14 de set de 2012

De Onde Vieram os Símbolos?

imagePara escrever a afirmação: “Quando 7 é subtraído da soma de 5 e 6 o resultado é 4”, logo codificamos em símbolos matemáticos e escrevemos:

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Essa é a notação moderna utilizada mundialmente pela sociedade matemática e tem várias vantagens sobre a sentença que representa: é mais eficiente para escrever, mais clara e menos ambígua para a leitura, compreensível e praticamente todos que estudaram aritmética elementar conseguem entender o que significa.

A Matemática tem sua linguagem própria, compreendida no mundo inteiro. Seus símbolos estão amplamente difundidos e fazem parte do nosso cotidiano. Hoje nos beneficiamos dos longos estudos, debates e tentativas de tornar a linguagem matemática mais universal possível.

Os gregos antigos, assim como os árabes, não usavam quaisquer símbolos para as operações ou relações aritméticas, escrevendo seus problemas e soluções apenas em palavras. Essa cultura se estendeu pela maioria das pessoas durante muitos séculos passando pela Idade Média, até os anos iniciais do Renascimento.

Com a invenção da imprensa com tipos móveis no século XV, livros impressos começaram a exibir um pouco mais de consistência, mas passou-se muito tempo antes que os símbolos que usamos hoje se tornassem parte comum da aritmética.

Para a relação (5 + 6) – 7 = 4, vamos ver como era escrita em diversas fases por diversos matemáticos. A data de cada um é o ano em que um livro em particular foi publicado:

1470: Regiomontanus, na Alemanha teria escrito assim:

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1494: Luca Pacioli em seu Summa de Aritmetica, que foi amplamente utilizado na Itália e em outras partes da Europa, aparecia assim:

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Provavelmente, o agrupamento da primeira soma estaria implícito, sendo feito em primeiro lugar. Esta notação para soma e subtração tornou-se muito comum em boa parte da Europa.

1489: Simultaneamente na Alemanha, Johann Widman utilizou pela primeira vez os símbolos modernos para mais e para menos, de modo que:

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Apesar de não saber que seus símbolos seriam amplamente utilizados séculos mais tarde, não possuía um símbolo para a igualdade, de modo que utilizava o termo das ist, que em alemão significa isto é.

1557: A primeira ocorrência dos símbolos + e – em um livro inglês foi num texto de álgebra de Robert Recorde, The Whetstone of Witte, um ano antes dele morrer na prisão. O título Whwtstone (pedra de amolar) era um trocadilho sobre a palavra coss, que em latim significa pedra de amolar. Neste livro, Recorde também introduziu o símbolo de igualdade, próximo do que usamos hoje, como um sinal de igualdade mais alongado, como dois segmentos de reta paralelos, justificando que “duas coisas não podem ser mais iguais do que dois segmentos de reta paralelos e de mesmo comprimento”:

imageA notação de Recorde não se tornou imediatamente popular, pois muitos matemáticos preferia usar a notação de Luca Pacioli, especialmente na Itália, França e Espanha. Mas seu símbolo de igualdade voltou a aparecer somente após meio século. Enquanto isso, alguns autores utilizavam o sinal = para representar outras coisas, como por exemplo François Viète que utilizava o símbolo = para representar a subtração entre duas quantidades algébricas quando não se conhecia qual das duas era a maior. Isso remete ao conceito de valor absoluto da diferença.

1629: Albert Girard, na França, utilizava uma notação diferente para a subtração, o que hoje usamos para a divisão. Durante os séculos XVII e XVIII o sinal ÷ era amplamente utilizado para indicar a subtração, particularmente na Alemanha, de modo que o termo da esquerda da relação (1) era expresso como:

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1631: Já na Inglaterra, William Oughtred publicou seu livro Clavis Mathematicae, muito influente na época, enfatizando a importância do uso de símbolos matemáticos. Seu uso de símbolos +, – e = para soma, subtração e igualdade, respectivamente, contribuiu imensamente para a adoção desses símbolos como padrão em textos matemáticos. Porém, se Oughtred quisesse enfatizar o agrupamento dos dois primeiros termos da relação (1), usava dois pontos:

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Neste mesmo ano o sinal alongado de igualdade proposto por Recorde apareceu no livro de Thomas Harriot, acompanhado da notação de Harriot de > e < para maior que e menor que, respectivamente.

1637: René Descartes em seu La Géométrie simplificou e regularizou muito a notação algébrica que usamos hoje, mas também foi responsável por atrasar a aceitação universal de = para representar uma igualdade. Descartes usava um traço partido para representar a subtração:

imageA notação algébrica de Descartes se espalhou rapidamente pela comunidade matemática na Europa, levando um novo e estranho símbolo para igualdade até meados do século XVIII.

Início dos anos 1700: Os parênteses gradualmente foram sendo utilizados para agrupamentos, graças aos influentes trabalhos de Leibniz, dos Bernoullis e de Euler.

Nesta mesma época, as colônias norte-americanas estavam se preparando para se separar do domínio inglês e o modo mais comum de escrever a relação (1) era como fazemos hoje:

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Não é de se surpreender que houvesse tantos símbolos diferentes para representar a mesma coisa. Somente com o tempo foi-se chegando a um consenso geral sobre a melhor notação, mas parece que foi ocorrendo naturalmente. Hoje podemos ver que havia muita ambiguidade nas notações matemáticas, mas até hoje convivemos com algumas delas e está tão incrustado na sociedade matemática que é natural para nós. Por exemplo, para a multiplicação, temos pelo menos 4 notações diferentes:

a) 3(4 + 5): significa 3 vezes (4 + 5). Escrever a multiplicação por justaposição, colocando simplesmente as quantidades a serem multipicadas ao lado, remonta a manuscritos europeus do século XV.

b) O símbolo x para representar a multiplicação, por exemplo, 3 x 4, apareceu pela primeira vez em manuscritos europeus que remontam o século X, notavelmente na Clavis Mathematicae.

c) Em 1698, Leibniz, incomodado pela possível confusão de x por x, introduziu uma nova notação para a multiplicação: um ponto mais elevado, tornando-se de uso generalizado na Europa no século XVIII, e é um modo comum que usamos ainda hoje. Por exemplo, 3 · 4, representa 3 vezes 4.

d) Calculadoras e alguns programas de computadores utilizam um asterisco para a multiplicação, de modo que a notação 3 * 4, apesar de moderna, foi usada por um curto tempo no século XVII, na Alemanha.

A ambiguidade também ocorre na divisão. Por exemplo, para dividirmos 3 por 4, podemos expressar como:

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ou ainda como uma razão 3:4. O uso do símbolo ÷ para divisão, e não para a subtração, deve-se ao livro de álgebra suíço Teutsche Algebra de Johann Rahn, do século XVII. Este livro não foi popular na Europa, mas em 1668 uma tradução para o inglês foi bem recebida na Inglaterra. Alguns importantes matemáticos aderiram o novo símbolo para denotar divisão e em breve tornou-se preferido nos países de língua inglesa, mas não na maior parte da Europa. Os autores europeus preferiam a notação de Leibniz que em 1684 adotou o símbolo de dois pontos para denotar divisão. Essa diferença seguiu até o século XX, quando em 1923, a Mathematical Association os America recomendou que ambas as notações fossem abandonadas em favor da notação fracional, mas a recomendação não surtiu o efeito desejado e hoje ainda podemos representar uma divisão de pelo menos 4 formas diferentes.

Lição de Casa:

Como forma de exercitar o que foi mostrado neste curto artigo, relacione cada expressão abaixo, de acordo com os símbolos utilizados, com seu autor; decodifique e resolva cada uma delas.

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Referências:

[1] A Matemática Através dos Tempos – William Berlighoff e Fernando Gouvês – Editora Blucher

[2] História da Matemática – Carl Boyer e Uta Merzbach – Editora Blucher


Veja mais:

A História do Número Zero
A História do Símbolo do Infinito
A Origem do Termo Número de Ouro

6 comentários:

  1. Oi, Kleber!

    Atualmente os símbolos matemáticos estão padronizadados de forma que é uma linguagem mundial. E por trás das operações, temos a lógica, essa sim é uma linguagem universal.

    Excelente texto este que montou. É um passeio histórico na evolução da compreenção da matemática.

    Um forte abraço!

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  2. Olá Aloísio, é verdade: a Matemática está tão bem organizada que qualquer pessoa do mundo consegue entender; diferentemente da língua pátria dos países, que para cada um, tem uma língua oficial diferente, e mesmo em países de línguas iguais, como no Brasil e Portugal, há diferenças entre palavras ou termos.

    Fico lendo esses livros de história da Matemática e viajo no tempo. Acredito ser importante a todos conhecerem as origens das coisas que utilizamos hoje. Tanto dedicação e energia desprendida em prol de um bem maior.

    Obrigado por seu comentário e um abraço!

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  3. olá, excelente post. A matemática é tão linda, bela..... sempre me apaixonei por ela... mas até hoje eu tenho a dúvida de porquê tanto na matemática como na física usa-se simbolos gregos...

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  4. Vou procurar uma fonte confiável com uma explicação para sua dúvida. Encontrando, coloco aqui, ok? Mas parece ter ocorrido como forma de diferenciar dos símbolos latinos, representando coisas diferetesm como ângulos, por exemplo.

    Obrigado pela visita e comentário!

    Abraços.

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  5. Olá, Kleber! Tudo na paz?!

    Todo aluno quando começar a estudar os primeiros conceitos matemáticos, deveriam estudar este texto.

    Ao longo de alguns séculos a Matemática desenvolveu-se passando por três estágios:
    - A Matemática retórica (Os problemas eram resolvidos de forma verbal)
    - A Matemática sincopada (Uso de abreviações de palavras)
    - A Matemática simbólica (Uso de letras e símbolos, por exemplo, para representar grandezas em um dado problema-situação)

    Muita gente odeia a Matemática justamente por não ter base conceitual nenhuma. Daí ficam se perguntando: Para que serve a Matemática? Quem criou os números? etc.

    Um abraço!

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    Respostas
    1. Olá Edigley, estou ótimo. Espero que esteja com você também!

      Essas perguntinhas são mesmo típicas de estudantes que não se interessam por matemática. O passado é tão rico de histórias, que, como estas, servem para nos inspirar.

      Há alguns livros didáticos que até contém alguma coisa sobre história da matemática, mas ainda assim é muito pouco. Mas acredito que bons professores consigam introduzir estas joias em suas aulas.

      Um grande abraço e obrigado por participar!

      Excluir

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