27 de dez de 2012

A Quadratura do Triângulo

O problema da quadratura realmente é muito interessante, mobilizou a comunidade matemática por toda a história e até não-matemáticos dedicaram suas energias em encontrar um forma de quadrar o círculo. É claro que mesmo provado sua impossibilidade, problemas adjacentes foram criados, como a quadratura do retângulo e a do triângulo.

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Para a quadratura do triângulo, o transformamos em um retângulo, utilizando o fato que sua área é dada pelo semi-produto da base pela altura. A partir daí, basta empregarmos o procedimento para a quadratura do retângulo, que já vimos na postagem anterior. Vejamos como proceder.

Para construir um quadrado cuja área seja igual a um triângulo dado, conhecidos seus lados, procedemos como se segue:

1) Seja um triângulo ABC qualquer. Trace sua altura CJ e encontre seu ponto médio e marque-o como H.

2) Construa um retângulo com base AB que passe por H. Este retângulo ABDI possui a mesma área que o triângulo ABC.

3) Com centro em D descreva uma circunferência de raio BD.

4) Prolongue o segmento ID cortando o círculo em N.

5) Encontre o ponto médio do segmento IN e marque como M.

6) Com centro em M, descreva uma circunferência de raio MN.

7) Trace a perpendicular a IM por D e marque o ponto E na circunferência maior.

8) Construa um quadrado sobre o segmento DE. Este quadrado terá a mesma área do triângulo ABC.

 

Demonstração:

A área do triângulo é dada por:

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Onde AT é a área do triângulo e AR é a área do retângulo de mesma área.

De forma análoga ao que foi feito na demonstração para a quadratura do retângulo, provamos que a área do triângulo ABC é igual à área do quadrado DEFG.



Veja mais:

Quadratura do Retângulo
Pontos Notáveis de um Triângulo
A Quadratura do Círculo pelo Método de Hobson

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