31 de mai de 2012

Aproximação de PI Como Soma de Dois Números Irracionais

Karl Raimund Popper (1902 - 1994), foi um filósofo austríaco naturalizado britânico, talvez um dos mais influente do século XX. Em sua obra polêmica anti-Platão: A Sociedade Aberta e seus Inimigos, Popper especula se Platão em seu período de desenvolvimento dos sólidos platônicos, teria escolhido triângulos como componentes básicos de sua teoria como tentativa de proporcionar uma base matemática para todos os números possíveis, podendo, assim, construir segmentos com medidas 1, raiz de 2, raiz de 3, π, etc.

Popper, baseado no fato de que raiz de 2 mais raiz de 3 é aproximadamente π, especula se Platão teria pensado que π poderia ser expresso como a soma das raízes de 2 e 3, o que não deve ser verdade, pois se assim fosse, estaria resolvida a questão da quadratura do círculo.

Já sabemos que o número π é impossível de ser representado sob forma de fração entre números inteiros, assim como sua retificação, um problema estudado durante séculos. Uma forma elegante de aproximar π é utilizar a soma:

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Vamos ver uma construção geométrica onde podemos obter um segmento com esta medida.

Construção

1) Comece descrevendo uma circunferência de raio r = 1 com centro O num eixo ortogonal de coordenadas. Trace a semirreta r1 passando pelos ponto A e B. O comprimento da hipotenusa AB do triângulo retângulo AOB, mede raiz de 2:

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2) Trace a semirreta r2 ortogonal à r1 em B:

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3) Com centro em B descreva uma circunferência de raio r = OB = 1 e marque o ponto C em r2. O triângulo retângulo ABC tem hipotenusa AC igual a raiz de 3:

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4) Com centro em A, descreva uma circunferência de raio AC e marque como D a intersecção com r1. O segmento BD aproxima π a um valor de 3,1462...

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Vamos ver, agora, algebricamente:

Sendo o raio AO = 1, temos que a hipotenusa AB do triângulo retângulo AOB mede:

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Por construção, o segmento BC mede 1 e a hipotenusa AC do triângulo retângulo ABC mede:

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Assim, o segmento BD aproxima π em duas casas decimais:

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Veja mais:

Construindo Raízes de Números Naturais
Retificação da Circunferência (Parte 1) (Parte 2) (Parte 3) (Parte 4)
Como Construir uma Aproximação para a Quadratura do Círculo com Régua e Compasso

27 de mai de 2012

A Escala Kelvin

William Thomson, também conhecido como Lord Kelvin, nasceu em Belfast, na Irlanda a $26$ de junho de $1824$. Publicou mais de $600$ trabalhos científicos e apresentou um total de $70$ patentes. Ele era o presidente da Royal Society $1890-1895$. Quando ele morreu em $1907$, ele foi enterrado ao lado de Isaac Newton na Abadia de Westminster.


No século $XIX$ foram construídos muitos termômetros de gás a volume constante. Diferentes gases foram utilizados, assim como massas diferentes de um mesmo gás. Desde que, em cada caso, o gás fosse rarefeito e estivesse a uma temperatura nem acima da temperatura de liquefação, os gráficos da pressão em função da temperatura obtidos eram retilíneos. A inclinação da reta, por sua vez, podia ser diferente em cada caso, como podemos ver na figura abaixo:



Houve, porém, um fato que chamou a atenção dos físicos: em todos os casos, prolongando-se as retas até o eixo horizontal, o encontro entre elas e o eixo ocorria em um ponto $K$, correspondente à temperatura de $–273,15^\circ C$.

A este fato foi dada a interpretação: a pressão de um gás é resultado do impacto de suas moléculas com as paredes do recipiente ou com qualquer superfície em contato com ele. Assim, o ponto $K$ do gráfico, que correspondia a uma pressão nula, corresponderia também a uma situação em que as moléculas do gás estivessem em repouso. Já que a temperatura está relacionada com a energia cinética média das moléculas do gás, a temperatura de $–273,15^\circ C$ seria a mais baixa temperatura possível de ser obtida.

Thomsom, em $1848$, propôs outra escala de temperatura, a chamada escala Kelvin, onde o valor zero da escala Kelvin, chamado de zero kelvin $(0 K)$, corresponde à temperatura de $–273,15^\circ C$.

Antigamente falava-se grau Kelvin e escrevia-se $^\circ K$. No entanto, em $1967$, a $13^a$ Conferência Geral de Pesos e medidas aboliu o uso da palavra grau em relação à escala Kelvin. Desse modo, dizemos, por exemplo, que a temperatura do gelo em fusão sob $1\ atm$ é de $273,15\  kelvins$ $(273,15 K)$ e não $273,15$ graus Kelvin.

No caso do termômetro de gás a volume constante, se observarmos o gráfico da pressão do gás em função da temperatura em kelvins, obteremos:


Podemos notar que a pressão $p$ é diretamente proporcional à temperatura $\theta$ na escala Kelvin e, assim, a equação que relaciona $p$ e $\theta$ é:
\begin{equation}
p=G\cdot \theta
\end{equation}
onde $G$ é uma constante que depende do tipo de massa do gás utilizado.

Isso significa que para calibrar um termômetro, não necessitamos de dois pontos fixos, gelo em fusão e água em ebulição, basta apenas um. Porém, tanto a temperatura do gelo em fusão e a água em ebulição não fornecem muita precisão. Por este motivo, em $1954$, a $10^a$ Conferência Geral de Pesos e Medidas decidiu adotar outro ponto fixo, que pode ser obtido com maior precisão: o ponto triplo da água, que é precisamente definido como $273,16\ K$ e $0,01^\circ C$. Esta definição fixa a unidade da escala Kelvin como uma parte em $273,16$ partes da diferença entre as temperaturas do zero absoluto e do ponto triplo da água, estabelece que uma variação de temperatura $\Delta \theta_{(K)}=1K$ mensurada na escala Kelvin encontra-se igualmente representada pela variação de $\Delta \theta_{(C)} = 1^\circ C$ na escala Celsius, ou seja:
\begin{equation}
\left| \Delta\theta_{(K)} \right| = \left| \Delta \theta_{(C)} \right|
\end{equation}
estabelecendo que o valor da temperatura na escala Kelvin seja o valor da temperatura na escala Celsius somado a $273,15$, temos que $\theta_K = \theta_C + 273,15$. Graficamente, temos que:



O zero da escala Kelvin representa a temperatura que as moléculas de um gás estariam em repouso. Já o zero das escalas Celsius e Fahrenheit não correspondem ao repouso das moléculas. Por isso, estas escalas são chamadas de escalas relativas, enquanto a escala Kelvin é chamada de escala absoluta e o zero kelvin é chamado de zero absoluto.

No entanto, é impossível que as moléculas de um corpo fiquem em repouso, por isso o zero absoluto é inatingível. As temperaturas mais baixas já atingidas em laboratório são da ordem de $10^{–9}K$.

A noção de partículas imóveis só faz sentido no universo da Física Clássica e a média das energias cinética das partículas não se aplica como definição para as temperaturas muito próximas ao zero absoluto, devendo neste caso uma parcela ser subtraída desta energia para obter-se a correta definição de temperatura.

Além da escala Kelvin ser utilizada para medir temperaturas, também é utilizada na representação das cores. Como forma de visualizar esta ideia, suponha um pedaço de ferro (um prego, por exemplo, seguro por um alicate) e aqueça-o na chama do fogo e observe o que acontecerá. Inicialmente, você verá ele mudará de cor, ficará vermelho escuro (rubro). Mantenha o aquecimento. A cor aos poucos mudará para uma tonalidade alaranjada. Mais um pouco e surge o amarelo. Se a fonte de calor for muito intensa, aquecendo o metal mais ainda, verá surgir o verde claro, depois o azul claro até atingir o azul escuro.

Kelvin, já sabia que a luz branca era formada a partir da soma de todas as outras cores e que cada cor individualmente poderia ser obtida aumentando-se a proporção de um ou de outro componente, como o vermelho, o azul, amarelo..., devido aos estudos de Newton em $1666$ sobre a natureza da luz. Mas ele queria encontrar uma forma de medir os desvios de proporção na composição da luz branca, e então, teve uma ideia: imaginou um objeto totalmente negro, que absorvesse $100\%$ de qualquer luz que incidisse sobre ele. Chamou-o de "corpo negro" e propôs que, quando o mesmo fosse aquecido, da mesma forma que a barra de ferro, passaria a emitir luz. E ainda em analogia à barra de ferro, a tonalidade da cor da luz emitida iria mudando conforme a temperatura aumentasse.



Uma lâmpada fluorescente comum pode chegar até $6500\ K$ de temperatura correlata de cor, porém, ela tem uma radiação de calor menor que uma lâmpada de filamento. Isso acontece porque elas trabalham não com incandescência, mas usam a eletricidade para energizar os átomos dos gases que compõem sua estrutura. Por esta baixa emissão de calor, estas são chamadas de lâmpadas de “luz fria”. Embora a luz seja fria, ela pode assumir qualquer temperatura de cor dependendo de como for balanceada, e é essa temperatura de cor que vai influenciar, em ordem inversa, nos aspectos psicológicos do observador.

Uma mesma fonte de luz pode assumir três aspectos distintos: temperatura física (irradiação de calor), temperatura de cor (matiz) e temperatura psicológica (cores frias e quentes). Abaixo estão alguns exemplos de como esses três fatores podem se misturar em uma mesma referência luminosa:

Lâmpadas incandescentes

Luz quente (alta dissipação de calor), de baixa temperatura de cor (3.000K) produzindo uma cor de temperatura psicológica quente (amarelo).

Lâmpadas incandescentes com filtro azul

Luz quente (alta dissipação de calor), de alta temperatura de cor (supondo entre $4000\ K$ e $5000\ K$) produzindo uma cor de temperatura psicológica fria (branco-azulado).

Lâmpadas Fluorescentes daylight

Luz fria (baixa radiação de calor), de alta temperatura de cor $(5500\ K)$, produzindo uma cor de temperatura psicológica fria (branco-azulado)

Lâmpadas Fluorescentes $XX$

Luz fria (baixa radiação de calor), de baixa temperatura de cor $(4000\ K)$, produzindo uma cor de temperatura psicológica quente (branco-amarelado).

Vejamos abaixo uma tabela com diferentes fontes de luz com suas temperaturas em Kelvin associadas:


Referências:

[1] Física – Volume Único – Sampaio & Calçada – Ed. Atual
[2] Física Básica – Volume Único – Nicolau / Toledo / Ronaldo
[3] Balanço de Cores
[4] Teoria da Cor: Temperatura da Cor
[5] Quanto mais quente melhor

Veja mais:

Relação entre as Escalas Termométricas
Comportamento Térmico dos Gases Perfeitos
Calor Específico dos Sólidos
Prismas Ópticos

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13 de mai de 2012

A Solução para o Desafio: Tecnologia Extraterrestre!


Por: Francisco Valdir
Blog: Matemágicas e Números

Foi em um dia do ano de 1992, eu, Francisco Valdir, e meus colegas de turma assistíamos a uma aula de cálculo. O professor, querendo mostrar a utilização da integral para obtenção de uma área, criou uma situação problema e para nos incentivar na procura de sua solução, fazia-nos perguntas sobre como deveríamos obter os dados numéricos para a seguinte questão: em um prédio com 100 m de comprimento, 30 m de altura quer-se pintar uma parte de fachada delimitada por duas retas verticais desde o seu cimo e até ao nível do solo, tendo à sua esquerda um afastamento lateral de 5,00 m e à direita 15,00m de afastamento. A pergunta era: qual a capacidade de litros de tinta que seriam gastos nessa pintura onde a camada ficaria com 0,8 mm de espessura? Ele perguntava, qual seria a maneira mais rápida que poderíamos utilizar para delimitar as linhas verticais e paralelas dessa parte da fachada. Depois de ouvir algumas sugestões nossas, ele mesmo apresentou a dele como a mais adequada e que seria dessa maneira: de cima do prédio, operários posicionados nos devidos lugares à esquerda e à direita das laterais do edifício, fariam descer prumos até o solo, quando as linhas desses, seriam fixadas para que o serviço da pintura dessa parte da fachada fosse iniciado.

Quando ele falou que: do cimo do prédio seriam descidos prumos até ao nível do solo e as linhas verticais e paralelas serviram como delimitadoras da parte da fachada a ser pintada, eu fui pego por um pensamento que me assaltou na hora, que me avisava do não paralelismo dessas retas verticais laterais tomadas dessa forma! Deixei que a aula seguisse o seu curso normal e o professor nos mostrou que a área daquele retângulo o qual seria a mesma, caso se calculasse isso, tanto pelo modo clássico (base X altura) ou pelo cálculo integral, este com a vantagem de se determinar áreas onde as linhas horizontais superiores e/ou inferiores do gráfico, não sejam funções lineares!

Quando ele chegou ao resultado da capacidade da quantidade de tinta que seria usada na pintura, eu então levantei a questão que aquele resultado não seria exato! Claro, que ele retrucou, dizendo que o uso do cálculo com integrais era para garantir a exatidão das medidas nos resultados e ele não sabia por que eu contradizia a verdade lógica disso. Falei então, que via que o erro era devido pela afirmação do paralelismo das linhas verticais obtidas através do uso de prumos. Desse modo, a área que tínhamos para calcular não era a de um retângulo e sim a de um trapézio isósceles! Ele demorou um pouco para entender a minha observação, e para ajudá-lo eu falei que se: as paredes são erguidas verticalmente com auxílios de prumos que se dirigem para o centro da Terra! E quanto maior a altura de um edifício e afastamento de suas paredes laterais, a área trapezoidal de sua fachada sempre será maior do que aquela que supomos ser perfeitamente retangular! Os prédios não são prismas retangulares retos e sim, troncos de pirâmides ou tronco de cones em se tratando de edifícios cilíndricos!

Depois disso, o professor entendeu e me deu razão sobre essa minha descoberta, Chamou a atenção dos meus colegas sobre essa curiosidade a qual, confessava ele, nunca ouvira ninguém falar nela, mas, por outro lado, dizia que esse erro para pequenas dimensões, isso era desprezível!

E o assunto foi por mim esquecido, até que em uma conversa que tive com o meu amigo e parceiro de blog, o professor Kleber Kilhian do blog: O Baricentro da Mente e por ocasião da postagem de numero 200, para comemoramos o feito, realizamos um artigo conjunto em parceria e o postamos em ambos os blogs, tendo o título: Desafio: Tecnologia Extraterrestre!

Pedimos que quem tivesse alguma solução para o mesmo, poderia nos contatar através dos nossos endereços de e-mail e/ou nas caixas de comentários dos nossos blogs e prometemos, caso ninguém atinasse com a solução, que postaríamos isso da nossa parte em uma data qualquer no futuro!

Estamos fazendo isso agora, novamente como o da 1ª vez, em um trabalho cooperativo, publicamos simultaneamente em ambos os nossos blogs, a resposta ou solução àquele desafio!

Por fim, digo que: com certeza você agora veja as paisagens dos prédios no mundo, como eu percebia, isto é: uma visão com outros olhos!!!!!

Algumas considerações sobre o problema

Como a base do silo é construída sobre a superfície terrestre, mesmo sendo uma superfície “plana” e “nivelada”, ocorre que para uma área extensa, temos que considerar a curvatura da Terra, analogamente, quando se quer fazer disparos de projéteis a longas distâncias, tem que considerar o movimento da Terra.

Se para cada par de pontos relativamente próximos, temos uma linha reta, quando tomarmos dois pontos extremos, teremos um arco, assemelhando-se com a curvatura da Terra.

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[Figura 1]

Desta forma, podemos esboçar um esquema representativo da situação:

image [Figura 2]

Vemos que o silo tem a forma de um tronco de cone, cuja base menor coincide com a curvatura da Terra. Então, não seria bem um tronco de cone, mas um tronco de cone no qual foi subtraída uma calota esférica!

Uma forma simplista para o cálculo do volume deste silo seria:

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Mas vejam que estamos considerando a plataforma da astronave, que é a base superior do cone, como ideal, ou seja, que fosse totalmente “plana”. No entanto, estamos no mundo das suposições e não sabemos em quais condições esta plataforma foi construída. Devido à sua extensão, com diâmetro igual a 10,1km, se sua construção for feita sobre a superfície do exoplaneta, cujo raio é aproximadamente igual ao da Terra, então o silo possivelmente se assemelhará a um tronco de cone, pois o volume das calotas esféricas se “anulariam”.

Este é um problema curioso e por ser fictício e fora de nossa realidade, deixa muitos pontos em aberto. Podemos nos perder em nossas elucubrações, gerando infinitas possibilidades e detalhes, o que nos levaria a cálculos imprecisos.

Assim, não precisamos resolver numericamente o problema para perceber que o erro está na sutilidade em considerar o silo como um cilindro e não como um tronco de cone.


Veja mais:

Desafio: Tecnologia Extraterrestre
Blog Matemágicas e Números

10 de mai de 2012

Métodos Infinitesimais de Stevin e o Baricentro de um Triângulo

Stevin, Kepler e Galileu eram homens práticos e necessitavam dos métodos de Arquimedes em seus trabalhos, mas desejavam evitar os rigores do método de exaustão.Em grande parte, foram as modificações introduzidas por este motivo nos antigos métodos infinitesimais que finalmente conduziram ao cálculo, e Stevin foi um dos primeiros a sugerir modificações.

Em sua Estática, de 1586, quase um século antes de Newton e Leibniz publicarem seu cálculo, o engenheiro de Bruges demonstrava que o centro de gravidade de um triângulo está sobre sua mediana:

No triângulo ABC inscreva uma coleção de paralelogramos de mesma altura, cujos lados, dois a dois, são paralelos a um lado e à mediana traçada a esse lado.

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O centro de gravidade das figuras inscritas cairá sobre a mediana, pelo princípio de Arquimedes de que figuras bilateralmente simétricas estão em equilíbrio. Mas podemos inscrever no triângulo infinitos paralelogramos de modo que a diferença entre o triângulo e a figura inscrita seja cada vez menor. Como essa diferença pode ser tornada tão pequena quanto se queira, quando tomamos paralelogramos de altura infinitesimal, este tende a um segmento de reta, cujo centro de gravidade é seu ponto médio que é intersectado pela mediana; o centro de gravidade do triângulo também jaz sobre a mediana. Se aplicarmos o método para cada um dos lados do triângulo, o baricentro do triângulo recai no encontro das medianas.

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Em algumas de suas proposições sobre pressão de fluidos, Stevin acrescentou a esse tratamento geométrico uma “demonstração por números” em que uma sequência de números tendia a um valor limite; mas Stevin tinha mais confiança em uma demonstração geométrica que em uma demonstração aritmética.

Referências:

[1] História da Matemática – Carl Boyer e Uta Merzbach – 3ª Ed. – Editora Blucher


Veja mais:

Demonstração da Fórmula para as Coordenadas do Baricentro de um Triângulo
Pontos Notáveis de um Triângulo
O Teorema de Stevin

1 de mai de 2012

Como Desenhar um Ovo de Galinha com Régua e Compasso (Parte 2)

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Este é o segundo post sobre a construção geométrica de um ovo de galinha. Não sei por qual natureza os ovos são formados com estas geometrias, mas é um objeto interessante de estudo.

Inicie a construção num eixo ortogonal descrevendo uma circunferência de centro na origem e raio unitário, marcando os pontos A, A' e B:

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Por B, trace duas retas, uma passando por A e outra por A':

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Com centro em A e raio AA', descreva o arco A'C'. Faço o mesmo para o outro lado, com centro em A’:

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Com centro em B e raio BC’, descreva o arco CC', completando o ovo:

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Vejam que a curva é totalmente contínua:

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Referências:

[1] Mathographics – Robert Dixon


Veja mais:

Como Desenhar um Ovo de Galinha com Régua e Compasso (Parte 1)
Construções Geométrica do PHI
Retificação da Circunferência

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