23 de set de 2012

Retificação da Circunferência (Parte 5)

A retificação da circunferência é um tema que me fascinou desde a primeira vez que li sobre o assunto. Está diretamente relacionado à quadratura do círculo, que foi provado sua impossibilidade por meios da geometria euclidiana. Fico tentando algumas construções geométricas para aproximar π por um segmento de reta, que seja simples o suficiente para provar algebricamente. Cheguei a esta simples construção, com uma prova simples, que aproxima π em duas casas decimais: 3,14626, que é a soma das raízes quadradas de 2 e 3.

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Construção:

1) Descreva a circunferência C1 de raio unitário centrada na origem de um par de eixos ortogonais e marque o ponto A na intersecção com o eixo vertical;

2) Trace a tangente em A;

3) Trace a bissetriz de AOB, cortando a circunferência em C e a tangente em D;

4) Com centro em O e raio CD, descreva uma circunferência C2 e marque a intersecção com o eixo vertical como E;

5) Com raio DE e centro em D, descreva uma circunferência C3 e marque como F a intersecção com a bissetriz encontrada em 3).

6) O segmento OF aproxima π em 3,14626...

Prova:

Como a circunferência C1 tem raio OA = OB = 1, pelo teorema pitagórico temos que a hipotenusa do triângulo retângulo OAD:

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Assim, o segmento OE = CD é dado por:

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Para encontrar o raio de C3, aplicamos novamente o teorema pitagórico:

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Assim, o segmento procurado é OF = OD + DF:

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Veja mais:

Aproximação de π como Soma de Dois Números Irracionais
Retificação da Circunferência (Parte 1) (Parte 2) (Parte 3) (Parte 4)
Como Construir uma Aproximação para a Quadratura do Círculo com Régua e Compasso

2 comentários:

  1. Muito interessante a esse método de retificação.

    5ª linha do processo de construção: O raio não seria OD?

    Att.

    ResponderExcluir
  2. Olá Eduardo, tem razão. Já está corrigido.

    Gosto dessas construções para aproximar pi, mesmo sabendo ser impossível a determinação de seu valor exato.

    Obrigado pela visita. Abraços!

    ResponderExcluir

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