A massa (m) de um corpo é a medida da quantidade de matéria nele existente; já o volume (V) é a medida do espaço por ele ocupado. Se a massa por unidade de volume for constante através de todo o corpo, este corpo é homogêneo ou tem massa específica constante.
Em Física é desejável considerar uma dada massa concentrada em um único ponto, denominado centro de gravidade. Se um corpo é homogêneo, esse ponto coincide com o centro geométrico. Por exemplo, o centro de gravidade de um círculo é o centro deste círculo. Isso é fácil de imaginar: posicione a ponta seca do compasso em uma folha de papel e descreva uma circunferência. Assim, o centro O onde foi posicionada a ponta seca do compasso é o centro de gravidade do círculo formado.
O centro de uma folha de papel retangular se encontra entre as duas faces, porém consideramos como existindo em uma das faces, na intersecção de suas diagonais. Assim, o centro de gravidade de uma folha de pequena espessura coincide com o centro geométrico da folha considerada como uma área plana.
O momento (ML) de uma área plana em relação a um eixo L é o produto da área A pela distância de seu centro de gravidade ao eixo. O momento de uma área composta em relação a um eixo é a soma dos momentos das áreas componentes em relação ao eixo.
Para determinarmos o momento de uma área plana em relação a um eixo coordenado é útil fazer um esboço da área em questão. Assim podemos utilizar o conceito do retângulo elementar, que tem largura infinitesimal. Formamos, então, o produto da área do retângulo pela distância do seu centro de gravidade ao eixo. Em seguida, fazemos a soma para todos os retângulos, aplicando a integral definida.
Para uma área plana A, tendo seu centro de gravidade em 
e momentos denotados por Mx e My em relação aos eixos dos x e y serão dados por:
Exemplo 1: Para exemplificar e nos acostumar com o método, vamos determinar os momentos e as coordenadas do centro de gravidade da figura abaixo.
Com a geometria desta figura é simples, podemos dividi-las em vários retângulos, cujos centros de gravidade são denotados por: A, B. C e D.
Vejam que o retângulo superior (A) tem uma área A igual a 10 unidades de área (u.a.):
E o centro de gravidade será:
Vejam que a coordenada x é exatamente a metade do comprimento do retângulo e a coordenada y é a metade de sua altura. Mas para a altura, fazemos:
Para o retângulo (B), temos que:
Para o retângulo (C), temos que:
E para o retângulo (D), temos:
A área total da figura é:
Podemos agora calcular os momentos dos retângulos em relação ao eixo dos x, fazendo o produto entre a área e a distância ao eixo dos x:
Assim, o momento da área da figura em relação ao eixo dos x é a soma dos momentos dos retângulos individuais:
E analogamente, o momento da área da figura em relação ao eixo dos y é:
Logo, temos que:
Assim, o ponto de coordenadas igual a (67/34 ; 5) é o centro de gravidade da figura.
Exemplo 2: Achar os momentos em relação aos eixos coordenados da área plana limitada no 2º quadrante pela curva x = y2 – 9.
Aqui vamos introduzir o conceito do retângulo elementar, que é um retângulo de largura infinitesimal. Considere o esboço do gráfico:
Observando o retângulo elementar da figura acima, podemos ver que sua área é igual a 
e seu centro de gravidade é dado por 
. Logo, seu momento em relação ao eixo dos x é 
. Então:
Da mesma forma podemos determinar o momento do retângulo elementar em relação ao eixo dos y, que é igual a 
. Então:
Exemplo 3: Achar o centro de gravidade da área limitada no primeiro quadrante pela parábola y = 4 – x 2.
O centro de gravidade do retângulo elementar é (x ; 1/2y).
A área sob a curva no primeiro quadrante será dada pela soma dos retângulos elementares:
Os momentos Mx e My serão dados por:
e
Para o cálculo das coordenadas do centro de gravidade, fazemos:
e
Logo, as coordenadas do centro de gravidade da área limitada pela parábola no primeiro quadrante da curva são (3/4 ; 8/5).
Exemplo 4: Achar o centro de gravidade da área sob a curva y = 2sen (3x), desde x = 0 à x = π/3.
Fazendo uso do retângulo elementar, cujo centro de gravidade é igual a (x ; 1/2y), temos que:
Para o cálculo das coordenadas do centro de gravidade, fazemos:
e
Logo, as coordenadas do centro de gravidade da área limitada pela parábola no primeiro quadrante da curva são (π/6 ; π/4).
Referências:
[1] Cálculo Diferencial e Integral – Frank Ayres Jr. – McGraw-Hill
Veja mais:
O Cálculo IntegralVolume de uma Calota EsféricaVolume de um Segmento Esférico Teste da Integral para Convergência de Séries
Em seu tratado sobre as espirais, com vinte e oito proposições, dedica-se às propriedades da curva que hoje conhecemos como Espiral de Arquimedes e cuja equação polar é dada por: 
