2 de out de 2012

Método Para Escrever Um Número Ímpar Composto Como Diferença De Dois Quadrados De Inteiros (Parte 1)

Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)

O teorema abaixo foi extraído de um livro de teoria dos números.

Teorema 1: Um número inteiro n pode ser escrito como a diferença de dois quadrados de inteiros, n = x2y2, se e somente se n é ímpar ou múltiplo de 4.

Demonstração do mesmo livro:

Uma forma direta de obter a representação de n como diferença de dois quadrados é a seguinte:

Se n é múltiplo de 4:

clip_image002

Se n é ímpar:

clip_image004

Teorema de Sebá: Todo número ímpar (I), maior que a unidade, pode ser escrito como diferença de dois quadrados de inteiros: I = x2y2, de uma ou mais maneiras diferentes, por meio das duas equações:

clip_image006

Onde k são os divisores de I, tal que 1 ≤ k2 < I.

Demonstração:

Como I = x2y2, logo:

clip_image002[4]

Como x e y são inteiros positivos, logo, x – y são os divisores de I.

Se x – y = k, então:

clip_image010

Temos o seguinte sistema de equações:

clip_image012

Resolvendo-o, obtém-se:

clip_image014

Note que se k2I, implica xk ≤ 0, logo, 1 ≤ k2 < I.

Exemplo 1: De quantas maneiras diferentes pode-se escrever 121 = x2y2?

Os divisores de 121, tal que 1 ≤ k2 < 121, é: 1. Logo, pode-se escrever 121 = x2y2 de uma única maneira.

Para k = 1 e I = 121:

clip_image016

Assim:

clip_image018

Caso escolhêssemos k = 11, teríamos k2 = 112 = 121= I, e obter-se-ia:

clip_image020

Exemplo 2: De quantas maneiras diferentes pode-se escrever o primo 13 = x2y2?

O divisor de 13, tal que 1 ≤ k2 < 13, é: 1. Logo, pode-se escrever 13 = x2y2 de um única maneira como diferença de dois quadrados.

Para k = 1 e I = 13:

clip_image022

Assim:

clip_image024

Exemplo 3: De quantas maneiras diferentes pode-se escrever 117 = x2y2?

Os divisores de 117, tal que 1 ≤ k2 < 117, são: 1, 3 e 9. Logo, temos três maneiras diferentes de escrever 117 como diferença de dois quadrados.

Modo 1: Para k = 1 e I = 117:

clip_image026

Assim:

clip_image028

Modo 2: Para k = 3 e I = 117:

clip_image030

Logo:

clip_image032

Modo 3: Para k = 9 e I = 117:

clip_image034

Assim:

clip_image036

Caso escolhêssemos k = 13, teríamos k2 = 132 = 169 > 117, e obter-se-ia:

clip_image038

Pelo teorema extraído de um livro de teoria dos números:

Se n é ímpar:

clip_image040

Se n = 117, k = 58, logo:

clip_image042

Conclusão: Pelo teorema extraído de um livro de teoria dos números, 117 só poderia ser escrito de uma única maneira como diferença de dois quadrados; já pelo Teorema de Sebá, o número 117 pode ser escrito de três maneiras diferentes como diferença de dois quadrados:

clip_image044

Flagrante Da Vida Real

José possui um terreno retangular cujas medidas são 60m x 110m e quer dividi-lo em lotes menores. Quer separar um lote de Xm2 para o cultivo de hortaliças e o restante quer dividi-lo em outros dois lotes quadrados para criar animais, de tal modo que a diferença entre esses dois lotes seja igual a 105m2. Pergunta-se:

a) Em quantas formas diferentes José pode dividir a parte de seu terreno destinada à criação de animais, obedecendo a suas exigências?

b) Quais as medidas de cada lote?

c) Quanto sobra de área do terreno para o cultivo de hortaliças para cada situação acima?

Resolução:

José quer dividir seu terreno em lotes menores seguindo uma lei matemática um tanto incomum. Podemos imaginar que José, no mínimo, é apreciador da Matemática.

Os divisores de 105, tal que 1 ≤ k2 < 105, são: 1, 3, 5 e 7.

De acordo com as fórmulas deduzidas acima, temos:

Para k = 1 e I = 105:

clip_image046

Assim:

clip_image048

image

Para k = 3 e I = 105:

clip_image052

Assim:

clip_image054

image

Para k = 5 e I = 105:

clip_image058

Assim:

clip_image060

image

Para k = 7 e I = 105:

clip_image064

Assim:

clip_image066

image

Resposta:

a) José pode separar o terreno em quatro formas distintas.

b) As medidas dos lotes são:

Forma 1:

Lote 1 possui 53m x 53m = 2.809m2

Lote 2 possui 52m x 52m = 2.704m2

Forma 2:

Lote 1 possui 19m x 19m = 361m2

Lote 2 possui 16m x 16m = 256m2

Forma 3:

Lote 1 possui 13m x 13m = 169m2

Lote 2 possui 8m x 8m = 64m2

Forma 4:

Lote 1 possui 11m x 11m = 121m2

Lote 2 possui 4m x 4m = 16m2

c) O terreno de José possui medidas de 60m x 110m = 6.600m2. Sendo assim, ao dividi-lo em lotes conforme as formas encontradas em b), temos que as áreas que sobram para o cultivo de hortaliças será:

Para a forma 1:

clip_image070

Para a forma 2:

clip_image072

Para a forma 3:

clip_image074

Para a forma 4:

clip_image076

Vemos que existem 4 formas diferentes de dividir o terreno em lotes de modo a atender as exigências de José. Sendo assim, ele terá que decidir qual das quatro configurações é melhor para aplicar em sua realidade.

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB, além de colaborador deste blog. Foram feitas algumas alterações do manuscrito original para melhor exposição.


Veja mais:

Método Para Escrever um Número Par Como Diferença de Dois Quadrados (Parte 2)
Critérios de Divisibilidade por Qualquer Número Primo Maior que Onze
Método de Resolução das Equações de Sebá Parte 1, Parte 2, Parte 3

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