28 de set de 2012

A Quadratura do Círculo Pelo Método de Ernest Hobson

image Ernest Willian Hobson, nasceu a 27 de outubro de 1856 em Derby, Inglaterra e morreu em 19 de abril de 1933 em Cambridge.

Foi educado em ambiente rigidamente religioso e parece ter sentido os grilhões dogmáticos pesarem e resolveu afastá-los, desenvolvendo fortes convicções do racionalismo, tornando-se um reconhecido radical e agnóstico.

Ele não foi um prodígio em matemática; frequentou a escola de Derby, sendo bem educado, mas não conseguiu brilhar. Estudou no Royal College os Science e ganhou uma bolsa que lhe permitiu estudar física com Frederick Guthrie na Royal School os Mines. Em seguida ganhou uma bolsa de matemática do Christ’s College, em Cambridge, entrando em 1874. Graduou-se em 1878 sendo considerado mais notável como um pensador do que uma calculadora. Lecionou na Universidade de Cambridge até o fim de sua vida.

Ainda jovem foi apresentado à análise moderna e fez contribuições reais à matemática. Concentrou seus esforços, em particular, a convergência de séries de funções ortogonais.

Hobson publicou seu trabalho A Treatise on Trigonometry em 1891 e em 1907 publicou seu livro Theory os Functions os a Real Variable. Outro livro publicado por Hobson foi Squaring the Circle em 1913, onde aborda as principais passagens da história do problema da quadratura do círculo.

Hobson construiu geometricamente um segmento de reta de comprimento 1,77247, que se aproxima à raiz quadrada de π a partir de um círculo de raio unitário. Desta forma, se um quadrado for construído com lado aproximadamente igual à raiz de π, sua área será aproximadamente igual a π, que é a área do círculo de raio unitário.

Construção:

1) Descreva uma circunferência de raio unitário com centro em O e diâmetro AOB:

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2) Marque o ponto C igual a 3/5 do raio; o ponto D igual a 1/2 raio e o ponto E a 3/2 do raio:

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3) Descreva o arco de diâmetro CFD com centro em F:

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4) Descreva o arco de diâmetro AGE com centro em G.

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5) Trace a perpendicular AOB por O e marque os pontos H e I com as intersecções com os arcos CFD e AGE:

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6) O segmento HI aproxima a raiz quadrada de π em 1,77246742...:

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Desta forma, se construirmos um quadrado de lado HI, encontraremos um uma área muito próxima à do círculo C1 de raio unitário:

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Prova:

Sejam:

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O diâmetro CD será dado por:

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E assim:

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O segmento OF será dado por:

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Do triângulo FOH, reto em O, aplicamos o teorema pitagórico:

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O segmento FH é o raio do arco CFD igual ao segmento FC:

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Da mesma forma, temos que:

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Temos que o segmento OG é dado por:

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Do triângulo GOI, temos que:

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Desta forma, temos que o segmento desejado é dado pela soma:

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Então, se construirmos um quadrado de lado HI, este terá uma área muito próxima da área do círculo de raio unitário:

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Vemos que o erro é da ordem de 4 x 10 –5 unidades de área.

Referências:

[1] Squaring the Circle – A History of the Problem – Hernest W. Hobson – 1913


Veja mais:

Como Construir uma Aproximação para a Quadratura do Cìrculo com Régua e Compasso
Retificação da Circunferência (Parte 1) (Parte 2) (Parte 3) (Parte 4) (Parte 5)

23 de set de 2012

Retificação da Circunferência (Parte 5)

A retificação da circunferência é um tema que me fascinou desde a primeira vez que li sobre o assunto. Está diretamente relacionado à quadratura do círculo, que foi provado sua impossibilidade por meios da geometria euclidiana. Fico tentando algumas construções geométricas para aproximar π por um segmento de reta, que seja simples o suficiente para provar algebricamente. Cheguei a esta simples construção, com uma prova simples, que aproxima π em duas casas decimais: 3,14626, que é a soma das raízes quadradas de 2 e 3.

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Construção:

1) Descreva a circunferência C1 de raio unitário centrada na origem de um par de eixos ortogonais e marque o ponto A na intersecção com o eixo vertical;

2) Trace a tangente em A;

3) Trace a bissetriz de AOB, cortando a circunferência em C e a tangente em D;

4) Com centro em O e raio CD, descreva uma circunferência C2 e marque a intersecção com o eixo vertical como E;

5) Com raio DE e centro em D, descreva uma circunferência C3 e marque como F a intersecção com a bissetriz encontrada em 3).

6) O segmento OF aproxima π em 3,14626...

Prova:

Como a circunferência C1 tem raio OA = OB = 1, pelo teorema pitagórico temos que a hipotenusa do triângulo retângulo OAD:

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Assim, o segmento OE = CD é dado por:

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Para encontrar o raio de C3, aplicamos novamente o teorema pitagórico:

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Assim, o segmento procurado é OF = OD + DF:

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Veja mais:

Aproximação de π como Soma de Dois Números Irracionais
Retificação da Circunferência (Parte 1) (Parte 2) (Parte 3) (Parte 4)
Como Construir uma Aproximação para a Quadratura do Círculo com Régua e Compasso

22 de set de 2012

Método de Resolução das Equações de Sebá (Parte 3 de 3) Aplicação no Mercado Financeiro

Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)

Este artigo foi enviado pelo professor Sebá envolvendo a resolução de equações dos tipos:

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As equações acima foram criadas e batizadas como Equações de Sebá, que elaborou dois teoremas e os batizou-os como Teoremas de Sebá. Vimos nas partes 1 e 2 as demonstrações para estes dois teoremas. Nesta terceira parte veremos uma aplicação no mercado financeiro.

Exemplo: João aplicou R$1.000,00 no Banco A à taxa de i1% a.a. (ao ano), rendendo juros compostos durante 3 anos e R$1.000,00 no Banco B à taxa de i2% a.a., rendendo também juros compostos durante 3 anos; Pedro aplicou R$1.000,00 no Banco C à taxa de i3% a.a., rendendo juros compostos durante 2 anos. Pergunta-se: se a soma dos montantes obtida por João, nos Bancos A e B, foram iguais ao montante obtido por Pedro no Banco C, quais as taxas anuais i1%, i2% e i3%?

Observação: Os valores de i1%, i2% e i3% devem ser números inteiros. Dê pelo menos uma solução em inteiros.

Resolução:

Sejam:

P1 = P2 = R$1.000,00 = capital aplicado por João

P3 = R$1.000,00 = capital aplicado por Pedro

M1 = Montante obtido por João durante 3 anos à taxa de i1% a.a.

M2 = Montante obtido por João durante 3 anos à taxa de i2% a.a.

M3 = Montante obtido por Pedro durante 2 anos à taxa de i3% a.a.

Assim:

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Fazemos:

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Vimos anteriormente que a equação de Sebá fatorada é a seguinte:

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Se escolhermos valores para a e b tal que ab ou ab, e substituirmos na equação de Sebá fatorada, obteremos valores inteiros positivos para i1, i2 e i3.

Como o expoente de cada termo do membro esquerdo da equação (1) é 3 e da equação do lado direito é 2, logo, se encontrarmos uma solução em inteiros para a equação: A3 + B3 = C2 é também solução para a (1).

Como o expoente de A e B é 3, logo, substituindo na (2) n por 3, obtemos:

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Como na equação A3 + B3 = C2, o membro da direita tem expoente 2 e o da esquerda, expoente 3, logo, temos que encontrar dois números m e m+1 que seja possível decompor m em potência de 3 e m+1 em potência de 2. Isso só será possível se m e m+1 forem, respectivamente, múltiplo de 3 e 2. Logo, m = 6q – 3 e m+1 = 6q – 2. Substituindo os valores de m e m+1 na (3), obtemos:

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Logo, as soluções da equação dada serão obtidas fazendo:

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Se q = 1 e a = b = 1, substituímos estes valores na equação (4), obtendo:

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Solução: A = B = 2 e C = 4

Como A3 + B3 = C2, fazemos:

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E podemos ainda fazer:

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Comparando (5) com (1), concluímos que:

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Resposta: As taxas anuais são: i1 = i2 = 100% ao ano e i3 = 300% ao ano.

O leitor deve notar que se tomarmos valores inteiros para q, a e b maiores que 1, vamos encontrar infinitas soluções em inteiros para i1, i2 e i3. Só que devemos aceitar valores para i1, i2 e i3 compatíveis com as taxas de juros praticadas no mercado financeiro onde João e Pedro estão fazendo as suas aplicações.

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB, além de colaborador deste blog. Foram feitas algumas alterações do manuscrito original para melhor exposição.


Veja mais:

Método de Resolução das Equações de Sebá (Parte 1 de 3)
Método de Resolução das Equações de Sebá (Parte 2 de 3)
Critérios de Divisibilidade por Qualquer Número Primo Maior que 11

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