10 de mar de 2012

Critérios De Divisibilidade Por Qualquer Número Primo Maior Que Onze

Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)

imageJá que existem critérios de divisibilidade por 3, 5, 7, e 11, o presente trabalho tem como objetivo mostrar uma regra de divisibilidade (ou Regra de Sebá) por qualquer número primo maior que 11. Já que existem as calculadoras, o trabalho não traz nenhuma contribuição prática para os leitores (ou alunos). Se o trabalho tivesse sido escrito numa época em que não existiam as calculadoras, com certeza, seria uma grande contribuição ao ensino da matemática. Escrevi o trabalho apenas como curiosidade.

Seja N o número dado e verificar se N é divisível por um número primo p >11.

Passo 1: Se p terminar em 3, 7 ou 9, multiplique p, respectivamente, por 7, 3 e 9, subtraia 1 e divida a diferença por 10; Se p terminar em 1, subtraia 1 de p e divida a diferença por 10. Ambos os quocientes vamos designar por y.

Passo 2: Multiplique y pelo último algarismo de N e subtraia de N sem o último algarismo. Se a diferença for grande, de tal maneira que não seja possível reconhecer facilmente se é divisível por p, repete-se o processo até que seja possível reconhecer facilmente a divisão por p.

Observação: Se o último algarismo da diferença vezes y for maior que o número sem o último algarismo, encerra-se o processo, e verifica se a diferença é divisível por p.

Fórmulas Para Critérios de Divisibilidade

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Exemplo 1: Verificar se N = 28561 é divisível por p = 13.

Passo 1: Como p termina em 3, vamos utilizar a 2ª fórmula.clip_image010Passo 2: Vamos chamar de u o último algarismo do número N. Desta forma, para o N = 28561, teremos u = 1. Assim, multiplicamos y por u:clip_image012Agora, tomamos o número N sem o último algarismo e subtraímos deste, o resultado de y · u, obtendo:image Como 2847 ainda é um número grande, repetimos o processo:image Como 221 ainda é um número grande, repetimos o processo:image Como a diferença é divisível por 13, logo, 28561 é divisível por 13.

O curioso é que as diferenças 2847 e 221 são divisíveis por 13:clip_image002[4]

Exemplo 2: Verificar se N = 12167 é divisível por p = 23.

Passo 1: como p termina em 3, use a 2ª fórmula:clip_image004[4]Passo 2: Chamando de u o último algarismo do número N. Desta forma, para o N = 12167, teremos u = 7. Assim, multiplicamos y por u:clip_image006[4]Agora, tomamos o número N sem o último algarismo e subtraímos deste, o resultado de y · u, obtendo:image Como 1104 ainda é um número grande, repetimos o processo:image Como o último algarismo da diferença é 6 e y = 16, logo, 6y = 6 · 16 = 96 > 4 (número sem o último algarismo). Encerra-se o processo. Já que 46 é divisível por 23, logo, 12167 é divisível por 23. Caso repetíssemos o processo com a diferença 46, teríamos:image A diferença (– 92) também é divisível por 23, mas aumentamos o tempo computacional, acrescentando mais uma tabela.

Dispositivo Prático

Vamos refazer o exemplo 2 por meio do dispositivo prático:image Exemplo 3: Verificar se N = 923521 é divisível por p = 31.

Passo 1: Como p termina em 1, usaremos a 1ª fórmula:clip_image002[6]Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:imageComo a diferença é divisível por 31, logo, 923521 é divisível por 31.

Exemplo 4: Verificar se N = 68921 é divisível por p = 41.

Passo 1: como p termina em 3, usaremos a 1ª fórmula:clip_image002[8]Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:imageComo a diferença é divisível por 41, logo, 68921 é divisível por 41.

Exemplo 5: Verificar se N = 83521 é divisível por p = 17.

Passo 1: como p termina em 7, usaremos a 3ª fórmula:clip_image002[10]Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:imageComo o último algarismo da diferença é 4 e y = 5, logo, 4 · 5 = 20 > 3. Encerra-se o processo. Já que 34 é divisível por 17, logo, 83521 é divisível por 17. Caso repetíssemos o processo, teríamos:imageA diferença (–17) também é divisível por 17, mas aumentamos o tempo computacional.

Exemplo 6: Verificar se N = 50653 é divisível por p = 37.

Passo 1: como p termina em 7, usaremos a 3ª fórmula:clip_image002[12]Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:imageComo a diferença (37) é divisível por 37, logo, 50653 é divisível por 37.

Exemplo 7: Verificar se N = 130321 é divisível por p = 19.

Passo 1: Como p termina em 9, utilizaremos a 4ª fórmula:clip_image002[14]Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:imageComo a diferença (19) é divisível por 19, logo, 130321 é divisível por 19.

Exemplo 8: Verificar se N = 707281 é divisível por p = 29.

Passo 1: como p termina em, use a 4ª fórmula:clip_image002[16]Passo 2: Vamos utilizar o dispositivo prático:imageComo a diferença (– 29) é divisível por 29, logo, o número 707281 é divisível por 29. Note que o último algarismo da 3ª diferença é 3 e y = 26, logo:clip_image002[18]Deveríamos encerrar o processo. Se tivéssemos encerrado o processo na terceira diferença, teríamos que verificar se 29 divide 493. Sem calculadora gastaríamos mais tempo na divisão do que subtrair 78 de 49. Foi por isso que continuamos o processo.

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB, além de colaborador deste blog.


Veja mais:

O Problema da Doação dos Terrenos e os Ternos Pitagóricos
Quantos Números Primos Existem?
Deserto Entre Números Primos

12 comentários:

  1. Oi, Kleber!

    Sempre gosto de ler as contribuições do Prof Sebá. Acho que ele publicou alguns livros. Vou tentar adquirí-los.

    Valeu!

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    1. Olá Aloísio,
      O Sebá tem livros sim. Dê uma procurada pela internet.
      Abraços!

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  2. Olá, Kleber!!!

    Eu gosto de criar coisas desse tipo e só posso, no mínimo, é parabenizar o professor Sebastião Vieira (Sebá), pela engenhosidade desse processo de critério de divisibilidade!!!
    Grande poder de criatividade é demonstrado aqui e deve ter dado um trabalho daqueles!!!! Parabéns, professor Sebastião!!!!

    Você achava que eu iria gostar de ler essa postagem e eu digo: gostei e gostei mais ainda, por ela ter sido divulgada aqui em seu blog, "O Baricentro da mente" que tem tanta receptividade entre os leitores da blogosfera!!!! Parabéns, parceiro!!!! São pessoas como você que fazem a diferença entre em se ser apenas solidário, só que verbalmente e aquele que ajuda com algo mais palpável e/ou concreto, como é do seu feitio!!!

    Um abraço!!!!!

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    1. Olá Valdir!

      Pois é. Quando eu estava lendo o artigo pela primeira vez, logo lembrei de você. Por que será não?

      Realemnte esta foi mais uma ótima contribuição do Sebá que, como sempre, tráz estudos interessantíssimos! Sorte nossa.

      Agradeço essa rasgação de seda que fez sobre o blog e a minha pessoa. Sei que foi de coração. Mas como dizem, andorinha sozinha não faz verão e só consigui tudo isso porque tem pessoas como você, o Aloísio, Sebá, o Paulo, entre outros, que estão sempre me incentivando a melhorar a cada dia.

      Um abraço meu amigo!

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  3. Quando o Valdir comenta de coração, é possível transformar seu entusiasmo em energia elétrica! Portanto sua maior invenção é ele mesmo rs

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  4. Sou um matemático emergente proveniente de Moçambique, autor do II Triângulo Geniciano, Gostei muito do seu método de cálulo, continue assim mesmo e chegará longe como onde eu cheguei.

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  5. Obrigado pelo incentivo. Volte sempre!
    Abraços.

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  6. demosntrar isso e facil, basta adotar a representação matematica de um numero por posição,depois desmenbrar o algarismo das unidades do resto,que por sua vez ficara multiplidado por 10. logo depois multiplica o numero que termina por ex: em 3,por outro que o faça terminar em 1 ou 9. desta forma ultilizando concruencia, soma se ou subtrai se este valor multiplicado pelo ultimo algarismo,do ultimo algarismo, podendo se colocar o 10 em evidencia no primeiro passo. feito isso cancele o 10 e ja esta demonstrado. agora para colocar da mesma forma que o professor seba e so fazer uma combinação linear do final para poder ficar com essa cara que ele fez. espero que voces entendam, eu sou apenas um curioso por matematica que acabou de sair do ensino medio, seu blog e dahora mano, continue assim mandando mais postagens.
    valeu...

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  7. E impossivel escrever o que se pensa,quando distante do mundo so vejo palavras, escritas no vazil das almas dos solitarios amantes das ciencias exatas.

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  8. Seria algum novo tipo de crivo? Se estes critérios estivessem em aritmética binária...

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  9. Somente para quem não sofra de preguiça mental.
    Para verificar rapidamente a divisibilidade por 11 de N = a.bcd proceda da seguinte forma:
    1 - Elimine cd,
    2 - Calcule a diferença entre cd e o múltiplo de 11 imediatamente superior,
    3 - Adicione o resultado ao dígito "a" e subtraia do resultado o múltiplo de 11 imediatamente inferior (se necessário) para obter a'.
    4 - Se a'b for múltiplo de 11 então a.bcd também o é.
    Exemplo: N = 6.853; 53 para 55 = 2, 2 + 6 = 8 → 88; 11|88 e 11|N
    Para números maiores é necessário repetir o procedimento até ser alcançado o último par de dígitos à esquerda; se o último par for incompleto, considere a = 0.
    Esse procedimento funciona para verificar a divisibilidade de qualquer número (mesmo os que excedam a capacidade de uma máquina de calcular) por 7, 11 e 13.

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  10. Existe outra maneira de achar a divisibilidade dos primos.

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