22 de set de 2012

Método de Resolução das Equações de Sebá (Parte 3 de 3) Aplicação no Mercado Financeiro

Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)

Este artigo foi enviado pelo professor Sebá envolvendo a resolução de equações dos tipos:

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As equações acima foram criadas e batizadas como Equações de Sebá, que elaborou dois teoremas e os batizou-os como Teoremas de Sebá. Vimos nas partes 1 e 2 as demonstrações para estes dois teoremas. Nesta terceira parte veremos uma aplicação no mercado financeiro.

Exemplo: João aplicou R$1.000,00 no Banco A à taxa de i1% a.a. (ao ano), rendendo juros compostos durante 3 anos e R$1.000,00 no Banco B à taxa de i2% a.a., rendendo também juros compostos durante 3 anos; Pedro aplicou R$1.000,00 no Banco C à taxa de i3% a.a., rendendo juros compostos durante 2 anos. Pergunta-se: se a soma dos montantes obtida por João, nos Bancos A e B, foram iguais ao montante obtido por Pedro no Banco C, quais as taxas anuais i1%, i2% e i3%?

Observação: Os valores de i1%, i2% e i3% devem ser números inteiros. Dê pelo menos uma solução em inteiros.

Resolução:

Sejam:

P1 = P2 = R$1.000,00 = capital aplicado por João

P3 = R$1.000,00 = capital aplicado por Pedro

M1 = Montante obtido por João durante 3 anos à taxa de i1% a.a.

M2 = Montante obtido por João durante 3 anos à taxa de i2% a.a.

M3 = Montante obtido por Pedro durante 2 anos à taxa de i3% a.a.

Assim:

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Fazemos:

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Vimos anteriormente que a equação de Sebá fatorada é a seguinte:

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Se escolhermos valores para a e b tal que ab ou ab, e substituirmos na equação de Sebá fatorada, obteremos valores inteiros positivos para i1, i2 e i3.

Como o expoente de cada termo do membro esquerdo da equação (1) é 3 e da equação do lado direito é 2, logo, se encontrarmos uma solução em inteiros para a equação: A3 + B3 = C2 é também solução para a (1).

Como o expoente de A e B é 3, logo, substituindo na (2) n por 3, obtemos:

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Como na equação A3 + B3 = C2, o membro da direita tem expoente 2 e o da esquerda, expoente 3, logo, temos que encontrar dois números m e m+1 que seja possível decompor m em potência de 3 e m+1 em potência de 2. Isso só será possível se m e m+1 forem, respectivamente, múltiplo de 3 e 2. Logo, m = 6q – 3 e m+1 = 6q – 2. Substituindo os valores de m e m+1 na (3), obtemos:

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Logo, as soluções da equação dada serão obtidas fazendo:

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Se q = 1 e a = b = 1, substituímos estes valores na equação (4), obtendo:

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Solução: A = B = 2 e C = 4

Como A3 + B3 = C2, fazemos:

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E podemos ainda fazer:

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Comparando (5) com (1), concluímos que:

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Resposta: As taxas anuais são: i1 = i2 = 100% ao ano e i3 = 300% ao ano.

O leitor deve notar que se tomarmos valores inteiros para q, a e b maiores que 1, vamos encontrar infinitas soluções em inteiros para i1, i2 e i3. Só que devemos aceitar valores para i1, i2 e i3 compatíveis com as taxas de juros praticadas no mercado financeiro onde João e Pedro estão fazendo as suas aplicações.

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB, além de colaborador deste blog. Foram feitas algumas alterações do manuscrito original para melhor exposição.


Veja mais:

Método de Resolução das Equações de Sebá (Parte 1 de 3)
Método de Resolução das Equações de Sebá (Parte 2 de 3)
Critérios de Divisibilidade por Qualquer Número Primo Maior que 11

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