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24/04/2012

Demonstração da Fórmula para as Coordenadas do Baricentro de um Triângulo

Da geometria plana, sabemos que o baricentro ou centróide G de um triângulo é o encontro das três medianas e as divide numa razão de 2 para 1, sendo o segmento maior o que possui extremidade no vértice do triângulo.

Neste artigo, vamos demonstrar que as coordenadas do baricentro de um triângulo, representado num sistema de coordenadas retangulares, são dadas pelas fórmulas:

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Seja o triângulo ABC, cujas coordenadas dos vértices são respectivamente: A(a , ya), B(b , yb) e C(c , yc). Seja o ponto médio referente ao lado BC representado por D(xd , yd). Sejam as coordenadas do baricentro representado por G(xg , yg).

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O ponto médio de um segmento é dado pela semi-soma de suas coordenadas. Assim, as coordenadas do ponto médio do segmento BC são dadas por:

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Como o ponto G divide uma mediana numa razão de 2:1, temos a relação referente à mediana ao lado BC. (Vejam o artigo sobre A Mediana de um Triângulo no Blog Fatos Matemáticos):

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Coordenada da abscissa

Considerando as abscissas dos pontos A, G e D e a relação (2), temos que:

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Substituindo a relação (1) em (3), obtemos:

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Coordenada da ordenada

Analogamente ao que fizemos para encontrar a coordenada da abscissa do baricentro, fazemos para a ordenada:

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Substituindo a relação (1) em (4), obtemos:

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Exemplo 1: Seja o triângulo ABC cujas coordenadas são dadas por: A(0,1), B(6,–2) e C(4,3). Determinar as coordenadas do baricentro G.

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Aplicando as fórmulas, vamos determinar as coordenadas do baricentro.

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Assim, as coordenadas do baricentro do triângulo são:

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Exemplo 2: Dois vértices de um triângulo são A(0,0) e B(9,0). O centróide é dado pelo ponto (6,1). Ache o terceiro vértice do triângulo.

Resolução: Seja C(xc, yc) o terceiro vértice. Assim:

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As coordenadas do terceiro vértice são dadas por C(9, 3).

Exercício Proposto: Quais são as coordenadas do baricentro do triângulo MNP obtido de um triângulo ABC, sendo M o ponto médio de AB, N o ponto médio AC e P o ponto médio de BC?


Veja mais:

Pontos Notáveis de um Triângulo
Teorema da Base Média de um Triângulo
A Mediana de um Triângulo no Blog Fatos Matemáticos

11 comentários:

  1. Este post teria sido particularmente mais interessante há uma semana atrás quando tive que provar o Teorema de Euler para um trabalho da faculdade. Seria bacana se você usasse vetores na demonstração, tornaria as coisas mais interessantes.
    De qualquer modo, um post com muita qualidade!

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  2. Este artigo surgiu de uma dúvida de um leitor que queria saber como demonstrar as coordenadas do centroide do triângulo. Para tentar economizar tempo, fui procurar na internet e percebi que não tinha nada com boas explicações. Resolvi então fazer para compartilhar com todos. Eu até tinha visto algo sobre o uso de vetores, mas provava somente que o ponto G é o centroide do triângulo, mas não demonstrava as fórmulas das coordenadas. De qualquer forma, acho que é uma boa ideia para um próximo post. Agradeço sua sugestão!

    Hoje, lendo um livro de História da Matemática, me deparei com o método de Stevin para cálculo dos infinitesimais. Com ele, Stevin demonstra que o baricentro de um triângulo é o encontro das medianas. Realmente muito interessante para uma ideia cerca de 100 anos antes no nascimento do cálculo infinitesimal. Sem falar nos métodos de Arquimedes...

    Obrigado pela visita e comentário!

    Abraços.

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  3. Resposta do exercício proposto:
    Sendo $A(x_A,x_A)$, $B(x_B,y_B)$ e $C(x_C,y_C)$, baseado no enunciado, temos que:
    $M(x_M,y_M)=\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$,
    $N(x_N,y_N)=\left(\dfrac{x_A+x_C}{2},\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)$
    e
    $P(x_P,y_P)=\left(\dfrac{x_B+x_C}{2},\dfrac{y_B+y_C}{2}\right)$
    Segue que:
    $x_G=\dfrac{x_M+x_N+x_P}{3}=\dfrac{\frac{x_A+x_B}{2}+\frac{x_A+x_C}{2}+\frac{x_B+x_C}{2}}{3}$

    $=\dfrac{2x_A+2x_B+2x_c}{6}=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}$
    e
    $y_G=\dfrac{y_M+y_N+y_P}{3}=\dfrac{\frac{y_A+y_B}{2}+\frac{y_A+y_C}{2}+\frac{y_B+y_C}{2}}{3}$

    $=\dfrac{2y_A+2y_B+2y_c}{6}=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$
    Devemos observar que os triângulos $ABC$ e $MNP$ possuem o mesmo baricentro.

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    1. Olá Francehelder,

      Muito bem desenvolvido. As coordenadas calculadas no final para o triângulo ABC, mostram que é a mesma para o triângulo MNP.

      Obrigado pela contribuição.

      Abraços.

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  4. Oi, Kleber! Por falar em baricentro. Você já leu algo sobre onde seria o baricentro do Universo?...Obrigado...abçs.

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    Respostas
    1. Olá Tavano, como vai?
      Eu já tinha ouvido falar, mas não sei detalhes. Fiz uma procura rápida na interne, mas pelo menos em português não encontrei nada. Somente para o baricentro do sistema solar, que seria o Sol. Você tem algum material sobre o baricentro do Universo?

      Abraços.

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    2. Oi, Kleber! Não, não tenho. Era mais uma dúvida filosófica que física. Certa vez alguém sugeriu que o Universo estaria girando em torno desse hipotético baricentro. Aí, eu pensei, girando em relação a quê? Não sei porque lembrei disso ao ler seu artigo...Obrigado...abçs.

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    3. Pois é... em relaçãoa que? Já que não se sabe o tamanho do universo, não? Podemos restringir para o baricentro da Via Láctea, que seria sem centro, na direção da constelação de Sagittarius. Será que há um buraco negro? Para o sistema solar, temos o Sol como centro de massa; Já para a Terra-Lua, teríamos um ponto a cerca de 1700km abaixo da superfície da Terra. Quando se fala em baricentro (ou centro de massa), podemos pensar em muitas coisas mesmo: desde triângulos a binários, como a Terra-Lua.

      Um abraço.

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  5. Só uma curiosidade ( me lembrei por causa do buraco negro). Sabiam que [;1kg;]concentrado em [;1/1000mm;]gera uma aceleração de gravidade de [;g=66,7 m/s^2;]???

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  6. Não sabia Aloísio. É uma senhora aceleração! Por isso a atração de um buraco negro é espantosa!

    Abraços!

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  7. Correção: [;1Kg;] concentrado em um volume esférico de [;(1/1000)mm;] de raio.

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½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔ \
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥

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