22 de jul de 2012

A Série de Suiseth

A primeira ocorrência de uma série infinita de que se tem notícia encontra-se num trabalho de Arquimedes (sempre Arquimedes!), onde ele calcula a área da parábola. Para isso, Arquimedes usa uma série geométrica de razão 1/4.

Depois disso, passou-se um período de 1700 anos até que, no século XIV, por um grupo de matemáticos da Universidade de Oxford, que estudava cinemática, as séries infinitas voltaram a aparecer.

Em Paris, Nicole Oresme (1325 – 1382), além de professor universitário era conselheiro do rei, principalmente na área de finanças públicas, onde revelou-se um homem de larga visão. Em recompensa pelos serviços prestados, Oresme foi nomeado bispo de Lisieux.

Oresme mantinha contato com o grupo de pesquisadores de Oxford e contribuiu na investigação de várias das séries surgidas e estudadas na época, tal como a série:

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Essa série foi considerada, por volta de 1350, por Richard Suiseth, um dos matemáticos de Oxford, surgindo do estudo de um movimento que se desenvolve num intervalo de tempo t = [0,1]: A velocidade de um corpo permanece constante e igual a 1 durante a primeira metade do intervalo de tempo de 0 a 1/2; no segundo subintervalo de tempo igual a 1/4, a velocidade dobra de valor; no terceiro subintervalo de tempo igual a 1/8, a velocidade triplica; quadruplica no quarto subintervalo de duração 1/16; e assim por diante.

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[Figura 1]

Podemos ver que a soma da série é a soma dos produtos da velocidade pelo tempo em cada um dos sucessivos subintervalos de tempo e representa o espaço total percorrido pelo corpo.

Suiseth encontrou o valor de 2 para esta soma, utilizando um complicado argumento verbal. Oresme, por sua vez, deu uma interessante explicação geométrica para esta série. Observamos na figura 1 que essa soma é a soma das áreas dos infinitos retângulos verticais.

O raciocínio de Suiseth, combinado com a interpretação geométrica de Oresme, se traduz assim: a soma das áreas desses retângulos verticais é igual à soma das áreas dos retângulos horizontais, conforme ilustra a figura 2:

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[Figura 2]

Isso é o mesmo que substituir o movimento original por uma sucessão infinita de movimentos com velocidade igual a 1. O primeiro movimento no intervalo de tempo [0,1]; o segundo no intervalo de tempo [1/2,1]; o terceiro no intervalo de tempo [3/4,1]; e assim sucessivamente. Desta forma, o espaço percorrido passa a ser dado pela soma da série geométrica:

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Já sabemos do Ensino Médio, que a soma de uma progressão geométrica de razão q é dado por:

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Assim, se a1 = 1 e q = 1/2, obtemos:

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Assim, obtemos a soma da série original:

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Uma outra forma de ver que a série infinita dada em (2) converge para o valor 2 é a seguinte: Tomamos um quadrado de área igual a 2. Traçando sua diagonal, dividimos o quadrado em dois triângulo de área igual a 1.

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[Figura 3]

Em seguida, dividimos um desses triângulos ao meio, traçando sua altura. Em seguida, tomamos um desses triângulos e traçamos sua altura, dividindo-o ao meio. E assim por diante. O que teremos é um quadrado dividido numa infinidade de triângulos, cada um com área igual à metade da área do triângulo anterior. Sendo assim, a área do quadrado original é a soma das áreas dos triângulos:

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Referências:

[1] Várias Faces da Matemática – Geraldo Ávila – Blucher
[2] Revista do Professor de Matemática nº 30

Veja mais:

Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Infinita
Uma Série Infinita para a Função Arco Seno
Teste da Integral para Convergência de Séries

5 comentários:

  1. Excelente artigo, Kleber! Parabéns!

    Interessante que muita da matemática pura da época tinha um fundo geométrico ou relativo aos mais exóticos movimentos.

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  2. Obrigado Aloísio. Concordo com você. Arquimedes foi um grande exemplo de trabalhar com a mecânica. Na idade média acho que tudo floresceu, junto com a evolução da matemática.
    Grande abraço.

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  3. Um ótimo artigo! Obrigada me ajudou bastante.

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  4. Essa serie ai e muito fácil de calcular. e possível ainda encontrar uma formula mais genérica para progressões geométricas com esse perfil. não da nem pra suar.

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