30 de jun de 2012

ENCERRADA - 1ª Promoção do Baricentro da Mente: Livro História da Matemática de Carl Boyer e Uta Merzbach – Editora Blucher

Olá caros leitores, amigos e parceiros. É com grande satisfação que faço esta primeira promoção. Recentemente fechamos uma parceria com a renomada EDITORA BLUCHER, famosa por divulgar livros técnicos de excelente qualidade. Foi-nos cedido um exemplar do livro História da Matemática – Tradução da 3ª Edição Americana de Carl Boyer e Uta Merzbach:

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ISBN: 9788521206415
Páginas: 508
Formato: 20,5 x 25,5 cm
Ano de Publicação: 2012
Peso: 1.053 kg
Nova edição

Folheie on-line

Sobre o Livro:

Por mais de vinte anos, "História da Matemática" tem sido texto de referência para aqueles que querem aprender sobre a fascinante história da relação da humanidade com números, formas e padrões. Esta edição revisada apresenta uma cobertura atualizada de tópicos como o último teorema de Fermat e a conjectura de Poincaré, além de avanços recentes em áreas como teoria dos grupos finitos e demonstrações com o auxílio do computador.

Quer você esteja interessado na idade de Platão e Aristóteles ou de Poincaré e Hilbert, quer você queira saber mais sobre o teorema de Pitágoras ou sobre a razão áurea, "História da Matemática" é uma referência essencial que o ajudará a explorar a incrível História da Matemática e dos homens e mulheres que a criaram.

Conteúdo:

1 Vestígios
Conceitos e relações - Primeiras bases numéricas - Linguagem numérica e contagem - Relações Espaciais
2 Egito Antigo
A era e as fontes - Número e frações - Operações aritméticas - Problemas de pilhas - Problemas geométricos - Problemas de inclinação - Pragmatismo aritmético
3 Mesopotâmia
A era e as fontes - Escritura cuneiforme - Números e frações: sexagesimais - Numeração posicional - Frações sexagesimais - Aproximações - Tabelas - Equações - Medições: ternas Pitagóricas - Áreas poligonais - A geometria como aritmética aplicada
4 Tradições Helênicas
A era e as fontes - Tales e Pitágoras - Numeração - Aritmética e logística - Atenas do quinto século - Três problemas clássicos - Quadraturas de lunas - Hípias de Elis - Filolau e Arquitas de Tarento - Incomensurabilidade - Paradoxos de Zeno - Raciocínio dedutivo - Demócrito de Abdera - Matemática e as artes liberais - A ´Academia- Aristóteles
5 Euclides de Alexandria
Alexandria - Obras perdidas - Outras preservadas - Os elementos
6 Arquimedes de Siracusa
O cerco de siracusa - Sobre os equilíbrios dos planos - Sobre corpos flutuantes - O contador de areia - Medida do circulo - Sobre espirais - Quadratura da parábola - Sobre conoides e esferóides - Sobre a esfera e o cilindro - O livro de lemas - Sólidos semirregulares e trigonometria - O método
7 Apolônio de Perga
Trabalhos e tradição - Obras perdidas - Ciclos e epiciclos - As cônicas
8 Correntes secundárias
Mudança de direção - Eratótenes - Ângulos e cordas - O Almagesto de Ptolomeu - Heron de Alexandria - Declínio da matemática grega - Nicomaco de Gerasa - Diofante de Alexandria - Papus da Alexandria - O fim do domínio de Alexandria - Proclo de Alexandria - Boécio - Fragmentos atenienses - Matemáticos bizantinos
9 China antiga e medieval
Os mais antigos documentos - Os nove capítulos - Numerais em barras - O ábaco e as frações decimais - Valores de pi - A matemática do Século Treze
10 Índia antiga e medieval
O início da matemática na Índia - Os Sulbasutras - Os Siddhantas - Aryabhata - Numerais - Trigonometria - Multiplicação - Divisão - Brahmagupta - Equações indeterminadas - Bhaskara - Madhava e a Escola keralesa
11 A hegemonia Islâmica
Conquistas árabes - A Casa da Sabedoria - Al-Khwarizmi - ´Abd Al-Hamid Ibn-Turk - Thabit Ibn-Qurra - Numerais - Trigonometria - Destaques dos séculos onze e doze - Omar Khayyam - O postulado das paralelas - Nasir al-Din al-Tusi - Al Kashi
12 O ocidente latino
Introdução - Compêndio da Idade das Trevas - Gerbert - O século da tradução - Abacistas e algoristas - Fibonacci - Jordanus Nemorarius - Campanus de Novara - O saber no Século XIII - O restabelecimento de Arquimedes - Cinemática Medieval - Thomas Bradwardine - Nicole Oresme - A latitude das formas - Séries infinitas - Levi ben Gerson - Nicholas de Cusa - Declínio do saber medieval
13 O renascimento Europeu
Panorama geral - Regiomontanus - O Triparty de Nicolas Chuquet - A Summa de Lucca Pacioli - Álgebras e aritméticas alemãs - A Ars magna de Cardano - Rafael Bombelli - Robert Recorde - Trigonometria - Geometria - Tendências do Renascimento - François Viète
14 Primeiros matemáticos modernos dedicados à resolução de problemas
Acessibilidade de cálculos - Frações decimais - Notações - Logaritmos - Instrumentos matemáticos - Métodos infinitesimais: Stevin - Johannes Kepler
15 Análise, síntese, o infinito e números
As duas novas ciências de Galileu - Boaventura Cavalieri - Evangelista Torricelli - Os interlocutores de Mersenne - René Descartes - Lugares geométricos de Fermat - Gregório de St Vincent - Teoria dos números - Gilles Persone de Roberval - Girard Desargues e a geometria projetiva- Blaise Pascal - Philippe de Lahire - George Mohr - Pietro Mengoli - Frans van Schooten - Jan De Witt - Johann Hudde - René François de Sluse - Christiaan Huygens
16 Técnicas britânicas e métodos continentais
John Walis - James Gregory - Nicolaus Mercator e William Brouncker - Método de Barrow das tangentes - Newton - Abraham De Moivre - Roger Cotes - James Stirling - Colin Maclaurin - Livros didáticos - Rigor e progresso - Leibniz - A família Bernoulli - Transformações de Tschirnhaus - Geometria analítica do espaço - Michel Rolle e Pierre Varignon - Os Clairaut - Matemática na Itália - O postulado das paralelas - Séries divergentes
17 Euler
Vida de Euler - Notação - Fundamentos da análise - Logaritmos e identidades de Euler - Equações diferenciais - Probabilidade - Teoria dos números - Livros didáticos - Geometria analítica - Postulado das paralelas: Lambert
18 A França de pré a pós-revolucionária
Homens e instituições - O comitê de Pesos e Medidas - D´Alembert - Bézout - Condorcet - Lagrange - Monge - Carnot - Laplace - Legendre - Aspectos da abstração - Paris da década de 1820 - Fourier - Cauchy - Difusão
19 Gauss
Panorama do século dezenove - Primeiras obras de Gauss - Teoria dos números - Recepção das disquisitiones arithmeticae - Contribuições de Gauss à astronomia - A meia-idade de Gauss - O início da geometria diferencial - Últimos trabalhos de Gauss - Influência de Gauss
20 Geometria
A escola de Monge - A geometria projetiva: Poncelet e Chasles - Geometria sintética métrica: Steiner - Geometrica sintética não métrica: von Staudt - Geometria analítica - Geometria não euclidiana - Geometria riemanniana - Espaços de dimensão superior - Felix Klein - A geometria algébrica pós-riemanniana
21 Álgebra
Introdução - A álgebra na Inglaterra e o cálculo operacional de funções - Boole e a álgebra da lógica - De Morgan -William Rowan Hamilton - Grassmann e Ausdehnungslehre - Cayley e Sylvester - Álgebras lineares associativas - Geometria algébrica - Inteiros algébricos e aritméticos - Axiomas da aritmética -Grassmann e Ausdehnungslehre - Cayley e Sylvester - Álgebras lineares associativas - Geometria algébrica - Inteiros algébricos e aritméticos - Axiomas da aritmética
22 Análise
Berlim e Göttingen em meados do século - Riemann Göttingen - Física-matemática na Alemanha - Física-matemática nos países de língua inglesa - Weierstrass e estudantes - A aritmetização da análise - Dedekind - Cantor e Kronecker - Análise na França
23 Legados do Século Vinte
Panorama geral - Poincaré - Hilbert - Integração e medida - Análise funcional e topologia geral - Álgebra - Geometria diferencial e análise tensorial - Probabilidade - Limitantes e aproximações - A década de 1930 e a Segunda Guerra Mundial - Nicolas Bourabki - Álgebra homológica e teoria das categorias - Geometria algébrica - Lógica e computação - As medalhas Fields
24 Tendências recentes
Panorama geral - A conjectura das quatro cores - Classificação de grupos simples finitos - O último teorema de Fermat - A questão de Poincaré - Perspectivas futuras
Referências - Bibliografia - Índice remissivo

Sobre o Autor:

Carl B. Boyer
O falecido Carl B. Boyer foi professor de Matemática no Brooklin College e autor de várias obras clássicas sobre a história da matemática.

Uta C. Merzbach
Uta C. Merzbach obteve seu doutorado em Matemática e História da Ciência na Universidade de Harvard e é Curadora Emérita de Matemática no Smithsonian Institution e diretora do LHM Institute.

Sobre a Editora:

Edgard Blücher, quando estudante de engenharia civil, foi diretor do departamento de publicações do centro acadêmico e da Revista de Engenharia, função que exerceu até o final de seu curso. Publicando livros desde 1955, fundou a Editora Edgard Blücher Ltda. em 1957 com o objetivo de publicar livros nas áreas de engenharia, tecnologia e ciência, dando especial atenção ao autor nacional.

A comunidade científica brasileira – plenamente capacitada em desenvolver suas obras com base nos conhecimentos adquiridos em instituições no Brasil e no exterior – tem desde então, na Blucher, um de seus principais veículos de publicação.

Esse compromisso tem sido reafirmado a cada ano, trazendo ao leitor – pesquisador e aluno – brasileiro o trabalho de autores nacionais e obras estrangeiras de referência nas áreas de exatas, arquitetura e design. São cerca 1.300 títulos publicados e, a partir de 2010, a Blucher inaugura uma nova maneira de divulgar o conhecimento científico de nosso país.

Contato:

Editora Blucher
Rua Pedroso Alvarenga 1245 4º andar - São Paulo, SP 04531-012
Tel. (11) 3078-5366 Fax (11) 3079-2707.

Sobre o Sorteio:

Cada inscrito receberá um número que seguirá por ordem de inscrição.

O sorteio será realizado dia 21/07/2012 (sábado), independentemente da quantidade de pessoas inscritas na promoção. Serão aceitas inscrições até o dia anterior, 20/07/2012.

Será utilizada a ferramenta on-line Sorteador, que sorteia números aleatórios com base na quantidade de dados de entrada. Este gera um número de protocolo e uma URL com o resultado que será divulgado após resultado desta promoção para que todos tenham conhecimento. Se possível, farei um vídeo com o sorteio.

Para Concorrer:

Para concorrer a este livro, sigam as simples regras abaixo:

i) Seja um seguidor público deste blog;

ii) Preencha o cadastro logo abaixo com seu nome, nome de seguidor e e-mail;

iii) Cada inscrito receberá um número sequencial por ordem de inscrição que periodicamente postarei nos comentários desta postagem;

iv) O leitor inscrito deve possuir um endereço fixo no Brasil para a entrega do livro sem nenhum custo de envio;

v) Caso o sortudo não entrar em contato com o Baricentro da Mente num prazo de 7 dias após a divulgação do resultado, será realizado um novo sorteio. Por isso, fique de olho e acompanhe o blog para não perder.

Aqueles cumpridores dos requisitos acima considerem-se inscritos. Simples e indolor.

Participem e ajudem a divulgar a Matemática!

Agradecimentos:

Meus agradecimentos à Editor Blucher e à Suzana Yonamine por acreditarem na seriedade de meu trabalho com este blog.

20 de jun de 2012

Integração por Substituição Trigonométrica

Há meios diferentes para integrar uma função e para cada integral, devemos identificar qual o melhor dos métodos a aplicar. Somente resolvendo diversos exemplos para podermos nos familiarizar com cada um desses métodos.

No caso de integração por substituição trigonométrica, um integrante que contenha uma das formas:

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sendo a uma constante positiva e não tendo nenhum outro fator irracional, pode ser transformado numa integral trigonométrica mais familiar, utilizando substituições trigonométricas ou com o emprego de uma nova variável.

Para os três casos acima, utilizamos as identidades trigonométricas:

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Vamos ver cada um desses casos separadamente.

Caso I: Para uma integral que envolva um radical do tipo clip_image014, fazemos a mudança de variável de x para θ. A substituição deve ser apropriada e fica melhor observada no triângulo retângulo:

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Temos que:

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Assim, clip_image020 substitui clip_image014[1] por clip_image022, pois:

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E pela identidade trigonométrica dada em (1), obtemos:

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Extraindo a raiz de ambos os membros da equação acima, obtemos:

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Justificando a substituição.

Caso II: Para uma integral que envolva um radical do tipo clip_image034, fazemos a mudança de variável de x para θ. Observando o triângulo retângulo:

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Temos que:

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Assim, clip_image040 substitui clip_image034[1] por clip_image042, pois:

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E pela identidade trigonométrica dada em (2), obtemos:

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Extraindo a raiz de ambos os membros da equação acima, obtemos:

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Justificando a substituição.

Caso III: Para uma integral que envolva um radical do tipo clip_image054, fazemos a mudança de variável de x para θ. Observando o triângulo retângulo:

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Temos que:

clip_image058

Assim, clip_image060 substitui clip_image054[1] por clip_image062, pois:

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E pela identidade trigonométrica dada em (3), obtemos:

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Extraindo a raiz de ambos os membros da equação acima, obtemos:

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Justificando a substituição.

Com base nos resultados obtidos, podemos montar uma tabela:

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Vejam que, para representar graficamente as substituições sugeridas no triângulo retângulo, o radical ficará sempre no lado do triângulo que não é utilizado pela relação trigonométrica:

Caso I: Usa-se x = a sen(θ); logo, o radical aparece no cateto adjacente a θ.

Caso II: Usa-se x = a tg(θ); logo, o radical aparece na hipotenusa.

Caso III: Usa-se a sec(θ); logo, o radical aparece no cateto oposto a θ.

Vejamos alguns exemplos para ilustrar o método.

Exemplo 1: Calcule a integral abaixo:

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Esta é uma integral do tipo I. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

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Assim, escrevemos:

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Assim:

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Devemos agora, reescrever o resultado em termos da variável original x. Observando o triângulo retângulo, devemos encontrar as relações trigonométricas que aparecem no resultado acima. Assim:

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Assim:

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Exemplo 2: Calcule a integral abaixo:

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Esta é uma integral do tipo II. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

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Assim, escrevemos:

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Assim:

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Vamos, agora, reescrever o resultado em termos da variável original x. Observando o triângulo, encontramos as relações:

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Assim:

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Como C é uma constante arbitrária e ln(a) também é uma constante, podemos reescrever o resultado como:

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Exemplo 3: Calcule a integral abaixo:

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Esta é uma integral do tipo III. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

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Assim, escrevemos:

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Assim:

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Vamos reescrever o resultado em termos da variável original x. Observando o triângulo encontramos as relações:

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Assim:

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Exemplo 4: Calcule a integral abaixo:

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Esta é uma integral do tipo I. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

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Assim, escrevemos:

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Assim:

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Agora, reescrevemos o resultado em termos da variável original x. Observando o triângulo retângulo, encontramos a relação:

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Assim:

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Exemplo 5: Calcule a integral abaixo:

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Esta é uma integral do tipo II. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

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Assim, escrevemos:

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Assim:

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Reescrevendo o resultado em termos da variável x e utilizando as relações observadas no triângulo retângulo, fazemos:

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Assim:

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Exemplo 6: Calcule a integral abaixo:

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Esta é uma integral do tipo III. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

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Assim, escrevemos:

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Assim:

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Vejam aqui como integrar cos2(θ).

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Agora, representamos o resultado em termos da variável original x. Observando o triângulo retângulo, encontramos as relações:

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Assim:

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Exemplo 7: Para ilustrar o uso desse método, vamos determinar a equação da tractriz, que é uma curva definida pela trajetória de um objeto arrastado ao longo de um plano horizontal por um fio de comprimento constante quando a outra extremidade do fio se move ao longo de uma reta no plano. A palavra tractriz provém do latim tractum, que significa draga.

Vamos considerar um plano formado por eixos ortogonais xy e o objeto comece no ponto (a, 0) com a outra extremidade do fio na origem. Se esta se move para cima ao longo do eixo dos y:

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o fio será sempre tangente à curva e o comprimento da tangente entre o eixo dos y e o ponto de contato será sempre igual a a. O coeficiente angular da tangente é dado pela fórmula:

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Separando as variáveis e usando o resultado do exemplo 1, temos:

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Quando x = a, y = 0 e C = 0. Logo:

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que é a equação da tractriz.

Se as extremidades do fio movem-se para baixo no eixo dos y, então uma outra parte da curva é gerada. Se girarmos essas duas partes em torno do eixo dos y, a superfície resultante será uma pseudo-esfera, com forma de uma “corneta dupla”.

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Exercícios para Casa:

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Referências:

[1] Cálculo com Geometria Analítica V1 – Simmons
[2] Cálculo V1 – Munen – Foulis
[3] Cálculo Diferencial e Integral – Frank Ayres Jr


Veja mais:

Integração por Frações Parciais – Fatores Lineares
Integração por Frações Parciais – Fatores Quadráticos Irredutíveis
Método de Integração por Substituição
Método de Integração por Partes

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