20 de jun de 2012

Integração por Substituição Trigonométrica

Há meios diferentes para integrar uma função e para cada integral, devemos identificar qual o melhor dos métodos a aplicar. Somente resolvendo diversos exemplos para podermos nos familiarizar com cada um desses métodos.

No caso de integração por substituição trigonométrica, um integrante que contenha uma das formas:

clip_image002

clip_image004

clip_image006

sendo a uma constante positiva e não tendo nenhum outro fator irracional, pode ser transformado numa integral trigonométrica mais familiar, utilizando substituições trigonométricas ou com o emprego de uma nova variável.

Para os três casos acima, utilizamos as identidades trigonométricas:

clip_image008

clip_image010

clip_image012

Vamos ver cada um desses casos separadamente.

Caso I: Para uma integral que envolva um radical do tipo clip_image014, fazemos a mudança de variável de x para θ. A substituição deve ser apropriada e fica melhor observada no triângulo retângulo:

image

Temos que:

clip_image018

Assim, clip_image020 substitui clip_image014[1] por clip_image022, pois:

clip_image024

clip_image026

clip_image028

E pela identidade trigonométrica dada em (1), obtemos:

clip_image030

Extraindo a raiz de ambos os membros da equação acima, obtemos:

clip_image032

Justificando a substituição.

Caso II: Para uma integral que envolva um radical do tipo clip_image034, fazemos a mudança de variável de x para θ. Observando o triângulo retângulo:

image 

Temos que:

clip_image038

Assim, clip_image040 substitui clip_image034[1] por clip_image042, pois:

clip_image044

clip_image046

clip_image048

E pela identidade trigonométrica dada em (2), obtemos:

clip_image050

Extraindo a raiz de ambos os membros da equação acima, obtemos:

clip_image052

Justificando a substituição.

Caso III: Para uma integral que envolva um radical do tipo clip_image054, fazemos a mudança de variável de x para θ. Observando o triângulo retângulo:

image

Temos que:

clip_image058

Assim, clip_image060 substitui clip_image054[1] por clip_image062, pois:

clip_image064

clip_image066

clip_image068

E pela identidade trigonométrica dada em (3), obtemos:

clip_image070

Extraindo a raiz de ambos os membros da equação acima, obtemos:

clip_image072

Justificando a substituição.

Com base nos resultados obtidos, podemos montar uma tabela:

image

Vejam que, para representar graficamente as substituições sugeridas no triângulo retângulo, o radical ficará sempre no lado do triângulo que não é utilizado pela relação trigonométrica:

Caso I: Usa-se x = a sen(θ); logo, o radical aparece no cateto adjacente a θ.

Caso II: Usa-se x = a tg(θ); logo, o radical aparece na hipotenusa.

Caso III: Usa-se a sec(θ); logo, o radical aparece no cateto oposto a θ.

Vejamos alguns exemplos para ilustrar o método.

Exemplo 1: Calcule a integral abaixo:

clip_image098

Esta é uma integral do tipo I. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

image 

Assim, escrevemos:

clip_image100

clip_image102

clip_image104

Assim:

clip_image106

clip_image108

clip_image110

clip_image112

clip_image114

clip_image116

Devemos agora, reescrever o resultado em termos da variável original x. Observando o triângulo retângulo, devemos encontrar as relações trigonométricas que aparecem no resultado acima. Assim:

clip_image118

Assim:

clip_image120

clip_image122

clip_image124

Exemplo 2: Calcule a integral abaixo:

clip_image126

Esta é uma integral do tipo II. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

image 

Assim, escrevemos:

clip_image129

clip_image131

clip_image133

Assim:

clip_image135

clip_image137

Vamos, agora, reescrever o resultado em termos da variável original x. Observando o triângulo, encontramos as relações:

clip_image139

Assim:

clip_image141

clip_image143

clip_image145

Como C é uma constante arbitrária e ln(a) também é uma constante, podemos reescrever o resultado como:

clip_image147

Exemplo 3: Calcule a integral abaixo:

clip_image149

Esta é uma integral do tipo III. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

image 

Assim, escrevemos:

clip_image151

clip_image153

clip_image155

Assim:

clip_image157

clip_image159

clip_image161

clip_image163

Vamos reescrever o resultado em termos da variável original x. Observando o triângulo encontramos as relações:

clip_image165

Assim:

clip_image167

clip_image169

Exemplo 4: Calcule a integral abaixo:

clip_image171

Esta é uma integral do tipo I. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

image 

Assim, escrevemos:

clip_image175

clip_image177

clip_image179

Assim:

clip_image181

clip_image183

clip_image185

Agora, reescrevemos o resultado em termos da variável original x. Observando o triângulo retângulo, encontramos a relação:

clip_image187

Assim:

clip_image189

Exemplo 5: Calcule a integral abaixo:

clip_image191

Esta é uma integral do tipo II. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

image 

Assim, escrevemos:

clip_image195

clip_image197

clip_image199

Assim:

clip_image201

clip_image203

clip_image205

clip_image207

Reescrevendo o resultado em termos da variável x e utilizando as relações observadas no triângulo retângulo, fazemos:

clip_image209

Assim:

clip_image211

Exemplo 6: Calcule a integral abaixo:

clip_image213

Esta é uma integral do tipo III. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:

image 

Assim, escrevemos:

clip_image217

clip_image219

clip_image221

Assim:

clip_image223

clip_image225

clip_image227

Vejam aqui como integrar cos2(θ).

clip_image229

clip_image231

Agora, representamos o resultado em termos da variável original x. Observando o triângulo retângulo, encontramos as relações:

clip_image233

Assim:

clip_image235

clip_image237

Exemplo 7: Para ilustrar o uso desse método, vamos determinar a equação da tractriz, que é uma curva definida pela trajetória de um objeto arrastado ao longo de um plano horizontal por um fio de comprimento constante quando a outra extremidade do fio se move ao longo de uma reta no plano. A palavra tractriz provém do latim tractum, que significa draga.

Vamos considerar um plano formado por eixos ortogonais xy e o objeto comece no ponto (a, 0) com a outra extremidade do fio na origem. Se esta se move para cima ao longo do eixo dos y:

image 

o fio será sempre tangente à curva e o comprimento da tangente entre o eixo dos y e o ponto de contato será sempre igual a a. O coeficiente angular da tangente é dado pela fórmula:

clip_image241

Separando as variáveis e usando o resultado do exemplo 1, temos:

clip_image243

Quando x = a, y = 0 e C = 0. Logo:

clip_image245

que é a equação da tractriz.

Se as extremidades do fio movem-se para baixo no eixo dos y, então uma outra parte da curva é gerada. Se girarmos essas duas partes em torno do eixo dos y, a superfície resultante será uma pseudo-esfera, com forma de uma “corneta dupla”.

image

Exercícios para Casa:

clip_image249

clip_image251

clip_image253

clip_image255

clip_image257


Referências:

[1] Cálculo com Geometria Analítica V1 – Simmons
[2] Cálculo V1 – Munen – Foulis
[3] Cálculo Diferencial e Integral – Frank Ayres Jr


Veja mais:

Integração por Frações Parciais – Fatores Lineares
Integração por Frações Parciais – Fatores Quadráticos Irredutíveis
Método de Integração por Substituição
Método de Integração por Partes

24 comentários:

  1. Uma perfeita explicação !!! adorei e os segredos da trigonometria no calculo integral.Consgui resolver a integral proposta,

    ResponderExcluir
  2. Eu tinha estudado num material meio confuso e, no primeiro exercício estava achando que teria que fazer a substituição só do tal x q é argumento da raiz. via cos^2 e não entendia que o segundo fator de cosseno tinha vindo da substituição diferencial.
    Acho q vou conseguir salvar meu escalpo na prova.

    ResponderExcluir
  3. Obrigado prezados leitores pelos comentários. Espero que este artigo tenham elucidados suas dúvidas.

    Abraços.

    ResponderExcluir
  4. Resolvi a integral: de sqrt(a^2 - x^2) e deu :a^2( 1/4 sen 2 (o) + 1/2 arcosin (o) que paassando a variável x deu: a^2.[ 1/4.X/A.SQRT(X^2 - A^2 ) + ARCOSIN X/A] pOR FAvor Kleber!! quero saber se a minha resposta ficou certa, obrigado!! (o) = theta.

    ResponderExcluir
  5. Olá Hamilton. Fiz a resolução a seguir e conferi com a Wolframalpha:

    Seja a integral:
    $\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2}dx$
    Fazemos:
    $x=a \sin(\theta)$
    $dx=a \cos(\theta)d\theta$
    Então:
    $\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2 \sin^2(\theta)}=\sqrt{a^2(1-\sin^2(\theta))}=a\sqrt{\cos^2(\theta)}$
    Assim:
    $\displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}dx=\displaystyle \int a\sqrt{\cos^2(\theta)}\cdot a

    \cos(\theta)d\theta=\displaystyle \int a^2\cos^2(\theta) d\theta$
    Pela identidade:
    $\cos^2(\theta)=\dfrac{1}{2}\cos(2\theta)+\dfrac{1}{2}$
    Temos que:
    $I=\displaystyle \int a^2\left [ \dfrac{1}{2}\cos(2\theta)+\dfrac{1}{2} \right ] d\theta$
    $I=\displaystyle \int a^2\dfrac{1}{2}\cos(2\theta)+\displaystyle \int a^2\dfrac{1}{2} d\theta$
    $I=\displaystyle a^2 \int \dfrac{1}{2} d\theta + \dfrac{1}{2}a^2 \displaystyle \int \cos(2\theta) d\theta$
    $I=\dfrac{1}{2}a^2\theta+\dfrac{1}{2}a^2 \displaystyle \int \cos(2\theta) d\theta$
    Seja $u=2 \theta$; $du=2d \theta$; $d\theta=du/2$
    $\dfrac{1}{2}a^2 \displaystyle \int cos(2\theta)d\theta=\dfrac{1}{2}a^2 \displaystyle \int

    \dfrac{cos(u)}{2}du=$
    $=\dfrac{1}{4}a^2\cdot \sin(u)=\dfrac{1}{4}a^2 \sin(2\theta)$
    $I=\dfrac{1}{2}a^2 \theta +\dfrac{1}{4}a^2 \sin(2\theta)+C$
    Sendo $\sin(\theta)=\dfrac{x}{a};\theta=\arcsin(\frac{x}{a})$
    $I=\dfrac{1}{2}a^2 \cdot\arcsin\left ( \frac{x}{a} \right )+\dfrac{1}{4}a^2 \cdot \sin(2\theta)+C$
    $I=\dfrac{1}{2}a^2 \cdot\arcsin\left ( \frac{x}{a} \right )+\dfrac{1}{2}ax \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}+C$
    $I=\dfrac{1}{2}\left [ ax\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}+a^2\cdot \arcsin\left ( \frac{x}{a} \right ) \right ]+C$


    ResponderExcluir
  6. Obrigado Klebeer!!!! Que clareza no exercicio adorei e entendi. Eu fiz de um modo diferente mas vou verificar deu a mesma respostua da tua vlw.. Era o que eu pensava tirei uma duvida. Só nao consegui retornar a cálculo inverso!! 1 abraço;

    ResponderExcluir
  7. É possivel achar a integral de V( 2X^3 - 1 ) DX ONDE v( Y ) RAIZ QUADRADA , POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA ? cOMO EU FARIA ESSE CALCULO?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Veja esta resolução pela wolfram:

      http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+\sqrt{2x^3-1}

      Vou tentar fazer por substituição trigonométrica, não sei se é possível.

      Excluir
  8. Gostaria de aprender como resolver passo a passo uma equação diferencial. Procurei no Google mas nao entendi nada, Poderia me explicar?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Hamilton, olha só, eu estou viajando e com o tempo um pouco restrito para ficar na internet. Por enquanto, sugiro que veja os links abaixo que possuem resoluções. Não estão difíceis de entender. Mas é importante aprender a teoria.

      http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2009/05/edo-lei-da-refrigeracao-de-newton.html

      http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/08/edo-lei-dos-gases-de-boyle.html

      http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2010/08/uma-breve-historia-das-equacoes.html

      Veja que a equação diferencial produz uma família de soluções que dependerão de alguns parâmetros.

      Excluir
  9. Obrigado Kleber !!! Pela atenção . e feliz ano novo.

    ResponderExcluir
  10. muito obrigada essa explicação é muito boa, me ajudou muito, d+.....

    ResponderExcluir
  11. Como integrar dx/(4+x^2)^2 ?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Patty,

      Veja esta resolução:

      http://imageshack.us/a/img856/9365/e5lu.png

      Um abraço!

      Excluir
  12. Olá Kleber Kilhian,
    Você pode me ajudar, como se integra 1/(√4+x^2) dx
    Obrigada.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Dalana. sua integral é do Tipo II que aparece no começo desse artigo. É ainda muito parecida com a do exemplo 2. Seria bom você ler primeiro a teoria acima. Vamos À resolução:

      $$\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^2}}=\int \frac{dx}{\sqrt{2^2+x^2}}$$
      Fazemos a substituição trigonométrica:
      $$x=2 \tan(\theta) \qquad \text{e} \qquad dx=2 \sec^2(\theta)d\theta$$
      Agora vamos trabalhar o radicando, substituindo o valor de $x$:
      $$2^2+x^2=2^2+(2 \tan(\theta))^2=2^2+2^2 \tan^2(\theta)=2^2(1+\tan^2(\theta))=2^2(\sec^2(\theta))$$
      Veja que neste último passo usamos uma identidade trigonométrica. Fazemos:
      $$\sqrt{2^2+x^2}=2(\sec(\theta))$$
      Assim:
      $$\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^2}}=\int \frac{2\sec^2(\theta)}{2\sec(\theta)}d\theta=\int \sec (\theta) d\theta = \ln \mid \sec(\theta) + \tan (\theta) \mid +C$$
      Reescrevendo em função da variável $x$:
      $\displaystyle \bullet \sec(\theta)=\frac{\sqrt{4+x^2}}{2}$
      $\displaystyle \bullet \tan(\theta)=\frac{x}{`2}$

      Assim:

      $$\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^2}}= \ln \left (\frac{\sqrt{4+x^2}}{2} + \frac{x}{2} \right)+C = \ln \left( \frac{\sqrt{4+x^2}+x}{2}\right)+C= \ln (\sqrt{4+x^2}+x)- \ln (2)+C$$

      Excluir
  13. Kleber, poderia explicar direitinho o Exemplo 5 após encontrar 1/4 \int secØ / tg²Ø dØ ??? eu não entendi pq vc encontrou 1/4 \int cosec²Ø * cosØ dØ à diante ... Agradeço muito!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Oi Valéria, na verdade foi somente substituições:

      Lembrando que

      sec = 1/cos
      cossec = 1/sen
      tg = sen/cos

      Então, temos:

      $$\frac{1}{4}\int \frac{\text{sec} \theta}{\tan^2\theta}=\frac{1}{4} \int \frac{\frac{1}{\cos \theta}}{\frac{\text{sen}\theta}{\cos \theta}\cdot \frac{\text{sen}\theta}{\cos \theta}}=\frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos \theta}\cdot \frac{\cos \theta}{\text{sen}\theta}\cdot\frac{\cos \theta}{\text{sen}\theta}=\frac{1}{4} \int \frac{1}{\text{sen}^2\theta}\cdot \cos \theta=\frac{1}{4}\int \text{cossec}^2\theta\cdot \cos \theta d\theta$$

      Espero ter esclarecido. Abraços.

      Excluir
  14. Kleber, pode me ajudar com esta integral? \int √16-xˆ2 / 4xˆ2 dx

    Eu encontrei -1/4 (√16-xˆ2 /x) - (arctg(√16-xˆ2 /x) + C

    ...

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Valéria, ao invés de digitar a resolução aqui, que ficaria meio longa, fiz numa folha e tirei uma foto. Veja neste link:

      http://share.pho.to/6Hwun/9l/original

      Um abraço.

      Excluir
  15. Kleber … Obrigada pela ajuda. Eu estou resolvendo uma série de exercícios para fixar o assunto .. Ainda tenho dúvida em algumas questões.. Posso postá-las aqui ?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Valéria, envie em meu e-mail, vou ver o que posso te ajudar: kleberkilhian@gmail.com

      Abraços.

      Excluir
  16. Olá Bom dia!!!! Gostaria de saber como eu resolvo essa integral por substituição trigonométrica!!!

    ∫dt/√(9-16t²)

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Mateus, boa noite.

      Desculpe a demora, estou muito ocupado. Vi a resolução em vídeo dessa sua integral. Pode conferir aqui no youtube:

      https://www.youtube.com/watch?v=1NS_-BieNvQ

      Abraços!

      Excluir

Por favor, leiam antes de comentar:

1) Escreva um comentário apenas referente ao tema;

2) Para demais, utilize o formulário de contato;

3) Comentários ofensivos ou spans não serão publicados;

4) Desde o dia 23/07/2013, todos os comentários passaram a ser moderados. Para maiores detalhes, veja a nota de moderação aqui;

5) É possível escrever fórmulas em $\LaTeX$ nos comentários deste blog graças a um script da Mathjax. Para fórmulas inline ou alinhadas à esquerda, escreva a fórmula entre os símbolos de $\$$; Para fórmulas centralizadas, utilize o símbolo duplo $\$\$$.

Por exemplo, a^2 + b^2 = c^2 entre os símbolos de $\$\$$, gera:
$$a^2+b^2=c^2$$
Para visualizar as fórmulas em $\LaTeX$ antes de publicá-las, acessem este link.

Seu comentário é o meu Salário!

Redes Sociais

Blogs Recomendados

Arquivo do Blog

Seguidores

Comentários Recentes

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...