4 de out de 2012

Método Para Escrever Um Número Par Como Diferença De Dois Quadrados De Inteiros (Parte 2)

Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)

Teorema de Sebá: Todo número P (par) > 4, múltiplo de 4, pode ser escrito como diferença de dois quadrados de inteiros, P = x2y2, de uma ou mais maneiras diferentes, por meio das duas equações:

clip_image002

Nas quais: k são os divisores de P, k ≠ 2n + 1, 2 ≤ k2 < P e 2k tem que dividir P.

Demonstração:

Como P = x2y2, logo:

clip_image006

Como x e y são inteiros positivos, logo, x – y são os divisores de P.

Se x – y = k, então:

clip_image008

Temos o seguinte sistema de equações:

clip_image010

Resolvendo-o, obtém-se:

clip_image002[1]

Note que se k2P, implica x – k ≤ 0, logo, 2 ≤ k2 < P.

Se k = 2n + 1, P + k2 será ímpar, consequentemente, 2k (par) não divide P + k2 (ímpar):

clip_image012

clip_image014

clip_image016

Exemplo 1: De quantas maneiras diferentes pode-se escrever 16 = x2y2?

O divisor de 16, tal que 2 ≤ k2 < 16, é: 2.

Para k = 2 e P = 16:

clip_image018

clip_image020

Caso escolhêssemos k = 4, teríamos k2 = 42 = 16 = P, e obter-se-ia:

clip_image022

Exemplo 2: De quantas maneiras diferentes pode-se escrever 32 = x2y2?

Os divisores de 32, tal que 2 ≤ k2 < 32, são : 2 e 4.

Logo, 32 pode ser escrito como diferença de dois quadrados de duas maneiras diferentes.

Para k = 2 e P = 32:

clip_image024

clip_image026

Para k = 4 e P = 32:

clip_image028

clip_image030

Caso escolhêssemos k = 8 (um dos divisores de 32) teríamos k2 = 82 = 64 > P, e obter-se-ia:

clip_image032

Pelo teorema extraído de um livro de teoria dos números:

Se n é par:

clip_image034

Para n = 32, k = 8, logo:

clip_image036

Conclusão: Pelo teorema extraído de um livro de teoria dos números, 32 só pode ser escrito de uma única maneira como diferença de dois quadrados; já pelo teorema de Sebá, 32 pode ser escrito de duas maneiras diferentes como diferença de dois quadrados:

clip_image038

Flagrante Da Vida Real

João, irmão de José, também possui um terreno retangular, cujas medidas são 30m x 60m e quer dividi-lo em lotes menores. Quer separar um lote de Ym2 para o cultivo de hortaliças e o restante quer dividi-lo em outros dois lotes quadrados para criar animais, de tal modo que a diferença entre esses dois lotes seja igual a 100m2. Pergunta-se:

a) Em quantas formas diferentes João pode dividir a parte de seu terreno destinada à criação de animais, obedecendo a suas exigências?

b) Quais as medidas de cada lote?

c) Quanto sobra de área do terreno para o cultivo de hortaliças para cada situação acima?

Resolução:

João quer dividir seu terreno, assim como seu irmão José, em lotes menores seguindo uma lei matemática um tanto incomum. Podemos imaginar que José e João são apreciadores da Matemática e, porque não, da teoria dos números.

Os divisores de 100, tal que 2 ≤ k2 < 100, são: 2 e 4.

Para k = 2 e P =100:

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clip_image042

image

Para k = 4 e P = 100:

clip_image046

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Vejam que esta solução não serve porque 14,52 e 10,52 não são dois quadrados de inteiros.

Resposta:

a) João pode separar o terreno em apenas uma forma.

b) As medidas dos lotes são:

Lote 1 possui 26m x 26m = 676m2

Lote 2 possui 24m x 24m = 576m2

c) O terreno de João possui medidas de 30m x 60m = 1.800m2. Sendo assim, ao dividi-lo em lotes conforme as formas encontradas em b), temos que as áreas que sobram para o cultivo de hortaliças será:

clip_image050

Vemos que existe apenas uma forma de dividir o terreno em lotes de modo a atender as exigências de João.

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB, além de colaborador deste blog. Foram feitas algumas alterações do manuscrito original para melhor exposição.


Veja mais:

Método Para Escrever Um Número Ímpar Composto Como Diferença De Dois Quadrados De Inteiros (Parte 1)
O Problema da Doação dos Terrenos e os Ternos Pitagóricos
Critérios de Divisibilidade por Qualquer Número Primo Maior que Onze

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