29 de jan de 2012

Construção Geométrica da Espiral de Arquimedes com Régua e Compasso

Os trabalhos de Arquimedes são obras-primas de exposição matemática. Além de exibirem grande originalidade, habilidade computacional e rigor nas demonstrações, são escritos numa linguagem altamente acabada e objetiva. Cerca de dez tratados de Arquimedes se preservaram até nossos dias e há vestígios de outros extraviados. Veja aqui a lista das obras de Arquimedes que, depois de muitas vicissitudes, chegaram à nós, seguindo a ordem da edição crítica de Heiberg.

imageEm seu tratado sobre as espirais, com vinte e oito proposições, dedica-se às propriedades da curva que hoje conhecemos como Espiral de Arquimedes e cuja equação polar é dada por:

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Onde r é o raio e k é uma constante de proporcionalidade. Podemos definir a espiral como o lugar dos pontos P que se movem uniformemente ao longo de um raio que, por sua vez, gira uniformemente numa plano em torno da origem.

Vamos aqui construir a espiral de Arquimedes utilizando apenas régua e compasso.

O processo de construção consiste em dividir uma circunferência em n partes iguais, dividir o raio em n partes iguais e descrever circunferências concêntricas com raios iguais à distância da origem O às divisões do raio. Em seguida, marcar os pontos Pn nas intersecções dos raios rn com as circunferências cn. A curva que passa por esses pontos é a espiral de Arquimedes. Vejamos passo-a-passo:

1) Descreva uma circunferência e divida-a em n partes iguais. Vamos utiliza n = 16 por ser de fácil obtenção, somente traçando as mediatrizes:

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2) Agora vamos dividir o raio em n = 16 partes iguais. Já vimos aqui como dividir um segmento de reta em n partes:

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3) E tracemos as circunferências concêntricas passando pelos pontos da divisão do raio:

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4) Marcamos os pontos P nas intersecções das circunferências cn com os raios rn e unimos esses pontos com segmentos de retas:

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5) A curva que passa por esses pontos é a espiral de Arquimedes:

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Referências:

[1] Introdução à História da Matemática – Howard Eves


Veja mais:

Construção Geométrica da Parábola com Régua e Compasso
Construção Geométrica da Hipérbole com Régua e Compasso
Construção Geométrica da Elipse com Régua e Compasso (Parte 1)
Construção Geométrica da Elipse com Régua e Compasso (Parte 2)

25 de jan de 2012

Centro de Gravidade de Áreas Planas

A massa (m) de um corpo é a medida da quantidade de matéria nele existente; já o volume (V) é a medida do espaço por ele ocupado. Se a massa por unidade de volume for constante através de todo o corpo, este corpo é homogêneo ou tem massa específica constante.

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Em Física é desejável considerar uma dada massa concentrada em um único ponto, denominado centro de gravidade. Se um corpo é homogêneo, esse ponto coincide com o centro geométrico. Por exemplo, o centro de gravidade de um círculo é o centro deste círculo. Isso é fácil de imaginar: posicione a ponta seca do compasso em uma folha de papel e descreva uma circunferência. Assim, o centro O onde foi posicionada a ponta seca do compasso é o centro de gravidade do círculo formado.

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O centro de uma folha de papel retangular se encontra entre as duas faces, porém consideramos como existindo em uma das faces, na intersecção de suas diagonais. Assim, o centro de gravidade de uma folha de pequena espessura coincide com o centro geométrico da folha considerada como uma área plana.

O momento (ML) de uma área plana em relação a um eixo L é o produto da área A pela distância de seu centro de gravidade ao eixo. O momento de uma área composta em relação a um eixo é a soma dos momentos das áreas componentes em relação ao eixo.

Para determinarmos o momento de uma área plana em relação a um eixo coordenado é útil fazer um esboço da área em questão. Assim podemos utilizar o conceito do retângulo elementar, que tem largura infinitesimal. Formamos, então, o produto da área do retângulo pela distância do seu centro de gravidade ao eixo. Em seguida, fazemos a soma para todos os retângulos, aplicando a integral definida.

Para uma área plana A, tendo seu centro de gravidade em clip_image006 e momentos denotados por Mx e My em relação aos eixos dos x e y serão dados por:

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Exemplo 1: Para exemplificar e nos acostumar com o método, vamos determinar os momentos e as coordenadas do centro de gravidade da figura abaixo.

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Com a geometria desta figura é simples, podemos dividi-las em vários retângulos, cujos centros de gravidade são denotados por: A, B. C e D.

Vejam que o retângulo superior (A) tem uma área A igual a 10 unidades de área (u.a.):

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E o centro de gravidade será:

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Vejam que a coordenada x é exatamente a metade do comprimento do retângulo e a coordenada y é a metade de sua altura. Mas para a altura, fazemos:

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Para o retângulo (B), temos que:

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Para o retângulo (C), temos que:

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E para o retângulo (D), temos:

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A área total da figura é:

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Podemos agora calcular os momentos dos retângulos em relação ao eixo dos x, fazendo o produto entre a área e a distância ao eixo dos x:

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Assim, o momento da área da figura em relação ao eixo dos x é a soma dos momentos dos retângulos individuais:

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E analogamente, o momento da área da figura em relação ao eixo dos y é:

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Logo, temos que:

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Assim, o ponto de coordenadas igual a (67/34 ; 5) é o centro de gravidade da figura.

Exemplo 2: Achar os momentos em relação aos eixos coordenados da área plana limitada no 2º quadrante pela curva x = y2 – 9.

Aqui vamos introduzir o conceito do retângulo elementar, que é um retângulo de largura infinitesimal. Considere o esboço do gráfico:

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Observando o retângulo elementar da figura acima, podemos ver que sua área é igual a clip_image058 e seu centro de gravidade é dado por clip_image060. Logo, seu momento em relação ao eixo dos x é clip_image062. Então:

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Da mesma forma podemos determinar o momento do retângulo elementar em relação ao eixo dos y, que é igual a clip_image068. Então:

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Exemplo 3: Achar o centro de gravidade da área limitada no primeiro quadrante pela parábola y = 4 – x 2.

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O centro de gravidade do retângulo elementar é (x ; 1/2y).

A área sob a curva no primeiro quadrante será dada pela soma dos retângulos elementares:

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Os momentos Mx e My serão dados por:

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e

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Para o cálculo das coordenadas do centro de gravidade, fazemos:

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e

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Logo, as coordenadas do centro de gravidade da área limitada pela parábola no primeiro quadrante da curva são (3/4 ; 8/5).

Exemplo 4: Achar o centro de gravidade da área sob a curva y = 2sen (3x), desde x = 0 à x = π/3.

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Fazendo uso do retângulo elementar, cujo centro de gravidade é igual a (x ; 1/2y), temos que:

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Para o cálculo das coordenadas do centro de gravidade, fazemos:

clip_image100

e

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Logo, as coordenadas do centro de gravidade da área limitada pela parábola no primeiro quadrante da curva são (π/6 ; π/4).

Referências:

[1] Cálculo Diferencial e Integral – Frank Ayres Jr. – McGraw-Hill


Veja mais:

O Cálculo Integral
Volume de uma Calota Esférica
Volume de um Segmento Esférico
Teste da Integral para Convergência de Séries

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