termo a termo:
\begin{matrix}
-5L_1 + 2L_3&=&-10x-5y+10z+10x+8y+6z&=&-50+8\\
&=&3y+16z&=&-42
\end{matrix}
Assim, a equação $L_3$ será equivalente a $L_3 \longrightarrow 3y+16z=-42$


Obtemos, assim, um sistema equivalente ao original, mas com as primeiras incógnitas eliminadas:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
2x & + & y & - & 2z & = & 10\\
 &  & y & + & 10z & = & -28\\
 &  & 3y & + & 16z & = & -42
\end{matrix}\right.
\end{equation*}

Etapa $k=2$: Eliminando a incógnita $y$ da terceira equação

Agora vamos eliminar a incógnita $y$ da terceira equação. Aplicamos a operação:
\begin{equation*}
L_i \longrightarrow -a_{ik}L_k + a_{kk}L_i
\end{equation*}
Então fazemos:
\begin{equation*}
L_3 \longrightarrow  -a_{32}L_2  +  a_{22}L_3=-3L_2  +  1L_3
\end{equation*}
 Desse modo:
\begin{matrix}
-3L_2&=&-3(y+10z)&=&-3(-28)\\
&=&-3y-30z&=&84
\end{matrix}
e
\begin{matrix}
L_3&=&3y+16z&=&-42\\
\end{matrix}
Somando termo a termo, obtemos:
\begin{matrix}
-3L_2 + L_3&=&-3y+30z+3y+16z&=&84-42\\
&=&-14z&=&42 
\end{matrix}
Assim, a equação $L_3$ será equivalente a $L_3\longrightarrow -14z=42$.

Obtemos agora um sistema linear triangular superior:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
2x & + & y & - & 2z & = & 10\\ 
 &  & y & + & 10z & = & -28\\ 
 &  &  &  & -14z & = & 42
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Agora fica fácil a resolução. Vejam que a equação $L_3$ já nos fornece diretamente o valor da incógnita $z$:
\begin{equation*}
-14z=42 \Longrightarrow z=-3\\
\end{equation*}
Substituímos $z$ na equação $L_2$ obtendo:
\begin{equation*}
y+10(-3)=-28 \Longrightarrow y=2\\
\end{equation*}
Substituímos $z$ e $y$ na equação $L_1$, obtendo:
\begin{equation*}
2x+2-2(-3)=10 \Longrightarrow x=1\\
\end{equation*}
O sistema de equações lineares tem solução única e é dado pela $3-upla \:(1, 2, –3)$.

Para verificarmos se a solução encontrada é consistente, basta substituir os valores encontrados nas equações dadas e checar as igualdades. 

Exemplo $2$:

Considere o sistema de equações abaixo. Encontre os valores de $x$, $y$ e $z$.
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
3x & + & 2y & + & 4z & = & 1\\
x & + & y & + & 2z & = & 2\\
4x & + & 3y & - & 2z & = & 3
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Primeiramente, vemos que o termo $a_{11}$ é não-nulo e igual a $3$. Vamos identificar cada equação como:
\begin{matrix}
L_1 \longrightarrow & 3x & + & 2y & + & 4z & = & 1\\
L_2 \longrightarrow & x & + & y & + & 2z & = & 2\\
L_3 \longrightarrow & 4x & + & 3y & - & 2z & = & 3
\end{matrix} 

Etapa $k=1$: Eliminando a incógnita $x$ da segunda e terceira equações

Primeiramente vamos eliminar a incógnita $x$ da equação $L_2$. Assim, devemos aplicar a operação:
\begin{equation*}
L_i \longrightarrow -a_{ik}L_k + a_{kk}L_i
\end{equation*}
Então, fazemos:
\begin{equation*}
L_2 \longrightarrow  -a_{21}L_1  +  a_{11}L_2=-1L_1  +  3L_2
\end{equation*}
Desse modo:
\begin{matrix}
-L_1&=&-3x-2y-4z&=&-1\\
\end{matrix}
e
\begin{matrix}
3L_2&=&3(x+y+2z)&=&3(2)\\
&=&3x+3y+6z&=&6
\end{matrix}
Somando termo a termo:
\begin{matrix}
-L_1 + 3L_2&=&-3x-2y-4z+3x+3y+6z&=&-1+6\\
&=&y+2z&=&5
\end{matrix}
Assim, a equação $L_2$ será equivalente a $L_2 \longrightarrow y+2z=5$

Eliminemos agora a incógnita $x$ da terceira equação:
\begin{equation*}
L_3 \longrightarrow  -a_{31}L_1  +  a_{11}L_3= -4L_1 + L_3
\end{equation*}
Desse modo:
\begin{matrix}
-4L_1&=&-4(x+y+2z)&=&-4(2)\\
&=&-4x-4y-8z&=&-8
\end{matrix}
e
\begin{matrix}
L_3&=&4x+3y-2z&=&3\\
\end{matrix}
Somando termo a termo:
\begin{matrix}
-4L_1 + L_3&=&-4x-4y-8z+4x+3y-2z&=&-8+3\\
&=&-y-10z&=&-5
\end{matrix}
Assim, a equação $L_3$ será equivalente a $L_3 \longrightarrow -y-10z=-5$

Obtemos, assim, um sistema equivalente ao original, mas com as primeiras incógnitas eliminadas:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
3x & + & 2y & + & 4z & = & 1\\
 &  & y & + & 2z & = & 5\\
 & - &y & - & 10z & = & -5
\end{matrix}\right.
\end{equation*}

Etapa $k=2$: Eliminando a incógnita $y$ da terceira equação

Agora vamos eliminar a incógnita $y$ da terceira equação. Aplicamos a operação:
\begin{equation*}
L_i \longrightarrow -a_{ik}L_k + a_{kk}L_i
\end{equation*}
Então fazemos:
\begin{equation*}
L_3 \longrightarrow  -a_{32}L_2  +  a_{22}L_3=-1L_2  +  1L_3
\end{equation*}
 Desse modo:
\begin{matrix}
L_2&=&y+2z&=&5\\
\end{matrix}
e
\begin{matrix}
L_3&=&-y-10z&=&-5\\
\end{matrix}
Somando termo a termos, obtemos:
\begin{matrix}
-L_2 + L_3&=&y+2z-y-10z&=&5-5\\
&=&-8z&=&0 
\end{matrix}
Assim, a equação $L_3$ será equivalente a $L_3\longrightarrow -8z=0$.

Obtemos agora um sistema linear triangular superior:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
3x & + & 2y & + & 4z & = & 1\\ 
 &  & y & + & 2z & = & 5\\ 
 &  &  &  & -8z & = & 0
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Agora fica fácil a resolução. Vejam que a equação $L_3$ já nos fornece diretamente o valor da incógnita $z$:
\begin{equation*}
-8z=0 \Longrightarrow z=0\\
\end{equation*}
Substituímos $z$ na equação $L_2$ obtendo:
\begin{equation*}
y+2(0)=5 \Longrightarrow y=5\\
\end{equation*}
Substituímos $z$ e $y$ na equação $L_1$, obtendo:
\begin{equation*}
3x+2(5)+4(0)=1 \Longrightarrow x=-3\\
\end{equation*}
O sistema de equações lineares tem solução única e é dado pela $3-upla \:(-3, 5, 0)$.

Para verificarmos se a solução encontrada é consistente, basta substituir os valores encontrados nas equações dadas e checar as igualdades.

Exemplo $3$:

Considere o sistema de equações abaixo. Encontre os valores de $x$, $y$ e $z$.
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
x & + & y & + & z & = & 6\\
3x &  &  & - & 2z & = & -3\\
2x & - & 2y & + & z & = &1
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Neste caso, vamos trocar a segunda pela terceira linha e a segunda pela primeira coluna para facilitar os cálculos, obtendo:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
y & + & x & + & z & = & 6\\
-2y & + & 2x & + & z & = & 1\\
 &  & 3x & - & 2z & = &-3
\end{matrix}\right.
\end{equation*}

Agora, vemos que o termo $a_{11}$ é não-nulo e igual a $1$. Vamos identificar cada equação como:
\begin{matrix}
L_1 \longrightarrow & y & + & x & + & z & = & 6\\
L_2 \longrightarrow & -2y & + & 2x & + & z & = & 1\\
L_3 \longrightarrow &  &  & 3x & - & 2z & = & -3
\end{matrix} 

Etapa $k=1$: Eliminando a incógnita $y$ da segunda  equação

Primeiramente vamos eliminar a incógnita $y$ da equação $L_2$. Assim, devemos aplicar a operação:
\begin{equation*}
L_i \longrightarrow -a_{ik}L_k + a_{kk}L_i
\end{equation*}
Então, fazemos:
\begin{equation*}
L_2 \longrightarrow  -a_{21}L_1  +  a_{11}L_2=2L_1  + L_2
\end{equation*}
Desse modo:
\begin{matrix}
2L_1&=&2(y+x+z)&=&2(6)\\
&=&2y+2x+2z&=&12
\end{matrix}
e
\begin{matrix}
L_2&=&-2y+2x+z&=&1\\
\end{matrix}
Somando termo a termo:
\begin{matrix}
2L_1 + L_2&=&2y+2x+2z-2y+2x-2z&=&12+1\\
&=&4x+3z&=&13
\end{matrix}
Assim, a equação $L_2$ será equivalente a $L_2 \longrightarrow 4x+3z=12$

Obtemos, assim, um sistema equivalente ao original, mas com as primeiras incógnitas eliminadas:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
y & + & x & + & z & = & 6\\
 &  & 4x & + & 3z & = & 13\\
 &  &3x & - & 2z & = & -3
\end{matrix}\right.
\end{equation*}

Etapa $k=2$: Eliminando a incógnita $x$ da terceira equação

Agora vamos eliminar a incógnita $x$ da terceira equação. Aplicamos a operação:
\begin{equation*}
L_i \longrightarrow -a_{ik}L_k + a_{kk}L_i
\end{equation*}
Então fazemos:
\begin{equation*}
L_3 \longrightarrow  -a_{32}L_2  +  a_{22}L_3=-3L_2  + 4L_3
\end{equation*}
 Desse modo:
\begin{matrix}
-3L_2&=&-12x-9z&=&-39\\
\end{matrix}
e
\begin{matrix}
4L_3&=&12x-8z&=&-12\\
\end{matrix}
Somando termo a termos, obtemos:
\begin{matrix}
-3L_2 + 4L_3&=&12x-9z+12x-8z&=&-39-12\\
&=&-17z&=&-51 
\end{matrix}
Assim, a equação $L_3$ será equivalente a $L_3\longrightarrow -17z=-51$.

Obtemos agora um sistema linear triangular superior:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
y & + & x & + & z & = & 6\\ 
 &  & 4x & + & 3z & = & 13\\ 
 &  &  &  & -17z & = & -51
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Agora fica fácil a resolução. Vejam que a equação $L_3$ já nos fornece diretamente o valor da incógnita $z$:
\begin{equation*}
-17z=-51 \Longrightarrow z=3\\
\end{equation*}
Substituímos $z$ na equação $L_2$ obtendo:
\begin{equation*}4x+3(3)=13 \Longrightarrow x=1\\
\end{equation*}
Substituímos $z$ e $x$ na equação $L_1$, obtendo:
\begin{equation*}
y+1+3=6 \Longrightarrow y=2\\
\end{equation*}
O sistema de equações lineares tem solução única e é dado pela $3-upla \:(1,2,3)$.

Para verificarmos se a solução encontrada é consistente, basta substituir os valores encontrados nas equações dadas e checar as igualdades.

Veja uma outra abordagem para o método no blog Fatos Matemáticos sobre O Método de Eliminação de Gauss.

Referências:

[1] Álgebra Linear – Seymour Lipschutz – Coleção Schaum – Ed. McGraw-Hill
[2] Cálculo Numérico – Márcia A. G. Ruggiero – Ed. Makron Books

Veja mais:

Método de Castilho para Resolução de Sistemas Lineares
Sistemas Lineares e Determinantes: Origens e Desenvolvimento
Classificação dos Sistemas Lineares
Cayley e a Teoria das Matrizes

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7 de out de 2012

Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito

Nesta postagem, veremos como determinar o ângulo de segmento e provar que vale a metade do ângulo central.

Definição:

Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito relativo a uma circunferência é o ângulo que tem o vértice num ponto da circunferência, um dos lados é uma secante e o outro lado é tangente à circunferência.



Considerando a figura acima, temos que:

$\bullet$ $\alpha = t\hat{A}s$ é o ângulo de segmento;
$\bullet$ $\widehat{AB}$ é o arco subtendido;
$\bullet$ $\beta = A\hat{O}B$ é o ângulo central correspondente ao ângulo semi-inscrito $\alpha$.

O nome ângulo de segmento vem do segmento circular $\widehat{AB}$ definido pelo ângulo central $\beta$.

Teorema:

Um ângulo de segmento é a metade do ângulo central correspondente.

Para este teorema, temos três casos: o ângulo de segmento pode ser agudo, reto ou obtuso.

Demonstrações:

$1º$ Caso: O ângulo de segmento é agudo


Considere o triângulo isósceles $OAB$ na figura acima. Vamos determinar o ângulo $\hat{A}$. Temos que:
\begin{equation*}
\hat{A} + \hat{B} + \beta = 180°\\
\hat{A} + \hat{A} + \beta = 180°\\
2\hat{A} = 180° - \beta
\end{equation*}
Daqui obtemos:
\begin{equation}
\hat{A} = 90°-\frac{\beta}{2}
\end{equation}
Sendo a reta $t$ tangente à circunferência em $A$, temos:
\begin{equation}
\alpha + \hat{A} = 90° \Longrightarrow \hat{A} = 90° - \alpha
\end{equation}
Substituindo $(2)$ em $(1)$, obtemos:
\begin{equation*}
90° - \alpha = 90° - \frac{\beta}{2}
\end{equation*}
O que nos leva a:
\begin{equation}
\alpha = \frac{\beta}{2}=\frac{\widehat{AB}}{2}
\end{equation}

$2º$ Caso: O ângulo de segmento é reto


Como o segmento $\overline{AB}$ é o diâmetro da circunferência, o ângulo $\beta=180°$. A tangente $t$ é ortogonal em $A$ e $\alpha=90°$. Assim:
\begin{equation}
\alpha = \frac{\beta}{2}
\end{equation}

$3º$ Caso: O ângulo de segmento é obtuso


Aplicando o primeiro caso no ângulo $\alpha '$, que é o adjacente suplementar do ângulo $\alpha$, obtemos:
\begin{equation}
\alpha ' =\frac{\beta '}{2}
\end{equation}
Por outro lado, $\beta + \beta ' = 360°$, logo:
\begin{equation}
\beta ' = 360° - \beta
\end{equation}
Substituindo $(6)$ em $(5)$, obtemos:
\begin{equation}
\alpha ' = \frac{360° - \beta}{2} = 180° - \frac{\beta}{2}
\end{equation}
Como $\alpha + \alpha ' = 180°$, temos:
\begin{equation}
\alpha = 180° - \alpha '
\end{equation}
Substituindo $(7)$ em $(8)$, obtemos:
\begin{equation}
\alpha = 180° - 180° - \frac{\beta}{2} = \frac{\beta}{2}
\end{equation}

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 – Geometria Plana – Osvaldo Dolce e Nicolau Pompeo – Atual Editora

Veja mais:

O Teorema de Stewart
O Teorema do Ângulo Inscrito
O Teorema da Base Média de um Triângulo


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4 de out de 2012

Método Para Escrever Um Número Par Como Diferença De Dois Quadrados De Inteiros (Parte 2)

Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)

Teorema de Sebá: Todo número P (par) > 4, múltiplo de 4, pode ser escrito como diferença de dois quadrados de inteiros, P = x2y2, de uma ou mais maneiras diferentes, por meio das duas equações:

clip_image002

Nas quais: k são os divisores de P, k ≠ 2n + 1, 2 ≤ k2 < P e 2k tem que dividir P.

Demonstração:

Como P = x2y2, logo:

clip_image006

Como x e y são inteiros positivos, logo, x – y são os divisores de P.

Se x – y = k, então:

clip_image008

Temos o seguinte sistema de equações:

clip_image010

Resolvendo-o, obtém-se:

clip_image002[1]

Note que se k2P, implica x – k ≤ 0, logo, 2 ≤ k2 < P.

Se k = 2n + 1, P + k2 será ímpar, consequentemente, 2k (par) não divide P + k2 (ímpar):

clip_image012

clip_image014

clip_image016

Exemplo 1: De quantas maneiras diferentes pode-se escrever 16 = x2y2?

O divisor de 16, tal que 2 ≤ k2 < 16, é: 2.

Para k = 2 e P = 16:

clip_image018

clip_image020

Caso escolhêssemos k = 4, teríamos k2 = 42 = 16 = P, e obter-se-ia:

clip_image022

Exemplo 2: De quantas maneiras diferentes pode-se escrever 32 = x2y2?

Os divisores de 32, tal que 2 ≤ k2 < 32, são : 2 e 4.

Logo, 32 pode ser escrito como diferença de dois quadrados de duas maneiras diferentes.

Para k = 2 e P = 32:

clip_image024

clip_image026

Para k = 4 e P = 32:

clip_image028

clip_image030

Caso escolhêssemos k = 8 (um dos divisores de 32) teríamos k2 = 82 = 64 > P, e obter-se-ia:

clip_image032

Pelo teorema extraído de um livro de teoria dos números:

Se n é par:

clip_image034

Para n = 32, k = 8, logo:

clip_image036

Conclusão: Pelo teorema extraído de um livro de teoria dos números, 32 só pode ser escrito de uma única maneira como diferença de dois quadrados; já pelo teorema de Sebá, 32 pode ser escrito de duas maneiras diferentes como diferença de dois quadrados:

clip_image038

Flagrante Da Vida Real

João, irmão de José, também possui um terreno retangular, cujas medidas são 30m x 60m e quer dividi-lo em lotes menores. Quer separar um lote de Ym2 para o cultivo de hortaliças e o restante quer dividi-lo em outros dois lotes quadrados para criar animais, de tal modo que a diferença entre esses dois lotes seja igual a 100m2. Pergunta-se:

a) Em quantas formas diferentes João pode dividir a parte de seu terreno destinada à criação de animais, obedecendo a suas exigências?

b) Quais as medidas de cada lote?

c) Quanto sobra de área do terreno para o cultivo de hortaliças para cada situação acima?

Resolução:

João quer dividir seu terreno, assim como seu irmão José, em lotes menores seguindo uma lei matemática um tanto incomum. Podemos imaginar que José e João são apreciadores da Matemática e, porque não, da teoria dos números.

Os divisores de 100, tal que 2 ≤ k2 < 100, são: 2 e 4.

Para k = 2 e P =100:

clip_image040

clip_image042

image

Para k = 4 e P = 100:

clip_image046

clip_image048

Vejam que esta solução não serve porque 14,52 e 10,52 não são dois quadrados de inteiros.

Resposta:

a) João pode separar o terreno em apenas uma forma.

b) As medidas dos lotes são:

Lote 1 possui 26m x 26m = 676m2

Lote 2 possui 24m x 24m = 576m2

c) O terreno de João possui medidas de 30m x 60m = 1.800m2. Sendo assim, ao dividi-lo em lotes conforme as formas encontradas em b), temos que as áreas que sobram para o cultivo de hortaliças será:

clip_image050

Vemos que existe apenas uma forma de dividir o terreno em lotes de modo a atender as exigências de João.

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB, além de colaborador deste blog. Foram feitas algumas alterações do manuscrito original para melhor exposição.


Veja mais:

Método Para Escrever Um Número Ímpar Composto Como Diferença De Dois Quadrados De Inteiros (Parte 1)
O Problema da Doação dos Terrenos e os Ternos Pitagóricos
Critérios de Divisibilidade por Qualquer Número Primo Maior que Onze

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