9 de jul de 2012

A Lei de Weber e as Escalas de Fechner

Gustav Theodor Fechner (1801 – 1887), apesar de ter sido um filósofo alemão e professor em Leipzig, era um brilhante matemático e físico. Quando em 1839 foi ameaçado pela cegueira, entrou numa crise pessoal e passou a interessar-se mais por questões religiosas e psicológicas.

imageFechner considerava a realidade física e a psíquica, aspectos de uma mesma realidade essencial e não realidades opostas. O Universo passaria a ser um conjunto vivificado de seres finitos sustentados pela infinitude de Deus, de modo que as leis naturais seriam manifestações da perfeição divina.

Procurando demonstrar que o psíquico e o físico são dois aspectos diferentes da mesma realidade, formulou, em seus Elementos de Psicofísica, de 1860, uma lei estabelecendo a relação entre a quantidade de excitação e a intensidade da sensação. Fechner foi um dos pioneiros da psicologia experimental e da própria psicologia sendo a data de publicação do seu Elementos de psicofísica uma das propostas para o início da psicologia enquanto ciência.

Ernest Heinrich Weber (1795 – 1878) foi um médico alemão, considerado um dos fundadores da psicologia experimental. Estudou medicina na Universidade de Wittenberg e em 1818 foi nomeado professor adjunto de anatomia comparada na Univerdade de Leipzig.

Por volta de 1860 Weber trabalhou com Fechner aplicando os princípios da Psicofísica, quando formulou a Lei que leva seu nome, realizando estudos pioneiros capazes de quantificar um fenômeno psicológico, que serviam para mapear a sensibilidade táctil em vários pontos da pele através de uma técnica chamada de limiar de dois pontos.

Esta técnica utilizava um compasso com duas agulhas. Variando-se a distância entre agulhas, pedia-se à pessoa que julgasse se havia uma ou duas agulhas presentes em uma determinada área da pele. Estes estudos revelaram que diferentes áreas da pele apresentam diferentes sensibilidades táteis. Ou seja, o mesmo estímulo físico produzia diferentes sensações de acordo com o local da pele onde era apresentado.

A Lei de Weber, para resposta de seres humanos a estímulos físicos, nos diz que diferenças marcantes na resposta a um estímulo ocorrem para variações da intensidade do estímulo proporcionais ao próprio estímulo.

Por exemplo, um homem que sai de um ambiente iluminado para outro só percebe uma variação da luminosidade se esta for superior a 2%. Para soluções salinas, só distingue variações da salinidade se esta foi superior a 25%.

Fechner propôs um método de construção de escalas baseado na Lei de Weber.

Seja i a taxa de variação da intensidade do estímulo que permite discriminação da resposta. Associando ao estímulo x­­o­ ­o nível de resposta 0, para cada variação de taxa i no nível do estímulo, aumentamos uma unidade na medida do nível de resposta. Sejam y a resposta e x a intensidade do estímulo. Temos que:

clip_image004

e

clip_image006

sendo:

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O brilho de uma estrela é uma sensação, ou seja, é uma resposta a um estímulo que é a energia luminosa recebida pelo olho. Os astrônomos medem o brilho por intermédio de uma escala de Fechner:

clip_image010

onde m é a medida do brilho, chamada de magnitude aparente, I é a energia luminosa recebida pelo olho e c é uma constante que define o zero da escala. Desta forma, quanto maior a magnitude de uma estrela, menor é seu brilho.

O número 2,5 da fórmula acima é chamado de Fator de Pogson e é aproximado do número 2,512, que emerge da própria definição de logaritmos:

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Uma outra escala Fechner muito conhecida é a escala Richter, que mede a intensidade do terremotos, definida por:

clip_image002[4]

onde E é a energia liberada e E­­o = 7 x 10–3 kWh e I é a intensidade do terremoto.

Uma outra escala de Fechner também muito conhecida por todos nós é a que mede ruídos, definida por:

clip_image004[3]

em que I é a intensidade correspondente ao nível β e Io é uma constante que representa o nível de referência tomado como limiar de audição:

clip_image006[3]

A unidade de medida do ruído é dada em bels (designação em homenagem a Alexander Graham Bell, físico escocês inventor do telefone). No Brasil, utilizamos um submúltiplo do bel, o decibel (dB).

Referências:

[1] Matemática – Contextos e Aplicações V1 – Dante
[2] http://pt.wikipedia.org/wiki/Gustav_Fechner
[3] http://estudospercepcao.blogspot.com.br/p/ernst-heinrich-weber.html
[4] http://www.cosmobrain.com.br/rc/magnitude1.html


Veja mais:

Logaritmos: Sons e a Audição Humana
O Movimento de Precessão da Terra
Stifell, Bürgi e a Criação dos Logaritmos
A Construção da Primeira tábua de Logaritmos Decimais por Briggs

5 comentários:

  1. Muito boa a matéria.

    Acho que a sensação depende muito do estado da mente. Sou praticante de meditação e um dos efeitos colateriais disso é que resisto mais ao frio, calor ou dor.

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  2. Isso que você disse é interessante: quando fiz yoga por um tempo, aprendi a meditar e a controlar a respiração. Me sentia muito mais centrado. Mas não acho que seria um efeito colateral, no sentido negativo, mas sim um controle maior sobre as sensações sentidas pelo nosso corpo.

    Certa vez, vi uma matéria na televisão (já não me lembro o canal), onde uma mulher praticante de meditação precisou fazer uma cirurgia e a fez sem anestesia, somente com o controle de sua mente. Incrível, não? No que diz respeito ao uso de nossa mente, ainda estamos engatinhando.

    Obrigado por levantar esta bandeira.

    Um abraço!

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  3. Kleber:
    Muito interessante saber que as escalas Richter e sonora são baseadas nas Escalas de Fechter. No caso da fórmula da escala Richter, qual seria o valor de a? E no caso da escala sonora? Porque escolheu-se 12 para o valor da constante? Será que foi uma escolha arbitrária?
    Abraço, e parabéns por colocar aqui estas valiosas explicações.

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  4. Quando estava folheando alguns livros, me deparei com a escala Fechner. Achei muito interessante pelo fato de ser aplicada na área das sensações. O objetivo deste artigo não era aprofundar-me nas aplicações, pois demandaria um estudo mais detalhado e sim mostrar que um concetio matemático pode ser aplicável em vários ramos das Ciências.

    Na internet, tem muito pouco material decente, com informações precisas (uma pena), então, não saberia dizer-lhe como as fórmulas foram concebidas. No livro que utilizei do Dante, as fórmulas aparecem como havia descrito aqui, mas analisando melhor, você tem razão: deixava dúvidas. Então, reformulei o artigo de modo que as fórmulas sejam as usuais, encontradas em qualquer livro ou site.

    OBrigado novamente por questioar. Só assim poderei melhorar meu trabalho.

    Grande abraço!

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  5. Seria muito excitante uma demonstração formal dessa fórmula, tomando alguns princípios como ponto de partida. :) Mas isso deve ser impossível, atualmente. :/

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